что такое нормализация вектора

Управляющие силы призваны помочь автономным персонажам двигаться в реалистичной манере, с помощью использования простых сил, можно добиться, реалистичного поведения, такого как импровизационная навигация (рыскание) персонажей. В этй статье объясняется теория лежащая в основе идеи управляющих сил, обеспечивающих поведение рыскания, а также его реализацию.

Идеи, лежащие в основе управляющих сил были предложены Craig W. Reynolds; они не используют сложные стратегии, связанные с поиском пути, или глобальными вычислениями, вместо этого используется локальная информация, например, векторы соседних сущностей. Это делает идею управляющих сил простой для понимания и реализации, но все еще способной производить очень сложные модели движения.

Для понимания данной статьи необходимо понимание некоторых математических действий над векторами, я опишу их функциями на javascript в контексте 2-х мерных векторов.

Сложение векторов

Для сложения векторов v1 и v2 необходимо выполнить покомпонентное их сложение. В результате сложения векторов получаем вектор:

Вычитание векторов

Для вычитания векторов v1 и v2 необходимо выполнить покомпонентное их вычитание. В результате вычитания векторов получаем вектор:

Нормализация вектора (приведение к единичному вектору)

Длина вектора

Получается по теореме Пифагора: квадрат гипотинузы равен сумме квадратов катетов В результате получаем скалярное число:

Масштабирование вектора (умножение/деление на скаляр)

При умножении/делении вектора на скаляр изменяется длина вектора, но не его направление. При этом число может называться коэффициентом масштабирования. Умножение вектора на скаляр так же сводится к умножению каждого компонента вектора на скаляр. В результате умножения вектора на скаляр получаем вектор:

при делении вектора на скаляр все то же самое, но применяем соответственно операцию деления. В результате деления вектора на скаляр получаем вектор:

Скалярное произведение 2-х векторов

-Не путать с умножением на скаляр! Скалярное произведение 2-х векторов это сумма произведений компонент векторов поэтому иногда эту операцию называют внутренним произведением (inner product). В результате получаем скалярное число:

Скалярное произведение ортогональных (перпендикулярных) векторов всегда = 0! Этот факт можно удобно использовать: если скалярное произведение двух векторов = 0, то векторы ортогональны пример:

Проекция вектора на вектор

Скалярное умножение вектора на единичный вектор называется проецированием. Проецирование выделяет компонент вектора, направленный параллельно единичному вектору. Вообще проецировать можно и на не единичный вектор, но в процессе проецирования вектор на который производится проецирование один хрен нужно нормализоввывать. В результате получаем скалярное число:

Усечение вектора

Иногда бывает полезно ограничить величину вектора, например задать максимальный порог скорости или ускорения, но вектор при этом должен сохранить свое направление. Функция truncate позволяет это сделать. В результате получаем вектор:

Положение, скорость и движение.

При реализации управляющих сил мы воздействуюем на персонаж посредством математических манипуляций с его векторами (позиция,скорость и т.п.). Так как эти силы будут влиять на скорость персонажа и его положение, то использование векторов для их представления является отличной идеей.

Кстати, позиция персонажа тоже описывается вектором, в этом случае направление вектора игнорируется, важны лишь значения его компонент x и y

Направление вектора скорости будет контролировать то, куда движется персонаж, в то время, как длина вектора скорости (величина или магнитуда) будет контролировать, то как быстро он будет двигаться каждый кадр, т.е. это фактически величина шага персонажа.

Это иллюстрирует поведение «рыскания» в чистом виде, без какого-либо подруливающего поведения. Зеленая линия представляет собой вектор скорости, который вычисляется следующим образом:

Важно заметить, что без управляющего воздействия на движимые силы, персонаж описывает прямые маршруты и мгновенно меняет свое направление, когда цель движется, делая, таким образом резкие переходы. Следует заметить что данное поведение не свойственно реалистичным игровым персонажам.

Кликните мышкой на холсте, чтобы цель начала двигаться:

Расчет сил

Если в организации движения использовать только лишь скорость, тогда персонаж будет следовать по прямой линии, определяемой направлением direction вектора этой скорости. Что бы сделать поведение персонажа более реалистичным добавим дополнительные управляющие силы. В зависимости от этих сил, персонаж будет двигаться в одном или другом направлении.

Для имитации поведения поиска добавление управляющего усилия персонажу в каждом кадре заставит персонаж плавно регулировать свою скорость, избегая резких изменений маршрута. Если цель движется, персонаж будет постепенно менять свой вектор скорости, пытаясь двигаться к новомц положению цели.

Поведения поиска включает в себя две силы: желаемую скорость (desired velocity) и управляющую силу (steering):

Управляющая сила steering это результат вычитания желаемой скорости из текущей скорости. Эта сила также толкает персонажа в сторону цели.

Описанные силы вычисляются следующим образом:

Добавление сил

После того, как просчитан вектор управляющей силы, он должен быть добавлен к вектору скорости персонажа. Добавление вектора управляющей силы к вектору скорости персонажа каждый кадр заставит персонаж плавно отклоняться от прямолинейного маршрута и направиться к цели, описывая дугу seek path (оранжевая кривая на рисунке ниже):

Добавление этих сил и вычисления конечных векторов скорости и положения:

Тут мы ограничиваем управляющую силу, чтобы гарантировать что результирующая скорость не будет превышать разрешенную. Кроме того, управляющая сила, делится на массу персонажа, это даст эффект различных скоростей движения для персонажей масса которых различается.

Кликните мышкой на холсте, чтобы цели начали двигаться:

Каждый раз, когда цель движется, векторы скорости разных персонажей изменяются соответствующим образом. Вектору скорости, однако, требуется некоторое время, чтобы измениться и начать снова указывать на цель. В результате получается плавое реалистичное движение.

Вывод: управляющие силы отлично подходят для создания реалистичных моделей движения. Основная идея заключается в том, чтобы использовать локальную информацию для расчета и примененять дополнительные силы для имитации различных моделей поведения. Даже при том, что расчет прост в реализации, он вполне в состоянии производить очень сложные результаты.

Не сложно заметить, что объект с большей массой более неповоротлив чем с меньшей.

Источник

Класс sf::Vector2

Класс sf::Vector2 имеет небольшой и простой интерфейс. К его элементам x и y можно обращаться напрямую и он не содержит математических функций.

Операции с векторами

Перегруженная версия конструктора позволяет в качестве аргумента принимать другой объект этого класса:

Аналогично для копирования координаты:

Получение третьего вектора при сложение двух других:

Поскольку функции cmath работают с действительными числами, то эти координаты разумно преобразовать из целочисленных в действительные ( float ):

Но, обычно, ввиду неявного приведения типов, большой необходимости в этом нет.

Определение длины вектора (расстояний между объектами)

Нормализация вектора (единичный вектор)

В задаче, решаемой на этом уроке, нормализация используется для определения вектора направления (см. программу sf.5.1 стр. 108).

Преобразования Radians Degree

Поворот спрайта с помощью вектора направления и tan2

Символ c обозначает какая сторона (“горизонта”) будет являться точкой отсчета угла.

Разработка проекта для проверки функций

Раздельная компиляция

Код программы получился довольно громоздкий. Использовать его для продолжения разработки стало неудобным. К тому же разработанные нами функции потребуются для решения различных задач в других проектах. Поэтому мы разобьем его на несколько файлов. Как это сделать см.: §10 Функции. Раздельная компиляция. Наш проект после реорганизации будет содержать следующие файлы (исходный текст спрятан под спойлер):

Источник

Как нормализовать нулевой вектор

Предположим, у вас есть функция «нормализации», которая принимает список чисел (представляющих вектор) в качестве входных данных и возвращает нормализованный вектор. Каким должен быть результат, когда вектор равен всем нулям или сумма его компонентов равна нулю?

10 ответов

Это даже хуже, чем предполагает Юваль.

математически, учитывая вектор x, вы ищете новый вектор x|| / x//

где ||./ / это норма, о которой вы, вероятно, думаете как о евклидовой норме с

||.| / = sqrt (точка (v, v)) = sqrt(sum_i x_i**2)

Это числа с плавающей запятой, поэтому недостаточно просто защитить от деления на ноль, у вас также есть проблема с плавающей запятой, если все x_i малы (они могут underflow и вы теряете величину).

в основном все сводится к тому, что если вам действительно нужно правильно обрабатывать небольшие векторы, вам придется сделать еще немного работы.

Если малые и нулевые векторы не имеют смысла в вашем приложении, вы можете проверить величину вектора и сделать что-то соответствующее.

(обратите внимание, что как только вы начнете иметь дело с плавающей точкой, а не с реальными числами, делайте такие вещи, как квадрат, а затем квадрат укоренение чисел (или их сумм) проблематично как на больших, так и на малых концах представимого диапазона)

итог: правильная численная работа во всех случаях сложнее, чем кажется на первый взгляд.

например, с верхней части моей головы потенциальные проблемы с этой (нормализацией) операцией, выполненной наивным способом

математически говоря, нулевой вектор не может быть нормализован. Это пример того, что мы называем в вычислительной геометрии «вырожденным случаем», и это огромная тема, делающая большую головную боль для разработчиков алгоритмов геометрии. Я могу представить себе следующие подходы к проблеме.

лично я в своем коде использую 3 подхода везде. Одним из его преимуществ является то, что он не позволяет программисту забывать иметь дело с вырожденными случаями.

обратите внимание, что из-за ограниченного диапазона чисел с плавающей запятой, даже если входной вектор не равен нулевому вектору, вы все равно можете получить бесконечное координаты в выходном векторе. Из-за этого я не рассматриваю 1. подход должен быть плохим дизайнерским решением.

Как уже упоминалось несколько раз, вы не можете нормализовать нулевой вектор. Итак, ваши варианты:

Вариант 1 имеет проблему, что возвращаемое значение не будет иметь длину единицы, и поэтому он может молча вводить ошибки в вызывающий код, который предполагает, что результирующий вектор имеет длину единицы.

Вариант 2 имеет аналогичную проблему с вариантом 1, но потому, что NaNs обычно гораздо заметнее, чем нули, это, скорее всего, проявится легче.

Я думаю, что Вариант 3 будет лучшим решением, хотя это делает интерфейс более сложен. Вместо того чтобы сказать

теперь вы должны сказать что-то вроде

почти как 0/0. Следует выбросить исключение или вернуть NaN.

нулевой вектор уже нормализован, при любом определении нормы вектора, с которым я когда-либо сталкивался, так что это один случай.

Что касается вектора с компонентами, сумма которых равна нулю-это зависит от определения нормы, которую вы используете. С простой старой L2-нормой (евклидовым расстоянием между началом координат и вектором) стандартная формула для вычисления нормализованного вектора должна работать нормально, так как она сначала квадратирует отдельные компоненты.

(0,0,0) должно быть (0,0,0) нормализовано плюс предупреждение (или исключение), возможно.
математически это не определено, я думаю.

Ну, вам придется делить на ноль, чего вы не можете сделать, поэтому я думаю, что большинство языков будут иметь какое-то значение NaN.

учитывая вектор v, нормализовать его означает сохранить его направление и сделать его единичной длины, умножив его на хорошо выбранный коэффициент.

Это явно невозможно для нулевого вектора, потому что он действительно не имеет направления или потому, что его длина не может быть изменена путем мутлирования его некоторым фактором (он всегда будет равен нулю).

Я бы предложил, чтобы любая процедура, для которой вы хотели бы использовать свой вектор, и это требует, чтобы этот вектор был нормализовано, не определено для нулевых векторов.

все зависит от того, как вы определяете «нормализовать». Одним из возможных расширений термина является то, что результатом этой операции является любой вектор единичной длины (я в основном использую (1, 0, 0) здесь). Это полезно, например, когда требуется нормализация для возврата направления к границе круга из заданной точки.

Источник

Что такое нормализация вектора

Рис. 1. Свободные векторы, определенные независимо от системы координат

Поскольку местоположение не является характеристикой вектора, два вектора с одинаковой длиной и указывающие в одном и том же направлении считаются равными, даже если они расположены в различных местах. Обратите внимание, что два таких вектора будут параллельны друг другу. Например, на рис. 1 векторы u и v равны.

На рис. 1 видно, что обсуждние векторов может вестись без упоминания системы координат, поскольку всю значимую информацию, — длину и направление, — вектор содержит в себе. Добавление системы координат не добавляет информации в вектор; скорее можно говорить, что вектор, значения которого являются его неотъемлимой частью, просто описан относительно конкретной системы координат. И если мы изменим систему координат, мы только опишем тот же самый вектор относительно другой системы.

Отметив этот важный момент, мы перейдем к изучению того, как векторы описываются в левосторонней трехмерной декартовой системе координат. На рис. 2 показаны левосторонняя и правосторонняя системы координат. Различие между ними — положительное направление оси Z. В левосторонней системе координат положительное направление оси Z погружается в страницу. В правосторонней системе координат положительное направление оси Z направлено от страницы.

Рис. 2. Слева изображена левосторонняя система координат. Обратите внимание, что положительное направление оси Z направлено вглубь страницы. Справа изображена правостороняя система координат. Здесь положительное направление оси Z направлено от страницы

Рис. 3. Векторы в стандартной позиции, определенные в указанной системе координат. Обратите внимание, что векторы u и v полностью совпадают друг с другом потому что они равны

Поскольку мы описываем находящийся в стандартной позиции вектор, указывая его конечную точку, как если бы мы описывали отдельную точку, легко перепутать точку и вектор. Чтобы подчеркнуть различия между этими двумя понятиями, мы вновь приведем определение каждого из них. Точка описывает только местоположение в системе координат, в то время как вектор описывает величину и направление.

Рис. 4. Нулевой вектор и базовые орты трехмерной системы координат

Так же, как и у скалярных величин, у векторов есть собственная арифметика, что видно из наличия описаний математических операций в определении класса D3DXVECTOR3. Возможно, сейчас вы не знаете, что делают эти методы. В следующих подразделах мы рассмотрим эти операции с векторами, другие вспомогательные функции работы с векторами из библиотеки D3DX и некоторые важные особенности обработки векторов.

Равенство векторов

В коде мы можем проверить равны ли два вектора, используя перегруженный оператор равенства:

Аналогичным образом, можно убедиться, что два вектора не равны, используя перегруженный оператор неравенства:

Вычисление модуля вектора

В геометрии модулем вектора называется длина направленного отрезка линии. В алгебре, зная компоненты вектора мы можем вычислить его модуль по следующей формуле:

Вычислите модуль векторов u = (1, 2, 3) и v = (1, 1).

Решение

Для вектора u мы получаем:

Обобщив формулу (1) для двухмерного пространства, для вектора v мы получим:

Работая с библиотекой D3DX, для вычисления модуля вектора мы можем применять следующую функцию:

Нормализация вектора

В результате нормализации получается вектор, направление которого совпадает с исходным, а модуль равен единице (единичный вектор). Чтобы нормализовать произвольный вектор, достаточно разделить каждый компонент вектора на модуль вектора, как показано ниже:

Нормализуйте векторы u = (1, 2, 3) и v = (1, 1).

Решение

В библиотеке D3DX для нормализации векторов применяется следующая функция:

Эта функция возвращает указатель на результат, который может быть передан в качестве параметра другой функции. В большинстве случаев, за исключением явно указанных, математические функции библиотеки D3DX возвращают указатель на результат. Мы не будем явно говорить это для каждой функции.

Сложение векторов

Мы можем сложить два вектора, сложив их соответствующие компоненты; обратите внимание, что размерность складываемых векторов должна быть одинаковой:

Геометрическая интерпретация сложения векторов показана на рис. 5.

В коде для сложения двух векторов мы будем применять перегруженый оператор сложения:

Вычитание векторов

Аналогично сложению, вычитание векторов осуществляется путем вычитания их отдельных компонент. Опять же оба вектора должны иметь одинаковую размерность.

Геометрическая интерпретация вычитания векторов показана на рис. 6.

Рис. 6. Вычитание векторов

В коде для вычитания двух векторов мы будем применять перегруженый оператор вычитания:

Умножение вектора на скаляр

Как видно из названия раздела, мы можем умножать вектор на скаляр, в результате чего происходит масштабирование вектора. Если масштабный множитель положителен, направление вектора не меняется. Если же множитель отрицателен, то направление вектора изменяется на противоположное (инвертируется).

Класс D3DXVECTOR3 предоставляет оператор умножения вектора на скаляр:

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов — это первая из двух определенных в векторной алгебре операций умножения. Вычисляется такое произведение следующим образом:

Вот некоторые полезные свойства скалярного произведения:

Для вычисления скалярного произведения двух векторов в библиотеке D3DX предназначена следующая функция:

Векторное произведение

Вычисляется векторное произведение по следующей формуле:

В компонентной форме вычисление выглядит так:

Рис. 7. Векторное произведение. Вектор p = u × v перпендикулярен как вектору u, так и вектору v

Решение

Для вычисления векторного произведения двух векторов в библиотеке D3DX предназначена следующая функция:

1 Теорема косинусов определяет зависимость между сторонами и углами треугольника. Она утверждает, что во всяком треугольнике квадрат длины стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла между ними. Если угол прямой, то теорема косинусов переходит в теорему Пифагора, т.к. косинус прямого угла равен 0.

Источник

Научная электронная библиотека

Бельков В. Н., Ланшаков В. Л.,

2.8.2. Общий случай задачи ГП

Для вывода расчетной формулы воспользуемся основным тождеством:

.

Оно выполняется, так как по определению:

.

Следовательно, .

Рассмотрим k-е ограничение, содержащее, например, два позинома, записанных в общем виде: . Из соотношения пропорциональности: , можно получить: .

Введя обозначения позиномов — для ЦФ и — для ограничений, а также учитывая, что , из основного тождества получим:

,

Следовательно, .

Задача 1. Пусть требуется минимизировать позином:

.

Заметим, что в задаче четыре члена и только три переменных. Двойственная функция этой задачи имеет вид:

.

Условие нормализации представляется уравнением:

а условия ортогональности-системой:

Эти условия образуют систему, состоящую из четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными, и имеют единственное решение ( ):

Значение двойственной функции в точке δ* таково:

Так как δ* является единственной точкой области определения υ(δ), из теоремы двойственности мы заключаем, что минимум функции

Следует обратить внимание на то, что условный минимум функции f(x) был определен до нахождения минимизирующего вектора ( ). Исходя из смысла двойственной переменной, как весового коэффициента позинома, можно записать для ЦФ:

и ,

а для ограничений: и .

Чтобы определить значения , прологарифмируем обе части соотношений представленных выше соотношений. Мы получим, что , удовлетворяет системе:

которая линейна относительно переменных lnx₁, lnx₂ и lnx₃. Она имеет единственное решение (-ln2, 0, 0), а это означает, что f(x) достигает условного минимума в точке (1/2, 1, 1).

Следовательно, поиск оптимизируемых параметров осуществляется путем решения системы уравнений, составленной из позиномов, число которых превышает количества неизвестных, однако любая комбинация уравнений дает одинаковый результат. Зачастую, для получения аналитических формул есть возможность преобразования расчетной системы уравнений без вычисления двойственной функции.

С целью записи общего выражения для вектора δ, лежащего на гиперплоскости нормализации, вводится понятие вектора невязки. Вектор невязки δ ( s ) определяется как вектор, удовлетворяющий условию нормализации вида:

.

.

Рис. 2.3. Графическая иллюстрация вектора нормализации и невязки.

Здесь d на единицу меньше размерности двойственного подпространства, а именно d=n-(m+1). Ранее величина d была названа степенью трудности задачи. Коэффициенты r_s, общее число которых равно d, называются базисными переменными. Понятия векторов нормализации и невязки могут быть проиллюстрированы в двумерном случае. На рис. 2.3 гиперплоскость нормализации представляет собой прямую.

Любой вектор, идущий от начала координат с концом, лежащим на этой прямой, может быть выбран в качестве вектора нормализации. Любой вектор, лежащий на прямой нормализации, может быть выбран в качестве вектора невязки.Для демонстрации использования векторов нормализации и невязки рассмотрим задачу минимизации выражения:

при условии .

Ниже для рассматриваемой задачи приведена матрица для пространства показателей и ее двойственное пространство:

.

Последние два вектора двойственного пространства получены методом Бранда. Оба они удовлетворяют условию нормализации, поэтому любой из них может быть выбран в качестве вектора нормализации. Двойственный вектор невязки может быть получен просто как разность между этими двумя векторами, каждый из которых удовлетворяет представленному выше условию. Тогда формула:

представляет собой наиболее общее выражение для двойственного вектора, удовлетворяющего условию нормализации.

Задача 2. Пусть нужно минимизировать позином:

при

Соответствующая этой задаче двойственная задача состоит в максимизации двойственной функции:

при двойственных ограничениях:

Базисные векторы двойственного пространства получаются при использовании стандартной процедуры линейной алгебры, что является в данном случае методом Бранда. На первом шаге при помощи элементарных операций над столбцами матрицы экспонент она приводится к матрице «диагонального типа»:

(2-8)

Результирующая матрица «диагонального типа» может быть записана в более удобной форме:

, (2-9)

. (2-10)

(2-11) и . (2-12)

, (2-13)

который удовлетворяет как условию ортогональности, так и условию нормализации. Таким образом, b (0) является вектором нормализации для задачи 2.

. (2-14)

Общее решение условий нормализации и ортогональности имеет вид

(2-15)

Важно отметить, что вторым способом нахождения векторов нормализации и невязки является метод подстановки, заключающийся в обозначении одних двойственных переменных через базисные, число которых, как уже отмечалось, определяется степенью трудности решаемой задачи, и выражении других переменных из представленных выше условий. В данном случае при получается аналогичный результат. Из полученных уравнений ясно, что δ удовлетворяет условиям неотрицательности только при таких значениях r:

. (2-16)

Подставляя в соотношения (14) значения r, равные, например, 1/4, 3/10 и 7/20, и вычисляя соответствующие значения двойственной функции, можно получить:

(2-17)

(2-18)

Из соотношения двойственности можно записать:

Следовательно, можно считать, что условный минимум ЦФ равен 100 с погрешностью, не превышающей 4%.

Источник

• ← что такое позиционирование бренда в маркетинге
• креатин что это за болезнь →