что такое наглядная геометрия

Наглядная геометрия

Предисловие главного редактора Портала Знаний:

Мы предлагаем вашему вниманию замечательную книгу Гильберта и Кон-Фоссена «Наглядная геометрия».

Самым замечательным в этой книге является то, что сложные рассуждения можно увидеть зрительно и решение сложной задачи получается непосредственно из чертежа или графика. Традиция видения решения идет от древних греков.

Такие геометрические представления очень полезны в современной аналитике.

Мы дополнили книгу несколькими задачами, позволяющими читателю поупражняться в проведении рассуждений.

Надеемся, что чтение избранных глав этой прекрасной книги доставит удовольствие читателям.

Если читатель по-настоящему увлечется геометрией, то можно познакомиться с несколькими главами из книги Евклида, отрывки из которой тоже можно найти на нашем портале.

Предисловие автора

В нашей книге это очень часто проявляется. При большом разнообразии материала было все же необходимо придать каждой отдельной главе известную законченность и в последующих главах не предполагать полного знания предыдущих; путем отдельных маленьких повторений мы надеялись достигнуть того, что каждая отдель­ная глава, а иногда даже отдельные разделы представ­ляют интерес сами по себе и в отдельности доступны пониманию читателя. Пусть читатель прогуливается в ог­ромном саду геометрии, в котором каждый может соста­вить себе такой букет, какой ему нравится.

Основу этой книги составили четырехчасовые лекции «Наглядной геометрии», которые я читал зимой 1920/21 г. в Геттингене и которые обработал В. Роземан. В ос­новном содержание и построение их остались неизмен­ными. В деталях С. Кон-Фоссен многое переработал и частично расширил.

Геттинген, июнь 1932 г.

Глава I

Простейшие кривые и поверхности

Плоские кривые

Простейшая поверхность — плоскость, простейшие кривые — плоские кривые, простейшая среди последних — прямая.

Пря­мую можно определить либо как кратчайший путь между двумя точками, либо как линию пересечения двух плоскостей, либо как ось вращения.

Следующей — в порядке возрастания сложности — кривой является окружность. Уже эта кривая послужила исходной точкой для столь многочисленных и столь глубоких исследований, что они могли бы сами по себе заполнить содержание целого курса.

Мы определяем окружность как кривую, все точки которой отстоят на равном расстоянии от данной точки. Мы получаем окружность общеизвестным по­строением при помощи циркуля или на­тянутой нити.

Самое построение наглядно показывает, что окружность есть замкнутая, на всем протяжении выпуклая кривая; по­этому через каждую точку окружности можно провести определенную прямую — касательную, имеющую с окружностью только одну общую точку, точку касания, а в остальной части лежащую целиком вне окружности (рис. 1).

Радиус МВ, проведенный в точку касания , должен быть кратчайшим расстоянием от центра М круга до касательной ибо все точки последней, за исключе­нием точки касания, лежат вне круга и, следовательно, отстоят от центра дальше, чем точка касании.

Отсюда далее следует, что этот радиус перпендикулярен к касательной. Для доказатель­ства построим зеркальное изображение центра относительно прямой , т. е. опустим перпендикуляр из точки М на прямую и продолжим его на равное расстояние до точки ; тогда на­зывается зеркальным изображением точки . А так как есть кратчайшее расстояние от до , то из соображений симметрии также должно быть кратчайшим расстоянием от до

Следовательно, должно быть кратчайшим расстоянием между и , и, значит, линия не может иметь излома в точке , т. е. действительно является перпендикуляром к

Само собой напрашивается обобщение построения окружности, а именно: при построении окружности с помощью нити мы брали связанную нить, закрепляли ее конец в неподвижной точке, центре круга, и, натягивая нить, вычерчивали кривую.

Если же закрепить связанную нить не в одной, а в двух точках, то мы получим кривую, похожую на окружность, называемую эллипсом.

Точки закрепления нити называются фокусами эллипса.

Построение с помощью нити показывает, что эллипс можно оп­ределить как кривую, точки которой имеют постоянную сумму расстояний от двух данных точек.

Сближая фокусы, мы полу­чим окружность как предельный случай эллипса.

Задача от главного редактора: как вы думаете, если направить луч из центра окружности, куда он отразится, если окружность представляет собой зеркало?

Вы направляете луч из фокуса зеркального эллипса, куда отразится этот луч?

Представляя кривые зеркалами, попробуйте решить такие же задачи с другими кривыми, описанными в книге.

Всем упомя­нутым свойствам окружности соответствуют простые свойства эллипса.

Эллипс также замкнут, всюду выпуклый и имеет в каждой своей точке касательную, которая, за исключением точки касания, целиком лежит вне эллипса.

Радиусам окружности соответствуют в эллипсе две прямые, соединяющие точку эллипса с фокусами. Они называются радиусами-векторами точки эллипса.

Тому факту, что касательная к окружности перпендикулярна‚ радиусу в точке касания, соответствует в случае эллипса то, что касательная образует равные углы с радиусами-векторами, проведенными в точку касания.

Это утверждение означает, что на рис. 2:

Для доказательства (рис. 3) построим зеркальное изображение точки относительно касательной и обозначим его. Прямая , которая пересекается с касательной в некоторой точке, есть кратчайшее расстояние между и .

Следовательно, есть кратчайший путь от к , имеющий общую точку, с касательной, ибо для всякой иной точки касательной будет больше, чем .

С другой стороны, кратчайший путь между и , имеющий общую точку с касательной, образуют радиусы-векторы, проведенные в точку касания , ибо всякая другая точка касательной, как расположенная вне эллипса, имеет большую сумму расстояний от фо­кусов, чем точка эллипса; значит, точки и совпадают, а отсюда и вытекает наше утверждение, ибо и располо­жены симметрично относительно прямой , а есть вертикальный для .

Это свойство касательной к эллипсу находит применение в оптике, чем и объясняется название «фокусы».

Именно, если поместить источник света в одном фокусе, толучи, зеркально отраженные от эллипса, со­берутся в другом фокусе.

Не так легко, как построение эллипса, хотя принципиально столь же просто, по­строение кривой, у которой разность рас­стояний ее точек от двух неподвижных то­чек постоянна.

Соответственно этому гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Вид гиперболы наглядно показывает, что кривая эта всюду выпукла и имеет ка­сательную во всякой точке.

Ниже (с. 17, примечание) будет показано, что и в случае гиперболы касательная к кривой имеет с этой кривой только одну общую точку – именно точку прикос­новения. Так же, как и в случае эллипса, можно показать, что касательная к гиперболе делит пополам угол между радиусами-векторами, проведенными в точку касания (рис. 6, с. 13).

Из эллипса с помощью предельного перехода можно полу­чить новую кривую – параболу (рис. 5). Для этого оставим один фокус, например и ближайшую к нему вершину эллипса неподвижными (вершинами эллипса называются точки пересечения кривой с прямой, соединяющей ее фокусы).

Будем теперь рассматривать эллипсы, получающиеся при перенесении второго фокуса все далее от точки на продолжение прямой ; эти эллипсы стремятся к некоторой предельной кривой, которая и есть парабола.

Из самого предельного перехода можно вывести простое определение параболы.

Именно, при вычерчивании эл­липса с помощью нити мы можем заметить, что если карандаш находится вблизи точки S (рис. 5), то при достаточно большом расстоянии между и отрезок нити, соединяющей карандаш с точкой , почти параллелен линии.

Следовательно, если в некоторой точке прямой восстановить перпендикуляр к , то приближенно будем иметь:

(где — основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую ). Если теперь ввести новую постоянную, равную

( имеет постоянное значение для каждой кривой), то будем иметь:

Это соотношение будет удовлетворяться с тем большей точностью, чем расстояние , а для предельной кривой оно будет вполне точно.

Таким образом парабола есть кривая, для точек которой сумма расстояний от некоторой определенной точки и некоторой определенной прямой постоянна или (что приводит к тому же) такая кривая, точки которой отстоят на рав­ном расстоянии от некоторой постоянной точки и некоторой постоянной прямой.

Мы получим эту последнюю прямую, если про­ведем прямую, параллельную и расположенную по другую сторону от точки на расстоянии, равном : она называется директрисой параболы.

Если вообразить, что парабола представляет собой отражающее зеркало, то она должна отражать все лучи, падающие параллельно , в точку ; это также следует из предельного перехода.

Мы рассмотрели семейство эллипсов, имеющих общую вер­шину и общий ближайший к этой вершине фокус. Теперь рас­смотрим семейство всех эллипсов, имеющих общие фокусы.

В каждой точке (за исключением фо­кусов) касательные к проходящим через эту точку двум кривым — эллипсу и гиперболе — делят пополам угол между радиусами-векторами взятой точки и смежный с ним угол; следовательно, ка­сательные эти взаимно перпендикулярны.

Таким образом софокусные эллипсы и гиперболы образуют два «взаимно ортогональных семейства кривых» (два семейства называются ортогональными, если каждая кривая одного семейства пересекает каждую кри­вую другого семейства под прямым углом; угол пересечения двух кривых определяется как угол между касательными к этим кривым, проведенными в точке пересечения).

Теперь, чтобы получить наглядное представление о нашей системе кривых (рис. 7), начнем с прямой, перпендикулярной к отрезку , проходящей через его середину, и затем рассмотрим семейство гипербол.

Мы видим, что гиперболы становятся все более сжатыми и, наконец, переходят в полупрямые, служа­щие продолжением отрезка вправо и влево.

При этом пло­скость целиком заполняется гиперболами.

Теперь мы переходим к самому отрезку , к которому непосредственно примыкают сперва очень сжатые эллипсы, кото­рые затем постепенно становятся все более округлыми и вместе с тем безгранично растут. Таким образом мы вторично заполняем всю плоскость.

Другой, и притом исключительно простой, пример взаимно ортогональных семейств кривых представляют концентрические окружности и прямые, проходящие через их общий центр. Эту систему можно получить из предыдущей путем предельного перехода, заставляя сближаться оба фокуса.

Наконец, упомянем другое построение с помощью нити, приводящее к ортогональным семействам.

Возьмем конец нити, навернутой на какую-нибудь выпуклую кривую, например на окружность, и станем разматывать нить, все время натягивая ее (рис. 8). Тогда конец нити опишет «эвольвенту» окружности.

Эта кривая описывает один за другим витки вокруг окружности представляя собой, таким образом, спираль. Само построение наглядно показывает, что кривая перпендикулярна к одной из двух касательных к окружности, которые можно провести из какой-либо точки кривой.

Все последующие витки эвольвенты также пересекают эту касательную под прямым углом, причем отрезок касательной между двумя последующими витками эвольвенты имеет постоянную длину и равен как раз длине взятой окружности.

Можно получить бесконечное множество эвольвент той же самой окружности, если при разматывании нити начать с других точек окружности.

Но все эвольвенты могут быть получены так­же из одной эвольвенты путем вращения ее вокруг центра окружности. Семейство эвольвент покрывает всю плоскость за исключением внутренности круга однократно и непрерывно. Оно ортогонально к семейству полупрямых, касательных к окружности, взятых в определенном направлении обхода окружности.

И вообще для любого заданного семейства прямых ортого­нальное семейство состоит из эвольвент.

Образующая их кривая – та, которую (как в нашем примере окружность) огибают прямые заданного семейства.

Мы вернемся еще к этому в дифференциальной геометрии (гл. IV) и кинематике (гл. V).

[1] Отрезок прямой, соединяющий оба фокуса, представляет также эллипс (особенный, выродившийся). Этот эллипс получается, если принять за значение суммы расстояний длину отрезка прямой, соединяющей фокусы.

[2] Прямая, проходящая через оба фокуса, если из неё выбросить отрезок, соединяющий фокусы, есть вырожденная гипербола, точно так же как прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему фокусы, и проходящая через его середину; для этой последней разность расстояний имеет постоянное значение – нуль.

Источник

Наглядная геометрия: ее роль и место, история возникновения.

Геометрический материал на уроках математики

I. Введение

Наглядная геометрия: ее роль и место, история возникновения.

Необходимость и возможность введения в начальный школе пропедевтического (подготовительного) курса геометрии обсуждается педагогической общественностью нашей страны уже более столетия. И хотя на сегодняшний день этот курс не нашел достойного места в отечественной школе, причины, побуждавшие к созданию различных вариантов этого курса (названного или начальным, или пропедевтическим, или наглядным курсами геометрии), достаточно весомые. Рассмотрим на наш взгляд, основные.

1. Традиционным для нашей основной школы систематический курс геометрии (изучающейся с 7-го класса) носит дедуктивный характер.

Как известно, при дедуктивном построении геометрии, доказывая те или иные теоремы, можно опираться только на аксиомы, на ранее доказанные теоремы, на первоначальные (неопределяемые) понятия и на понятия, которым дано определение. Никакие ссылки на очевидные факты, усматриваемые непосредственно из чертежа, не в явной, ни в скрытой форме в научно – дедуктивной системе изложения геометрии недопустимы. Следовательно, очевидные, непосредственно рассматриваемые факты или свойства геометрических фигур должны быть знакомы детям за долго до изучения систематического курса геометрии.

2. Отсутствие должной преемственности курса математики начальной школы с курсом математики средней школы в изучении геометрического материала.

Изучение геометрического материала в современной начальной школе преследует в основном практические цели, сопровождая курс арифметики. Так, рассмотрение свойств фигур, формирование начальных геометрических представлений направлено в основном на приобретение учащимися практических умений и навыков, связанных с решением практических задач на вычисление (длины или площади). Может быть, поэтому отбор геометрического материала во многом диктуется интересами арифметики, а с тоски зрения геометрии имеет случайный характер. Об этом свидетельствует «объяснительная записка» к программе по математике 1999 год, где не делается даже малейшей попытки обосновать содержание геометрического материала, подлежащего рассмотрению в начальной школе. В программе по математике начальных классов геометрический материал представлен мелкими крупицами как незначительное вкрапление в арифметику и не представляет, на наш взгляд, целостного, обоснованного курса. Таким образом, сейчас в начальной школе происходит лишь определенное накопление фактического материала по геометрии, а соответствующего его обобщения не происходит. Более того, в курсе математики начальной школы в основном рассматривают плоскостные фигуры, тогда как даже ребенок – дошкольник имеет большой опыт общения с параллелепипедом, кубом, шаром, пирамидой (кубики, конструктор, мяч и т.д.), а в этом отношении геометрическая пропедевтика в современной школе проигрывает той, которая была в школе прошлого.

3. Наглядность и практичность обучения геометрии являются необходимыми условиями успешного ее изучения.

Геометрия, как и любой другой учебный предмет, не может обходиться без наглядности. Известный русский методист-математик В.К. Беллюстин еще в начале XX века отмечал, что «никакое отвлеченное сознание невозможно, если ему не предшествует обогащение сознания нужными представлениями». Формирование отвлеченного мышления у школьников с первых школьных шагов требует предварительного пополнения их сознания конкретными представлениями. При этом удачное и умелое применение наглядности побуждает детей к познавательной самостоятельности и повышает их интерес к предмету, является важнейшим условием успеха.

В тесной связи с наглядностью обучения находится и его практичность. Именно из жизни черпается конкретный материал для формирования наглядных геометрических представлений. В этом случае обучение становится наглядным, согласованным с жизнью ребенка, отличается практичностью. Так возникла идея преподавания так называемой наглядной геометрии. Сказанное было хорошо известно русским педагогам прошлых лет и успешно применялось на практике.

4. Идея целостного курса наглядной геометрии создает определенную автономию начальной школе, позволяет ее выпускникам переходить к профессиональному обучению.

В связи с намечаемым переходом на всеобщее начальное шестилетнее обучение (который н6ачал осуществляться в России в конце революции 1917 г.) возникла идея создания целостного и достаточно информативного курса наглядной геометрии.

Приведем содержание программы курса наглядной геометрии, которая действовала накануне революции в начальных школах одного из уездов Вологодской губернии. Сделаем несколько предварительных замечаний. Для начальной школы того времени программа по арифметике, по существу, охватывала все вопросы арифметики, которые изучаются в первых шести классах современной школы. Программа по геометрии существенно выходила за рамки геометрической чисти программы по математике первых шести лет обучения в современной школе. Таким образом, предполагаемый к тому времени переход к всеобщему начальному образованию предусматривал существенно более весомое программное обеспечение, чем его имеет даже современная начальная школа.

Начальные геометрические понятия (линии, простейшие геометрические фигуры и тела, симметрия, простейшие планы и т.д.) изучались на первом и втором годах обучения совместно с изучением арифметики. На третьем и четвертом годах обучения геометрия изучалась систематически на отдельных уроках.

Источник