что такое ограниченная функция

Что такое ограниченная функция

Функция y=f(x), определенная на множестве X, называется ограниченной сверху, если множество её значений ограниченно сверху. Иначе говоря, функция f(x) ограничена сверху, если существует такая постоянная М, что для каждого \(x \in X\) выполняется неравенство \(f(x) \leqslant M.\)

· Функция y=f(x), определенная на множестве Х, называется ограниченной снизу, если множество её значений ограниченно снизу, то есть если существует такая постоянная М, что для каждого \(x \in X\) выполняется неравенство \(f(x) \leqslant M.\)

· Функция f(x), определенная на множестве Х, называется ограниченной, если множество её значений ограниченно как сверху, так и снизу.

Примерами функций, ограниченных на всей числовой прямой, являются функции y=sin x, y=cos x.

При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности функций часто играет определяющую роль. Например:

Рассмотрим пример применения данных выводов.

Решение: Функции, записанные в левой и правой частях уравнения, определены при всех действительных значениях х. Кроме того, для любых х верно:

Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

Решения второго уравнения системы есть х=0 и х=-1. Из этих значений первому уравнению удовлетворяет только х=0, которое, следовательно, является единственным решением исходного уравнения.

Источник

Что такое ограниченная функция

Основные понятия и свойства функций

Область определения и область значений функции.

Правило (закон) соответствия. Монотонная функция.

Ограниченная и неограниченная функции. Непрерывная и

разрывная функции. Чётная и нечётная функции.

Периодическая функция. Период функции.

Нули функции. Асимптота.

Из этого определения следует, что функция считается заданной, если:

— задана область определения функции X ;

— задана область значений функции Y ;

— известно правило ( закон ) соответствия, причём такое, что для каждого

значения аргумента может быть найдено только одно значение функции.

Это требование однозначности функции является обязательным.

Монотонная функция. Если для любых двух значений аргумента x ₁ и x ₂ из условия x ₂ > x ₁ следует f ( x ₂ ) > f ( x ₁ ), то функция f ( x ) называется возрастающей; если для любых x ₁ и x ₂ из условия x ₂ > x ₁ следует f ( x ₂ ) f ( x ₁ ), то функция f ( x ) называется убывающей. Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.

2) существует конечный предел lim f ( x ) ;

Если функция непрерывна во всех точках своей области определения, то она называется непрерывной функцией.

Следовательно, добавление 2 n к аргументу синуса не

sin ( / 2 + P ) = sin / 2 = 1.

из двух последних равенств следует, что cos P = 1, но мы

отличным от нуля числом из 2 n является 2 , то это число

Докажите, что функции tan x и cot x имеют период .

значение функции. Наименьшее отличное от нуля число

Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой.

Источник

Пусть , тогда , отсюда
получаем . Обратное неверно.

Контрольный пример:
в окрестности точки 0.
– не существует.

Бесконечно малые и их свойства.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

Основные свойства бесконечно малых функций (б.м.)

1° Сумма конечного числа б.м. функций является функцией бесконечно малой.
2° Произведение б функции на ограниченную есть функция бесконечно малая.
3° Произведение двух б.м функций есть функция бесконечно малая..
4° Произведение б.м функции на константу является бесконечно малой функцией.
5° Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция бесконечно малая.
6° Функция , обратная к б.м функции , есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они
существуют:

Доказательство:


Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:



Получаем

Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют:
Доказательство:


Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:


Получаем Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: . При
условии: все пределы существуют и .
Доказательство:


Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

;
Получаем:

Теорема 4. Предел сохраняет знак неравенства. Если .

Доказательство:

Следовательно,
Следствие:

Теорема 5. Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел:

20-21. Первый и второй замечательные пределы и следствия.
Теорема. Первый замечательный предел .
Доказательство (геометрическое):

Так как , то .

Следствия из теоремы:

1)
2)
3)
4)
5)
Теорема. Второй замечательный предел .
Доказательство:
Бином Ньютона:
, где .
Используем бином Ньютона для доказательства неравенства:

Отсюда заключаем, что , а значит .
Следствия из теоремы:
1)
2)
3)
4)

22. Сравнения бесконечно малыхвеличин (б.м.в.) Эквивалентные бесконечно малые.

Непрерывность функции. Определение непрерывности функции в точке и на промежутке. Теорема об арифметических действиях над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Ограниченность непрерывной функции.

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Функция называется непрерывной справа в точке , если .
Функция называется непрерывной слева в точке , если .
Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть и непрерывной слева в точке , то есть .

26. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции на замкнутом промежутке.

1) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

И зображенная на рисунке
функция непрерывна на отрезке и принимает свое наибольшее значение M в точке , а наименьшее m – вточке . Для любого справедливо неравенство: .
2) Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует постоянная такая, что

27. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении функции.
Если непрерывная функция, определённая на вещественном интервале, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Следствия теоремы Больцано-Коши

1. Теорема о нуле непрерывной функции.
Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой значение функции равно нулю.

2. В частности любой многочлен нечётной степени имеет, по меньшей мере, один нуль.

Источник

§ 05. Свойства функций

Определение 1. Функция называется Монотонно возрастающей на множестве , если для любой пары точек из условия следует, что , то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение 2. Функция называется Монотонно убывающей на множестве , если для любой пары точек из условия следует, что , то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Монотонно возрастающие и монотонно убывающие функции называют монотонными.

Монотонные функции обладают следующими свойствами:

1) сумма двух монотонно возрастающих (монотонно убывающих) функций является монотонно возрастающей (монотонно убывающей) функцией;

2) произведение двух положительных монотонно возрастающих (монотонно убывающих) функций является монотонно возрастающей (монотонно убывающей) функцией;

3) если функция монотонно возрастающая (монотонно убывающая), то функция монотонно убывающая (монотонно возрастающая);

4) если положительная функция является монотонно возрастающей (монотонно убывающей), то функция является монотонно убывающей (монотонно возрастающей);

5) если функция монотонная, то она имеет обратную функцию.

Определение 3. Функция называется Ограниченной сверху на множестве , если существует такое число М, что значение функции в любой точке не превосходит этого числа, то есть для любого выполняется неравенство .

Определение 4. Функция называется Ограниченной снизу на множестве , если существует такое число M, что значение функции в любой точке не меньше этого числа, то есть для любого выполняется неравенство .

Ограниченная сверху и снизу на множестве Х функция называется ограниченной на этом множестве. Другими словами, если функция ограничена на множестве Х, то существуют такие числа M и М, что для всех . Условие ограниченности можно также записать в виде для некоторого положительного числа М.

Определение 5. Точка называется точкой Максимума функции , если существует окрестность этой точки такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство .

Определение 6. Точка называется точкой Минимума функции , если существует окрестность этой точки такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называют точками Экстремума функции.

Заметим, что функция в области своего определения может иметь несколько точек максимума или минимума.

Определение 7. Будем говорить, что в точке функция принимает Наибольшее на множестве Х значение, если для всех точек справедливо неравенство .

Определение 8. Будем говорить, что в точке функция принимает Наименьшее на множестве Х значение, если для всех точек справедливо неравенство .

Если множество Х представляет собой отрезок [A; B], то наибольшее и наименьшее значения функция принимает либо в точке экстремума, либо на конце отрезка.

Говорят, что множество Х Симметрично относительно начала координат, если для любой точки противоположная точка .

Определение 9. Функция называется Четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат, и для любого .

Определение 10. Функция называется Нечетной, если ее область определения симметрична относительно начала координат, и для любого .

График четной функции имеет ось симметрии: так как точки и принадлежат графику функции, то он симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции имеет центр симметрии: так как точки и принадлежат графику функции, то он симметричен относительно начала координат.

Четные и нечетные функции обладают следующими свойствами:

1) сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная);

2) произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная; произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная;

3) если нечетная функция определена в нуле, то ;

4) всякая функция, определенная на множестве Х, симметричном относительно начала координат может быть представлена в виде суммы двух функций, определенных на Х, причем одна из этих функций является четной, а другая – нечетной.

Определение 11. Функция называется Периодической, если существует такое число , что для любого точка и справедливо равенство .

Наименьшее из чисел Т в определении 11 называют Периодом. Периодическая функция имеет бесконечно много периодов, все они кратны числу Т.

Все введенные в этом параграфе определения используются при исследовании функций и построении графиков.

Источник