что такое объем в математике 5 класс

Объем прямоугольного параллелепипеда

Всего получено оценок: 405.

Всего получено оценок: 405.

В школьном курсе математики за 5 класс, ученики знакомятся с темой прямоугольного параллелепипеда. Это одна из первых фигур курса, имеющих объем. Именно об объеме и формуле его нахождения пойдет речь сегодня.

Определения

Прямоугольным параллелепипедом называется фигура, все грани которого – прямоугольники. Фигура имеет шесть граней. Грани, пресекаясь, образовывают ребра, их 12.

Прямоугольный параллелепипед имеет четыре боковые грани и две грани оснований. В жизни мы часто сталкиваемся с данной фигурой: шкаф, холодильник, коробка – все они имеют форму прямоугольного параллелепипеда.

Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед

Формула объема данной фигуры

Объем куба (фигуры, все грани которого квадраты) со стороной 1 единица называется 1 кубическая единица.

Рис. 2. Единичный куб

Если заложить такими кубиками дно фигуры (рис. 3), то в длину понадобится 4 куба, а в ширину 3.

Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед, который заполнен шаром кубов

Таким образом, для заполнения основания необходимо:

3 х 4 =12 – так мы вычисляли площадь.

Чтобы заполнить всю фигуру и узнать объем, необходимо посчитать, сколько поместится в высоту таких слоев кубов, к примеру, если это будет 2, то объем составит:

3 х 4 х 2 = 24 кубов

Так, если учесть что длина основания фигуры 4 единицы, ширина – 3, высота – 2, то для того чтобы вычесть объем прямоугольного параллелепипеда необходимо найти произведение этих величин или измерений. Фигура, которая имеет три измерения, называется трехмерной либо объемной.

Для обозначения объема используют букву V.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда имеет вид:

При необходимости все данные в задании необходимо перевести в одни единицы измерения.

Английский иллюзионист провел 44 дня в стеклянном прямоугольном параллелепипеде, который был подвешен над рекой Темза. В его распоряжении была только вода, подушка, матрас и письменные принадлежности.

Задание: Вычислить объем фигуры, ширина которой 4 дм, длина 50 мм, а высота 10 см.

Решение: Для начала необходимо перевести все данные в одни единицы измерения.

$V = 40 • 5 • 10 = 200 см^3$

Для измерения объема жидкости используют особую единицу измерения – литр (1 л).

Древние измерения жидкости, например кор = 220 л, бат = 22 л.

Измерения объема:

$$1 л = 1 000 см^3 = 1 дм^3$$

$$1 км^3 = 1000 000 000 м^3$$

$$1 м^3 = 1 000 дм^3 = 1 000 000 см^3$$

Что мы узнали?

Мы узнали, что для того, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда необходимо умножить произведение длины и ширины основания на высоту фигуры. А также мы познакомились с единицами измерения объема.

Источник

Объем параллелепипеда

Понятие объема

Чтобы без труда вычислить объём любой фигуры, нужно разобраться с определениями.

Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.

Другими словами, это то, сколько места занимает предмет.

Объём измеряется в единицах измерения размера пространства, занимаемого телом, то есть в кубических метрах, кубических сантиметрах, кубических миллиметрах.

За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (см 3 ), кубический миллиметр (1 мм 3 ), кубический метр (1 м 3 ).

Объём всегда выражается в положительных числах. Это число показывает, какое именно количество единиц измерения есть в теле. Например, сколько воды в бассейне, сока в графине, земли в клумбе.

Два свойства объёма

Любое объемное тело имеет объем. Получается, при желании мы можем вычислить объем кружки, смартфона, вазы, кота — чего угодно.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом.

Прямоугольным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра образуют с основаниями прямые углы.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, найдите произведение его длины, ширины и высоты:

V = a × b × h

Чтобы не запутаться в формулах, запоминайте табличку с условными обозначениями.

Источник

Урок 30 Бесплатно Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда

Все реальные тела занимают некоторое место в пространстве, поэтому часто приходиться сталкиваться с таким понятием как объем.

На этом уроке мы попытаемся выяснить, что такое объем.

Определим его основные свойства.

Узнаем, в каких единицах измерения объем выражается.

Выясним, как взаимосвязаны между собой единицы объема.

Научимся находить объем прямоугольного параллелепипеда и применим эти знания при решении задач.

Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда

Итак, любое тело в пространстве характеризуется объемом.

Давайте разберемся, что же такое объем.

Объем слово многозначное.

Выделяют два основных значения слова «объем».

1. Объемом называют величину, которая характеризует содержание чего-либо или количество содержащегося.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Приведем несколько примеров:

Объем книги- это количество листов. Он измеряется условными единицами- листами (печатными, авторскими, учетно-издательскими).

Объем книги характеризуется количеством текста и иллюстраций.

Объем производства- результат деятельности предприятия по производству продукции или предоставлению услуг.

Объем производства может выражается в натуральных, трудовых или стоимостных единицах.

Объем работ- это количество различных действий и операций и частота их выполнения.

Часто объем выполненных работ приходится определять при строительстве, ремонте и других работах, что позволяет заказчику отслеживать и контролировать выполнение каждого этапа этих работ.

Объем крови- количество крови в теле человека.

Зависит от возраста, половой принадлежности, массы, роста, состояния и массы мышц.

Например, у спортсмена объем крови в организме больше, чем у того, кто ведет малоподвижный образ жизни; у мужчины немного больше, чем у женщин.

Измерение объема крови осуществляется в литрах.

Определять объем крови необходимо при донорстве или перед проведение операции для расчета анестезии.

Объем легких (по-другому, легочная емкость)- это количество воздуха, который проходит через легкие.

Емкость легкого измеряют в литрах.

В медицине часто измеряют объем легких для диагностирования различных легочных заболеваний и в других медицинских исследованиях.

Объем информации (объем данных) определяется количеством символов, заключенных в тексте, и количеством информации, которой обладает каждый символ.

Объем информации выражают в специальных единицах памяти компьютера: битах, байтах и т.д

В математике объем имеет несколько другое значение.

Рассмотрим понятие объема с геометрической точки зрения.

2. Объем- это величина, характеризующая размер тела в пространстве.

Другими словами, объем- это величина, которая показывает сколько места тело занимает в пространстве.

Обычно объем обозначается латинской буквой V (от лат. volume- объем, наполнение).

Объем тела определяется его формой и размером.

Объем, как и любую другую величину, можно измерять.

Известно, чтобы измерить величину некоторой фигуры, необходимо определить сколько раз в ней помещается другая фигура, принятая за единицу измерения.

Квадратная единица представляет собой квадрат, стороны которого выражены линейными единицами.

Аналогично дело обстоит с измерением объема фигуры.

Объем измеряют кубическими единицами.

Кубическая единица представляет собой куб, стороны которого выражены линейными единицами. Другими словами, объем измеряется кубическими единицами длины.

Измерить объем фигуры- это значит найти сколько кубических единиц содержится в данной фигуре.

Определим объем уже известной нам пространственной фигуры- прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед- это объемная геометрическая фигура, многогранник, состоящий из шести граней-прямоугольников, причем противоположные грани его попарно равны.

Объем прямоугольного параллелепипеда- это число, которое показывает, какое количество кубических единиц помещается в этот прямоугольный параллелепипед.

Таким образом, если разбить фигуру на n равных единичных кубиков, то объем будет равен n кубических единиц.

Пусть прямоугольный параллелепипед имеет следующие размеры:

Ширина а = 3 (ед. длины)

Длина b = 6 (ед. длины)

Высота h = 2 (ед. длины)

Высота прямоугольного параллелепипеда- это расстояние между нижним и верхним основанием.

Выложим на нижнее основание прямоугольного параллелепипеда вдоль самой длинной стороны ряд из единичных кубиков (ребро каждого такого кубика равно одной единице длинны).

В такой ряд поместиться 6 единичных кубиков.

Чтобы закрыть все нижнее основание прямоугольного параллелепипеда, необходимо выложить 3 таких ряда по 6 кубиков в каждом.

Количество единичных кубиков, выложенных в основании, будет определяться выражением 6 ∙ 3.

Найдем значение данного выражения:

6 ∙ 3 = 18 (ед. кубиков).

Слой кубиков, из которых выложено дно прямоугольного параллелепипеда, состоит из 18 единичных кубиков.

Сколько таких слоев можно поместить в прямоугольный параллелепипед зависит от его высоты.

В нашем случае высота прямоугольного параллелепипеда равна двум единицам длины.

Следовательно, в измеряемом прямоугольном параллелепипеде можно уместить 2 слоя (каждый по 18 единичных кубиков).

Общее количество единичных кубиков будет определяться выражением 2 ∙ 18.

Найдем значение данного выражения:

2 ∙ 18 = 36 (ед. кубиков).

Следовательно, объем всего прямоугольного параллелепипеда равен 36 кубическим единицам.

По сути, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нам пришлось перемножить длины трех его сторон: ширины а = 3 (ед. длины), длины b = 6 (ед. длины), высоты h = 2 (ед. длины).

V =a ∙ b ∙ h = 3 ∙ 6 ∙ 2 = 36 (кубических единиц).

Запишем правило нахождения объема прямоугольного параллелепипеда.

Правило: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений (трех его сторон: ширины а, длины b, высоты h), выраженных в одинаковых единицах измерения.

Запишем правило в виде формулы.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда выглядит так:

Таким образом, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, не обязательно разбивать его на кубические единицы и считать их общее количество, необходимо просто знать длину, ширину и высоту этой фигуры.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Нам известно, что нижняя грань прямоугольного параллелепипеда с ребрами a и b— это его нижнее основание, и оно прямоугольной формы.

Так как основание параллелепипеда- это прямоугольник, то произведение (a ∙ b)- это ничто иное, как площадь основания прямоугольного параллелепипеда.

S_осн = a ∙ b— площадь основания прямоугольного параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

Запишем правило в виде формулы.

Выясним, как выглядит формула объема для куба.

Известно, что куб- это прямоугольный параллелепипед, состоящий из шести одинаковых квадратов, следовательно, все ребра куба равны между собой; значит, ширина, длина и высота имеют одинаковые значения.

Таким образом, вычислить объем куба довольно просто, если знать значение его ребра.

Пусть а— это длина ребра куба.

Тогда для куба справедливо следующее: b = а, h = а.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда V = a ∙ b ∙ h для куба примет вид:

V = a ∙ а ∙ а = а 3

Умножив ширину на длину и на высоту, получим произведение трех равных по значению множителей.

Правило: чтобы вычислить объем куба, нужно перемножить значения трех его ребер или просто возвести ребро куба в третью степень.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Урок математики в 5-м классе по теме «Объемы. Соотношения между единицами объема»

Разделы: Математика

Тип урока: урок обобщения и систематизации.

Цель урока: проверка уровня знаний; закрепление навыков вычисления объёмов прямоугольного параллелепипеда и куба, совершенствование навыков решения задач.

План урока.

1. Организация начала урока 1 мин.

2. Математический диктант 12 мин.

3. Письменные упражнения 18 мин.

4. Самостоятельная работа 10 мин.

5. Подведение итогов 3 мин.

6. Информация о домашнем задании 1 мин.

Ход урока

1. Сообщение темы урока, цели урока.

1) Фигура составлена из пятидесяти трёх кубиков с ребром один сантиметр. Каков объем этой фигуры?

2) Измерения прямоугольного параллелепипеда равны трём, четырём и десяти сантиметрам. Найдите площадь самой маленькой его грани.

3) Сколько проволоки понадобится для изготовления каркаса куба с ребром десять сантиметров?

4) Выразите в кубических сантиметрах: двадцать кубических дециметров.

5) Выразите в кубических сантиметрах: тридцать семь литров.

6) Выразите в литрах: две тысячи кубических сантиметров.

1) Высота комнаты 3 м, ширина 5 м, длина 6 м. Сколько кубических метров воздуха находится в комнате?

2) Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько литров воды надо налить в этот аквариум, чтобы уровень воды в нём был ниже верхнего края аквариума на 10 см?

3) Длина прямоугольного участка земли 650 м, а ширина на 50 м меньше. Найдите площадь участка и выразите её в гектарах.

4) Длина прямоугольного параллелепипеда 45 см, ширина в 3 раза меньше длины, а высота на 2 см больше ширины. Найдите объём параллелепипеда.

5) Ширина прямоугольника 40 см. На сколько уменьшится площадь этого прямоугольника, если его длину уменьшить на 3 см?

4. Самостоятельная работа по вариантам (каждому ученику выдается листок с заданием.)

Вариант 1.

1) Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 20 м, 34 м и 400 дм.

3) Чему равен объём куба, ребро которого 13 см?

Вариант 2.

1) Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 15 дм, 25дм и 5 м.

3) Чему равен объём куба, ребро которого 14 см?

5. Итоги урока.

Когда ученики выполняют самостоятельную работу, учитель проверяет математический диктант. Информирует о результатах и сообщает наиболее часто встречающиеся ошибки.

6. Домашнее задание.

Источник

Что такое объем в математике 5 класс

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

В этом уроке Вы познакомитесь с таким понятием как объем, узнаете о единицах измерения объёма, а также научитесь находить объем прямоугольного параллелепипеда.

Объем – это количественная характеристика пространства, занимаемого телом. Объем тела или фигуры определяется его формой и размерами.

Единицами измерения объема являются:

Кубический сантиметр – это объем куба с ребром 1 см, кубический метр – это объем куба с ребром 1 м, кубический дециметр – это объем куба с ребром 1 дм. Между прочим, кубический дециметр также называют литром. Т.е. 1 литр равен одному кубическому дециметру.

Единицы измерения объема связаны друг с другом.

1 кубический сантиметр = 1000 кубическим миллиметрам,

а 1 кубический дециметр – это 1000 кубических сантиметров или 1 000 000 кубических миллиметров.

Рассмотрим фигуру, состоящую из 5 кубиков с ребром 1 см.

Так как объем каждого кубика составляет 1 кубический сантиметр, значит, объем всей фигуры равен 5 кубическим сантиметрам.

Т.е. можно сделать вывод, что объем всей фигуры равен сумме объемов ее частей.

Давайте выведем правило для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда.

Пусть прямоугольный параллелепипед имеет длину 5 см, ширину 3 см и высоту 2 см.

Разобьём его на два слоя толщиной 1 см каждый.

Т.е. первый слой состоит из 15 кубиков, так как в длину 5 кубиков и в ширину 3 кубика, а 5 умножить на 3, будет 15. Второй слой такой же.

Значит, чтобы найти объем всего параллелепипеда надо 15 умножить на 2.

Т.е. перемножили 5 и 3 – длину и ширину, а затем помножили на 2, т.е. на высоту.

Таким образом, получили правило:

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту.

В формулах для обозначения объёма используется заглавная латинская буква V, являющаяся сокращением от лат. Volume — «объём» или «наполнение».

Формула объема прямоугольного параллелепипеда имеет вид:

V = авс, где V – это объем, а, в, и с – измерения (т.е. длина, ширина, высота).

Давайте решим задачу, например, найти объем прямоугольного параллелепипеда, длина которого равна 10 см, ширина 4 см, высота 3 см.

Решение: чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нужно перемножить длину, ширину и высоту, т.е. 10 умножить на 4 и умножить на 3, получаем 120.

Ответ: объем равен 120 кубическим сантиметрам.

Таким образом, на этом уроке Вы познакомились с таким понятием как объем, узнали о единицах измерения объёма – кубические миллиметры, кубические сантиметры, кубические метры и так далее. А также получили правило для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда: чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту.

Источник

• ← Цианокобаламин что это такое витамин
• что такое белковый стабилизатор в колбасе →