что такое одз в уравнениях
Что такое одз в уравнениях
ОДЗ. Зачем, когда и как?
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Введение
Я начал работу с того, что в Интернете пересмотрел множество тем по математике и выбрал эту тему, потому что уверен, что важность нахождения ОДЗ играет огромную роль в решении уравнений и задач. В своей исследовательской работе я рассмотрел уравнения, в которых достаточно только нахождения ОДЗ, опасность, необязательность, ограниченность ОДЗ, некоторые запреты в математике. Самое главное для меня хорошо сдать ЕГЭ по математике, а для этого надо знать: когда, зачем и как находить ОДЗ. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что овладение данной темой поможет учащимся правильно выполнить задания на ЕГЭ. Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники. Мне стало интересно, а знают учащиеся нашей школы: когда, зачем и как находить ОДЗ. Поэтому я провёл тест по теме «Когда, зачем и как находить ОДЗ?» (было дано 10 уравнений). Количество учащихся – 28. Справились – 14 %, опасность ОДЗ (учли) – 68 %, необязательность (учли) – 36 %.
Цель: выявление: когда, зачем и как находить ОДЗ.
Проблема: уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто делаем ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об ОДЗ.
Задачи:
Я думаю полученные мною, знания и навыки помогут мне решить вопрос: искать ОДЗ или не надо? Я перестану делать ошибки, научившись правильно делать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ[4].
Глава 1
Что такое ОДЗ?
Важно. Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных мест.
Некоторые запреты в математике. Таких запретных действий в математике очень мало. Но их не все помнят…
Как записать ОДЗ? Очень просто. Всегда рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера. Преобразование примера может изменить ОДЗ и, соответственно ответ.
Алгоритм нахождения ОДЗ:
ОДЗ. Область допустимых значений (ЕГЭ 2022)
ОДЗ – это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.
Например, если перед тобой уравнение \( \displaystyle \sqrt
Часто в задачах бывает очень важно учесть ОДЗ и «вычеркнуть» те решения, которые на самом деле решениями не являются.
Иначе ты сделаешь глупую, очень глупую ошибку и не получишь то, что заслужил на ЕГЭ!
Читай эту статью и ты будешь знать об ОДЗ все!
ОДЗ — коротко о главном
ОДЗ – это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.
Функции, для которых важна ОДЗ:
ОДЗ (Область допустимых значений) — подробнее
Давай разберем пример, наглядно показывающий, что такое ОДЗ:
Решим уравнение \( \displaystyle \sqrt<2x+3>=x\).
Все очень просто, если ты уже освоил тему «Иррациональные уравнения».
Возводим левую и правую части уравнения в квадрат:
Теперь решаем квадратное уравнение. Я воспользуюсь теоремой Виета (если забыл, что это такое, – посмотри тему «Квадратные уравнения»).
Вроде все? А давай-ка теперь сделаем проверку – подставим полученные значения в начальное уравнение:
\( \displaystyle x=3:\text< >\sqrt<2\cdot 3+3>=3\text< >\Leftrightarrow \text< >\sqrt<9>=3\) – все верно.
Да потому, что мы не учли ОДЗ!
По определению квадратный корень из любого числа не может быть отрицательным.
Значит, глядя на уравнение \( \displaystyle \sqrt<2x+3>=x\) мы должны сразу же написать:
Если помнишь тему «Иррациональные уравнения», ты сразу скажешь, что второе условие в этой системе писать необязательно. И правда, мы ведь потом возведем все в квадрат, и получится, что \( \displaystyle 2x+3=<
Итак, с помощью этих рассуждений приходим к такой области допустимых значений:
\( \displaystyle x\ge 0\).
Тогда сразу становится ясно, что корень \( \displaystyle x=-1\) не подходит. И остается единственный ответ \( \displaystyle x=3\).
Всего мы изучаем несколько разных функций, для которых важна ОДЗ. Вот они со своими ОДЗ в удобной табличке.
Значение области допустимых значений в математике: способы нахождения
Допустимые и недопустимые значения переменных
Перед тем, как вводить понятие области допустимых значений функции, необходимо определиться с самим термином «допустимое значение».
Допустимое значение переменной — такое значение переменной, при котором зависимая от нее функция имеет смысл. Это значит, что, подставив данное значение переменной в выражение функции, можно получить конкретный результат. Сама функция в алгебре — это уравнение, в котором каждому значению x соответствует одно значение y.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Что такое ОДЗ
У записи области определения есть некоторые особенности, которые важно иметь в виду. Круглые скобки — () — применяются, когда область допустимых значений заканчивается на данном числе, причем оно не входит в ОДЗ. Квадратные скобки — [] — применяются в ситуациях, когда в область определения входит число, на котором она заканчивается. Знак объединения — \(\cup\) — по сути означает союз «и». Он используется, когда ОДЗ является системой из нескольких числовых промежутков.
Как найти ОДЗ: примеры, решения
Чтобы найти область допустимых значений для какой-либо функции, не имеет смысла перебирать все числа, при подстановке которых ее можно решить. Рациональнее найти те значения, при которых функция не имеет смысла и исключить их из всего множества чисел.
Общие принципы нахождения области допустимых значений
Примеры нахождения ОДЗ
Пример №1. Найти область определения функции \(y=\sqrt<1-x^2>\)
Из обозначенных выше принципов следует, что подкоренное выражение не может быть отрицательным, значит 1-x^2\geq0. Приведем данное неравенство к общему виду: \(1-x^2\geq0\Rightarrow1\geq x^2\Rightarrow x^2\leq1\)
Вычислим квадратный корень для обеих частей неравенства:
Раскроем модуль согласно правилу:
Пример №2. Найти ОДЗ функции \(y=\lg\left(x\right)\)
Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований
Тождественные преобразования могут приводить к расширению или сужению области допустимых значений. В этом случае значение, подходящее к изначальной функции, после преобразования может оказаться вне области определения. Поэтому стоит избегать сужающих ОДЗ преобразований или находить область допустимых значений уже после них.
Функции, для которых важна ОДЗ
Сама по себе область допустимых значений — важная характеристика для всех функций. Чтобы правильно решать математические задачи, следует всегда находить ее. При этом, для многих, если не большинства, функций она включает в себя все множество действительных чисел. Например, линейная \(y=k\cdot x+b\) или квадратичная \(y=a\cdot x^2+b\cdot x+c\) функции. Рассмотрим некоторые функции, для которых это не так.
ОДЗ обратной зависимости
Функция обратной пропорциональности \(y=\frac kx\) уже упоминалась выше. Ее область определения содержит все действительные числа, за исключением нуля: \(x\in(-\infty;\;0)\cup(0;\;+\infty).\)
ОДЗ степенной функции
Для степенной функции y=x^n следует учитывать обозначенные выше принципы нахождения ОДЗ, справедливые для возведения в степень и извлечения корня. Рассмотрим области определения переменной x в зависимости от значения n:
ОДЗ показательной функции
Показательная функция y=a^x очень похожа на степенную, но, в отличие от нее, здесь переменная не в основании, а в степени. Область допустимых значений для нее определяется по тем же правилам, что и для степенной функции:
ОДЗ логарифмической функции
Логарифмическая функция \(y=\log_a\left(x\right)\) является обратной для показательной. Согласно свойствам логарифмирования, область определения такой функции будет включать все положительные числа: \(x\in(0;\;+\infty).\)
ОДЗ тригонометрических функций
Область допустимых значений (ОДЗ), теория, примеры, решения
Каждому выражению с переменными соответствует область допустимых значений (ОДЗ) переменных, которую ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно учитывать при работе с этим выражением. Акцент на слове «обязательно» сделан не случайно: при решении примеров и задач халатное отношение к ОДЗ может привести к получению неверных результатов.
Чтобы у нас не возникало подобных проблем, давайте внимательно изучим все, что связано с ОДЗ. Для начала узнаем, что это такое, после этого разберем на характерных примерах, как найти ОДЗ переменных для заданного выражения, а в заключение остановимся на важности учета ОДЗ при преобразовании выражений.
Навигация по странице.
Допустимые и недопустимые значения переменных
Определение области допустимых значений переменных для выражения дается через термин допустимые значения переменной. Введем это вспомогательное определение, для чего проследим, что нас приводит к нему.
На уроках математики в школе вплоть до 7 класса познаются азы работы преимущественно с числами и числовыми выражениями. А с 7 класса начинается изучение такой математической дисциплины как алгебра, и начинается оно с того, что вводится определение выражения с переменными, а также связанное с ним определение значения выражения при выбранных значениях переменных.
выражение с переменными имеет смысл при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных можно вычислить его значение
выражение с переменными не имеет смысла при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных нельзя вычислить его значение.
Вот теперь мы обладаем всеми сведениями, позволяющими дать определение допустимых и недопустимых значений переменных:
Допустимые значения переменных – это такие значения переменных, при которых выражение имеет смысл. А значения переменных, при которых выражение не имеет смысла, называют недопустимыми значениями переменных.
Что такое ОДЗ?
Практически у всех, так или иначе имеющих отношение к алгебре, на слуху словосочетание «область допустимых значений», также довольно часто аббревиатуру ОДЗ можно встретить в описаниях решений, но как такового определения области допустимых значений (ОДЗ) нет в основных учебниках, используемых в школе. Поэтому интересно, откуда берет начало этот термин. Ну а с позиций практики интереснее знать, какой смысл в него вкладывают.
Под областью допустимых значений (ОДЗ) понимают множество всех допустимых значений переменных для данного выражения.
Как найти ОДЗ? Примеры, решения
Прежде чем обратиться к главной теме этого пункта, нужно понимать, что значит найти ОДЗ, хотя это достаточно отчетливо ясно из определения. Это значит, что надо указать множество всех допустимых значений переменных для заданного выражения. На это можно посмотреть и с другой стороны: найти ОДЗ – это значит указать условия, которые исключают те и только те значения переменных, при которых выражение не имеет смысла. Теперь можно двигаться дальше.
Заданий с формулировкой «найти ОДЗ» не так много. Однако почти постоянно приходится преобразовывать выражения, а это неявно требует нахождения области допустимых значений для ее контроля. В этом свете вопрос, как найти ОДЗ, очень злободневен.
В поисках ответа на него поразмыслим, значения каких выражений мы не можем вычислить.
Что нам это дает? А то, что перечисленные выше моменты и нужно учитывать при поиске ОДЗ. Как это делать, станет понятно из следующих примеров.
Найти ОДЗ переменной x для выражения 
.
Найти ОДЗ 
.
В более сложных случаях приходится учитывать одновременно несколько условий из приведенного выше списка. Это дает системы неравенств, задающие ОДЗ.
Определите ОДЗ переменной x для выражения 
.
Здесь лишь заметим, что во многих случаях на практике нет необходимости в решении составленных систем.
В заключении остается сказать, что такой подход используется и тогда, когда нужно найти область определения функции.
Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?
Решая различные задачи, нам очень часто приходится проводить тождественные преобразования выражений. Но бывает, что какое-то преобразование в одних случаях допустимо, а в других – нет. Существенную помощь в плане контроля допустимости проводимых преобразований оказывает ОДЗ. Остановимся на этом подробнее.
Суть подхода состоит в следующем: сравниваются ОДЗ переменных для исходного выражения с ОДЗ переменных для выражения, полученного в результате выполнения тождественных преобразований, и на основании результатов сравнения делаются соответствующие выводы.
Вообще, тождественные преобразования могут
Давайте поясним каждый случай примером.
При преобразовании выражений надо строго избегать преобразований, сужающих ОДЗ. Почему? Для пояснения приведем пример.
Так что надо придерживаться таких тождественных преобразований выражения, которые не изменяют ОДЗ.
А как быть с преобразованиями выражений, при которых расширяется ОДЗ? Их можно проводить, но при этом стоит придерживаться такого взгляда: полученное в результате преобразования выражение рассматривать на ОДЗ переменных исходного выражения.
Итак, на каждом шаге преобразования выражения постоянно спрашивайте себя: «Не изменяет ли это преобразование ОДЗ»? Если не изменяет, то выполняйте его. Если сужает, то откажитесь от него. А если расширяет, то выполняйте его, но оставайтесь в рамках ОДЗ переменных для исходного выражения.
Что такое одз в уравнениях
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )
В предыдущем уроке мы освоили решение самых простых логарифмических уравнений. Кто читал, тот понял, что ничего сложного в этом нет. Однако, даже в самых примитивных логарифмических уравнениях нас может ожидать сюрприз не из приятных. С этим сюрпризом надо разобраться.
Главная проблема в решении логарифмических уравнений.
Уравнения предыдущего урока мы решали легко и правильно. А вот, например, уравнение:
так уже не решим. Хотя, по внешнему виду, это уравнение ничем не отличается от успешно решаемых элементарных.
Итак, пусть нам на ЕГЭ попалось такое задание:
Найти корень или сумму корней (если их несколько) уравнения:
Потенцируем, т.е. убираем логарифмы (это можно!):
Получили обычное квадратное уравнение. Приводим к стандартному виду:
Вроде всё честно. Но сделаем самую надёжную проверку. Подставим результаты в исходное уравнение. Сначала х1= 3, получим
Правильный ответ был 3. Три, а не два.
Бездушный компьютер не засчитает нам это задание, да.
Так в чём же дело?! Раскрою эту страшную тайну. Всё дело в ОДЗ.
ОДЗ в логарифмических уравнениях.
Кто забыл (или не знает), что такое ОДЗ, прогуляйтесь вот по этой ссылочке: ОДЗ. Область Допустимых Значений. Там немного, не волнуйтесь.) Описана общая идея ОДЗ в применении к дробным уравнениям. Это всяко знать надо. Без понятия ОДЗ решение (даже абсолютно правильное!) любого уравнения превращается в лотерею. То ли выиграете, то ли нет.
В какой момент мы попали в засаду элементарного примера? Как раз в момент ликвидации логарифмов. Логарифмы исчезли напрочь, и вместе с ними исчезли соответствующие ограничения на ответ. Бесследно. В математике это называется расширение ОДЗ.
И что теперь, отказаться от ликвидации логарифмов!? Тогда мы вообще ничего решить не сможем. Нет, отказываться мы не будем. Мы пойдём другим путём! В математике эта проблема решается так.
Как записывать ОДЗ?
Очень просто. Внимательно осматриваем исходный пример. Не решаем, не преобразовываем, именно осматриваем, и именно исходный! Это важно! Да и несложно, к тому же. Ищем в примере опасные места. Это деление на выражение с иксом, извлечение корня чётной степени из выражения с иксом и логарифмы с иксами.
Мы не знаем, чему равен х, верно? Мы ещё пример не решали. Но твёрдо уверены, что те иксы, которые дадут деление на ноль, извлечение квадратного корня из отрицательного числа и нарушение ограничений на логарифмы заведомо в ответ не годятся. Эти иксы превращают исходный пример в бессмыслицу. Посему такие значения х недопустимы. Все остальные значения х и будут составлять ОДЗ. Область допустимых значений. Вот и всё.
На практике это всё куда проще делается. Читаем и вникаем. Берём тот же пример:
Обратите внимание! Мы ничего не решали! Мы просто записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Для каждого логарифма в примере. Знак системы (фигурная скобка) показывает, что эти условия должны выполняться одновременно.
Вот и всё. ОДЗ записано. Не так уж и сложно, правда?
Что делать с ОДЗ?
Вариант первый, универсальный:
Решаем систему неравенств, которую мы записали для ОДЗ.
Мы решаем только ОДЗ! Сам пример пока не трогаем! Получаем значения х, которые допустимы для данного уравнения. Тот, кто умеет решать системы неравенств получит для нашего ОДЗ такой ответ:
Т.е. в качестве ответа нам подойдут только такие иксы, которые больше корня из трёх!
Хорошо тем, кто умеет решать системки неравенств, правда?)
А если с решением систем неравенств, того. не очень? Как быть?! Как быть, как быть. Научиться! Но если уж совсем прижало. Ладно, только для вас! Способ-лайт.)
Вариант второй, только для нехитрых уравнений.
Итак, мы записали ОДЗ в виде системы неравенств. Эту систему можно и не решать. Оставить как есть, вот так:
А вот теперь, поочерёдно подставляем эти значения в систему неравенств ОДЗ.
Просто считаем, получаем:
Считаем и получаем:
Это категорически неверно! Минус два никак не больше нуля! Значит, этот корень не входит в ОДЗ. Он просто выбрасывается и ни в какой ответ не идёт. Всё. Замечу, что корень выбрасывается, если он не подходит хотя бы в одно неравенство системы.
Вот такой способ-лайт. Подчеркну, этот способ прост и нагляден. Решение неравенств заменяется простым счётом. Очень хорош в простых уравнениях. И не годится в логарифмических неравенствах. Догадались, почему?
Да потому, что в ответе у неравенства, обычно, не один-два корня, а интервал. Т.е. бесконечный набор чисел. А в способе-лайт в ОДЗ надо подставлять все значения. Бесконечность. Что представляется несколько затруднительным, да.
Здесь мы разобрали всего один простой пример. Но суть такой работы с ОДЗ неизменна для любых логарифмических уравнений.
Вникайте. И запоминайте одну простую мысль. Эта мысль спасёт вас от путаницы в решении и каши в голове:
Подведём итоги в практических советах.
3. Решив уравнение и ОДЗ, сводим результаты в общий ответ.
4. Если пример позволяет, ОДЗ можно не решать. Достаточно подставить результаты уравнения в записанные условия ОДЗ и проверить, какие решения проходят. Их и взять за ответы.
Ну и, как водится, порешаем. Примеров здесь всего чуть-чуть, но они охватывают самые популярные фишки с ОДЗ. Некоторые фишки (если их увидеть) позволяют сократить решение в десятки раз! Я не шучу.
Найти корень или сумму корней (если их несколько) уравнений:
Теперь можно решать несложные логарифмические уравнения вполне надёжно. Не лотерея, да. )
Если Вам нравится этот сайт.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.