В данной публикации мы рассмотрим определение и основные элементы матрицы с примерами, область ее применения, а также приведем краткую историческую справку касательно развития теории матриц.
Определение матрицы
Матрица – это своего рода прямоугольная таблица, которая состоит из строк и столбцов, содержащих определенные элементы.
Применение матриц в математике
Матрицы используются для записи и решения систем линейных алгебраических уравнений или систем дифференциальных уравнений.
Элементы матрицы
Например, для матрицы выше:
Строки
Если все элементы строки матрицы равняются нулю, то такая строка называется нулевой (выделена зеленым).
В противном случае, строка является ненулевой (выделена красным).
Диагонали
Диагональ, проведенная от верхнего левого угла матрицы в нижний правый называется главной.
Если диагональ проведена из нижнего левого угла в верхний правый, она называется побочной.
Историческая справка
“Волшебный квадрат” – под таким названием матрицы впервые упоминались в Древнем Китае, а позднее и у арабских математиков.
В 1751 году швейцарский математик Габриэль Крамер опубликовал “правило Крамера”, используемое для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Примерно в это же время появился “метод Гаусса” для решения СЛАУ путем последовательного исключения переменных (автор – Карл Фридрих Гаусс).
Существенный вклад в развитие теории матриц, также, внесли такие математики: Уильям Гамильтон, Артур Кэли, Карл Вейерштрасс, Фердинанд Фробениус и Мари Энмон Камиль Жордан. Сам же термин “матрица” в 1850 году был введен Джеймсом Сильвестром.
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Для матрицы определены следующие алгебраические операции:
Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.
Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n; и обратно — каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. [2] Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.
То же можно сказать о представлении матрицами билинейных (квадратичных) форм.
В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.
Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью.
Математика для чайников. Матрицы и основные действия над ними
Определение матрицы
Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.
Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A, матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n, где m – количество строк, а n – количество столбцов.
Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать, умножать на число, умножать между собой, транспонировать. Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.
Операции сложения и вычитания матриц
Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто –достаточно только сложить их соответствующие элементы. Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.
Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.
Умножение матрицы на число
На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:
Операция умножения матриц
И пример с реальными числами. Умножим матрицы:
Операция транспонирования матрицы
Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:
Определитель матрицы
Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!
Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач. Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.
А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.
Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Для матрицы определены следующие алгебраические операции:
Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.
Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n; и обратно — каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. [2] Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.
То же можно сказать о представлении матрицами билинейный (квадратичных) форм.
В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.
Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью.
Содержание
История
Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г. [3]
Определение
Пусть есть два конечных множества и , где и — натуральные числа.
Назовём матрицей размера (читается на ) с элементами из некоторого кольца или поля отображение вида
.
называется элементом матрицы, находящимся на пересечении -той строки и -ого столбца;
Если индекс пробегает множество , а пробегает множество , то совокупность элементов полностью определяет матрицу.
Таким образом, матрица размера состоит в точности из
В соответствии с этим
Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве , имеющем размерность . Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.
Если у матрицы количество строк совпадает с количеством столбцов , то такая матрица называется квадратной, а число называется размером квадратной матрицы или её порядком.
Обозначения
Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть
,
тогда — матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля вида , где
таким образом, — элемент матрицы , находящийся на пересечении -той строки и -того столбца. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размера :
если нужно просто указать обозначение для элементов матрицы.
Иногда, вместо , пишут , чтобы отделить индексы друг от друга и избежать смешения с произведением двух чисел.
Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида
Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «[…]». Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями «||…||»).
Поскольку матрица состоит из строк и столбцов, для них используются следующие обозначения:
— это -тая строка матрицы ,
— это -тый столбец матрицы .
Таким образом, матрица обладает двойственным представлением — по строкам:
.
Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов.
Транспонированная матрица
С каждой матрицей размера связана матрица размера вида
Такая матрица называется транспонированной матрицей для и обозначается так .
Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица размера при этом преобразовании станет матрицей размерностью .
Диагональная матрица
Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных — нулевые , иногда записывается как:
Единичная матрица
Единичная матрица — матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами:
Для ее обозначения чаще всего используется обозначение I или E, а также просто 1 (или 1 специальным шрифтом).
Для обозначения ее элементов также используется символ Кронекера , определяемый как:
при
Нулевая матрица
Для обозначения нулевой матрицы — матрицы, все элементы которой нули (при сложении ее с любой матрицей та остается неизменной, а при умножении на любую получается нулевая матрица) — используется обычно просто 0 или 0 специальным шрифтом, или буква, начертанием похожая на ноль, например .
Вектор-строка и вектор-столбец
Матрицы размера и являются элементами пространств и соответственно:
Операции над матрицами
Умножение матрицы на число
Умножение матрицы на число(обозначение: ) заключается в построении матрицы , элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы на это число, то есть каждый элемент матрицы равен
Свойства умножения матриц на число:
Сложение матриц
Сложение матрицесть операция нахождения матрицы , все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц и , то есть каждый элемент матрицы равен
Свойства сложения матриц:
Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:
Множество всех матриц одинаковых размеров mxn с элементами из поля P (поля всех действительных или комплексных чисел) образуют линейное пространство над полем P (каждая такая матрица является вектором этого пространства). Впрочем, прежде всего во избежание терминологической путаницы, матрицы в обычных контекстах избегают без необходимости (которой нет в наиболее обычных стандартных применениях) и четкого уточнения употребления термина называть векторами.
Умножение матриц
Умножение матриц (обозначение: , реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
Количество столбцов в матрице должно совпадать с количеством строк в матрице , иными словами, матрица обязана быть согласованной с матрицей . Если матрица имеет размерность , — , то размерность их произведения есть .
Свойства умножения матриц:
Умножение вектора на матрицу
По обычным правилам матричного умножения осуществляется умножение на матрицу слева вектора-столбца, а также умножение вектора-строки на матрицу справа. Поскольку элементы вектора-столбца или вектора-строки можно записать (что обычно и делается), используя один, а не два индекса, это умножение можно записать так:
для вектора-столбца v (получая новый вектор-столбец Av):
для вектора-строки s (получая новый вектор-строку sA):
Вектор-строка, матрица и вектор столбец могут быть умножены друг на друга, давая число (скаляр):
(Порядок важен: вектор-строка слева, вектор-столбец справа от матрицы).
Эти операции являются основой матричного представления линейных операторов и линейных преобразований координат (смены базисов), таких, как повороты, масштабирования, зеркальные отражения, а также (последнее) матричного представления билинейных (квадратичных форм.
Заметим, что обычной мотивировкой введения матриц и определения операции матричного умножения (см.тж.в статье об умножении матриц) является именно введение их, начиная с умножения вектора на матрицу (которое вводится исходя из преобразований базиса или вообще линейных операций над векторами), а уже затем композиции преобразований сопоставляется произведение матриц. Действительно, если новый вектор Av, полученный из исходного вектора v преобразованием, представимым умножением на матрицу A, преобразовать теперь еще раз, преобразованием, представимым умножением на матрицу B, получив B(Av), то, исходя из правила умножения вектора на матрицу, приведенного в начале этого параграфа (используя ассоциативность умножения чисел и меняя порядок суммирования), нетрудно увидеть в результате формулу, дающую элементы матрицы (BA), представляющую композицию первого и второго преобразований, и совпадающую с обычным определением матричного умножения.
Комплексное сопряжение
Если элементами матрицы являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна . Здесь — число, комплексно сопряжённое к .
Транспонирование и эрмитово сопряжение
Транспонирование уже обсуждалось выше: если , то . Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение: . С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно.
Для квадратной матрицы определен след:
(иногда также обозначается как Sp или Spur).
Является инвариантом ортогональных (унитарных) преобразований матрицы, соответствующих преобразованию матричного представления линейного оператора или билинейной (квадратичной) формы при соотвестствующем преобразовании векторного пространства (например, вращении).
и 
, где 
и 
— натуральные числа.
(читается 
отображение вида
.
называется элементом матрицы, находящимся на пересечении 
-той строки и 
-ого столбца;
, а 
, то совокупность элементов 
, имеющем размерность 
. Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.
называется размером квадратной матрицы или её порядком.
— матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля 
, где
— элемент матрицы 
, чтобы отделить индексы друг от друга и избежать смешения с произведением двух чисел.
— это 
— это 
.
размера 
размера 
вида
.
, иногда записывается как:
, определяемый как:
при 
.
и 
являются элементами пространств 
и 
соответственно:
(обозначение: 
) заключается в построении матрицы 
, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы 
есть операция нахождения матрицы 
, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц 
, реже со знаком умножения 
) — есть операция вычисления матрицы 
, то размерность их произведения 
есть 
.
. Здесь 
— число, комплексно сопряжённое к 
.
. Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение: 
. С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно.