что такое нулевая линия в сопромате

(или ≤R)

где – прогиб в плоскости оси Х от силы Р_х ; – прогиб в плоскости оси У от силы Р_у.

Внецентренное сжатие (растяжение).

Если сжимающая сила не проходит через центр тяжести поперечного сечения стержня, то стержень будет испытывать внецентренное сжатие (растяжение).

	Для расчета стержня приложим в центре тяжести поперечного сечения две силы Р противоположно направленные. Тогда сила Р зачеркнутая дважды вызывает осевое сжатие, а пара сил зачеркнутых однажды создают момент равный Р×е=М(чистый изгиб). Как нам известно при осевом сжатии и при чистом изгибе напряжения во всех сечениях будет одинаковые, поэтому рассмотрим произвольное сечение (сс). Отбросим верхнюю часть и рассмотрим оставшуюся нижнюю.
	Найдем напряжение σ в точке К (X;Y).Эти напряжения складываются из напряжений от осевого сжатия и от напряжений чистого изгиба. При осевом сжатии напряжения будут равны (-Р/A). Что касается чистого изгиба, мы его разложим на два изгиба, действующих по главным осям инерции. От изгибающего момента напряжения будут .От момента имеем напряжение. Суммарное напряжение равно:
(1)

По формуле (1) можно найти напряжение в любой точке поперечного сечения для этого следует координаты X и У подставить с учетом их знака.

;

Формула (1) справедлива также и при растяжении. В этом случае вместо (-) имели бы (+) перед формулой, где :

Найдем положение нулевой линии. Для этого приравняем правую часть формулы (1) к нулю.

; ; значит

— уравнение нулевой линии, которая является прямой линией.

Поэтому для нахождения положения нулевой линии найдем отрезки, отсекаемые ею на осях Х и У. Для чего принимаем у=0 ; х=а_х. подставив в уравнение получим

— отрезок отсекаемый нулевой линией на оси Х.

Примем , получим

— отрезок отсекаемый нулевой линией на оси У.

Нулевая линия делит сечение на две части: на одной стороне, возникают сжимающие напряжения, а на другой растягивающие.

Прочность при внецентренном сжатии (растяжении) проверяется по формулам:

(или ≤Rcж). (или ≤Rр), где ХL и YL — координаты точки L; ХN и УN — координаты точки N.

Как видно положение нулевой линии зависит от координат . Если сила приложена в точке 1 / ; то нулевая линия пройдет по (1 / ;1 / ). Если точку приложения силы перемещать вдоль луча ОА, то нулевая линия будет также перемещаться, оставаясь параллельно самой себе. Таким образом можно найти такую точку 1 для которой нулевая линия коснётся контура сечения будет (1;1). Таким же образом можно на луче ОВ найти точку 2, для которой нулевая линия пройдет по (2;2). В итоге приняв несколько точек 1;2;3;4… и соединив их получим ядро сечения.

Ядро сечения – это область, очерченная вокруг центра тяжести и обладающая теми свойствами, что если приложить внутри этой области силу, то все поперечное сечение стержня будет иметь напряжение одинакового знака.

Для построения ядра сечения следует провести несколько линий касающихся контура сечения, вычислить для этих линий a_х и a_у, а затем найти значения по формулам: ;

Пример1. Найти ядро сечения для прямоугольника.

Проведем линию (1-1): ; ; Линия (2-2): ; ; Аналогично получаем 3 и 4 точки.

Дата добавления: 2016-02-13 ; просмотров: 2167 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Свойства нулевой линии

Свойства нулевой линии

Перечислим свойства нулевой линии без доказательства.

Пусть оси X и Y являются главными центральными осями инерции сечения. Поставим условие, чтобы точка приложения силы(,) движется по прямой 1-2. Уравнение прямой 1-2 в отрезках имеет вид

Если сила приложена в точке 1, то нулевая линия будет перпендикулярна оси Y и удалена от оси Х на

Если сила приложена в точке 2, то нулевая линия будет перпендикулярна оси X и удалена от оси У на .

Вычислим напряжения в точке S при приложения силы в произвольной точке прямой 1-2.

Таким образом, где бы не была приложена сила F на прямой 1-2, напряжение в точке S будет равно нулю. Следовательно, нулевая линия

при движении точки приложения силы F по прямой 1-2 будет поворачиваться около неподвижной точки S. Предположение доказано. Иллюстрация свойств нулевой линии приведена на рисунке 122.

Эта теория взята со страницы подробного решения задач по предмету «Сопротивление материалов»:

Дополнительные страницы которые вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Научная электронная библиотека

Лекция 9. НАПРЯЖЕНИЯ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

Гипотезы при изгибе. Нейтральный слой, радиус кривизны, кривизна, распределение деформаций и нормальных напряжении по высоте поперечного сечения стержня. Касательные напряжения при плоском поперечном изгибе стержней. Расчет балок на прочность при изгибе. Перемещения при изгибе.

Нормальные напряжения при чистом прямом изгибе. Так как нормальные напряжения зависят только от изгибающих моментов, то вывод формулы для вычисления можно производить применительно к чистому изгибу. Отметим, что методами теории упругости можно получить точную зависимость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов, необходимо ввести некоторые допущения.

Таких гипотез при изгибе три:

1) гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) – сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой – сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

2) гипотеза о постоянстве нормальных напряжений – напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

3) гипотеза об отсутствии боковых давлений – соседние продольные волокна не давят друг на друга.

Рис. 28. Гипотеза Бернулли

Статическая задача о плоском изгибе. Изгибающий момент в сечении представляет собой сумму моментов всех элементарных внутренних нормальных сил σ•dA, возникающих на элементарных площадках поперечного сечения балки (рис. 29), относительно нейтральной оси: .

Данное выражение представляет собой статическую сторону задачи о плоском изгибе. Но его нельзя использовать для определения нормальных напряжений, так как неизвестен закон распределения напряжений по сечению.

Рис. 29. Статическая сторона задачи

Геометрическая сторона задачи о плоском изгибе. Выделим двумя поперечными сечениями элемент балки длиной dz. Под нагрузкой нейтральная ось искривляется (радиус кривизны ρ), а сечения поворачиваются относительно своих нейтральных линий на угол dθ. Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом остается неизменной (рис. 30, б):

Рис. 30. Геометрическая сторона задачи:
а – элемент балки; б – искривление нейтральной оси; в – эпюра σ•dA; г – эпюра ε

Определим длину отрезка волокон, отстоящего от нейтрального слоя на расстоянии y

Относительное удлинение в этом случае будет

Зависимость отражает геометрическую сторону задачи о плоском изгибе, из которой видно, что деформации продольных волокон изменяются по высоте сечения по линейному закону.

Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем.

Линия, по которой поперечное сечение балки пересекается с нейтральным слоем балки, называется нейтральной линией сечения.

Физическая сторона задачи о плоском изгибе. Используя закон Гука при осевом растяжении, получаем

Подставив в выражение, отражающее статическую сторону задачи о плоском изгибе, значение σ, получаем

Подставив значение в исходную формулу, получаем

(13)

Данное выражение отражает физическую сторону задачи о плоском изгибе, которое дает возможность рассчитать нормальные напряжения по высоте сечения.

Хотя это выражение получено для случая чистого изгиба, но как показывают теоретические и экспериментальные исследования, оно может быть использовано и для плоского поперечного изгиба.

Нейтральная линия. Положение нейтральной линии определим из условия равенства нулю нормальной силы в сечениях балки при чистом изгибе

Так как M_x ≠ 0 и I_x ≠ 0, то необходимо, чтобы нулю был равен интеграл . Данный интеграл представляет собой статический момент сечения относительно нейтральной оси. Так как статический момент сечения равен нулю только относительно центральной оси, следовательно, нейтральная линия при плоском изгибе совпадает с главной центральной осью инерции сечения.

Касательные напряжения. Касательные напряжения, которые возникают в сечениях балки при плоском поперечном изгибе, определяются по зависимости:

(14)

где Q – поперечная сила в рассматриваемом сечении балки; S_xo – статический момент площади отсеченной части сечения относительно нейтральной оси балки; b – ширина сечения в рассматриваемом слое; Ix –момент инерции сечения относительно нейтральной оси.

Касательные напряжения равны нулю в крайних волокнах сечения и максимальны в волокнах нейтрального слоя.

Расчет балок на прочность при изгибе. Прочность балки будет обеспечена, если будут выполняться условия:

(15)

Максимальные нормальные напряжения при изгибе возникают в сечениях, где действует максимальный изгибающий момент, в точках сечения наиболее удаленных от нейтральной оси

Максимальные касательные напряжения возникают в сечениях балки, где действует максимальная поперечная сила

Касательные напряжения τmax обычно малы по сравнению с σmax и в расчетах, как правило, не учитываются. Проверка по касательным напряжениям производится только для коротких балок.

Перемещения при изгибе. Под расчетом на жесткость понимают оценку упругой податливости балки под действием приложенных нагрузок и подбор таких размеров поперечного сечения, при которых перемещения не будут превышать установленных нормами пределов.

Условие жесткости при изгибе

Перемещение центра тяжести сечения по направлению перпендикулярному к оси балки, называется прогибом. Прогиб обозначается буквой W.

Наибольший прогиб в пролете или на консоли балки, называется стрелой прогиба и обозначается буквой ƒ.

Угол q, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению и есть угол поворота.

Угол поворота считается положительным, при повороте сечения против хода часовой стрелки

Угол поворота сечения равен значению производной от прогиба по координате Z в этом же сечении, то есть:

Уравнение упругой линии балки

(16)

Существуют три метода решения дифференциального уравнения упругой линии балки. Это метод непосредственного интегрирования, метод Клебша и метод начальных параметров.

Метод непосредственного интегрирования. Проинтегрировав уравнение упругой линии балки первый раз, получают выражение для определения углов поворота:

Интегрируя второй раз, находят выражения для определения прогибов:

Значения постоянных интегрирования С и D определяют из начальных условий на опорах балки

Метод Клебша. Для составления уравнений необходимовыполнить следующие основные условия:

Метод начальных параметров

Для углов поворота

(17)

(18)

где θ – угол поворота сечения; w – прогиб; θo – угол поворота в начале координат; w0 – прогиб в начале координат; dі – расстояние от начало координат до i-й опоры балки; ai – расстояние от начало координат до точки приложения сосредоточенного момента Mi; bi – расстояние от начало координат до точки приложения сосредоточенной силы Fi; сi – расстояние от начало координат до начала участка распределенной нагрузки qi; Ri и Мрi – реакция и реактивный момент в опорах балки.

Определение стрелы прогибов для простых случаев

Рис. 31. Примеры нагрузок балок

Вычисление перемещений методом Мора

Если не требуется знание уравнения изогнутой линии бруса, а необходимо определить только линейные или угловые перемещения отдельного сечения, удобнее всего воспользоваться методом Мора.Для балок и плоских рам интеграл Мора имеет вид:

где δ – искомое перемещение (линейное или угловое); М_p, М_i – аналитические выражения изгибающих моментов соответственно от заданной и единичной cилы; EJ_x – жесткость сечения балки в плоскости изгиба. При определении перемещений нужно рассматривать два состояния системы: 1 – действительное состояние, с приложенной внешней нагрузкой; 2 – вспомогательное состояние, в котором балка освобождается от внешней нагрузки, а к сечению, перемещение которого определяется, прикладывается единичная сила, если определяется линейное перемещение, или единичный момент, если определяется угловое перемещение (рис. 32).

Рис. 32. Определение перемещений:
а – действительное состояние; б, в – вспомогательные состояния

Формулу Мора можно получить, например. используя принцип возможных перемещений.

Рис. 33. Схема рамы:
а – под воздействием силы; б – внутренние усилия

Рассмотрим схему (рис. 33а), когда в точке А в направлении искомого перемещения ΔA приложена единичная сила , вызывающая в поперечном сечении системы внутренние силовые факторы (рис. 33, б). В соответствии с принципом возможных перемещений работа этих внутренних силовых факторов на любых возможных перемещениях должна равняться работе единичной силы на возможном перемещении δΔA:

Выбираем возможные перемещения пропорциональными действительным:

И после подстановки получим:

приходим к формуле Мора

(19)

которая служит для определения любых обобщённых перемещений в стержневых системах.

В случае, когда брус работает только на изгиб (Mx ≠ 0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0), выражение (1) принимает вид:

(20)

Правило Верещагина позволяет заменить непосредственное интегрирование в формулах Мора так называемым перемножением эпюр. Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственного интегрирования перемножением соответствующих эпюр называется способом (или правилом) Верещагина, заключающемся в следующем: чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является прямолинейной, нужно площадь одной эпюры умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжести первой (ординаты используются только с прямолинейных эпюр). Эпюры сложного очертания могут быть разбиты на ряд простейших: прямоугольник, треугольник, квадратичную параболу и т.п. (рис. 34).

Рис. 34. Простейшие эпюры

Справедливость правила Верещагина.

Рис. 35. Схема перемножения эпюр:
а – произвольная эпюра; б – прямолинейная

Приведены две эпюры изгибающих моментов, из которых одна Мk имеет произвольное очертание, а другая Мi прямолинейна (рис. 35). Сечение стержня считаем постоянным. В этом случае

Величина Mkdz представляет собой элементарную площадь dω эпюры Мk (заштрихована). Получаем

Но Mi = ztg α, поэтому,

Выражение представляет собой статический момент площади эпюры Мk относительно оси у, проходящей через точку О, равный ωkΖc, где ωk – площадь эпюры моментов; Ζс – расстояние от оси у до центра тяжести эпюры М_k. Из рисунка очевидно:

где Мi – ордината эпюры Mi, расположенная под центром тяжести эпюры Мk (под точкой С).

(21)

Формула (21) представляет правило вычисления интеграла Мора: интеграл равен произведению площади криволинейной эпюры на ординату, взятую с прямолинейной эпюры и расположенную под центром тяжести криволинейной эпюры.

Встречающиеся на практике криволинейные эпюры могут быть разбиты на ряд простейших: прямоугольник, треугольник, симметричную квадратичную параболу и т.п.

При помощи разбивания эпюр на части можно добиться того, что при перемножении все эпюры были бы простой структуры.

Пример вычисления перемещений. Требуется определить прогиб в середине пролета и угол поворота левого опорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 36, а), способом Мора-Верещагина.

Рассмотрим 3 состояния балки: грузовое состояние ( при действии распределенной нагрузки q;) ему соответствует эпюра Mq (рис. 36, б), и два единичных: при действии силы , приложенной в точке С (эпюра , рис. 36, в), и момента , приложенного в точке В (эпюра , рис. 36, г).

Прогиб балки в середине пролета:

Обратим внимание, что перемножение эпюр выполняется для половины балки, а затем из-за симметрии) полученный результат удваивается. При вычислении угла поворота сечения в точке В площадь эпюры Mq умножается на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры (1/2, рис. 9, г), т.к. эпюра изменяется по прямой линии:

Рис. 36. Пример расчета:
а – заданная схема балки; б – грузовая эпюра моментов;
в – единичная эпюра от единичной силы; г – от единичного момента

Источник

• ← чем дополнить букет роз
• кредит с остаточным платежом в чем подвох →