что такое метрическое пространство

Метрическое пространство

Содержание

Метрика и метрическое пространство [ править ]

Пусть [math]X[/math] — абстрактное множество.

[math] X \times X = \ < (x_1, x_2): x_i \in X \>[/math] — прямое произведение множества [math]X[/math] на себя

Если на [math]X[/math] определена метрика, то пара [math](X, \rho)[/math] называется метрическим пространством, аббревиатура — МП.

Примеры метрических пространств [ править ]

[math] X = \mathbb^n = \underbrace <\mathbb\times \mathbb \times \dots \times \mathbb>_ ; \overrightarrow = (x_1, \dots, x_n) [/math]

То есть, одно и то же множество можно по-разному превращать в метрическое пространство.

Открытые шары [ править ]

Для метрических пространств основное значение имеют открытые шары.

Пример открытого шара [ править ]

Свойства шаров [ править ]

Замечание: для [math]X = \mathbb[/math] это очевидно (переcечение двух интервалов есть интервал).

Пусть [math] y \in V_(b)[/math]

Открытые множества [ править ]

Свойства открытых множеств [ править ]

Доказательство свойства 3:

Докажем для двух множеств. Тогда, очевидно, это будет верно и для [math]n[/math] множеств. [math] G_1 = \bigcup\limits_<\alpha>V_<\alpha>; G_2 = \bigcup\limits_<\beta>V_ <\beta>[/math] [math] G_1 \cap G_2 = \bigcup\limits_<\alpha, \beta>(V_ <\alpha>\cap V_<\beta>) [/math] По основному свойству шаров: [math] b \in V_\alpha \cap V_\beta \Rightarrow \exists V(b) \subset V_\alpha \cap V_\beta [/math] Следовательно [math] V_ <\alpha>\cap V_ <\beta>[/math] — объединение открытых шаров [math] \Rightarrow G_1 \cap G_2 [/math] — тоже объединение открытых шаров [math] \Rightarrow G_1 \cap G_2 \in \tau[/math] по 2 свойству.

Замкнутые множества [ править ]

Применяя закон де Моргана, видим что класс открытых множеств [math] \tau [/math] двойственен классу замкнутых множеств.

Свойства замкнутых множеств [ править ]

Предел в метрическом пространстве [ править ]

[math] \rho(x’, x») \leq \rho(x’, x_n) + \rho(x», x_n) \Rightarrow \rho(x’, x») = 0 \Rightarrow x’ = x» [/math]

На самом деле, этот факт — свойство МП, состоящее в выполении в нем аксиомы отделимости Хаусдорфа:

Пусть [math] (X, \tau) [/math] — ТП, тогда если [math] \forall a \ne b: \exists G_1, G_2 \in \tau :[/math]

Тогда в таком ТП выполнима аксиома отделимости Хаусдорфа.

Частный случай на МП:

Основное характеристическое свойство замкнутых множеств [ править ]

Докажем от противного.

Источник

Метрические пространства

Некоторые примеры метрических пространств:

Центральную роль в изучении МП играют шары:

На базе этих множеств можно МП превратить в ТП.

Для любого МП [math](X, \rho)[/math] можно ввести метрическую топологию: выделим в [math] X [/math] семейство открытых множеств [math]\tau[/math] множества, являющимися объединениями любого (возможно, несчетного) числа открытых шаров. Покажем, что это семейство удовлетворяет аксиомам ТП:

В данном случае открытые множества были получены объединением открытых шаров — множеств более узкого класса. Это один из общих приемов превращения произвольного пространства в топологическое, открытые шары здесь — база топологии.

[math]\forall a \in A, x_1, x_2 \in X: \rho(x_1, a) \le \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, a)[/math]

[math]\rho(x_1, A) \le \rho(x_1, a), \forall \varepsilon \gt 0\ \exists a_\varepsilon \in A: \rho(x_2, a_\varepsilon) \lt \rho(x_2, A) + \varepsilon[/math]

Замечание: в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.

Метрические пространства удовлетворяют аксиоме нормальности:

(скопировано из первого курса, в Колмогорове на странице 112 есть доказательство поприятнее и поинтуитивнее)

Следствие: так как одноточечные подмножества в МП являются замкнутыми, МП удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две различные точки можно отделить открытыми шарами.

Если в пространстве существует счетное всюду плотное множество, такое пространство называют сепарабельным.

Это следствие объясняет природу несчетности вещественной оси.