что такое одз логарифма

ОДЗ логарифма

ОДЗ логарифма следует непосредственно из определения логарифма.

По определению, логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число знаком логарифма:

Основание степени должно быть положительным числом, отличным от единицы.

При возведении в любую степень такого числа всегда получается положительное число.

Таким образом, область допустимых значений логарифма (ОДЗ логарифма)

состоит из трёх условий:

1) Под знаком логарифма должно стоять положительное число:

0;\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

2-3) В основании логарифма должно стоять положительное число, отличное от единицы:

0;\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Все три условия должны быть выполнены одновременно.

Таким образом, чтобы найти ОДЗ логарифма

надо решить систему из трёх неравенств:

0;\\ g(x) > 0;\\ g(x) \ne 1. \end \right.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Если в основании логарифма стоит число:

ОДЗ логарифма содержит всего одно условие:

0.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Если под знаком логарифма стоит число, а в основании — выражение с переменной:

то в область допустимых значений нужно записать два условия:

0;\\ g(x) \ne 1 \end \right.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Примеры нахождения ОДЗ логарифма рассмотрим отдельно.

Источник

Что такое одз логарифма

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

В предыдущем уроке мы освоили решение самых простых логарифмических уравнений. Кто читал, тот понял, что ничего сложного в этом нет. Однако, даже в самых примитивных логарифмических уравнениях нас может ожидать сюрприз не из приятных. С этим сюрпризом надо разобраться.

Главная проблема в решении логарифмических уравнений.

Уравнения предыдущего урока мы решали легко и правильно. А вот, например, уравнение:

так уже не решим. Хотя, по внешнему виду, это уравнение ничем не отличается от успешно решаемых элементарных.

Итак, пусть нам на ЕГЭ попалось такое задание:

Найти корень или сумму корней (если их несколько) уравнения:

Потенцируем, т.е. убираем логарифмы (это можно!):

Получили обычное квадратное уравнение. Приводим к стандартному виду:

Вроде всё честно. Но сделаем самую надёжную проверку. Подставим результаты в исходное уравнение. Сначала х₁= 3, получим

Правильный ответ был 3. Три, а не два.

Бездушный компьютер не засчитает нам это задание, да.

Так в чём же дело?! Раскрою эту страшную тайну. Всё дело в ОДЗ.

ОДЗ в логарифмических уравнениях.

Кто забыл (или не знает), что такое ОДЗ, прогуляйтесь вот по этой ссылочке: ОДЗ. Область Допустимых Значений. Там немного, не волнуйтесь.) Описана общая идея ОДЗ в применении к дробным уравнениям. Это всяко знать надо. Без понятия ОДЗ решение (даже абсолютно правильное!) любого уравнения превращается в лотерею. То ли выиграете, то ли нет.

В какой момент мы попали в засаду элементарного примера? Как раз в момент ликвидации логарифмов. Логарифмы исчезли напрочь, и вместе с ними исчезли соответствующие ограничения на ответ. Бесследно. В математике это называется расширение ОДЗ.

И что теперь, отказаться от ликвидации логарифмов!? Тогда мы вообще ничего решить не сможем. Нет, отказываться мы не будем. Мы пойдём другим путём! В математике эта проблема решается так.

Как записывать ОДЗ?

Очень просто. Внимательно осматриваем исходный пример. Не решаем, не преобразовываем, именно осматриваем, и именно исходный! Это важно! Да и несложно, к тому же. Ищем в примере опасные места. Это деление на выражение с иксом, извлечение корня чётной степени из выражения с иксом и логарифмы с иксами.

Мы не знаем, чему равен х, верно? Мы ещё пример не решали. Но твёрдо уверены, что те иксы, которые дадут деление на ноль, извлечение квадратного корня из отрицательного числа и нарушение ограничений на логарифмы заведомо в ответ не годятся. Эти иксы превращают исходный пример в бессмыслицу. Посему такие значения х недопустимы. Все остальные значения х и будут составлять ОДЗ. Область допустимых значений. Вот и всё.

На практике это всё куда проще делается. Читаем и вникаем. Берём тот же пример:

Обратите внимание! Мы ничего не решали! Мы просто записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Для каждого логарифма в примере. Знак системы (фигурная скобка) показывает, что эти условия должны выполняться одновременно.

Вот и всё. ОДЗ записано. Не так уж и сложно, правда?

Что делать с ОДЗ?

Вариант первый, универсальный:

Решаем систему неравенств, которую мы записали для ОДЗ.

Мы решаем только ОДЗ! Сам пример пока не трогаем! Получаем значения х, которые допустимы для данного уравнения. Тот, кто умеет решать системы неравенств получит для нашего ОДЗ такой ответ:

Т.е. в качестве ответа нам подойдут только такие иксы, которые больше корня из трёх!

Хорошо тем, кто умеет решать системки неравенств, правда?)

А если с решением систем неравенств, того. не очень? Как быть?! Как быть, как быть. Научиться! Но если уж совсем прижало. Ладно, только для вас! Способ-лайт.)

Вариант второй, только для нехитрых уравнений.

Итак, мы записали ОДЗ в виде системы неравенств. Эту систему можно и не решать. Оставить как есть, вот так:

А вот теперь, поочерёдно подставляем эти значения в систему неравенств ОДЗ.

Просто считаем, получаем:

Считаем и получаем:

Это категорически неверно! Минус два никак не больше нуля! Значит, этот корень не входит в ОДЗ. Он просто выбрасывается и ни в какой ответ не идёт. Всё. Замечу, что корень выбрасывается, если он не подходит хотя бы в одно неравенство системы.

Вот такой способ-лайт. Подчеркну, этот способ прост и нагляден. Решение неравенств заменяется простым счётом. Очень хорош в простых уравнениях. И не годится в логарифмических неравенствах. Догадались, почему?

Да потому, что в ответе у неравенства, обычно, не один-два корня, а интервал. Т.е. бесконечный набор чисел. А в способе-лайт в ОДЗ надо подставлять все значения. Бесконечность. Что представляется несколько затруднительным, да.

Здесь мы разобрали всего один простой пример. Но суть такой работы с ОДЗ неизменна для любых логарифмических уравнений.

Вникайте. И запоминайте одну простую мысль. Эта мысль спасёт вас от путаницы в решении и каши в голове:

Подведём итоги в практических советах.

3. Решив уравнение и ОДЗ, сводим результаты в общий ответ.

4. Если пример позволяет, ОДЗ можно не решать. Достаточно подставить результаты уравнения в записанные условия ОДЗ и проверить, какие решения проходят. Их и взять за ответы.

Ну и, как водится, порешаем. Примеров здесь всего чуть-чуть, но они охватывают самые популярные фишки с ОДЗ. Некоторые фишки (если их увидеть) позволяют сократить решение в десятки раз! Я не шучу.

Найти корень или сумму корней (если их несколько) уравнений:

Теперь можно решать несложные логарифмические уравнения вполне надёжно. Не лотерея, да. )

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Источник

Область допустимых значений функции

Допустимые и недопустимые значения переменных

В 7 классе заканчивается математика и начинается ее-величество-алгебра. Первым делом школьники изучают выражения с переменными.

Мы уже знаем, что математика состоит из выражений — буквенных и числовых. Каждому выражению, в котором есть переменная, соответствует область допустимых значений (ОДЗ). Если игнорировать ОДЗ, то в результате решения можно получить неверный ответ. Получается, чтобы быстро получить верный ответ, нужно всегда учитывать область допустимых значений.

Чтобы дать верное определение области допустимых значений, разберемся, что такое допустимые и недопустимые значения переменной.

Рассмотрим все необходимые определения, связанные с допустимыми и недопустимыми значениями переменной.

Выражение с переменными — это буквенное выражение, в котором буквы обозначают величины, принимающие различные значения.

Значение числового выражения — это число, которое получается после выполнения всех действий в числовом выражении.

Выражение с переменными имеет смысл при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных можно вычислить его значение.

Выражение с переменными не имеет смысла при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных нельзя вычислить его значение.

Теперь, опираясь на данные определения, мы можем сформулировать, что такое допустимые и недопустимые значения переменной.

Допустимые значения переменных — это значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

Если при переменных выражение не имеет смысла, то значения таких переменных называют недопустимыми.

В выражении может быть больше одной переменной, поэтому допустимых и недопустимых значений может быть больше одного.

Пример 1

Рассмотрим выражение

В выражении три переменные (a, b, c).

Запишем значения переменных в виде: a = 1, b = 1, c = 2.

Такие значения переменных являются допустимыми, поскольку при подстановке этих значений в выражение, мы легко можем найти ответ:

Таким же образом можем выяснить, какие значения переменных — недопустимые.

Подставим значения переменных в выражение

На ноль делить нельзя.

Что такое ОДЗ

ОДЗ — это невидимый инструмент при решении любого выражении с переменной. Чаще всего, ОДЗ не отображают графически, но всегда «держат в уме».

Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех допустимых значений переменных для данного выражения.

Пример 2

Рассмотрим выражение

Пример 3
Рассмотрим выражение

ОДЗ такого выражения будет выглядеть вот так: b ≠ c; a — любое число.

Такая запись означает, что область допустимых значений переменных b, c и a = это все значения переменных, при которых соблюдаются условия b ≠ c; a — любое число.

Как найти ОДЗ: примеры решения

Найти ОДЗ — это значит, что нужно указать все допустимые значения переменных для выражения. Часто, чтобы найти ОДЗ, нужно выполнить преобразование выражения.

Чтобы быстро и верно определять ОДЗ, запомните условия, при которых значение выражения не может быть найдено.

Мы не можем вычислить значение выражения, если:

Теперь, приступая к поиску ОДЗ, вы можете сверять выражение по всем этим пунктам.

Давайте потренируемся находить ОДЗ.

Пример 4

Найдем область допустимых значений переменной выражения a 3 + 4 * a * b − 6.

В куб возводится любое число. Ограничений при вычитании и сложении нет. Это значит, что мы можем вычислить значение выражения a 3 + 4 * a * b − 6 при любых значениях переменной.

ОДЗ переменных a и b — это множество таких пар допустимых значений (a, b), где a — любое число и b — любое число.

Ответ: (a и b), где a — любое число и b — любое число.

Пример 5

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной выражения

Здесь нужно обратить внимание на наличие нуля в знаменатели дроби. Одним из условий, при котором вычисление значения выражения невозможно явлется наличие деления на ноль.

Это значит, что мы может сказать, что ОДЗ переменной a в выражении — пустое множество.

Пустое множество изображается в виде вот такого символа Ø.

Пример 6

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменных в выражении

Если есть квадратный корень, то нам нужно следить за тем, чтобы под знаком корня не было отрицательного числа. Это значит, что при подстановке значений a и b должны быть условия, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.

Ответ: ОДЗ переменных a и b — это множество всех пар, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.

Пример 7

Найдем ОДЗ переменной a в выражении

Прежде всего, нам нужно подобрать такое условие, при котором в знаменателе дроби не будет ноля —

Мы знаем, что выражение под знаком корня должно быть положительным. Это дает нам второе условие: a + 1 ≥ 0.

Мы не можем вычислить логарифм отрицательного выражения. Получаем третье условие: a 2 + 2 > 0.

Выражении в основании логарифма не должно быть отрицательным и не должно равняться единице. Получаем условие 4: a + 6 > 0.

Как видите, записывая ОДЗ, мы ставим квадратные и круглые скобки.

Запомните

Например, если х > 6, но х

Зачем учитывать ОДЗ при преобразовании выражения

Иногда выражение просто невозможно решить, если не выполнить ряд тождественных преобразований. К ним относятся: перестановки, раскрытие скобок, группировка, вынесение общего множителя за скобки, приведение подобных слагаемых.

Кроме того, что видов таких преобразований довольно много: нужно понимать, в каких случаях какое преобразование возможно. В этом может помочь определение ОДЗ.

Тождественное преобразование может:

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

Пример 8

Поскольку мы должны следить за тем, чтобы в выражении не возникало деление ноль, определяем условие a ≠ 0.

Это условие отвечает множеству (−∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞).

В выражении есть подобные слагаемые, если привести подобные слагаемые, то мы получаем выражение вида a.

ОДЗ для a — это R — множество всех вещественных чисел.

Преобразование расширило ОДЗ — добавился ноль.

Пример 9

Рассмотрим выражение a 2 + a + 4 * a

ОДЗ a для этого выражения — множество R.

В выражении есть подобные слагаемые, выполним тождественное преобразование.

После приведения подобных слагаемых выражение приняло вид a 2 + 5 * a

ОДЗ переменной a для этого выражения — множество R.

Это значит, что тождественное преобразование никак не повлияло на ОДЗ.

Пример 10

Рассмотрим выражение

Решить такое неравенство можно методом интервалов, что дает нам ОДЗ (−∞; 1] ∪ [4 ; +∞).

Затем выполним преобразование исходного выражения по свойству корней: корень произведения = произведению корней.

Приведем выражение к виду

Решив систему линейных неравенств, получаем множество [4; + ∞).

Отсюда видно, что тождественные преобразования сузили ОДЗ.
От (−∞; 1] ∪ [4 ; +∞) до [4; + ∞).

Решив преобразовать выражение, внимательно следите за тем, чтобы не допустить сужение ОДЗ.

Запомните, что выполняя преобразование, следует выбирать такие, которые не изменят ОДЗ.

Источник

Логарифмы — назначение и свойства, алгоритм решения задач с примерами

Логарифмы — понятие в математике, которое определяется числовой зависимостью. Само определение было дано Дж. Непером в начале XVII века, и впоследствии новое вычислительное средство широко использовалось математиками для упрощения их задач.

Обозначение и вычисление логарифмов

Значение записывается таким образом:

,

где выражение log a b и называют логарифмом от b по основанию a. Это определение, как видно из формулы, подразумевает такое число, которое служит показателем для возведения в степень основания a, и в результате этого возведения получается b.

Приведенная выше зависимость в математике называется основным логарифмическим тождеством. Вычисление логарифма числа по основанию называется логарифмированием. На практике оно чаще всего использует логарифмы основанию 2 и 10 (двоичные и десятичные), а также log e b (натуральный, обозначается ln), где e — число Эйлера.

Важно! Число Эйлера — константа, равная приблизительно 2,71828.

Часто для упрощения задач умножения, извлечения корней из чисел нужно сначала их прологарифмировать. Например, вместо того, чтобы умножать числа a и b с большим количеством разрядов, что может быть достаточно сложной операцией, вы можете:

Важно! До изобретения вычислительной техники, которая позволяет автоматизировать операции с числами любой величины, подобные вычисления с логарифмированием пользовались большой популярностью. Особенно это касалось областей науки, где производились действия над большими числами — например, в астрономии.

Правила действий над логарифмами и их основные свойства

Логарифмы не перестали приносить пользу и в эпоху компьютеризации. Например, в информатике очень часто используется бинарный (двоичный) log2. По-прежнему для оптимизации сложных математических действий используется сложение, вычитание и сравнение логарифмов чисел.

Во всех этих операциях используются правила и свойства, описанные ниже:

Как видите, можно значительно упростить сложные задачи с помощью этих правил. Именно поэтому французский ученый XIX века Лаплас говорил, что изобретение логарифма облегчило труд астрономов (вынужденных выполнять трудоемкие математические действия над большими величинами).

Чтобы решать такие задачи, связанные с умножением, делением, возведением в степень, стало достаточно лишь произвести сложение, вычитание и умножение логарифмов соответствующих чисел.

Важно! Мы можем даже не подозревать, какое большое значение это имело для математиков, живших до изобретения компьютера и калькулятора. Однако и теперь все описанное не потеряло своей актуальности. Вычислительные мощности компьютеров тоже имеют свои пределы, и при написании программ, занимающихся решением математических задач, тоже нужно использовать наиболее оптимальные алгоритмы.

ОДЗ логарифма и потенцирование

Следует учитывать, что область допустимых значений (ОДЗ) логарифма ограничивается некоторыми условиями. Если под знаком log не просто число, а какое-то выражение, и в качестве основания тоже некоторое выражение, что в общем виде может быть записано так:

,

то таких условий три:

И для нахождения ОДЗ необходимо решить их как систему неравенств.

ОДЗ находят при решении уравнений с использованием потенцирования, а также при анализе логарифмической функции.

Что такое потенцирование

Когда мы видим некую математическую зависимость между логарифмами от разных чисел или выражений, мы можем “убрать” знаки log и перенести эту зависимость непосредственно на данные числа или выражения. Проще говоря, вычислить значение выражения f(x) по loga f(x).

; здесь мы выполнили потенцирование, и теперь можем решать полученное уравнение.

Важно! После нахождения корней уравнения, полученного путем потенцирования логарифма, необходимо свериться с ОДЗ и выяснить, входят в него корни или нет.

Вышеизложенное накладывает определенные ограничения на использование логарифмов. Как видите, они не могут высчитываться от отрицательных чисел, и их основания должны быть положительными и отличными от нуля. При решении уравнений, таких как приведенное в примере выше, приходится проверять вхождение корней в ОДЗ, и это тоже приносит определенные неудобства, хотя они исчерпываются многочисленными преимуществами использования логарифмирования и потенцирования при решении уравнений.

Логарифмическая функция

Легко догадаться, что эта функция задается формулой:

Из предыдущего раздела этой статьи вы уже знаете, что в область определения этой функции не входят отрицательные числа, а число a принято положительным и не равным нулю. В область значений входят все действительные числа.

Зная хоть немного о возведении в степень, вы сможете понять следующее утверждение: логарифмическая функция убывает, если a принадлежит интервалу (0, 1) и возрастает, если оно принадлежит (1, +∞).

Теперь вы можете приблизительно представить себе график описанной здесь функции. Он пересекает ось абсцисс в точке 1, так как log a 1 = 0 при любом положительном a (рис. 1).

Рис. 1. График логарифмической функции при a > 1

Рис.2. График логарифмической функции при 0 Итак, мы рассмотрели тему, важную для многих разделов математики — алгебры, математического анализа, теории вероятностей. Во всех этих областях активно применяются логарифмы и их свойства. Для закрепления прочитанного рекомендуем просмотреть предложенное ниже видео и пройти небольшой тест.

Для большего погружения в тему логарифмов, рекомендуем посмотреть видео:

Источник