что такое матрица инцидентности

Что такое матрица инцидентности

Степень входа вершины – количество входящих в нее ребер, степень выхода – количество исходящих ребер.

Классификация графов

В связном графе между любой парой вершин существует как минимум один путь.

В несвязном графе существует хотя бы одна вершина, не связанная с другими.

Графы также подразделяются на

В ориентированном графе ребра являются направленными, т.е. существует только одно доступное направление между двумя связными вершинами.

В неориентированном графе по каждому из ребер можно осуществлять переход в обоих направлениях.

Частный случай двух этих видов – смешанный граф. Он характерен наличием как ориентированных, так и неориентированных ребер.

Способы представления графа

Граф может быть представлен (сохранен) несколькими способами:

Использование двух первых методов предполагает хранение графа в виде двумерного массива (матрицы). Размер массива зависит от количества вершин и/или ребер в конкретном графе.

Матрица смежности графа — это квадратная матрица, в которой каждый элемент принимает одно из двух значений: 0 или 1.
Число строк матрицы смежности равно числу столбцов и соответствует количеству вершин графа.

Когда из одной вершины в другую проход свободен (имеется ребро), в ячейку заносится 1, иначе – 0. Все элементы на главной диагонали равны 0 если граф не имеет петель.

Матрица инцидентности (инциденции) графа — это матрица, количество строк в которой соответствует числу вершин, а количество столбцов – числу рёбер. В ней указываются связи между инцидентными элементами графа (ребро(дуга) и вершина).

В неориентированном графе если вершина инцидентна ребру то соответствующий элемент равен 1, в противном случае элемент равен 0.

Матрица инцидентности для своего представления требует нумерации рёбер, что не всегда удобно.

Список смежности (инцидентности)
Если количество ребер графа по сравнению с количеством вершин невелико, то значения большинства элементов матрицы смежности будут равны 0. При этом использование данного метода нецелесообразно. Для подобных графов имеются более оптимальные способы их представления.

По отношению к памяти списки смежности менее требовательны, чем матрицы смежности. Такой список можно представить в виде таблицы, столбцов в которой – 2, а строк — не больше, чем вершин в графе.
В каждой строке в первом столбце указана вершина выхода, а во втором столбце – список вершин, в которые входят ребра из текущей вершины.

Преимущества списка смежности:

Недостатки списка смежности:

Алгоритмы обхода графов

Основными алгоритмами обхода графов являются

Поиск в ширину подразумевает поуровневое исследование графа:

Вершины просматриваются в порядке возрастания их расстояния от корня.
Алгоритм прекращает свою работу после обхода всех вершин графа, либо в случае выполнения требуемого условия (например, найти кратчайший путь из вершины 1 в вершину 6).
Каждая вершина может находиться в одном из 3 состояний:

Фиолетовый – рассматриваемая вершина.

Применения алгоритма поиска в ширину

Алгоритм поиска в ширину работает как на ориентированных, так и на неориентированных графах.
Для реализации алгоритма удобно использовать очередь.

Реализация на C++ (с использованием очереди STL)

Результат выполнения

Задача поиска кратчайшего пути
Реализация на С++

Поиск в глубину – это алгоритм обхода вершин графа.

Поиск в ширину производится симметрично (вершины графа просматривались по уровням). Поиск в глубину предполагает продвижение вглубь до тех пор, пока это возможно. Невозможность продвижения означает, что следующим шагом будет переход на последний, имеющий несколько вариантов движения (один из которых исследован полностью), ранее посещенный узел (вершина).

Отсутствие последнего свидетельствует об одной из двух возможных ситуаций:

Каждая вершина может находиться в одном из 3 состояний:

Фиолетовый – рассматриваемая вершина.

Применения алгоритма поиска в глубину

Алгоритм поиска в глубину работает как на ориентированных, так и на неориентированных графах. Применимость алгоритма зависит от конкретной задачи.
Для реализации алгоритма удобно использовать стек или рекурсию.

Реализация на C++ (с использованием стека STL)

Результат выполнения

Задача поиска лексикографически первого пути на графе.
Реализация на C++

Результат выполнения

Поиск в глубину также может быть реализован с использованием рекурсивного алгоритма.

Реализация обхода графа в глубину на C++ (с использованием рекурсии)

Источник

Матрица инцидентности.

Говорить о том, что ребро g и каждая из вершин u и y инцидентна g, стоит лишь в том случае, если g соединяет u и y. Уяснив это, перейдем к рассмотрению данного метода. Матрица инцидентности строиться по похожему, но не по тому же принципу, что и матрица смежности. Так если последняя имеет размер n×n, где n – число вершин, то матрица инцидентности – n×m, здесь n – число вершин графа, m – число ребер. То есть теперь чтобы задать значение какой-либо ячейки, нужно сопоставить не вершину с вершиной, а вершину с ребром.

1) Неориентированный граф

a. 1 – вершина инцидентна ребру

b. 0 – вершина не инцидентна ребру

2) Ориентированный граф

a. 1 – вершина инцидентна ребру, и является его началом

b. 0 – вершина не инцидентна ребру

Построим матрицу инцидентности сначала для неориентированного графа, а затем для орграфа.

Ребра обозначены буквами от a до e, вершины – цифрами. Все ребра графа не направленны, поэтому матрица инцидентности заполнена положительными значениями.

В программе матрица инцидентности задается, также как и матрица смежности, а именно при помощи двумерного массива. Его элементы могут быть инициализированы при объявлении, либо по мере выполнения программы.

Источник

Матрица инцидентности

Матрица инцидентности — одна из форм представления графа, в которой указываются связи между инцидентными элементами графа (ребро(дуга) и вершина). Столбцы матрицы соответствуют ребрам, строки — вершинам. Ненулевое значение в ячейке матрицы указывает связь между вершиной и ребром (их инцидентность).

В случае ориентированного графа каждому ребру ставится в соответствие «-1» на позиции (x,y) и «1» на позиции (y,x); если связи между вершинами нет, то ставится в соответствие «0».

Пример

Особенности данного представления

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Матрица инцидентности» в других словарях:

матрица инцидентности при данных правилах аутентификации — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации EN incidence matrix of authenticating rules … Справочник технического переводчика

Матрица смежности — один из способов представления графа в виде матрицы. Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Свойства … Википедия

ИНЦИДЕНТНОСТИ СИСТЕМА — совокупность двух множеств Аи с отношением инцидентности I между их элементами, к рое записывается как аIВ для в этом случае говорят, что элемент аинцидентен элементу Л, или Винцидентен а. Понятие И. с. вводится с целью использования геометрич.… … Математическая энциклопедия

Унимодулярная матрица — квадратная матрица с целыми коэффициентами, определитель которой равен +1 или 1. Это в точности те невырожденные матрицы A, для которых уравнение Ax = b имеет целочисленное решение для любого целочисленного вектора b. Содержание 1 Свойства … Википедия

Граф (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Граф (значения). Неориентированный граф с шестью вершинами и семью рёбрами В математической теории графов и информатике граф это совокупность непустого множества вершин и множества пар… … Википедия

Граф (теория графов) — Неориентированный граф с шестью вершинами и семью рёбрами В математической теории графов и информатике граф это совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи как дуги, или рёбра. Для… … Википедия

Двудольный ориентированный граф — Неориентированный граф с шестью вершинами и семью рёбрами В математической теории графов и информатике граф это совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи как дуги, или рёбра. Для… … Википедия

Неориентированный граф — с шестью вершинами и семью рёбрами В математической теории графов и информатике граф это совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи как дуги, или рёбра. Для разных областей… … Википедия

Орграф — Неориентированный граф с шестью вершинами и семью рёбрами В математической теории графов и информатике граф это совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи как дуги, или рёбра. Для… … Википедия

Простой цикл — Неориентированный граф с шестью вершинами и семью рёбрами В математической теории графов и информатике граф это совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи как дуги, или рёбра. Для… … Википедия

Источник

Матрица инцидентности

Говорить о том, что ребро g и каждая из вершин u и y инцидентна g, стоит лишь в том случае, если g соединяет u и y. Уяснив это, перейдем к рассмотрению данного метода. Матрица инцидентности строиться по похожему, но не по тому же принципу, что и матрица смежности. Так если последняя имеет размер n×n, где n – число вершин, то матрица инцидентности – n×m, здесь n – число вершин графа, m – число ребер. То есть теперь чтобы задать значение какой-либо ячейки, нужно сопоставить не вершину с вершиной, а вершину с ребром.

То же самое, но наиболее структурировано:

1. Неориентированный граф:

· 1 – вершина инцидентна ребру;

· 0 – вершина не инцидентна ребру.

2. Ориентированный граф:

· 1 – вершина инцидентна ребру, и является его началом;

· 0 – вершина не инцидентна ребру;

Построим матрицу инцидентности сначала для неориентированного графа (рис. 3.10), а затем для орграфа (рис. 3.11). Ребра обозначим буквами от a до e, вершины – цифрами. Все ребра графа не направленны, поэтому матрица инцидентности заполнена положительными значениями.

Рисунок 3.10 – Неориентированный граф и его матрица инцидентности

Рисунок 3.11 – Ориентированный граф и его матрица инцидентности

В программе матрица инцидентности задается, также как и матрица смежности, а именно при помощи двумерного массива. Его элементы могут быть инициализированы при объявлении, либо по мере выполнения программы.

Источник

Что такое граф, классификация графов, реализация на C++

Что такое граф, классификация графов, реализация на C++

Степень входа вершины – количество входящих в нее ребер, степень выхода – количество исходящих ребер.

Что такое граф, классификация графов, реализация на C++

Классификация графов

В связном графе между любой парой вершин существует как минимум один путь.

В несвязном графе существует хотя бы одна вершина, не связанная с другими.

Графы также подразделяются на

В ориентированном графе ребра являются направленными, т.е. существует только одно доступное направление между двумя связными вершинами.

В неориентированном графе по каждому из ребер можно осуществлять переход в обоих направлениях.

Частный случай двух этих видов – смешанный граф. Он характерен наличием как ориентированных, так и неориентированных ребер.

Способы представления графа

Граф может быть представлен (сохранен) несколькими способами:

Использование двух первых методов предполагает хранение графа в виде двумерного массива (матрицы). Размер массива зависит от количества вершин и/или ребер в конкретном графе.

Матрица смежности графа — это квадратная матрица, в которой каждый элемент принимает одно из двух значений: 0 или 1.

Число строк матрицы смежности равно числу столбцов и соответствует количеству вершин графа.

Когда из одной вершины в другую проход свободен (имеется ребро), в ячейку заносится 1, иначе – 0. Все элементы на главной диагонали равны 0 если граф не имеет петель.

Матрица инцидентности (инциденции) графа — это матрица, количество строк в которой соответствует числу вершин, а количество столбцов – числу рёбер. В ней указываются связи между инцидентными элементами графа (ребро(дуга) и вершина).

В неориентированном графе если вершина инцидентна ребру то соответствующий элемент равен 1, в противном случае элемент равен 0.

Матрица инцидентности для своего представления требует нумерации рёбер, что не всегда удобно.

Матрица инцидентности (инциденции) графа

Список смежности (инцидентности)
Если количество ребер графа по сравнению с количеством вершин невелико, то значения большинства элементов матрицы смежности будут равны 0. При этом использование данного метода нецелесообразно. Для подобных графов имеются более оптимальные способы их представления.

По отношению к памяти списки смежности менее требовательны, чем матрицы смежности. Такой список можно представить в виде таблицы, столбцов в которой – 2, а строк — не больше, чем вершин в графе.
В каждой строке в первом столбце указана вершина выхода, а во втором столбце – список вершин, в которые входят ребра из текущей вершины.

Список смежности (инцидентности)

Преимущества списка смежности:

Недостатки списка смежности:

Список рёбер
В списке рёбер в каждой строке записываются две смежные вершины и вес соединяющего их ребра (для взвешенного графа).
Количество строк в списке ребер всегда должно быть равно величине, получающейся в результате сложения ориентированных рёбер с удвоенным количеством неориентированных рёбер.

Список рёбер

Алгоритмы обхода графов

Основными алгоритмами обхода графов являются

Поиск в ширину подразумевает поуровневое исследование графа:

Вершины просматриваются в порядке возрастания их расстояния от корня.
Алгоритм прекращает свою работу после обхода всех вершин графа, либо в случае выполнения требуемого условия (например, найти кратчайший путь из вершины 1 в вершину 6).
Каждая вершина может находиться в одном из 3 состояний:

Фиолетовый – рассматриваемая вершина.

Применения алгоритма поиска в ширину

Алгоритм поиска в ширину работает как на ориентированных, так и на неориентированных графах.
Для реализации алгоритма удобно использовать очередь.

Реализация на C++ (с использованием очереди STL)

Результат выполнения

Задача поиска кратчайшего пути
Реализация на С++

Результат выполнения

Поиск в глубину – это алгоритм обхода вершин графа.

Поиск в ширину производится симметрично (вершины графа просматривались по уровням). Поиск в глубину предполагает продвижение вглубь до тех пор, пока это возможно. Невозможность продвижения означает, что следующим шагом будет переход на последний, имеющий несколько вариантов движения (один из которых исследован полностью), ранее посещенный узел (вершина).

Отсутствие последнего свидетельствует об одной из двух возможных ситуаций:

Каждая вершина может находиться в одном из 3 состояний:

Фиолетовый – рассматриваемая вершина.

Применения алгоритма поиска в глубину

Алгоритм поиска в глубину работает как на ориентированных, так и на неориентированных графах. Применимость алгоритма зависит от конкретной задачи.
Для реализации алгоритма удобно использовать стек или рекурсию.

Реализация на C++ (с использованием стека STL)

Результат выполнения

Задача поиска лексикографически первого пути на графе.
Реализация на C++

Поиск в глубину также может быть реализован с использованием рекурсивного алгоритма.

Реализация обхода графа в глубину на C++ (с использованием рекурсии)

Источник