что такое медиана списка

Медиана в статистике

Центральную тенденцию данных можно рассматривать не только, как значение с нулевым суммарным отклонением (среднее арифметическое) или максимальную частоту (мода), но и как некоторую отметку (значение в совокупности), делящую ранжированные данные (отсортированные по возрастанию или убыванию) на две равные части. Половина исходных данных меньше этой отметки, а половина – больше. Это и есть медиана.

Итак, медиана в статистике – это уровень показателя, который делит набор данных на две равные половины. Значения в одной половине меньше, а в другой больше медианы. В качестве примера обратимся к набору нормально распределенных случайных чисел.

Очевидно, что при симметричном распределении середина, делящая совокупность пополам, будет находиться в самом центре – там же, где средняя арифметическая (и мода). Это, так сказать, идеальная ситуация, когда мода, медиана и средняя арифметическая совпадают и все их свойства приходятся на одну точку – максимальная частота, деление пополам, нулевая сумма отклонений – все в одном месте. Однако, жизнь не так симметрична, как нормальное распределение.

Допустим, мы имеем дело с техническими замерами отклонений от ожидаемой величины чего-нибудь (содержания элементов, расстояния, уровня, массы и т.д. и т.п.). Если все ОК, то отклонения, скорее всего, будут распределены по закону, близкому к нормальному, примерно, как на рисунке выше. Но если в процессе присутствует важный и неконтролируемый фактор, то могут появиться аномальные значения, которые в значительной мере повлияют на среднюю арифметическую, но при этом почти не затронут медиану.

Медиана выборки – это альтернатива средней арифметической, т.к. она устойчива к аномальным отклонениям (выбросам).

Математическим свойством медианы является то, что сумма абсолютных (по модулю) отклонений от медианного значения дает минимально возможное значение, если сравнивать с отклонениями от любой другой величины. Даже меньше, чем от средней арифметической, о как! Данный факт находит свое применение, например, при решении транспортных задач, когда нужно рассчитать место строительства объектов около дороги таким образом, чтобы суммарная длина рейсов до него из разных мест была минимальной (остановки, заправки, склады и т.д. и т.п.).

Формула медианы

Формула медианы в статистике для дискретных данных чем-то напоминает формулу моды. А именно тем, что формулы как таковой нет. Медианное значение выбирают из имеющихся данных и только, если это невозможно, проводят несложный расчет.

Первым делом данные ранжируют (сортируют по убыванию). Далее есть два варианта. Если количество значений нечетно, то медиана будет соответствовать центральному значению ряда, номер которого можно определить по формуле:

№_Me – номер значения, соответствующего медиане,

N – количество значений в совокупности данных.

Тогда медиана обозначается, как

Это первый вариант, когда в данных есть одно центральное значение. Второй вариант наступает тогда, когда количество данных четно, то есть вместо одного есть два центральных значения. Выход прост: берется средняя арифметическая из двух центральных значений:

В интервальных данных выбрать конкретное значение не представляется возможным. Медиану рассчитывают по определенному правилу.

Для начала (после ранжирования данных) находят медианный интервал. Это такой интервал, через который проходит искомое медианное значение. Определяется с помощью накопленной доли ранжированных интервалов. Где накопленная доля впервые перевалила через 50% всех значений, там и медианный интервал.

Не знаю, кто придумал формулу медианы, но исходили явно из того предположения, что распределение данных внутри медианного интервала равномерное (т.е. 30% ширины интервала – это 30% значений, 80% ширины – 80% значений и т.д.). Отсюда, зная количество значений от начала медианного интервала до 50% всех значений совокупности (разница между половиной количества всех значений и накопленной частотой предмедианного интервала), можно найти, какую долю они занимают во всем медианном интервале. Вот эта доля аккурат переносится на ширину медианного интервала, указывая на конкретное значение, именуемое впоследствии медианой.

Обратимся к наглядной схеме.

Немного громоздко получилось, но теперь, надеюсь, все наглядно и понятно. Чтобы при расчете каждый раз не рисовать такой график, можно воспользоваться готовой формулой. Формула медианы имеет следующий вид:

где x_Me — нижняя граница медианного интервала;

i_Me — ширина медианного интервала;

∑f/2 — количество всех значений, деленное на 2 (два);

S_(Me-1)— суммарное количество наблюдений, которое было накоплено до начала медианного интервала, т.е. накопленная частота предмедианного интервала;

f_Me — число наблюдений в медианном интервале.

Как нетрудно заметить, формула медианы состоит из двух слагаемых: 1 – значение начала медианного интервала и 2 – та самая часть, которая пропорциональна недостающей накопленной доли до 50%.

Для примера рассчитаем медиану по следующим данным.

Требуется найти медианную цену, то есть ту цену, дешевле и дороже которой по половине количества товаров. Для начала произведем вспомогательные расчеты накопленной частоты, накопленной доли, общего количества товаров.

По последней колонке «Накопленная доля» определяем медианный интервал – 300-400 руб (накопленная доля впервые более 50%). Ширина интервала – 100 руб. Теперь остается подставить данные в приведенную выше формулу и рассчитать медиану.

То есть у одной половины товаров цена ниже, чем 350 руб., у другой половины – выше. Все просто. Средняя арифметическая, рассчитанная по этим же данным, равна 355 руб. Отличие не значительное, но оно есть.

Расчет медианы в Excel

Медиану для числовых данных легко найти, используя функцию Excel, которая так и называется — МЕДИАНА. Другое дело интервальные данные. Соответствующей функции в Excel нет. Поэтому нужно задействовать приведенную выше формулу. Что поделаешь? Но это не очень трагично, так как расчет медианы по интервальным данным – редкий случай. Можно и на калькуляторе разок посчитать.

Напоследок предлагаю задачку. Имеется набор данных. 15, 5, 20, 5, 10. Каково среднее значение? Четыре варианта:

Мода, медиана и среднее значение выборки – это разный способ определить центральную тенденцию в выборке.

Ниже видеоролик о том, как рассчитать медиану в Excel.

Источник

Медиана (статистика)

Также медиану можно определить для случайных величин: в этом случае она делит пополам распределение. Грубо говоря, медианой случайной величины является такое число, что вероятность получить значение случайной величины справа от него равна вероятности получить значение слева от него (и они обе равны 1/2); более точное определение см. ниже.

Можно также сказать, что медиана является 50-м персентилем, 0,5-квантилем или вторым квартилем выборки или распределения.

Связанные понятия

Для определения средних или наиболее типичных значений совокупности используются показатели центра распределения. Основные из них — математическое ожидание, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее степенное, взвешенные средние, центр сгиба, медиана, мода.

Упоминания в литературе

Связанные понятия (продолжение)

Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц. П. Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Т-критерий Вилкоксона — (также используются названия Т-критерий Уилкоксона, критерий Вилкоксона, критерий знаковых рангов Уилкоксона, критерий суммы рангов Уилкоксона) непараметрический статистический тест (критерий), используемый для проверки различий между двумя выборками парных или независимых измерений по уровню какого-либо количественного признака, измеренного в непрерывной или в порядковой шкале.. Впервые предложен Фрэнком Уилкоксоном. Другие названия — W-критерий Вилкоксона, критерий знаковых.

Источник

Медиана списка

Напишите функцию median(), находящую медианное значение списка чисел, то есть такое число, которое стояло бы посередине списка, если его отсортировать. Если в списке чётное количество чисел, то медиана – это среднее двух чисел, стоящих посередине.

Пример 1
Ввод Вывод
data = [1, 5, 4, 2, 3]
median(data)
3
Пример 2
Ввод Вывод
data = [3, 2, 4, 1]
median(data)
2.5

Медиана списка
В списке нечетное число элементов, при этом все элементы различны. Найдите медиану списка: элемент.

Медиана списка
Дан список целых чисел. Найдите в нем “медианный” элемент, то есть то число, которое будет ровно.

Медиана
Уважаемые корифеи и знатоки! Медиана В списке нечётное число элементов, при этом все элементы.

Перцентиль, медиана
Всем привет! Может кто помочь советом или кодом? Что нужно? Написать программу, которая.

Медиана числа
Маша и Петя любят играть с числами. В этот раз они по очереди применяют к числам задуманные.

enx, вот до чего доводит неразумное стремление записать код как можно меньшим количеством строк!
У вас же список будет сортироваться дважды! А длина его будет вычисляться аж трижды! Заголовок этой странной функции противоречит ее сути (функция ничего не возвращает).

Я принт оставил для тестов ниже, в чем проблема заменить его на return, когда автор будет его использовать.
К тому же обратите внимание, в самом кейсе вывод результата получается без участия функции print вне ее тела, а именно:

data = [1, 5, 4, 2, 3]
median(data)

Но раз уж мы за чистоту, то уже так:

Добавлено через 10 минут
Кроме len() списка, так как она не вычисляется 3 раза, ибо это элемент структуры данных.
Никакого обхода данная функция не делает, то есть нет разницы, будет там 1 значение или 1 000 000 000, скорость выполнения O(1).

Добавлено через 14 минут
И в финале добавлю, список сортируется у меня только 1 раз, только после после определения четности и нечетности длины )) так как if else, но это уже мелочи.

Добавлено через 49 секунд

— не имеет значения. Функция вызовется три раза.

Что же до ваших замечаний к моему коду, то это действительно несущественные мелочи.

Да все по делу, вы правы с точки зрения красоты кода полностью.

Просто для меня нет разницы, обращаться к функции со сложностью O(1) 3 раза, или 3 раза обращаться по ссылке внутри переменной, чтобы получить результат этой функции, так же 3 раза, с той же сложностью.

Именно в такого рода задачах, где решение на поверхности, а автор не хочет (наиболее вероятно) развивать свои навыки, а хочет решение, которое примет его тестовая система.

В любом случае спасибо за замечания по стилю, это я всегда учитываю))

Медиана ряда
Маша и Петя любят играть с числами. В этот раз они по очереди применяют к числам задуманные.

Медиана в списке. (Без def и import)
Как найти медиану в списке, у которого чётное количество значений? Например: При вводе 1.1.

Медиана
Булевы функции – один из центральных объектов изучения дискретной математики. Множество S булевых.

Источник

Что такое медиана списка

Сегодня разберем два понятия «среднее» и «медиана».

Для начала задам два вопроса: знакомы ли вы с понятием «медиана»? Знаете ли вы, в чем разница между средним и медианой? Скорее всего, если вы работаете с обзорами по рынку зарплат, вы встречали понятие медианы и чаще всего именно на этом ее применение и заканчивалось. Но я рекомендую использовать медиану и в других случаях.

Среднее – это самый популярный статистический показатель, который используется для измерения центра или середины данных. Среднее значение считается как сумма всех чисел, деленная на общее количество чисел. Это материал где-то пятого класса, поэтому тут пока все просто. Среднее значение в компаниях считают для стажа, возраста сотрудников, зарплаты по грейду, уровню должности, для подачи отчетности по статистическим данным. Считается с помощью функции в Excel: СРЗНАЧ или AVERAGE в английской версии.

Среднее значение может быть не совсем объективным отражением данных, так как на него могут влиять выбросы (очень большие или очень маленькие значения в наборе данных).

Если вы считаете средний стаж работы сотрудников в компании при большой текучести, стаж до трех месяцев работы сотрудников будет занижать данные. Или наоборот, у вас есть сотрудники-старожилы, которые работают с основания компании. При учете их продолжительности стажа вы будете завышать данные, что тоже искажает отчетность.

Пример: рассчитать средний стаж работы сотрудников.

Средний стаж составит 4 года.

Медиана – значение, которое делит отсортированные по возрастанию данных на две равные части. То есть медиана показывает середину ваших данных. Медиана считается как значение, расположенное по середине ряда отсортированных значений. Если в ряду находится нечетное количество данных, например, 5, то медианой будет третье значение. Если четное количество данных, например, 4, то медианой будет (значение 2+ значение 3)/2. То есть среднее значение двух показателей посередине.

Считается с помощью функции в Excel МЕДИАНА или MEDIAN в английской версии. Медиана лишена недостатков среднего значения, на нее не влияют выбросы.

Источник

8.4. МОДА и МЕДИАНА (структурные средние)

Мода и медиана наиболее часто используемые в экономической практике структурные средние.

Мода – это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту.

В дискретном ряду мода определяется в соответствии с определением, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту.

Для интервального ряда моду находим по формуле (8.16), сначала по наибольшей частоте определив модальный интервал:

где х _о – начальная (нижняя) граница модального интервала;

h – величина интервала;

f_Мо – частота модального интервала;

f_Мо-1 – частота интервала, предшествующая модальному;

f_Мо+1 – частота интервала следующая за модальным.

Медианой называется такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда, т.е. в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значение признака больше медианы, другая – меньше медианы.

В дискретном ряду медиана находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.

В случае интервального вариационного ряда медиану определяют по формуле:

(8.17 – формула Медианы)

где х_о – нижняя граница медианного интервала;

N_Ме – порядковый номер медианы (Σf/2);

S _Me-1 – накопленная частота до медианного интервала;

f_Ме – частота медианного интервала.

Пример вычисления Моды.

Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 8.4.

Таблица 8.4 – Распределение семей города N по размеру среднедушевого дохода в январе 2018 г. руб.(цифры условные)

Пример вычисления Медианы интервального вариационного ряда. Рассчитаем медиану по формуле (8.17):

1) сначала находим порядковый номер медианы: N_Ме = Σf_i/2= 5000.

2) по накопленным частотам в соответствии с номером медианы определяем, что 5000 находится в интервале (7000 – 8000), далее значение медианы определим по формуле (8.17):

Вывод: по моде – наиболее часто встречается среднедушевой доход в размере 7730 руб., по медиане – что половина семей города имеет среднедушевой доход ниже 7800 руб., остальные семьи – более 7800 руб.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию.

Если М о о следует сделать вы­вод о левосторонней асимметрии ряда.

Источник