что такое нулевая гипотеза в статистике
Нулевая гипотеза в статистике: пример. Проверка нулевой гипотезы
Статистика — сложная наука об измерении и анализе различных данных. Как и во многих других дисциплинах, в этой отрасли существует понятие гипотезы. Так, гипотеза в статистике — это какое-либо положение, которое нужно принять или отвергнуть. Причём в данной отрасли есть несколько видов таких допущений, схожих между собой по определению, но отличающихся на практике. Нулевая гипотеза — сегодняшний предмет изучения.
От общего к частному: гипотезы в статистике
От основного определения предположений отходит ещё одно, не менее важное, — статистическая гипотеза есть изучение генеральной совокупности важных для науки объектов, относительно коих учёными делаются выводы. Ее можно проверить с помощью выборки (части генеральной совокупности). Приведём несколько примеров статистических гипотез:
1. Успеваемость всего класса, возможно, зависит от уровня образования каждого учащегося.
2. Начальный курс математики в равной степени усваивается как детьми, пришедшими в школу в 6 лет, так и детьми, пришедшими в 7.
Простой гипотезой в статистике называют такое предположение, которое однозначно характеризует определённый параметр величины, взятой учёным.
Сложная состоит из нескольких или бесконечного множества простых. Указывается некоторая область или нет точного ответа.
Полезно понимать несколько определений гипотез в статистике, чтобы не путать их на практике.
Концепция нулевой гипотезы
Нулевая гипотеза — это теория о том, что есть некие две совокупности, которые не различаются между собой. Однако на научном уровне нет понятия «не различаются», но есть «их сходство равно нулю». От этого определения и было образовано понятие. В статистике нулевая гипотеза обозначается как Н0. Причём крайним значением невозможного (маловероятного) считается от 0.01 до 0.05 или менее.
Лучше разобрать, что такое нулевая гипотеза, пример из жизни поможет. Педагог в университете предположил, что различный уровень подготовки учащихся двух групп к зачётной работе вызван незначительными параметрами, случайными причинами, не влияющими на общий уровень образования (разница в подготовке двух групп студентов равна нулю).
Однако встречно стоит привести пример альтернативной гипотезы — допущения, опровергающего утверждение нулевой теории (Н1). Например: директор университета предположил, что различный уровень в подготовке к зачётной работе у учащихся двух групп вызван применением педагогами разных методик обучения (разница в подготовке двух групп существенна и на то есть объяснение).
Теперь сразу видна разница между понятиями «нулевая гипотеза» и «альтернативная гипотеза». Примеры иллюстрируют эти понятия.
Проверка нулевой гипотезы
Создать предположение — это ещё полбеды. Настоящей проблемой для новичков считается проверка нулевой гипотезы. Именно тут многих и ожидают трудности.
Используя метод альтернативной гипотезы, утверждающей нечто обратное нулевой теории, можно сравнить оба варианта и выбрать верный. Так действует статистика.
Пусть нулевая гипотеза Н0, а альтернативная Н1, тогда:
Здесь c — это некое среднее значение генеральной совокупности, которое предстоит найти, а c0 — данное изначально значение, по отношению к которому проверяется гипотеза. Также есть некоторое число Х — среднее значение выборки, по которому определяется c0.
«Доверительный» способ проверки
Существует наиболее действенный способ, с помощью которого нулевая статистическая гипотеза легко проверяется на практике. Он заключается в построении диапазона значений до 95% точности.
Итак, предположим ситуацию. До ремонта конвейер в день выпускал 32.1 кг конечной продукции, а после ремонта, как утверждает предприниматель, коэффициент полезного действия вырос, и конвейер, по недельной проверке, начал выпускать 39.6 кг в среднем.
Нулевая гипотеза будет утверждать, что ремонт никак не повлиял на КПД конвейера. Альтернативная гипотеза скажет, что ремонт коренным образом изменил КПД конвейера, поэтому производительность его повысилась.
По таблице находим n=7, t = 2,447, откуда формула примет следующий вид:
39,6 – 2,447*4,2 ≤ с ≤ 39,6 + 2,447*4,2;
Разновидности отрицания
До этого рассматривался такой вариант построения гипотезы, где Н0 утверждает что-либо, а Н1 это опровергает. Откуда можно было составить подобную систему:
Но существует ещё два родственных способа опровержения. К примеру, нулевая гипотеза утверждает, что средняя оценка успеваемости класса больше 4.54, а альтернативная тогда скажет, что средняя успеваемость того же класса менее 4.54. И выглядеть в виде системы это будет так:
Мир статистических гипотез
В современном мире мы обладаем все большим и большим объемом данных о событиях, происходящих вокруг. Зачастую у нас появляются вопросы, на которые хотелось бы быстро ответить на основе имеющейся информации, для этого как нельзя лучше подходит процесс, связанный с проверкой статистических гипотез. Однако, многие считают, что это занятие подразумевает под собой большое число вычислений и в принципе довольно сложно для понимания. На самом деле, алгоритм проверки гипотез достаточно прост, а для осуществления расчетов с каждым годом появляется все больше и больше готовых инструментальных средств, не требующих от человека глубоких познаний в области. Далее я попытаюсь показать, что мало того, что процесс проверки гипотез может быть полезным, так и осуществляется достаточно быстро и без серьезных усилий.
Статистические гипотезы и области их применения
Проверка статистических гипотез является важнейшим классом задач математической статистики. С помощью данного инструмента можно подтвердить или отвергнуть предположение о свойствах случайной величины путем применения методов статистического анализа для элементов выборки. Если в предыдущем предложении какие-либо термины являются не совсем понятными, ниже можно найти пояснение на простом языке.
Для проверки статистических гипотез зачастую применяются статистические тесты, о которых будет рассказано далее.
Алгоритм проверки статистической гипотезы
В обобщенном виде алгоритм выглядит таким образом:
Формулировка основной (H0) и альтернативной (H1) гипотез
Выбор уровня значимости
Выбор статистического критерия
Определения правила принятия решения
Итоговое принятие решения на основе исходной выборки данных
Данные шаги являются унифицированными и схему можно использовать почти во всех случаях. Далее подробнее рассмотрим пример работы данного алгоритма на конкретных данных.
Пример проверки статистической гипотезы
Итак, как вы, наверное, догадались по вышеприведенным примерам, будем проверять гипотезу о том, что имеется существенное различие между числом созданных европейских AI-стартапов в 2019-м и 2020-м годах. Пример достаточно простой, чтобы было проще разобраться в ходе работы алгоритма.
Проверка гипотезы о законе распределения
Для данных 2019-го года проверим нормальность распределения.
H0: случайная величина распределена нормально
H1: случайная величина не распределена нормально
Пусть уровень значимости alpha = 0.05 (как и в 95-ти процентах статистических тестов). Определение уровня значимости достойно отдельного поста, так что не будем заострять на нем внимание.
Будет использован критерий Шапиро-Уилка.
, 
, 
, 
;
Можно сравнить статистику W с критическим значением Wкрит. Критическое значение чаще всего приведено в готовых таблицах (по строкам/столбцам там отмечен объем выборки и уровень значимости, а на пересечении как раз-таки и лежит Wкрит.). Если W>Wкрит., то не отвергаем H0 и наоборот. Но это не очень удобно, поэтому чаще используется второй способ.
Разнообразие статистических критериев
Как мы увидели на примере, важным шагом в проверке статистической гипотезы является выбор критерия. В примере выше я использовала лишь два статистических критерия, но по факту их гораздо больше, так сказать, на все случаи жизни. Данные критерии важно знать и четко нужно осознавать, когда и какой можно применить. Многие из них направлены на сравнение центров распределений случайных величин, например, сравнение средних, медиан, равенство параметра распределения какому-либо числу и т. д. В основном они делятся на параметрические (знаем закон распределения случайной величины) и непараметрические.
Для вашего удобства внизу (рис. 3) приведена таблица с основными, с моей точки зрения, критериями сравнения центров распределения и их классификацией. Надеюсь, она будет вам полезна, ее можно дополнять и расширять по вашему желанию.
Конспект курса «Основы статистики»
1. Введение
Способы формирования репрезентативной выборки:
Простая случайная выборка (simple random sample)
Стратифицированная выборка (stratified sample)
Групповая выборка (cluster sample)
Типы переменных:
непрерывные (рост в мм)
дискретные (количество публикаций у учёного)
Ранговые (успеваемость студентов)
Гистограмма частот:
Позволяет сделать первое впечатление о форме распределения некоторого количественного признака.
Описательные статистики:
Меры центральной тенденции (узкий диапазон, высокие значения признака):
( 
используется для среднего значения из выборки, а для генеральной совокупности латинская буква 
)
Свойства среднего:
Если к каждому значению выборки прибавить определённое число, то и среднее значение увеличится на это число.
Если к каждому значению выборки прибавить определённое число, то и среднее значение увеличится на это число.
Если для каждого значения выборки, рассчитать такой показатель как его отклонение от среднего арифметического, то сумма этих отклонений будет равняться нулю.
Меры изменчивости (широкий диапазон, вариативность признака):
При добавлении сильно отличающегося значения данные меняются сильно и могут быть некорректные.
Дисперсия генеральной совокупности:
(среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности)
(среднеквадратическое отклонение выборки)
Свойства дисперсии:
Квартили распределения и график box-plot
Нормальное распределение
Отклонения наблюдений от среднего подчиняются определённому вероятностному закону.
Стандартизация
Правило «двух» и «трёх» сигм
Центральная предельная теорема
Есть признак, распределенный КАК УГОДНО* с некоторым средним и некоторым стандартным отклонением. Тогда, если выбирать из этой совокупности выборки объема n, то их средние тоже будут распределены нормально со средним равным среднему признака в ГС и стандартным отклонением 
.
30″ alt=»SE = \frac
Доверительные интервалы для среднего
Доверительный интервал является показателем точности измерений. Это также показатель того, насколько стабильна полученная величина, то есть насколько близкую величину (к первоначальной величине) вы получите при повторении измерений (эксперимента).
Идея статистического вывода
2. Сравнение средних
T-распределение
Если число наблюдений невелико и \sigma неизвестно (почти всегда), используется распределение Стьюдента (t-distribution).
Унимодально и симметрично, но: наблюдения с большей вероятностью попадают за пределы 
от 
«Форма» распределения определяется числом степеней свободы (
).
С увеличением числа 
распределение стремится к нормальному.
t-распределение используется не потому что у нас маленькие выборки, а потому что мы не знаем стандартное отклонение в генеральной совокупности.
Сравнение двух средних; t-критерий Стьюдента
Критерий, который позволяет сравнивать средние значения двух выборок между собой, называется t-критерий Стьюдента.
Условия для корректности использования t-критерия Стьюдента:
Две независимые группы
Формула стандартной ошибки среднего:
Формула числа степеней свободы:
Формула t-критерия Стьюдента:
Переход к p-критерию:
Проверка распределения на нормальность, QQ-Plot
Однофакторный дисперсионный анализ
Часто в исследованиях необходимо сравнить несколько групп между собой. В таком случае применятся однофакторный дисперсионный анализ.
Группы:
Нулевая гипотеза:
Альтернативная гипотеза:
Среднее значение всех наблюдений:
Общая сумма квадратов (Total sum of sqares):
Показатель, который характеризует насколько высока изменчивость данных, без учёта разделения их на группы.
Число степеней свободы:
— Межгрупповая сумма квадратов (Sum of sqares between groups)
— Внутригрупповая сумма квадратов (Sum of sqares within groups)
F-значение (основной статистический показатель дисперсионного анализа):
При делении значения межгрупповой суммы квадратов на число степеней свободы, полученный показатель усредняется.
Поэтому формула F-значения часто записывается:
Множественные сравнения в ANOVA
Проблема множественных сравнений:
Поправка Бонферрони
Самый простой (и консервативный) метод: P-значения умножаются на число выполненных сравнений.
Критерий Тьюки
Критерий Тьюки используется для проверки нулевой гипотезы 
против альтернативной гипотезы 
, где индексы 
и 
обозначают любые две сравниваемые группы.
Указанные сравнения выполняются при помощи критерия Тьюки, который представляет собой модифицированный критерий Стьюдента:
где 
— рассчитываемая в ходе дисперсионного анализа внутригрупповая дисперсия.
Многофакторный ANOVA
При применении двухфакторного дисперсионного анализа исследователь проверяет влияние двух независимых переменных (факторов) на зависимую переменную. Может быть изучен также эффект взаимодействия двух переменных.
Исследуемые группы называют эффектами обработки. Схема двухфакторного дисперсионного анализа имеет несколько нулевых гипотез: одна для каждой независимой переменной и одна для взаимодействия.
Условия применения двухмерного дисперсионного анализа:
Генеральные совокупности, из которых извлечены выборки, должны быть нормально распределены.
Выборки должны быть независимыми.
Дисперсии генеральных совокупностей, из которых извлекались выборки, должны быть равными.
Группы должны иметь одинаковый объем выборки.
АБ тесты и статистика
3. Корреляция и регрессия
Понятие корреляции
Коэффициент корреляции – это статистическая мера, которая вычисляет силу связи между относительными движениями двух переменных.
Принимает значения [-1, 1]
— показатель силы и направления взаимосвязи двух количественных переменных.
Знак коэффициента корреляции показывает направление взаимосвязи.
Коэффициент детерминации
— показывает, в какой степени дисперсия одной переменной обусловлена влиянием другой переменной.
Равен квадрату коэффициента корреляции.
Принимает значения [0, 1]
Условия применения коэффициента корреляции
Для применения коэффициента корреляции Пирсона, необходимо соблюдать следующие условия:
Сравниваемые переменные должны быть получены в интервальной шкале или шкале отношений.
Распределения переменных 
и 
должны быть близки к нормальному.
Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных 
и 
должно быть одинаковым.
Коэффициент корреляции Спирмена
Регрессия с одной независимой переменной
Уравнение прямой:
— (intersept) отвечает за то, где прямая пересекает ось y.
— (slope) отвечает за направление и угол наклона, образованный с осью x.
Метод наименьших квадратов
Формула нахождения остатка:
— остаток
— реальное значение
— значение, которое предсказывает регрессионная прямая
Сумма квадратов всех остатков:
Параметры линейной регрессии:
Гипотеза о значимости взаимосвязи и коэффициент детерминации
Коэффициенты линейной регрессии
Коэффициенты регрессии (β) — это коэффициенты, которые рассчитываются в результате выполнения регрессионного анализа. Вычисляются величины для каждой независимой переменной, которые представляют силу и тип взаимосвязи независимой переменной по отношению к зависимой.
Коэффициент детерминации
— доля дисперсии зависимой переменной (Y), объясняем регрессионной моделью.
— сумма квадратов остатков
— сумма квадратов общая
Условия применения линейной регрессии с одним предиктором
Линейная взаимосвязь 
и 
Нормальное распределение остатков
Регрессионный анализ с несколькими независимыми переменными
Множественная регрессия (Multiple Regression)
Множественная регрессия позволяет исследовать влияние сразу нескольких независимых переменных на одну зависимую.
Требования к данным
линейная зависимость переменных
нормальное распределение остатков
проверка на мультиколлинеарность
нормальное распределение переменных (желательно)