что такое мерность пространства в физике
Мерность пространства, физический смысл
Известно, что любое пространство имеет мерность, то есть измерения, таким образом пространство можно условно ограничить и измерить, например в длинну.
Физический смысл самого понятия измерения пространства очень прост: это те направления, в которых можно измерить объект, находящийся в данном пространстве. Любой объект можно измерить в длину, высоту и ширину. Поэтому пространство, в котором объект можно измерить в длину, высоту и ширину считается трехмерным, то есть мерность этого пространства равно трем. Вполне можно представить двухмерное пространство, это любая плоскость в котором объект, например рисунок на листе бумаги, можно измерить только в длину и высоту. Конечно, на плоскости можно изобразить и трехмерный объект, но это будет лишь иллюзия трехмерности, потому что реальной шириной рисунок на плоскости обладать не может.
По аналогии с двухмерным пространством (плоскостью) или трехмерным пространством(объемом), можно сказать, что основным признаком четвертого измерения должно быть совпадение единицы измерения. То есть не может быть, чтобы длинна высота и ширина измерялась в метрах, а четвертое измерение в минутах. Поэтому время в качестве четвертого измерения не может иметь физического смысла. Отсюда единственной измеряемой величиной объекта, кроме длинны, высоты и ширины будет его глубина или масштаб.
В результате мы имеем четыре базовых измерения: Прямая, Плоскость, Объем и Масштаб.
Важно понимать, что измеряемый объект имеет определенные границы, которые могут определяться не только взаимосвязью частиц самого объекта, но и условными границами, иными словами объект может быть не только реальным, но и условным(имеющем условные или воображаемые границы). Таким образом, можно измерить не только, к примеру, отдельное дерево, но такой условно ограниченный объект как парк или лес.
Объект может наблюдаться только если он находиться в одном масштабе с наблюдателем. Нахождение наблюдателя и наблюдаемого объекта в одном масштабе поддерживается физическими силами квантового взаимодействия. Каких либо других взаимодействий, кроме квантового, между масштабами не существует. Если бы наблюдатель и наблюдаемый объект могли свободно перемещаться в масштабе, то все трехмерные объекты вокруг, то появлялись бы, то исчезали. Потому что как было сказано выше, наблюдаться может только объект, находящийся в одном масштабе с наблюдателем. Таким образом излучение может вступать в какое либо взаимодействие только в пределах одного масштаба с излучателем. В итоге наблюдать можно только трехмерный срез(объем) четырехмерных объектов, находящийся в одном масштабе.
Десять измерений
Упрощенное объяснение 10 измерений Теории струн.
Представьте, что вы живете в озере. Вы рыба с глазами по обе стороны головы, и все, что вы знаете, это подводный мир растительности и других рыб, плавающих вокруг вас. Солнечный свет проникает, рассеивается и преломляется через воду. Вы в своей жизни убеждены, что этот подводный мир всё, что есть, потому что это всё, что вы можете видеть и ощуать. Тем не менее, существует совершенно новая среда за пределами вашей видимости — та, где животным не нужна вода, чтобы дышать, а цветы расцветают в гораздо более засушливом мире.
Это физическая ситуация, в которой и мы находимся. Мы такие же рыбы, и эти все измерения более трехмерного,— это новые среды, которые мы не можем воспринимать. На самом деле Теория струн, которая пытается примирить относительность с квантовой механикой (законы очень большого с очень малым), работает только в том случае, если предположить, что существует гораздо больше, чем четыре измерения, к которым мы привыкли. Физики верят, но пока не могут доказать, что в Мультивселенной существует до 11 измерений. Да, Мультивселенная, это где вселенные — пузыри, которые иногда объединяются вместе или расходятся. Это разделение пузырей вселенных — одна из возможностей того, что могло бы вызвать Большой взрыв.
Итак, упрощенное изложение 10 измерений Теории струн.
Первое измерение
Линия, соединяющая две точки. Нет ни глубины, ни высоты, только ширина. Это можно назвать осью X.
Второе измерение
Теперь мы добавили высоту или ось Y. Представьте любую плоскую фигуру, например треугольник.
Третье измерение
Теперь мы добавили глубину или ось Z. Это измерение, в котором мы ощущаем окружающий нас мир. Оно включает в себя объем и способность получать поперечные сечения от объектов. Вы можете думать об этом измерении как о пространстве без времени.
Четвертое измерение
Четвертое измерение не является пространственным, а состоит из времени. Время помогает построить местоположение объекта во Вселенной, а также добавляет способ изменения третьего измерения. Помните, мы назвали третье измерение пространством без времени? Ну, теперь у нас официально появилось космическое время.
«Время относительно, ясно? Оно может растягиваться, и оно может сжиматься, но… оно не может бежать назад. Просто не может. Единственное, что может перемещаться по измерениям, например времени, — это гравитация».
– Кристофер Нолан (Christopher Nolan), режиссер ильма Interstellar
Пятое измерение
С этого момента появляются более высокие измерения. Они незаметны для нас, считают ученые, потому что они существуют на субатомном уровне. Эти размеры скручиваются сами по себе в процессе, известном как компактификация. Размеры здесь на самом деле имеют дело с возможностями.
В пятом измерении будет новый мир, который позволит нам увидеть сходства и различия между нашим миром и этим новым, существующим в том же положении и имеющим то же начало, что и наша планета, т. е. в результате Большого взрыва.
Шестое измерение
Шестое измерение — это целая плоскость новых миров, которая позволит вам увидеть все возможные будущие, настоящие и прошлые события с тем же началом, что и наша Вселенная.
Седьмое измерение
В седьмом измерении вплоть до девятого, у нас теперь появляется возможность новых вселенных с новыми физическими силами природы и различными законами гравитации и света. Седьмое измерение — это начало этого, где мы сталкиваемся с новыми вселенными, которые имеют иное начало, чем наше. То есть они появились не в результате Большого взрыва.
Восьмое измерение
Это измерение — плоскость всех возможных прошлых и будущих времен для каждой Вселенной, простирающаяся бесконечно.
Девятое измерение
Девятое измерение раскрывает все универсальные законы физики и условия каждой отдельной Вселенной.
Десятое или одиннадцатое измерение
Некоторые ученые считают, что мультивселенная имеет только 10 измерений, в то время как другие говорят об 11-ти. Однако Мультивселенная не может иметь более 11 измерений из-за собственной консистенции — они становятся неустойчивыми и сворачиваются обратно в 10 или 11 измерений. На данный момент, всё возможно. Есть всё будущее и всё прошлое, все начала и все концы, бесконечно расширенное, измерение всего, что вы можете себе представить. Всё складывается вместе.
В то время как идея мультивселенной забавна с точки зрения научной фантастики и мечтаний, она также математически обоснована и обеспечит основу для Теории всего, что и является попыткой Теории струн. Это было бы прекрасное сочетание науки, математики и мистики.
Новое в блогах
Размерность пространства
И здесь важно подчеркнуть, что в пространствах старших размерностях (свыше 4-х) работают важные математические «трюки» (приёмы), которые значительно упрощают теорию, а вот топология многообразий размерности 4 и 3 значительно сложнее. В частности, обобщённая гипотеза Пуанкаре (сформулированная им в 1904 году) была доказана сначала в старших размерностях, потом в размерности 4 (в 1982 году Фридманом) и только потом в размерности 3 (в 2002 году российским математиком Григорием Перельманом). То есть мир пространств малых размерностей (в топологии), как и мир малых чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … (в теории чисел), как и реальный мир в планковских масштабах (в теоретической физике) – «прячет» в себе самые сокровенные тайны мироздания, во многом ещё не постигнутые точными науками [ здесь и ниже текст, выделенный лиловым и синим цветом, – важен для понимания того, что мне хотелось бы сказать в данной статье ]. Далее, вплоть до заголовка «Законы мира чисел», приводятся самые общие сведения из теоретической физики (в редакции Википедии), в которые читателю вникать не обязательно, однако даже беглый просмотр этого текста – поможет прочувствовать сложность проблем в части размерности пространств. Причем для нас, пожалуй, наиболее важным будет факт существования в теории струн огромного числа (10^100 – 10^500) ложных вакуумов, где каждому ложному вакууму соответствует своя низкоэнергетическая – наблюдаемая – физика (пояснения идут ниже).И стоит подчеркнуть, что часто цитируют порядок 10^500 (число 10 в степени 500, то есть это 1000…000, где за единицей стоит 500 нулей, это для нас – почти бесконечно много).
Законы теоретической физики
Теодор Калуца впервые предложил ввести в математическую физику 5-ое измерение, послужившее основой для Теории Калуцы-Клейна. Эта теория – одна из теорий гравитации, модель, позволяющая объединить два фундаментальных физических взаимодействия: гравитацию и электромагнетизм – была впервые опубликована в 1921 году математиком Теодором Калуцей, который расширил пространство Минковского до 5-мерного пространства и получил из уравнений общей теории относительности классические уравнения Максвелла.
В теории струн используются трёхмерные (имеющие вещественную размерность 6) многообразия Калаби-Яу, выступающие как слой компактификации пространства-времени, так что каждой точке четырёхмерного пространства-времени соответствует пространство Калаби-Яу. Одна из основных проблем при попытке описать процедуру редукции струнных теорий из размерности 26 или 10 в низкоэнергетическую физику размерности 4 заключается в большом количестве вариантов компактификаций дополнительных измерений на многообразия Калаби- Яу и на орбифолды, которые, вероятно, являются частными предельными случаями пространств Калаби-Яу.
Естественным развитием идеи многомерного пространства является концепция бесконечномерного пространства (Гильбертово пространство). Как известно, уравнения Эйнштейна для гравитации, получаемые варьированием из действия Эйнштейна-Гильберта, не содержат никаких внутренних ограничений на размерность пространства и его сигнатуру, и содержат лишь очень слабые ограничения на топологию. Они лишь связывают локально для некого пространства метрический тензор, который описывает геометрические свойства этого пространства, с тензором энергии-импульса, который описывает содержащиеся в этом пространстве материальные (негравитационные) поля.
Размерность, топология и сигнатура пространства должны быть заданы дополнительно, что позволяет легко обобщить общую теорию относительности (ОТО) на пространства с большим или меньшим числом измерений как собственно пространства, так и времени. Количество пространственных и временных измерений определяется сигнатурой метрического тензора, а точнее, количествами его собственных значений разных знаков, положительных и отрицательных. Например, в евклидовой квантовой гравитации фигурируют лишь 4 пространственных измерения вообще без временного.
Наиболее простой моделью пространства, которая позволяет объединить все 4 вида фундаментальных взаимодействий является 10-мерная (11-мерная в теориях с суперсимметрией) со следующими измерениями:
0-е измерение x^0 = c t — время;
1-е измерение x^1 = x — «длина»;
2-е измерение x^2 = y — «ширина»;
3-е измерение x^3 = z — «высота»;
4-е измерение x^4 — электрический заряд;
5-е измерение x^5 — гиперзаряд;
6-е измерение x^6 — проекция изоспина;
7-е измерение x^7 — цвет 1;
8-е измерение x^8 — цвет 2;
9-е измерение x^9 — цвет 3.
Из-за своей компактности, дополнительные измерения вводятся в уравнения как колебательные степени свободы.
Законы мира чисел
В мире чисел простые числа (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …, которые делятся нацело только на единицу и на самих себя) – это «кирпичики», из которых строятся ВСЕ прочие (составные) натуральные числа (4, 6, 8, 9, 10, …, и этот ряд также бесконечен). Числа «строятся» в том смысле, что любое составное число N можно записать в единственно возможном каноническом виде (это произведение неких простых чисел). Например, составное число N = 1234567890 имеет такой канонический вид: N = 2*3*3*5*3607*3803 и никакой другой набор простых чисел (их произведение) не даст нам числа N = 1234567890 (в этом заключается основная теорема арифметики). В современной теоретической физике в роли подобных «кирпичиков» Мироздания выступают, скажем, 19 независимых параметров (в Стандартной модели) или только разные вибрации квантовых струны (в теории струн), и т.д. (существуют и другие модели с другими «кирпичиками»). Простые числа (Р) – это главные объекты, изучаемые в рамках теории чисел – раздела высшей математики, с которым студенты-математики лишь только знакомятся в университетах, поскольку теория чисел – это очень обширная и сложная тема, содержащая множество «подводных камней», парадоксов, тайн (это самый настоящий виртуальный МИР чисел, см. мою «Виртуальную космологию» по ссылке: http://technic.itizdat.ru/users/iav2357 ).
Одним из самых удивительных открытий теории чисел – это представление любого простого числа (Р), например, в виде такого полинома (многочлена):
(k + 2)*(1– [wz + h + j – q]^2 – [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h – z]^2 –
– [2 n + p + q + z – e ]^2 – [16( k + 1)^3*( k + 2)( n + 1)^2 + 1 – f ^2]^2 – …(ещё три подобных строки, причем не ручаюсь за правильность формулы, см. статью «Простое число» в Википедии)
Гипотезы виртуальной космологии
Итак, в части полиномов мы, надо полагать, имеем следующие исходные данные:
– если в полиноме содержится П = 10 переменных, то степень полинома будет C = 1,6*10^45;
– если в полиноме содержится П = 26 переменных, то степень полинома будет C = 25;
– если в полиноме содержится П = 42 переменных, то степень полинома будет C = 5.
По указанным трём точкам с помощью программы “ Excel ” построим линию тренда:
Формула (1) позволяет нам вычислить приблизительную (гипотетическую) степень ( C *) у полинома с любым количеством параметров (П):
Результаты вычислений по формуле (2) представлены в табл.1. В этой таблице мы видим в частности следующее. Если у полинома количество параметров П = 4, то степень такого полинома будет порядка C * = 10^236.340.217 (и для нас это практически уже бесконечно большая степень С). Если у полинома количество параметров П = 19, то степень такого полинома будет близка к значению C * = 315. Степени С = 4 будет соответствовать примерно П = 55 параметров, а степени С = 3 будет соответствовать примерно П = 122 параметра. Впрочем, надо ясно понимать, что табл. 1 более-менее верна в диапазоне от П = 10 до П = 42 а всё остальное, увы, – вилами по воде писано (кроме ниже следующего утверждения: П max меньше и-триллиона).
Учитывая всё выше сказанное, в рамках виртуальной космологии напрашивается следующая гипотеза: законы теории чисел в части полиномов изоморфны законам физики в части размерностей пространства (изучая полиномы мира чисел – можно понять нечто существенное о размерности пространства). Иначе говоря, указанные полиномы из теории чисел являются некой «подсказкой» (наипростейшей математической моделью) для физиков-теоретиков в части размерности пространства. Как бы это могло быть – проиллюстрирую на примере такого утверждения (в котором могу ошибаться с точностью до… наоборот): количество (П) параметров полинома – «отражает» количество параметров физического пространства; степень (С) полинома (или её «тень» С*) – «отражает» размерность физического пространства, а вот число 10^ C – «отражает» примерное количество всевозможных физик (хотя современной науке известна одна единственная физика ). Из данного утверждения (гипотезы) и табл. 1 вытекают, например, следующие «новые истины»:
2. Допустимая (миром чисел) степень полинома, скорее всего, начинается с С = 4 (см. ниже гипотезу Римана), и в «нашей» (низкоэнергетической) физике размерность пространства равна 4. Значит, количество всевозможных физик будет порядка 10^4, при этом напомню, что известно несколько десятков тысяч трёхмерных пространств Калаби-Яу, которые удовлетворяют требованиям к дополнительным измерениям, вытекающим из теории струн. При этом количество параметров в полиноме будет порядка П = 55 (и количество неких параметров в физике?).
Гипотеза Римана
Некая исключительность «нашего» 4-х мерного пространства (доступного человеку в его ощущениях), возможно, находит своё «отражение» в мире чисел и в лице гипотезы Римана. Гипотеза Римана о распределении нулей дзета-функции Римана была сформулирована замечательным немецким математиком Бернхардом Риманом (1826–1866) в 1859 году (то есть в возрасте 33 лет, и опять повторяю: математика – игра молодых!). И хотя Риман так и не доказал важнейшего закона теории чисел – закона распределения простых чисел ( E
Многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе о вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности гипотезы Римана. Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит награду в один миллион долларов США. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана, учёный совет института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы, или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачена небольшая часть награды).
Так вот, гипотеза Римана эквивалентна утверждению о том, что следующее диофантово уравнение не имеет решений в неотрицательных целых числах…. (см. статью «Гипотеза Римана» в Википедии), где K – это некоторый большой фиксированный целочисленный коэффициент (который, в принципе, можно указать в явном виде), а остальные буквы обозначают переменные (параметры). Причем степень этого уравнения может быть понижена до 4 ценой увеличения количества переменных (сравните это с тем, что выше было сказано про полиномы).
Вместо заключения
Природе внутренне присуща скрытая гармония, которая отображается в наших умах в виде простых математических законов. Альберт Эйнштейн как-то сказал: « Наш опыт убеждает нас, что природа – это сочетание самых простых математических идей », об этом говорит и латинская пословица «Simplex sigilum veri» (« Простота – это признак истинности »). А что может быть проще натуральных чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …? Вот почему лично я верю, что именно мир чисел (правда, не только натуральных) поможет раскрыть самые сокровенные тайны мироздания.
Теперь давайте рассудим.
Если вы взяли метр и мерите только длину, ширину, высоту, не понимая, что еще вы можете измерить в этом мире – то для вас мир трехмерен.
Если вы взяли еще и часы и стали мерить еще и время – то для вас он четырехмерен.
А если взяли вы еще и термометр, манометр, вольтметр, амперметр, электрометр, плотномер, яркомер … ( и т.д.), чтобы измерять еще и температуру, напряжение, ток, заряд, плотность, яркость, светимость и т.д., и т.п.…. до N, – то измеряйте. Вы убедитесь на своем простейшем опыте, что для вас мир реально N-мерен.
А найдете еще один способ что-то в мире измерять, окажется мерностью N+1. И т.д.
В чем я неправ, подскажите?
Олег Сазонов # написал комментарий 19 августа 2013, 23:07 Вы бы раскрыли какую-нибудь не самую сокровенную тайну мироздания. что ваша вера имела опору.
Кепплер верил в «гармонию сфер» и написал с десяток законов, ориентируясь на изящество формул. Некоторые даже оказались верными, но лучше бы он вывел их исходя из физических законов, как Ньютон. Чтобы не вляпываться.
Олег Сазонов # ответил на комментарий Александр Исаев 20 августа 2013, 08:49 Вляпался Кеплер. 🙂
А с вами еще не все ясно.
Естествознание.ру
Многомерное пространство и свернутые измерения
Теория струн не только «сделала» наше пространство многомерным. Она заставила еще раз задуматься о том, что же это вообще такое — пространство-время.
Краткое содержание
Что такое пространство
Наше обычное восприятие невозможно без использования образов пространства и времени. Все физические теории, начиная с механики Ньютона и кончая современным вариантом теории струн, заранее предполагают существование пространства-времени как некой реальности, в которую погружены объекты — частицы классической механики или струны в теории струн. Но уже сейчас понятно, что такое представление слишком упрощает дело в пользу наглядности.
Теория струн постепенно рождает новый образ: струны — это нити, из которых соткана ткань пространства-времени. Более научно можно сказать, что особое согласованное состояние колеблющихся синхронным образом струн формирует структуру пространства-времени.
Вероятно, пространство-время сформировалось вскоре после Большого взрыва, когда создающие структуру пространства-времени струны включились в упорядоченный танец колебаний, а до этого момента пространства-времени не существовало.
Сейчас теоретики бьются над важнейшей задачей: поиском математической формулировки теории струн без обращения к изначальному понятию пространства-времени.
Многомерное пространство
Струны в очередной раз изменили наши представления о пространстве. Предыстория этого начинается в 1919 году.
Дело в том, что, хотя Эйнштейн и сформулировал общую теорию относительности для трехмерного пространства, математический формализм его теории легко обобщить на случай многомерных пространств. В 1919 году малоизвестный польский математик Теодор Калуца записал уравнения Эйнштейна для четырехмерного пространства и обнаружил, что, помимо обычных уравнений Эйнштейна, получились дополнительные уравнения, которые совпали с уравнениями Максвелла! В четырехмерном пространстве гравитация объединилась с электродинамикой!
Казалось бы, какая польза от этого открытия? Ведь мы-то знаем, что наше пространство трехмерно, и Эренфест разъяснил, почему: потому что устойчивые орбиты планет при другом числе измерений невозможны.
Но вскоре шведский математик Клейн придумал, как избавиться от лишнего измерения: дополнительное пространственное измерение может быть свёрнутым. Представить, что это значит, нам поможет аналогия с махровой простыней: издали она кажется двумерной, но в каждой точке плоскости есть петелька — выход в третье измерение. Клейн сделал оценки и получил, что дополнительное измерение может иметь протяженность порядка планковской длины.
Теория Калуцы-Клейна намного опередила развитие физики. Ее забыли на несколько десятилетий и воскресили в 1970-х, когда физики осознали, что введение нескольких дополнительных пространственных измерений позволяет объединить все четыре фундаментальных взаимодействия в одно единое взаимодействие. Сегодня считается, что всего нужно 9 или 10 пространственных измерений (и одно временное). При этом шесть или семь дополнительных измерений свёрнуты до планковского размера. Из-за малости этого размера они становятся абсолютно незаметными не только для глаза, но и для элементарных частиц на современных ускорителях. С точки зрения наших измерительных устройств, мы получаем привычное трехмерное пространство, в каждой точке которого спрятано крохотное шести- или семимерное пространство, подобно петельке на махровой простыне.
Хотя свернутые измерения и малы для прямого обнаружения, тем не менее, столь же малые струны могут перемещаться и колебаться в этих измерениях. То есть струны многомерны, в отличие о нас, трехмерных.
Кроме того, струны могут «наматываться» на свернутое измерение. Это приводит к появлению так называемых оборотных мод колебаний. Замкнутая струна может обернуться вокруг компактного измерения даже несколько раз. При столь малых размерах дополнительных измерений оборотные моды становятся очень легкими — эти моды и есть известные нам частицы.
Топология свернутых измерений
Дополнительные измерения в теории струн должны быть свернуты определенным образом. Что это значит? У махрового полотенца только одно дополнительное измерение, свернутое в петельку. При наличии двух дополнительных измерений они могли бы свернуться в крохотную сферу, или бублик (то есть тор). Принципиальное отличие тора от сферы — наличие отверстия. Можно представить себе двумерную поверхность с двумя или тремя отверстиями.
Согласно теории струн, прячущееся в каждой точке обычного пространства шестимерное свернутое пространство обладает очень непростыми свойствами (математики называют эти свойства топологией пространства). Топология пространства имеет самое непосредственное отношение к параметрам частиц: массам, зарядам, спинам, а также к числу поколений частиц. Оказывается, число поколений равно числу отверстий в свернутом пространстве — ведь струны наматываются на свернутые измерения. Так что уже известно, что свернутое пространство имеет три отверстия.
Итак, именно геометрия дополнительных измерений определяет фундаментальные свойства нашего мира. Это внушает надежду, что теория струн сможет вывести все фундаментальные константы из самой теории (как, например, скорость света однозначно определяется уравнениями Максвелла), а не будет вводить их извне, как это делается в Стандартной модели.
Проблемой, однако, является то, что существуют десятки тысяч вариантов пространств с тремя отверстиями, и пока неясно, какое из них надо использовать для описания мира, в котором мы живем. Перебор всех вариантов — слишком долгий и трудоемкий процесс. Не хватает еще каких-то подсказок. Но теоретики не теряют надежды найти эту единственно правильную топологию свернутых измерений.