что такое общее кратное двух чисел

Наименьшее общее кратное

Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).

Кратное числу « a » — это число, которое само делится на число « a » без остатка.

Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …

Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …

Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество.

Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.

Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.

Как найти НОК

НОК можно найти и записать двумя способами.

Первый способ нахождения НОК

Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

Второй способ нахождения НОК

Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.

Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

24 = 2 · 2 · 2 · 3

НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48

Особые случаи нахождения НОК

На нашем сайте вы также можете с помощью специального калькулятора найти наименьшее общее кратное онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

Источник

Наименьшее общее кратное НОК.

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

— число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

— число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех jбщих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК).

НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.

Наименьшее общее кратное (НОК). Свойства.

— Коммутативность:

— Ассоциативность:

— Связь с наибольшим общим делителем gcd(a,b):

— В частности, если и — взаимно-простые числа, то:

— при

— Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n. Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n).

— Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции.

Так, функция Чебышёва . А также:

— .

Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n).

— , что следует из закона распределения простых чисел.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).

НОК(a, b) можно вычислить несколькими способами:

1. Если известен наибольший общий делитель, можно использовать его связь с НОК:

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

где p₁. p_k — различные простые числа, а d₁. d_k и e₁. e_k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении).

Тогда НОК (a,b) вычисляется по формуле:

Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b, причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:

Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:

— разложить числа на простые множители;

— перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;

— полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.

Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.

Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300. ), которому кратны все заданные числа.

Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.

Правило. Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел нужно:

1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

2) записать степени всех простых множителей:

3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;

4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5) перемножить эти степени.

Выписываем наибольшие степени всех простых делителей и перемножаем их:

Источник

Наименьшее общее кратное НОК.

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

— число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

— число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех jбщих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК).

НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.

Наименьшее общее кратное (НОК). Свойства.

— Коммутативность:

— Ассоциативность:

— Связь с наибольшим общим делителем gcd(a,b):

— В частности, если и — взаимно-простые числа, то:

— при

— Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n. Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n).

— Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции.

Так, функция Чебышёва . А также:

— .

Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n).

— , что следует из закона распределения простых чисел.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).

НОК(a, b) можно вычислить несколькими способами:

1. Если известен наибольший общий делитель, можно использовать его связь с НОК:

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

где p₁. p_k — различные простые числа, а d₁. d_k и e₁. e_k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении).

Тогда НОК (a,b) вычисляется по формуле:

Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b, причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:

Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:

— разложить числа на простые множители;

— перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;

— полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.

Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.

Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300. ), которому кратны все заданные числа.

Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.

Правило. Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел нужно:

1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

2) записать степени всех простых множителей:

3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;

4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5) перемножить эти степени.

Выписываем наибольшие степени всех простых делителей и перемножаем их:

Источник

Наименьшее общее кратное

Общее кратное

Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.

Числу 3 кратны числа: 6, 9, 12, 15 и т. д.

Числу 4 кратны числа: 8, 12, 16, 20 и т. д.

Можно заметить, что одно и тоже число (12) делится нацело сразу на оба числа 3 и 4. Следовательно, число 12 есть общее кратное чисел 3 и 4.

Общее кратное чисел — это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.

Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.

Пример. Найти общее кратное для чисел 2, 3, 4, 6.

Число 144 — общее кратное чисел 2, 3, 4 и 6.

Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.

Пример. Для чисел 12 и 20 кратными будут числа: 60, 120, 180, 240 и т. д. Все они являются общими кратными для чисел 12 и 20.

Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.

Пример. Наименьшим общим кратным чисел 3, 4 и 9 является число 36, никакое другое число меньше 36 не делится одновременно на 3, 4 и 9 без остатка.

Наименьшее общее кратное записывается так:

Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.

Пример. Запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 9:

Как найти НОК

Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.

С помощью разложения на простые множители

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

Наименьшее общее кратное должно делиться на 99, значит, в его состав должны входить все множители числа 99. Далее НОК должно делиться и на 54, т. е. в его состав должны входить множители и этого числа.

Выпишем из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножим эти множители между собой. Получим следующее произведение:

Это и есть наименьшее общее кратное данных чисел. Никакое другое число меньше 594 не делится нацело на 99 и 54.

Ответ: НОК (99, 54) = 594.

Так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 12 и 49.

Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

12 = 2 · 2 · 3 = 2 2 · 3,

Применяя к этому случаю правило, мы придём к заключению, что взаимно простые числа надо просто перемножить:

2 2 · 3 · 7 2 = 12 · 49 = 980.

Ответ: НОК (12, 49) = 980.

Таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 5, 7 и 13.

Решение: так как данные числа являются простыми, то просто перемножим их:

Ответ: НОК (5, 7, 13) = 455.

Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 24, 12 и 4.

Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2 3 · 3,

12 = 2 · 2 · 3 = 2 2 · 3,

Можно заметить, что разложение большего числа содержит все множители остальных чисел, значит большее из этих чисел делится на все остальные числа (в том числе и само на себя) и является наименьшим общим кратным:

Ответ: НОК (24, 12, 4) = 24.

Нахождение НОК через НОД

НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их НОД.

Правило в общем виде:

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

Теперь мы можем вычислить НОК этих чисел по формуле:

НОК (99, 54) = 99 · 54 : НОД (99, 54) = 5346 : 9 = 594.

Ответ: НОК (99, 54) = 594.

Чтобы найти НОК трёх или более чисел используется следующий порядок действий:

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 8, 12 и 9.

Решение: сначала находим наибольший общий делитель любых двух из этих чисел, например, 12 и 8:

Вычисляем их НОК по формуле:

НОК (12, 8) = 12 · 8 : НОД (12, 8) = 96 : 4 = 24.

Теперь найдём НОК числа 24 и оставшегося числа 9. Их НОД:

Вычисляем НОК по формуле:

НОК (24, 9) = 24 · 9 : НОД (24, 9) = 216 : 3 = 72.

Ответ: НОК (8, 12, 9) = 72.

Калькулятор НОК

Источник

Нахождение наименьшего общего кратного: способы, примеры нахождения НОК

Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы рассмотрим способы нахождения НОК для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как найти НОК отрицательного числа.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Мы уже установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем. Теперь научимся определять НОК через НОД. Сначала разберемся, как делать это для положительных чисел.

Решение

Решение

В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b : если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители.

Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:

Решение

Найдем все простые множители чисел, данных в условии:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.

Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:

Решение

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.

Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.

Решение

Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.

Предлагаем вам следующий алгоритм действий:

Решение

Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.

Решение

Источник