что такое модифицированная дюрация
Модифицированная дюрация – в чем ее суть?
Модифицированная дюрация это числовой показатель, отражающий ту величину, на которую изменится цена облигации при изменении рыночной доходности (и, как следствие, доходности к погашению). Что это означает? Всем известен следующий закон рынка облигаций: если ключевая процентная ставка растет, то цена на облигацию снижается (и наоборот, когда ставка падает, цена облигации вырастает).
Но вот на сколько именно вырастет или упадет стоимость облигации, если ключевая ставка изменится на 1%? Как раз на этот вопрос дает ответ модифицированная дюрация, она показывает точное значение, на которое изменится цена облигации при изменении рыночной процентной ставки.
Модифицированная дюрация напрямую зависит от обычной дюрации (подробно про которую мы говорили в этой статье). На рисунке ниже дана формула, по которой рассчитывается данный показатель (выражается в процентах). Согласно ей, чем выше обычная дюрация, тем выше и модифицированная дюрация. Однако сама формула не несет практической ценности для рядового инвестора, ведь данный показатель рассчитывается автоматически и показывается на любом информационном ресурсе, посвященном облигациям.
Как же тогда используется модифицированная дюрация?
Представим ситуацию, вы купили облигацию по цене 98% с доходностью 12%, нулевым НКД и модифицированной дюрацией 5. После покупки облигации доходность 12% фиксируется, т.е. если продержать данную бумагу до погашения, то вы все равно получите ту доходность, по которой ее покупали, что бы ни происходило на рынке.
Но если вы захотите выйти раньше (т.е. продать облигацию до даты погашения), то делать это придется по рыночной цене, которая будет иметь место в день предполагаемой продажи. А вот рыночная стоимость в день продажи может быть не 98%, а другой, т.к. она меняется исходя из рыночной доходности (под рыночной доходностью подразумевается ключевая процентная ставка).
Почему в формуле стоит знак «примерно равно»? Потому что расчет ведется для облигаций с низкой (т.е. позитивной) выпуклостью. Если выпусклость будет высокой (т.е. негативной), то вышеприведенная формула даст значительную погрешность. Негативная выпуклость означает, что при сильном изменении рыночных процентных ставок стоимость облигаций будет сильнее падать и слабее расти. Отсюда следует, что МД не подходит для облигаций с правом выкупа и с высокими ставками.
Почему данный показатель называется модифицированной дюрацией? Потому что с математической точки зрения вышеприведенное равенство аналогично формуле дюрации, поэтому его принято называть именно так.
Таким образом, модифицированная дюрация способна учесть изменение рыночной процентной ставки. А поскольку изменение рыночной ставки влечет за собой изменение доходности по облигациям, значит, ее колебания повлияют и на дюрацию. В результате, МД покажет, как изменятся параметры облигации (дюрация и цена) при изменении ключевой ставки на 1%.
Дюрация. Что это такое и как использовать?
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЕГО СМЫСЛ
Разные источники предлагают различные толкования дюрации. О становимся на более общем определении. Оно звучит следующим образом.
Дюрация (Макколея)– это оценка средней срочности потока с учетом дисконтирования стоимости отдельных выплат.
Если объяснять по-простому, то дюрация – это сколько времени понадобится для того, чтобы (равными платежами) вернуть сумму номинала облигации.
Денежные потоки по облигации состоят из купонов, амортизации и погашения тела облигации. Дюрация показывает, сколько дней (или лет) понадобится инвестору, чтобы получить на руки номинал облигации, если бы все купоны и выплаты по облигации платились бы равномерно каждый день.
ЧТО ИЗМЕРЯЕТ ДЮРАЦИЯ?
Для непрофессионала метрика может показаться странной: оценка времени, но без оценки доходности. Однако, ее задача гораздо интереснее: соотнести время и деньги, которые вы вложили в облигацию.
Дюрация оценивает риск вложенных денег во времени. Точнее, как все параметры облигации (ставка купона, периодичность выплаты, срок облигации) влияют на ее восприимчивость к вероятным изменениям рыночных условий в будущем.
Инвесторы используют дюрацию для оценки восприимчивости облигации к изменениюе уровня процентных ставок на рынке. Чем больше дюрация ценной бумаги, тем значительнее будут изменения ее рыночной стоимости при изменении процентной ставки, и наоборот.
Почему? Все просто! Получая свои деньги назад от инвестора, вы снижаете вероятность того, что в будущем ваш долг обесценится по сравнению с рынком всех облигаций. Чем быстрее вы получаете деньги назад от заемщика (меньше дюрация), тем меньше у вас рыночного риска. Чем медленнее облигация «возвращает» вам оставшиеся денежные потоки – тем риск больше.
ФАКТОРЫ ИЗМЕНЕНИЯ И МОДИФИЦИРОВАННАЯ ДЮРАЦИЯ
На величину дюрации конкретной облигации может повлиять:
Классическая дюрация (дюрация Макколея) измеряет степень изменения цены облигации, а это не всегда удобно: инвесторы чаще ориентируются на доходность от бумаги – именно она покажет, достаточно ли хороша цена облигации.
Статистика говорит о том, что и доходность также находится в зависимости от рассчитанной дюрации по бумаге. Для того, чтобы оценить изменение доходности от разных дюраций было введено понятие модифицированной дюрации.
Модифицированная дюрация —величина, показывающая, как изменится цена бумаги в процентах при изменении доходности к погашению на 1%.
Для этого классическая дюрация делится на «1 + Текущая Доходность»
Изменение доходности относительно дюрации происходит по такой же логике, что и цены облигации: при меньшей дюрации происходит более сильное изменение доходности. То же справедливо и в обратном порядке.
Способность дюрации влиять на изменение цены и доходности видна, когда происходит резкое снижение уровня ставок на рынке. Для себя можете запомнить простую шпаргалку для цены облигации. Для модифицированной дюрации эта логика также работает.
Повышение ставки на 1%
Понижение ставки на 3% (изменение на 1% умножаем на дюрацию и на три)
Обычно процесс изменения уровня ставок происходит плавно, но когда ЦБ принимает решение об изменение ключевой ставки, то рынок реагирует на это наиболее явно. Давайте рассмотрим пример снижения ставки 14 июня 2019 года и его влияние на доходность облигаций.
Сравнение кривых доходностей ОФЗ до (зеленый) и после (красный) снижения ставки ЦБ 14.06.2019
На графике изображены кривая доходностей ОФЗ до (зеленым) и после (красным) снижения ключевой ставка с 7,75 до 7,50%. Общий тренд на снижение тут прослеживается явно: снижение «главной ставки» в экономике задало одинаковый для всего рынка облигаций тренд.
Но если сопоставить изменение доходностей каждой из бумаг по отдельности, то можно заметить, что доходность бумаг с большей дюрацией изменилась сильнее, чем доходность бумаг с небольшой дюрацией. ОФЗ с самой длинной дюрацией на тот момент 26225 снизилась по доходности примерно на 60 б.п, а самая короткая 26210 – на 13 б.п.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ИНВЕСТИРОВАНИИ
Понимание смысла дюрации позволяет делать практические выводы при сравнении нескольких (или всего объема) облигаций.
Однако оценка бумаг с помощью дюрации имеет свои ограничения. Эффективно сравнение дюрации только работает при высокой и одинаковой ликвидности облигаций. Если объемы торгов непостоянные (например, как в ряде корпоративных бумаг и в секторе ВДО), то общее сопоставление дюраций не работает. Инвесторы таких рынков чаще руководствуются другими соображениями при покупке и продаже бумаг: логику рынка «сбивает» спекулятивная торговля, большие объемы нерыночных сделок. Поэтому картинка типичная картинка дюрации формируется на рынки государственных бумаг, а на рынке корпоративных облигаций и ВДО — более распределенная.
Кривая доходностей по ОФЗ, корпоративным облигациям и сектору ВДО
Дюрация Маколея и Модифицированная дюрация >
Один из ключевых рисков, которому подвержены все долговые ценные бумаги является процентный риск, т.е. движение процентных ставок. (О снижении процентного риска в статье Хеджирование процентного риска облигации). Дюрация отражает величину процентного риска или чувствительность цены облигации к изменению процентных ставок. Рассмотрим две облигации:
1) погашение через 5 лет, купон 5%
2) погашение через 10 лет, купон 10%
Из двух бумаг трудно определить, какая в большей степени подвержена процентному риску. Первая облигация платит меньший купон (что увеличивает процентный риск), в то время как вторая погашается на 5 лет позже (что также увеличивает процентный риск). Поэтому необходим такой показатель, который бы объединил оба фактора: купонную ставку и срок погашения, и позволил сравнить процентные риски облигаций с разными критериями. Таким показателем и является дюрация.
Дюрация Маколея (Maccaulay duration)
В 1938 году Фредерик Маколей изобрел самый первый вид дюрации. Дюрация Маколея – это средневзвешенное время до получения купонов и номинала, где вес определяется как доля текущего значения денежного потока от цены облигации. Таким образом, дюрация Маколея измеряется в годах.
C – купонный платеж в денежном выражении
t – время поступления выплаты (купона или номинала)
P – текущая цена облигации
Пример 1: обыкновенная облигация
Посчитаем дюрацию облигации, которая торгуется по номиналу и имеет три года до погашения. Купон равен 9% годовых и платится в конце каждого года. В связи с тем, что цена облигации равна 100, доходность к погашению составляет 9%.
Что это означает? Несмотря на то, что облигация погашается через 3 года, ее чувствительность к движению процентных ставок меньше, чем у трехгодовой бескупонной облигации из-за купонных выплат. В связи с тем, что облигация платит купоны, которые могут быть переинвестированы, срок инвестирования и процентный риск снижаются. Поэтому, при прочих равных чем выше купон, тем ниже процентный риск, т. е. меньше дюрация.
Расчет дюрации облигации можно представить с помощью точки балансирования на графике. Денежные потоки от облигации (а именно доля текущей стоимости потоков от цены облигации) представляют вес. Дюрация – фактический срок жизни облигации – точка балансирования, измеряемая в годах.
Пример 2: ( бескупонная облигация )
Трехлетняя бескупонная облигация с аналогичной доходностью 9% имеет 3 года. Если ставки вырастут, цена бескупонной облигации упадет сильнее в процентном выражении, чем цена купонной облигации. Это связано, с тем, что инвестор получит только одну выплату по истечении 3-х лет, т. е. у него не будет промежуточных средств (купонов), которые он бы мог переинвестировать под более высокие ставки. В то время как владелец 9% купонной облигации с погашением также через 3 года сможет вкладывать получаемые купоны под более высокие рыночные ставки, что снижает процентный риск (дюрация бумаги сокращается до 2,76 года).
И наоборот, в случае снижения ставок центральным банком цена бескупонной облигации вырастет больше, чем цена купонной из-за реинвестирования: получаемые купоны будут вложены по более низким ставкам.
Упрощенное математическое определение дюрации и конвекции, а также их взаимосвязь описаны в «Математическое описание дюрации и конвекции». Расчет дюрации долговой ценной бумаги в торговых терминалах (в том числе Bloomberg) строится по этим формулам.
Правило: Дюрация Маколея для всех бескупонных облигаций всегда равна сроку до погашения.
Модифицированная дюрация
Модифицированная дюрация является общепринятым показателем процентного риска долговой ценной бумаги, так как она отражает, на сколько изменится цена облигации при изменении процентных ставок на 1%.
n – количество купонных платежей в год
Пример 3. Определим модифицированную дюрацию 9% купонной облигации с датой погашения через 3 года. Бумага торгуется по номиналу и имеет доходность 9% годовых. Купоны платятся в конце года.
Исходя из предыдущих расчетов, дюрация Маколея этой облигации составляет 2,76 года. Поэтому:
Модифицированная дюрация = 2,76/(1 + 0,09) = 2,531%
Это означает, что при росте (падении) доходности облигации на 1% или 100 базисных пунктов, цена облигации снизится (вырастет) на 2,531%. Отметим, если облигация платит купоны два раза в год, то необходимо поделить доходность в знаменателе на 2.
Хеджирование дюрации (процентного риска) является неотъемлемой частью управления облигационным портфелем. Методы хеджирования, потенциальные риски и примеры описаны в «Хеджирование процентного риска облигации».
Цена одного базисного пункта (price value of basis point, PVBP или DV01)
Используя модифицированную дюрацию, можно посчитать прибыль или убыток от владения облигацией, если доходность изменится на 1 базисный пункт. В английском языке такой показатель называется PVBP (price value of basis point) или DV01 (dollar value of one basis point). Подробнее о расчете и практическом использовании DV01 здесь: Измерение процентного риска портфеля с помощью PV01, PVBP и конвекции.
Рост доходности на 1 базисный пункт приведет к убытку, равному 2,5 центам.
От чего зависит дюрация?
1) размер купона: чем выше купон, тем ниже дюрация
2) срок до погашения: чем дальше дата погашения облигации, тем волатильнее цена облигации, т.е. выше дюрация.
Поэтому, самым низким процентным риском обладают краткосрочные облигации с высокими купонными ставками.
Помимо дюрации, которая является производной 1-го порядка, профессиональные инвесторы в крупных фондах и инвестиционных банках принимают во внимание и конвекцию ценной бумаги. Положительная конвекция (выпуклость цены облигации), характерная для стандартных долговых активов без call feature, ускоряет рост цены облигации при падении доходности и замедляет падение цены – при увеличении доходности. (О расчете конвекции и ее практическом применении в торговле можно прочитать в Конвекция или выпуклость облигации).
Что такое дюрация облигаций
Для работы с облигациями необходимо познакомиться с понятием дюрации. Теоретические источники дают слишком сложное объяснение данного термина с использованием сложных формул. В действительности же для понимания механизма дюрации не нужно вникать в непонятные формулировки или производить многоступенчатые расчеты. Самостоятельно определять дюрацию вам, как инвестору, не придется ― для этого существуют многочисленные онлайн-сервисы и брокеры. Однако для успешной работы с облигациями совсем не помешает в общих чертах знать, на что оказывает влияние дюрация и как грамотно использовать это понятие.
Суть и особенности дюрации
Простыми словами данный механизм можно описать следующим образом: чем больше уровень дюрации, тем ценная бумага (с равным периодом до погашения) ближе к моменту погашения. И наоборот, чем величина дюрации меньше, тем она дальше от срока погашения ценной бумаги. Это уменьшает период окупаемости вложенных денег и снижает риск.
Дюрация также помогает понять, насколько чувствительна актуальная цена облигации к колебанию процентной ставки.
Для чего нужна и где применяется
Использование дюрации позволяет установить среднее время окупаемости инвестиций и, как говорилось ранее, определить зависимость ценной бумаги от колебаний ставок % ― это важно учитывать при покупке облигации. Анализируя дюрацию, можно провести оценку и иных финансовых активов, для которых характерны заранее определенные выплаты. К примеру, банковские учреждения рассчитывают дюрацию кредитных продуктов и портфелей.
Методы и формулы расчета
Дюрация купонной облигации чаще всего определяется по формуле Маколея, результатом которой является эффективное время до погашения бумаги. В расчетах каждый платеж принимает свой вес с учетом периода, когда он будет определен дисконтированием ― величина выплаты тем выше, чем раньше он поступает. Искомый результат достигается делением суммированных взвешенных взносов на актуальную рыночную цену.
С ― размер купонного платежа;
Р ― актуальная стоимость ценной бумаги;
t ― дата поступления платежа;
r ― показатель прибыльности к оферте или погашению;
n ― общее число платежей;
N ― номинальная стоимость бумаги в денежном выражении.
Будучи временным периодом, дюрация может определяться в днях.
На основе дюрации Маколея можно определить и иные параметры, связанные с изменчивостью стоимости облигаций.
В практической деятельности также зачастую применяется модифицированная дюрация, показывающая изменение цены бумаги (в процентах) при движении процентных ставок. Чтобы рассчитать дюрацию облигации в данном случае достаточно выполнить всего пару действий:
где: У ― процентная ставка
Пример определения дюрации
Рассмотрим пример вычисления дюрации облигации (ДО) по двум конкретным облигациям.
Допустим, что сравниваются две почти аналогичные ценные бумаги номиналом по 1 тыс. рублей каждая, с одинаковым временем погашения ― 12 мес., прибыльностью в 10% и равнозначной суммой выплат ― 100 рублей ежегодно. Отличается лишь периодичность купонных платежей:
Ниже в таблице схематично представлены все важнейшие характеристики рассматриваемых ценных бумаг:
Номинальная стоимость, рублей
Величина купона, в рублях
Число купонных периодов
Сумма погашения, рублей
Дюрация по облигации N1 рассчитывается по формуле:
ДО1 = (50х182 + 50х182 + 1000х365)/(50+50+1000) = 348 дней
В рассматриваемом примере дюрация составит 348 дней, что меньше года. Осуществляя расчеты, мы взяли годовые показатели по ценной бумаге и пропустили дисконтирование купонных выплат. Это упростило вычисления, но не повлияло на итоговую сумму.
Расчеты по облигации №2 производятся следующим образом:
ДО2 = (25х91 + 25х91 + 25х91 + 25х91 + 1000х365)/(25+25+25+25+1000) = 340 дней.
Показатель дюрации облигации в данном примере ниже, что объясняется более быстрым возвратом суммы купонных выплат ― стоимость облигации также окупится быстрее.
С позиции инвестирования лучше выбирать ценные бумаги с меньшей дюрацией. Им свойственна меньшая рискованность и они дают более активное движение денег, что позволяет рассчитывать на большую прибыль от повторного вложения капитала. Повышенный риск также характерен для бескупонных облигаций, доход по которым выплачивается единовременно и не предполагает промежуточных платежей.
Дюрация как критерий рискованности вложения в облигации
Вычисления по инвестиционным показателям в большинстве случаев осуществляются для временной оценки денег. Вкладывая капитал в ценные бумаги, инвестор всегда рискует. И чем больше временной период инвестирования, тем выше неопределенность и степень риска. В текущий момент условная стоимость «дороже» аналогичной стоимости в будущем, так как последняя подвержена различным рискам, например:
Именно это и определяет механизм дисконтирования движения денег в будущем ― дисконтирование ожидаемого денежного потока пропорционально возможным рискам в соответствующем отрезке времени.
Дюрация показывает время возврата вложенных капиталов с учетом дисконтирования данного денежного потока. За ставку дисконтирования берут учетную ставку ЦБ, которая максимально влияет на ценовые колебания облигации. При большем показателе дюрации облигации увеличивается влияние изменений ставки на дисконтирование выплат и повышается чувствительность ценной бумаги к изменениям рыночных процентных ставок.
Опытные инвесторы всегда учитывают коэффициент дюрации облигаций для расчета процентных рисков (колебаний среднерыночных курсов). Процентная ставка воздействует на облигацию посредством ее цены, если купон по бумаге не является плавающим и не привязан к ставкам RUONIA или учетной. При повышении учетной ставки происходит снижение стоимости облигации и рост доходности до измененного, повышенного показателя учетной ставки. В обратной ситуации, когда наблюдается снижение ставки, стоимость бумаги растет, ее доходность сокращается. Описанный параметр риска называется выпуклостью облигации.
Чем выше дюрация облигации, тем она восприимчивее к колебаниям процентных ставок. Чем выше данная восприимчивость, тем заметнее меняется ценность облигаций в результате колебаний учетной ставки. Ценовое движение облигации находится в прямой зависимости от сдвига учетной ставки по отношению к дюрации данной бумаги. Проще говоря, если ДО составляет 2 года, а процентная ставка увеличилась на 1%, стоимость бумаги уменьшится на 2%. Если подобное случится с облигацией, дюрация по которой составляет 5 лет, то аналогичное повышение процентной ставки снизит стоимость облигации на 5%.
Бессрочные облигации
Оптимальным вариантом вложения средств для инвесторов, стремящихся получать стабильный доход в течение долгого времени, является бессрочная облигация. Это долговая эмиссионная ценная бумага, не предусматривающая погашение номинала, а лишь предоставляющая право на получение купонной прибыли. Однако нередко эмитент в условиях выпуска закладывает пункт, что дюрация бессрочной облигации (ее принудительное погашение) имеет некоторый срок (к примеру, 10 лет).
Будучи весьма прибыльным инструментом инвестирования, бессрочная облигация, тем не менее, не избавлена от традиционных рисков. Так, при банкротстве эмитента она предоставляет те же права, что и обычная облигация, а иногда даже стоит в очереди на погашение позади типичной ценной бумаги.
Дюрация облигаций с офертой
Корректный расчет показателя ДО возможен при точно определенных всех планируемых купонных выплатах. Купоны могут различаться величиной и ставкой, но они должны быть известны в будущем. Однако на практике часто встречаются ценные бумаги, будущие купоны по которым не известны, такие как:
Расчет ДО с плавающим купоном не даст инвестору необходимой аналитической информации. Что касается бумаг с Put-офертой, дюрацию следует высчитывать к моменту оферты и приравнивать ее к моменту погашения. Для этого используется формула эффективной дюрации:
Рассчитывая показатель дюрации облигации, можно увидеть, что он в несколько раз короче периода погашения облигации. Это происходит вследствие вычисления дюрации по времени к оферте. Также необходимо помнить о том, что дюрация не бывает более продолжительной, чем срок до погашения облигации. В максимальном случае ДО равнозначна периоду погашения: если купон выплачивается единожды в конце периода погашения или это ценная бумага бескупонного типа.
Дюрация облигационного портфеля
Рассмотрим, каким образом дюрация воздействует на портфель облигаций и как можно обезопасить инвестированные средства от процентных рисков. Возьмем две различные корзины ценных бумаг с дюрацией до 3-х и 5-ти лет. В качестве примера рассмотрим два специальных индекса Московской биржи, которые высчитываются с учетом критериев ДО. Индекс RUGBITR3Y включает госбумаги с периодом погашения 1-3 года, время совокупной дюрации данного индекса составляет 808 дней (примерно 2,2 года). Указанные индексы совокупной прибыли вычисляются с учетом ценовых колебаний облигаций и полученной по ним купонной прибыли. Они показывают реальную динамику вложенных средств в облигационную корзину.
Суммарная дюрация указанных индексов отличается почти в два раза. Значит, они по-разному отзываются на колебания среднерыночных процентных ставок. Облигационный индекс с меньшей дюрацией обеспечивает большее постоянство цены. При повышении учетной ставки стоимость бумаги с короткой дюрацией понижается с гораздо меньшей быстротой. В свою очередь, для индекса с большей дюрацией характера повышенная волатильность и более заметные снижения при росте процентных ставок.
Рассмотренный выше процесс называют иммунизацией облигационного портфеля. Его смысл кроется в наибольшем снижении/ограничении влияния колебания ставок процента на движение облигационного портфеля в заранее установленный период.
Таким образом, чтобы минимизировать влияние колебаний процентных ставок на портфель облигаций, следует применять бумаги с меньшей дюрацией, и наоборот. Однако значение дюрации не является определяющим критерием при вложении средств в облигации, так как оно показывает узкие процентные риски, но не отражает иные особенности инвестирования. Дюрацию следует учитывать лишь в совокупности с иными критериями выбора ценных бумаг и вкладывать средства в конкретные облигации после их тщательного комплексного анализа.
Подпишитесь на нашу рассылку, и каждое утро в вашем почтовом ящике будет актуальная информация по всем рынкам.