что такое ортогональная матрица

08.12.202323.04.2022 admin 0 Comments

Ортогональная матрица

Содержание

Свойства

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Так же и для столбцов.

Примеры

См. также

Примечания

Полезное

Смотреть что такое «Ортогональная матрица» в других словарях:

ортогональная матрица — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN orthogonal matrix … Справочник технического переводчика

ортогональная матрица — ortogonalioji matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. orthogonal matrix vok. orthogonale Matrix, f rus. ортогональная матрица, f pranc. matrice orthogonale, f … Fizikos terminų žodynas

ОРТОГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА — матрица над коммутативным кольцом R с единицей 1, для к рой транспонированная матрица совпадает с обратной. Определитель О. м. равен +1. Совокупность всех О. м. порядка пнад Rобразует подгруппу полной линейной группы GLn (R). Для любой… … Математическая энциклопедия

Матрица поворота — Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения … Википедия

Матрица (в математике) — Матрица в математике, система элементов aij (чисел, функций или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции), расположенных в виде прямоугольной схемы. Если схема имеет m строк и n столбцов, то говорят о (m n) матрице.… … Большая советская энциклопедия

Ортогональная группа — Группа (математика) Теория групп … Википедия

Матрица линейного оператора — Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

Матрица — I Матрица (нем. Matrize, от латинского matrix матка, источник, начало) в полиграфии, 1) сменный элемент литейной формы с углублённым (иногда фотографическим) изображением буквы или знака, используемый при отливке типографских… … Большая советская энциклопедия

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА — группа всех линейных преобразований n мерного векторного пространства Vнад полем k, сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму Q на V(т. е. таких линейных преобразований j, что Q(jn(v))=Q(v) для любого ). О. г. принадлежит к числу … Математическая энциклопедия

Источник

Инструменты сайта

Основное

Информация

Действия

Содержание

Ортогональная матрица

Пример. Матрицы

Одно из подмножеств таких матриц имеют специальное название.

Произведение

Теорема. Произведение ортогональных матриц является ортогональной матрицей.

Определитель

Множество ортогональных матриц одинакового порядка образует группу относительно операции умножения.

Будет ли эта группа коммутативной, т.е. абелевой?

Норма

Теорема Кэли

Выражение через экспоненциал кососимметричной матрицы

Ортогональная матрица третьего порядка

Теорема [Эйлер]. Произвольное вращение твердого тела вокруг неподвижной точки, закрепленной в начале координат, задается ортогональной матрицей

Ортогональная матрица четвертого порядка: кватернионы

Характеристический полином, собственные числа

Произведение возратных полиномов будет возвратным полиномом. ♦

Пример. Найти характеристический полином и спектр матрицы

Применения

QR-разложение матрицы

Источники

[1]. Rodrigues O. Des lois géométriques qui régissent les déplacements d’un système solide dans l’espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1840. V. 5, 380–440

[2]. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.Наука. 1974; задача N 896.

Источник

Это приводит к эквивалентной характеристике: матрица Q ортогональна, если ее транспонирование равно ее обратной :

СОДЕРЖАНИЕ

Обзор

ты ⋅ v знак равно ( Q ты ) ⋅ ( Q v ) <\ Displaystyle <\ mathbf > \ cdot <\ mathbf > = \ left (Q <\ mathbf > \ right) \ cdot \ left (Q <\ mathbf > \ right) >

Примеры

Ниже приведены несколько примеров небольших ортогональных матриц и возможные интерпретации.

Элементарные конструкции

Меньшие размеры

Простейшими ортогональными матрицами являются матрицы 1 × 1 [1] и [−1], которые мы можем интерпретировать как идентичность и отражение реальной линии через начало координат.

В 2 × 2 матрицы имеет вид

требования ортогональности удовлетворяют трем уравнениям

Тождество также является матрицей перестановок.

Высшие измерения

Независимо от размерности, всегда можно классифицировать ортогональные матрицы как чисто вращательные или нет, но для матриц 3 × 3 и больше невращающиеся матрицы могут быть более сложными, чем отражения. Например,

Однако у нас есть элементарные строительные блоки для перестановок, отражений и поворотов, которые применимы в целом.

Примитивы

Хаусхолдера отражение строится из ненулевого вектора V как

Вращения Якоби имеют ту же форму, что и вращение Гивенса, но используются к нулю оба недиагональных элементов из более 2 × 2 симметричной подматрицы.

Характеристики

Свойства матрицы

Обратное неверно; наличие определителя ± 1 не гарантирует ортогональности даже с ортогональными столбцами, как показано в следующем контрпримере.

Свойства группы

Каноническая форма

Алгебра Ли

Q Т Q знак равно я <\ Displaystyle Q ^ <\ mathrm> Q = I>

Q ˙ Т Q + Q Т Q ˙ знак равно 0 <\ displaystyle <\ dot > ^ <\ mathrm> Q + Q ^ <\ mathrm> <\ dot > = 0>

Оценка при t = 0 ( Q = I ) тогда подразумевает

Числовая линейная алгебра

Преимущества

Перестановки необходимы для успеха многих алгоритмов, включая «рабочую лошадку» исключения Гаусса с частичным поворотом (где перестановки выполняют поворот). Однако они редко появляются в явном виде в виде матриц; их особая форма позволяет более эффективно представлять, например список из n индексов.

Разложения

Ряд важных матричных разложений ( Голуб и Ван Лоан, 1996 ) включает ортогональные матрицы, в частности:

Примеры

Например, рассмотрим неортогональную матрицу, для которой простой алгоритм усреднения занимает семь шагов

и какое ускорение сокращается до двух ступеней (с γ = 0,353553, 0,565685).

Грам-Шмидт дает худшее решение, показанное расстоянием Фробениуса 8,28659 вместо минимального 8,12404.

Рандомизация

Ближайшая ортогональная матрица

Это можно комбинировать с вавилонским методом извлечения квадратного корня из матрицы, чтобы получить повторение, которое квадратично сходится к ортогональной матрице:

Использование аппроксимации первого порядка обратной и той же инициализации приводит к измененной итерации:

Спин и булавка

Прямоугольные матрицы

Для этих матриц нет стандартной терминологии. Их по-разному называют «полуортогональными матрицами», «ортонормированными матрицами», «ортогональными матрицами», а иногда просто «матрицами с ортонормированными строками / столбцами».

Источник

Ортогональная матрица

Ортогональная группа — Группа (математика) Теория групп … Википедия

Источник

Ортогональная матрица. Ортогонализация Грамма-Шмидта.

Квадратная матрица i=1,2. n, j=1,2. n называется ортогональной, если выполняется условие

Из условия AA T =E следует, что A T является обратной к матрице A:

Для любой невырожденной квадратной матрицы можно построить ортогональную матрицу. Для построения ортогональной матрицы применяют метод ортогонализации Грамма-Шмидта. Затем нормируют полученные векторы строки. Эти две процедуры вместе называют методом ортонормализации Грамма-Шмидта.

Ортогонализация Грамма-Шмидта

Пусть задана некоторая квадратная матрица, строки которой являются векторы

и пусть эти векторы линейно независимы (т.е. матрица построенная этими векторами строками невырождена). Требуется получить взаимно ортогональные n векторы