что такое показательная функция определение

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №21. Показательная функция.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— какая функция называется показательной;

— какие свойства имеет показательная функция в зависимости от ее основания;

— какой вид имеет график показательной функции в зависимости от ее основания;

— примеры реальных процессов, описываемых показательной функцией.

Функция вида , a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.310-314, сс. 210-216.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Определение, свойства и график показательной функции

Такое название она получила потому, что независимая переменная стоит в показателе. Основание а – заданное число.

Для положительного основания значение степени а х можно найти для любого значения показателя х – и целого, и рационального, и иррационального, то есть для любого действительного значения.

Сформулируем основные свойства показательной функции.

1. Область определения.

Как мы уже сказали, степень а х для a>0 определена для любого действительного значения переменной х, поэтому область определения показательной функции D_(y)=R.

2. Множество значений.

Так как основание степени положительно, то очевидно, что функция может принимать только положительные значения.

3. Корни (нули) функции.

Так как основание a>0, то ни при каких значениях переменной х функция не обращается в 0 и корней не имеет.

При a>1 функция монотонно возрастает.

Рисунок 1 – График показательной функции при a>1

При 0 1 при х стремящемся к минус бесконечности.

2. Рассмотрим пример исследования функции y=–3 х +1.

1) Область определения функции – любое действительное число.

2) Найдем множество значений функции.

Так как 3 х >0, то –3 х х +1 х +1 представляет собой промежуток (-∞; 1).

3) Так как функция y=3 х монотонно возрастает, то функция y=–3 х монотонно убывает. Значит, и функция y=–3 х +1 также монотонно убывает.

4) Эта функция будет иметь корень: –3 х +1=0, 3 х =1, х=0.

Рисунок 3 – График функции y=–3 х +1

6) Для этой функции горизонтальной асимптотой будет прямая y=1.

3. Примеры процессов, которые описываются показательной функцией.

6) Известно утверждение, что количество информации удваивается каждые 10 лет. Изобразим это наглядно.

Примем количество информации в момент времени t=0 за единицу. Тогда через 10 лет количество информации удвоится и будет равно 2. Еще через 10 лет количество информации удвоится еще раз и станет равно 4 и т.д.

Рисунок 4 – График функции y=2 х – изменение количества информации

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Выберите показательные функции, которые являются монотонно убывающими.

Монотонно убывающими являются показательные функции, основание которых положительно и меньше единицы. Такими функциями являются: 2) и 4) (независимо от того, что коэффициент в показателе функции 4) равен 0,5), заметим, что функцию 4) можно переписать в виде: , используя свойство степеней.

Также монотонно убывающей будет функция 5). Воспользуемся свойством степеней и представим ее в виде:

2) 4) 5)

Найдите множество значений функции y=3 x+1 – 3.

Так как 3 x+1 >0, то 3 x+1 – 3>–3, то есть множество значений:

Найдите множество значений функции y=|2 x – 2|

2 x –2>–2, но, так как мы рассматриваем модуль этого выражения, то получаем: |2 x – 2|0.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №21. Показательная функция.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— какая функция называется показательной;

— какие свойства имеет показательная функция в зависимости от ее основания;

— какой вид имеет график показательной функции в зависимости от ее основания;

— примеры реальных процессов, описываемых показательной функцией.

Функция вида , a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.310-314, сс. 210-216.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Определение, свойства и график показательной функции

Такое название она получила потому, что независимая переменная стоит в показателе. Основание а – заданное число.

Для положительного основания значение степени а х можно найти для любого значения показателя х – и целого, и рационального, и иррационального, то есть для любого действительного значения.

Сформулируем основные свойства показательной функции.

1. Область определения.

Как мы уже сказали, степень а х для a>0 определена для любого действительного значения переменной х, поэтому область определения показательной функции D_(y)=R.

2. Множество значений.

Так как основание степени положительно, то очевидно, что функция может принимать только положительные значения.

3. Корни (нули) функции.

Так как основание a>0, то ни при каких значениях переменной х функция не обращается в 0 и корней не имеет.

При a>1 функция монотонно возрастает.

Рисунок 1 – График показательной функции при a>1

При 0 1 при х стремящемся к минус бесконечности.

2. Рассмотрим пример исследования функции y=–3 х +1.

1) Область определения функции – любое действительное число.

2) Найдем множество значений функции.

Так как 3 х >0, то –3 х х +1 х +1 представляет собой промежуток (-∞; 1).

3) Так как функция y=3 х монотонно возрастает, то функция y=–3 х монотонно убывает. Значит, и функция y=–3 х +1 также монотонно убывает.

4) Эта функция будет иметь корень: –3 х +1=0, 3 х =1, х=0.

Рисунок 3 – График функции y=–3 х +1

6) Для этой функции горизонтальной асимптотой будет прямая y=1.

3. Примеры процессов, которые описываются показательной функцией.

6) Известно утверждение, что количество информации удваивается каждые 10 лет. Изобразим это наглядно.

Примем количество информации в момент времени t=0 за единицу. Тогда через 10 лет количество информации удвоится и будет равно 2. Еще через 10 лет количество информации удвоится еще раз и станет равно 4 и т.д.

Рисунок 4 – График функции y=2 х – изменение количества информации

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Выберите показательные функции, которые являются монотонно убывающими.

Монотонно убывающими являются показательные функции, основание которых положительно и меньше единицы. Такими функциями являются: 2) и 4) (независимо от того, что коэффициент в показателе функции 4) равен 0,5), заметим, что функцию 4) можно переписать в виде: , используя свойство степеней.

Также монотонно убывающей будет функция 5). Воспользуемся свойством степеней и представим ее в виде:

2) 4) 5)

Найдите множество значений функции y=3 x+1 – 3.

Так как 3 x+1 >0, то 3 x+1 – 3>–3, то есть множество значений:

Найдите множество значений функции y=|2 x – 2|

2 x –2>–2, но, так как мы рассматриваем модуль этого выражения, то получаем: |2 x – 2|0.

Источник

Что такое показательная функция определение

График функции имеет следующий вид:

Рассмотрим свойства функции:

Примеры решения задач

Задача 1.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

Решение.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y(x)				1	2	4	8

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y = 2 x возрастает на всей области определения D(y)=R, так как основание функции 2 > 1.

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля (E (y)=R+).

Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

Задача 2.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

Решение.

Для начала построим график функции . Для этого найдем значения функции при x = 0, ±1, ±2, ±3.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y(x)	8	4	2	1

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция убывает на всей своей области определения: D(y)=R, так как основание функции 0

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать любое значение: D(y)=R, при этом область значений функции: E(y)=R+.

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.

Все эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Задание 3.

Найти область значений функции:

Решение.

Область значений показательной функции y = 2 x – все положительные числа, т. е. 0 x x

2. y = +1

умножаем все части двойного неравенства на 3:

из всех частей двойного неравенства вычитаем 5:

Источник

Показательная функция, ее свойства и график

Урок 7. Алгебра 11 класc

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Показательная функция, ее свойства и график»

· ввести показательную функцию как обратную к степенной;

· рассмотреть свойства и графики показательной функции, в зависимости от основания.

До сегодняшнего урока мы с вами рассматривали степенные функции, основанием которых была переменная x, а показателем произвольное число а. Эти функции мы рассмотрели с различными показателями и изучили их свойства, посмотрели, как себя ведут графики этих функций.

Такую функцию называют показательной. Давайте теперь попробуем определить, для любого ли а можно задать такую функцию?

Напомним, что степенную функцию мы определяли только на промежутке [0; + ∞), причём, в случае отрицательного а, 0 исключался из этого промежутка. Это мы обосновывали тем, что отрицательное число можно возвести лишь в некоторые рациональные степени, а 0 нельзя возводить в неположительную степень. Такие же ограничения накладываются на основание показательной функции, то есть в качестве а можно брать только положительные числа. Причём ещё исключается число 1. Потому что единица в любой степени равна единице.

Теперь давайте определим множество, которое будет являться областью определения данной функции.

Мы сказали, что функция определена на множестве рациональных чисел, но ещё есть иррациональные числа, как же быть с ними?

Давайте рассмотрим частный случай показательной функции:

И попробуем вычислить значение выражения:

С помощью калькулятора несложно вычислить приближенное значение этого выражения:

Как же вычислить значение степени с иррациональным показателем? Рассмотрим последовательность рациональных чисел:

И будем находить значение выражения 2 x для каждого из этих чисел:

Мы получили возрастающую последовательность приближений, соответственно возрастает и вторая последовательность. Все члены этой последовательности – это положительные числа, меньшие два в квадрате, то есть последовательность ограничена. По теореме Вейерштрасса, если последовательность возрастает и ограничена, то она имеет предел. Этот предел и будет значением числового выражения:

Подводя итог нашим рассуждений, можно записать определение.

Пусть a > 1 и α = a, a₁a₂a₃…a_n… – положительное иррациональное число (бесконечная непериодическая дробь). Составим последовательность десятичных приближений числа a по недостатку:

Тогда предел последовательности

и называют степенью с иррациональным показателем.

Вернёмся к рассмотренной выше функции:

Построим график этой функции.

Для этого построим таблицу значений этой функции, отметим полученные точки на координатной плоскости, соединим полученные точки и получим график функции:

Такой же вид будет иметь и график функции вида:

С помощью графика легко записать основные свойства функции.

Областью определения будет вся числовая прямая.

Областью значений будет промежуток (0; + ∞).

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция возрастает на всей области определения.

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Функция непрерывна на всей области определения.

Функция выпукла вниз.

Рассмотрим теперь функцию:

Построим график этой функции.

Для этого построим таблицу значений этой функции, отметим полученные точки на координатной плоскости, соединим полученные точки и получим график функции.

Такой же вид будет иметь и график функции:

С помощью графика легко записать основные свойства функции.

Областью определения будет вся числовая прямая.

Областью значений будет промежуток от нуля до плюс бесконечности.

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция убывает на всей области определения.

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Функция непрерывна на всей области определения.

Функция выпукла вниз.

Если мы построим графики функций на одном графике,

то заметим, что графики этих функций симметричны относительно Oy.

Аналогично будут симметричны и графики функций:

Теперь давайте дадим чёткое определение показательной функции и выделим наиболее важные её свойства.

называют показательной функцией.

Запишем основные свойства показательной функции.

График функции и саму функцию называют экспонентой.

По графику легко увидеть, что ось Ox будет являться горизонтальной асимптотой экспоненты.

С показательными функциями связаны многие экономические, биологические, физические законы.

Сделаем важное замечание: не будем путать понятия степенная и показательная функция. Напомним, что функция вида y = x a называется степенной, а функция y = a x – это показательная функция.

А функцию y =x x не считают ни показательной, ни степенной (её иногда называют показательно-степенной).

Если a > 1, то равенство a t = a s справедливо тогда и только тогда, когда t = s.

Если a > 1, то неравенство a x > 1 справедливо тогда и только тогда, когда x > 0; неравенство a x t = a s справедливо тогда и только тогда, когда t = s.

Если 0 x > 1 справедливо тогда и только тогда, когда

Давайте повторим главное.

называют показательной функцией.

Запишем основные свойства показательной функции.

График функции и саму функцию называют экспонентой.

Источник