что такое многогранный угол
Многогранный угол
Смотреть что такое «Многогранный угол» в других словарях:
МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ — см. Телесный угол … Большой Энциклопедический словарь
многогранный угол — см. Телесный угол. * * * МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ, см. Телесный угол (см. ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ) … Энциклопедический словарь
МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ — часть пространства, ограниченная одной полостью многогранной конич. поверхности, направляющая к рой плоский многоугольник без самопересечений. Грани этой поверхности наз. гранями М. у., вершина верши н о й М. у. Многогранный угол наз. правильным … Математическая энциклопедия
МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ — см Телесный угол … Естествознание. Энциклопедический словарь
многогранный угол — матем. Часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, проходящими через одну точку (вершину угла) … Словарь многих выражений
МНОГОГРАННЫЙ — МНОГОГРАННЫЙ, многогранная, многогранное (книжн.). 1. Имеющий несколько граней или сторон. Многогранный камень. Многогранный угол (часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, пересекающимися в одной точке; мат.). 2. перен.… … Толковый словарь Ушакова
Угол* — (мат.). Если из точки О на данной плоскости проведем прямые ОА и 0В, то получим угол АОВ (черт. 1). Черт. 1. Точка 0 наз. вершиною угла, а прямые ОА и 0В сторонами угла. Предположим, что даны два угла ΒΟΑ и Β 1 Ο 1 Α 1. Наложим их так, чтобы… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Угол — (мат.). Если из точки О на данной плоскости проведем прямые ОА и 0В, то получим угол АОВ (черт. 1). Черт. 1. Точка 0 наз. вершиною угла, а прямые ОА и 0В сторонами угла. Предположим, что даны два угла ΒΟΑ и Β1Ο1Α1. Наложим их так, чтобы вершины О … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Угол — У этого термина существуют и другие значения, см. Угол (значения). Угол ∠ Размерность ° Единицы измерения СИ Радиан … Википедия
Угол — плоский, геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами У.), выходящими из одной точки (вершины У.). Всякий У., имеющий вершину в центре О некоторой окружности (центральный У.), определяет на окружности дугу AB, ограниченную… … Большая советская энциклопедия
Многогранные углы
Определения. Возьмём несколько углов (черт. 37): ASB, BSC, CSD, которые, примыкая последовательно один к другому, расположены в одной плоскости вокруг общей вершины S.
Многогранный угол называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней, неограниченно продолженной. Таков, например, угол, изображённый на чертеже 38. Наоборот, угол на чертеже 39 нельзя назвать выпуклым, так как он расположен по обе стороны от грани ASB или от грани BSС.
Если все грани многогранного угла пересечём плоскостью, то в сечении образуется многоугольник (abcde). В выпуклом многогранном угле этот многоугольник тоже выпуклый.
Мы будем рассматривать только выпуклые многогранные углы.
Теорема. В трёхгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов.
Пусть в трёхгранном угле SABC (черт. 40) наибольший из плоских углов есть угол ASC.
Отложим на этом угле угол ASD, равный углу ASB, и проведём какую-нибудь прямую АС, пересекающую SD в некоторой точке D. Отложим SB = SD. Соединив В с А и С, получим \(\Delta\)АВС, в котором
AD + DC Следствие. Отнимем от обеих частей последнего неравенства по углу ASB или по углу CSB; получим:
Пересечём грани (черт. 41) выпуклого угла SABCDE какой-нибудь плоскостью; от этого в сечении получим выпуклый n-угольник ABCDE.
Применяя теорему, доказанную ранее, к каждому из трёхгранных углов, вершины которых находятся в точках А, В, С, D и Е, пахолим:
∠ABC х, т. е. х Теоремы. Трёхгранные углы равны, если они имеют:
1) по равному двугранному углу, заключённому между двумя соответственно равными и одинаково расположенными плоскими углами, или
2) по равному плоскому углу, заключённому между двумя соответственно равными и одинаково расположенными двугранными углами.
Вложим угол S1 в угол S так, чтобы у них совпали точки S1 и S, прямые S1A1 и SA и плоскости A1S1B1 и ASB. Тогда ребро S1B1 пойдет по SB (в силу равенства углов A1S1B1 и ASB), плоскость A1S1C1 пойдёт по ASC (по равенству двугранных углов) и ребро S1C1 пойдёт по ребру SC (в силу равенства углов A1S1C1 и ASC). Таким образом, трёхгранные углы совместятся всеми своими рёбрами, т.е. они будут равны.
2) Второй признак, подобно первому, доказывается вложением.
Симметричные многогранные углы
Как известно, вертикальные углы равны, если речь идёт об углах, образованных прямыми или плоскостями. Посмотрим, справедливо ли это утверждение применительно к углам многогранным.
Многогранные углы с соответственно равными плоскими и двугранными углами, но расположенными в обратном порядке вообще не могут совместиться при вложении; значит, они не равны. Такие углы называются симметричными (относительно вершины S). Подробнее о симметрии фигур в пространстве будет сказано ниже.
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок №12. Многогранные углы
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.
Три луча с общим началом в точке O — OA, OB и OC, которые не лежат в одной плоскости образуют трехгранный угол ОАВС.
Свойство трехгранного угла: каждый плоский угол трехгранного угла меньше сумму двух других плоских углов.
Утверждение: для любого выпуклого многогранного угла существует плоскость, пересекающая все его ребра.
Теорема: Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.
Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим три луча с общим началом в точке O — OA, OB и OC, которые не лежат в одной плоскости (рис. 1). Каждая пара лучей образует плоский угол. Три угла АОВ, ВОС, СОА образуют трехгранный угол ОАВС. Каждый из углов АОВ, ВОС, АОС является плоским углом этого трехгранного угла. Каждый плоский угол трехгранного угла меньше сумму двух других плоских углов.
Рассмотрим фигуру, составленную из углов А1ОА2, А2ОА3, и так далее до АпОА1 и их внутренних областей так, что смежные углы не лежат в одной плоскости, а несмежные углы не имеют общих точек (рис. 2). Такая фигура называется многогранным углом. Такой угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из своих плоских углов.
Теорема.
Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов.
Доказательство.
Найдем сумму плоских углов. Каждый плоский угол можно выразить через сумму углов треугольника, который образуется парой ребер и плоскостью, пересекающей все ребра многогранного угла. Далее вынесем из под скобок 180 градусов и перегруппируем в скобках углы так, чтобы в скобках была сумма плоских углов трехгранного угла, образованного тремя соседними лучами.
Сумма плоских углов трехгранного угла больше третьего плоского угла, поэтому каждая сумма углов в скобках не больше, чем соответствующий им третий плоский угол. Поэтому искомая сумма не превышает 360 градусов.
Что и требовалось доказать.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Дан тетраэдр ABCD (рис. 3). В этом тетраэдре углы DAB, DAC и ACB прямые. Ребра AC и CB равны 10 сантиметрам, отрезок DB равен 10
сантиметров. Необходимо найти двугранный угол ABCD.
Решение
По условию прямая DA перпендикулярно прямым AB и AC. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая DA перпендикулярна ABC.
Тогда прямая DA – перпендикуляр к плоскости ABC. Прямая DC – наклонная, а AC – проекция. По условию прямая AC перпендикулярна прямой BC. Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная DC перпендикулярна прямой BC. Это означает, что угол ACD является линейным углом искомого двугранного угла. Из прямоугольного треугольника DCB найдем DC по теореме Пифагора. 
Из прямоугольного треугольника ACD теперь можно выразить косинус угла ACD. 
= 60°.
В трехгранном угле два плоских угла равны 115.8º и 97º. Если величина третьего плоского угла задается целым числом градусов, то ее наибольшее значение равно?
Обозначим величину третьего плоского угла за X. Воспользуемся теоремой о сумме плоских углов многогранного угла: сумма плоских углов многогранного угла меньше 360º. Следовательно, можно записать неравенство:
Лекция по математике на тему «Многогранный угол»
Лекция по теме «Многогранный угол»
Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки – вершины угла и двух лучей, исходящих из этой точки.
Два угла одна сторона, которых общая и две другие являются продолжением одна другой, в планиметрии называются смежными.
Циркуль можно рассматривать как модель плоского угла.
Вспомним понятие двухгранного угла.
Это фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости в геометрии называется двугранным углом. Полуплоскости – это грани двугранного угла. Прямая а – это ребро двугранного угла.
Крыша дома наглядно демонстрирует двухгранный угол.
Но крыша дома на рисунке два выполнена в виде фигуры образованной из шести плоских углов с общей вершиной так, что углы берутся в определенном порядке и каждая пара соседних углов, включая первый и последний, имеет общую сторону. Как называется такая форма крыши?
На экране изображение и текст:
На экране изображение:
На экране изображение
На экране изображение
прямая а –ребро угла
Фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащие одной плоскости.
На экране изображение:
В геометрии фигура, составленная из углов
А углы из которых составлен этот угол называются плоскими углами. Стороны плоских углов называются ребрами многогранного угла. Точка О называется вершиной угла.
Примеры многогранных углов можно найти в тетраэдре и параллелепипеде.
Ну а крыша дома выполнена в форме шестигранного угла. Она состоит из шести плоских углов.
На экране изображение:
На экране изображение:
На экране изображение:
На экране изображение:
На экране изображение:
Для многогранного угла справедлив ряд свойств. Сформулируем их и докажем. Здесь говорится, что утверждение
Во–первых, для любого выпуклого многогранного угла существует плоскость, пересекающая все его рёбра.
По условию он выпуклый. Угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из своих плоских углов.
Рассмотрим полуплоскость α с границей КМ, делящую двугранный угол ОКМА i на два двухгранных угла. Все вершины от А до А n лежат по одну сторону от плоскости α, а точка О по другую сторону. Следовательно, плоскость α пересекает все ребра многогранного угла. Утверждение доказано.
Для любого выпуклого многогранного угла существует плоскость, пересекающая все его рёбра.
На экране изображение:
Угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из своих плоских углов.
На экране обновляется изображение
На экране изображение:
На экране изображение:
Выпуклые многогранные углы обладают ещё одним важным свойством.
Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.
Рассмотрим выпуклый многогранный угол с вершиной в точке О. В силу доказанного утверждения существует плоскость, которая пересекает все его ребра.
Плоскость α от внешней области плоского угла будет отсекать треугольник. Сумма углов которого 180°. Получим, что сумма всех плоских углов от А1ОА2 до А n ОА1
преобразуем, данное выражение перегруппируем слагаемые, получим
В данном выражении суммы указанные в скобках, являются суммами плоских углов трехгранного угла, а как известно они больше третьего плоского угла.
Данное неравенство можно записать для всех трёхгранных углов образующих данный многогранный угол.
Следовательно, получим следующее продолжение равенства
Полученный ответ доказывает, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов.
На экране изображение:
На экране изображение:
На экране изображение:
Выделяются суммы в скобках
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-025666
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Вопрос о QR-кодах для сотрудников школ пока не обсуждается
Время чтения: 2 минуты
На базе колледжей создадут программы профориентации
Время чтения: 2 минуты
На новом «Уроке цифры» школьникам расскажут о разработке игр
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Российские школьники установили рекорд на олимпиаде по астрономии
Время чтения: 2 минуты
Педагогов и учеников предлагают тренировать на случай нападения
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ
Смотреть что такое «МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ» в других словарях:
МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ — см. Телесный угол … Большой Энциклопедический словарь
Многогранный угол — часть пространства, ограниченная одной полостью многогранной конической поверхности, направляющая которой плоский многоугольник без самопересечений. Грани этой поверхности называются гранями М. у., вершину вершиной М. у. М. у. называют… … Большая советская энциклопедия
многогранный угол — см. Телесный угол. * * * МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ, см. Телесный угол (см. ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ) … Энциклопедический словарь
МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ — см Телесный угол … Естествознание. Энциклопедический словарь
многогранный угол — матем. Часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, проходящими через одну точку (вершину угла) … Словарь многих выражений
МНОГОГРАННЫЙ — МНОГОГРАННЫЙ, многогранная, многогранное (книжн.). 1. Имеющий несколько граней или сторон. Многогранный камень. Многогранный угол (часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, пересекающимися в одной точке; мат.). 2. перен.… … Толковый словарь Ушакова
Угол* — (мат.). Если из точки О на данной плоскости проведем прямые ОА и 0В, то получим угол АОВ (черт. 1). Черт. 1. Точка 0 наз. вершиною угла, а прямые ОА и 0В сторонами угла. Предположим, что даны два угла ΒΟΑ и Β 1 Ο 1 Α 1. Наложим их так, чтобы… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Угол — (мат.). Если из точки О на данной плоскости проведем прямые ОА и 0В, то получим угол АОВ (черт. 1). Черт. 1. Точка 0 наз. вершиною угла, а прямые ОА и 0В сторонами угла. Предположим, что даны два угла ΒΟΑ и Β1Ο1Α1. Наложим их так, чтобы вершины О … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Угол — У этого термина существуют и другие значения, см. Угол (значения). Угол ∠ Размерность ° Единицы измерения СИ Радиан … Википедия
Угол — плоский, геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами У.), выходящими из одной точки (вершины У.). Всякий У., имеющий вершину в центре О некоторой окружности (центральный У.), определяет на окружности дугу AB, ограниченную… … Большая советская энциклопедия