Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.
Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.
Свободные колебания
Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.
Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.
Вынужденные колебания
А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.
Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.
Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.
Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.
Автоколебания
Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.
У автоколебательной системы есть три важных составляющих:
Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.
Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.
Характеристики колебаний
Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение характеризуется величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.
Формула периода колебаний
T= t/N
N — количество колебаний [-]
Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.
Формула частоты
ν= N/t = 1/T
N — количество колебаний [-]
Она используется в уравнении гармонических колебаний:
Гармонические колебания
Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:
Уравнение гармонических колебаний
x — координата в момент времени t [м]
t — момент времени [с]
2πνtв этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ
Фаза колебаний
t — момент времени [с]
Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.
На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.
Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.
На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.
Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.
Математический маятник
Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.
Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.
Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).
Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:
Формула периода колебания математического маятника
g — ускорение свободного падения [м/с^2]
На планете Земля g = 9,8 м/с2
Пружинный маятник
Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.
В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости. Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.
Формула периода колебания пружинного маятника
m — масса маятника [кг]
k — жесткость пружины [Н/м]
Закон сохранения энергии для гармонических колебаний
Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.
Рассмотрим его на примере математического маятника.
Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев
Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.
Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.
Гармонические колебания.
Выясним смысл входящих в эту формулу величин.
Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).
В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1) :
Рис. 1. График гармонических колебаний
Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.
Рис. 2. Закон косинуса
Рис. 3. Закон синуса
Уравнение гармонических колебаний.
Теперь дифференцируем полученное равенство (4) :
Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем :
Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:
C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре). Так вот, можно доказать, что:
-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;
-никакая другая функция решением данного уравнения не является.
Пружинный маятник.
Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4 ). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.
Координате отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.
Рис. 4. Пружинный маятник
В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:
Тогда соотношение (8) принимает вид:
Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:
Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:
Математический маятник.
Рис. 5. Математический маятник
Запишем для маятника второй закон Ньютона:
и спроектируем его на ось :
Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. 0′ alt=’x>0′ /> ), то:
Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. ), то:
Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.
Свободные и вынужденные колебания.
Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.
Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.
Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.
В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6 ).
Рис. 6. Затухающие колебания
В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).
Главная цель книги — познакомить студентов прежде всего с основными идеями и методами физики. Особое внимание обращено на разъяснение смысли физических законов и на сознательное применение их. Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга представляет собой серьезное руководство, обеспечивающее подготовку, достаточную для успешного усвоения в дальнейшем теоретической физики и других физических дисциплин.
Предисловие к четвертому изданию
При подготовке к настоящему изданию книга была значительно переработана. Написаны заново (полностью или частично) параграфы 7, 17, 18, 22, 27, 33, 36, 37, 40, 43, 68, 88. Существенные добавления или изменения сделаны в параграфах 2, 11, 81, 89, 104, 113.
Ранее, при подготовке ко второму и третьему изданиям были написаны заново параграфы 14, 73, 75. Существенные изменения или добавления были внесены в параграфы 109, 114, 133, 143.
Таким образом, по сравнению с первым изданием облик первого тома заметно изменился. Эти изменения отражают методический опыт, накопленный автором последние десять лет преподавания обшей физики в Московском инженерно-физическом институте.
Ноябрь 1969 г. И. Савельев
Из предисловия к четвертому изданию
Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой первый том учебного пособия по курсу общей физики для втузов. Автор в течение ряда лет преподавал общую физику в Московском инженерно-физическом институте. Естественно поэтому, что пособие он писал имея в виду прежде всего студентов инженерно-физических специальностей втузов.
При написании книги автор стремился познакомить учащихся с основными идеями и методами физической науки, научить их физически мыслить. Поэтому книга не является по своему характеру энциклопедичной, содержание в основном посвящено тому, чтобы разъяснить смысл физических законов и научить сознательно применять их. Не осведомленности читателя по максимально широкому кругу вопросов, а глубоких знаний фундаментальным основам физической пауки — вот что стремился добиться автор.
Урок 38. Подготовка к ЕГЭ по физике. Часть 1. Механика.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Математический и пружинный маятники»
В данной теме разговор пойдёт о математическом и пружинном маятниках и их важных характеристиках.
Рассмотрим для начала математический маятник. Математическим маятником называется находящаяся в гравитационном поле материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу. Математическиймаятник — это модель малых реальных колебаний тела под действием силы тяготения при условии, что можно пренебречь:
1) размерами подвешенного тела, по сравнению с длиной нити;
2) сопротивлением движению тела;
3) массой нити и ее деформацией.
Рассмотрим подробно колебания математического маятника в инерциальной системе отсчета, относительно которой точка его подвеса движется прямолинейно и равномерно или же покоится. И так, пусть в начальный момент времени маятник покоится в положении равновесия. Тогда, действующие на маятник сила упругости нити и сила тяжести материальной точки взаимно компенсируются.
Теперь отклоним маятник на некоторое расстояние от точки равновесия и отпустим его. В этом случае, сила тяжести и сила упругости нити уже не будут компенсировать друг друга. Разложим вектор силы тяжести на две составляющих — тангенциальную и нормальную.
Как видим, тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, то есть она является возвращающей силой. При этом она сообщает материальной точке тангенциальное ускорение и маятник начнет двигаться к положению равновесия с возрастающей по модулю скоростью. А нормальная составляющая силы тяжести, как видно из рисунка, направлена вдоль нити против силы упругости. Их равнодействующая сообщает маятнику нормальное ускорение, которое изменяет направление вектора скорости. В результате маятник начинает двигаться по дуге.
Чем ближе маятник будет подходить к положению равновесия, тем меньше становиться значение возвращающей силы и тем больше становиться скорость движения маятника. Дойдя до положения равновесия, возвращающая сила становится равной нулю.
При этом скорость движения маятника достигает своего максимума и, не останавливаясь, маятник продолжает свое движение дальше уже по инерции, поднимаясь по дуге вверх. При этом вновь возникает возвращающая сила, которая становится тем больше, чем выше поднимается маятник. Но так как возвращающая сила теперь направлена против движения маятника, то его скорость убывает и в точке D скорость маятника становится равной нулю.
Маятник на мгновение останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении к положению равновесия. Опять пройдя его по инерции, маятник, замедляя свое движение, дойдет до точки А, тем самым совершив одно полное колебание. А так как силы сопротивления отсутствуют, то после этого движение маятника будет повторяться в уже описанной последовательности.
Получим уравнение, описывающее свободные колебания математического маятника. Пусть маятник в данный момент времени находится в точке B.
Его смещение от положения равновесия в этот момент равно длине дуги CB.
Пусть длина нити подвеса маятника равна l, а его масса m. Из рисунка видно, что значение возвращающей силы (то есть тангенциальной составляющей силы тяжести), можно найти как произведение модуля силы тяжести на синус угла отклонения маятника от вертикали.
Из геометрии известно, что по определению синус острого угла есть отношение противолежащего катета к гипотенузе. Также из геометрии известно, что при малых углах (то есть когда острый угол меньше десяти градусов) синус угла можно заменить его градусной мерой.
Перепишем уравнение для тангенциальной составляющей силы тяжести с учетом последнего равенства.
Обратите внимание на знак «минус» в этой формуле. Его здесь ставят потому, что тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, а смещение отсчитывают от положения равновесия. Теперь применим второй закон Ньютона для нашего маятника, в проекциях на направление касательной к траектории движения математического маятника.
Таким образом, имеются два уравнения, в которых равны их левые части. А раз равны левые, то и правые части этих равенств также должны быть равными. Сократив полученное равенство на массу маятника, приходим к тому, что тангенциальное ускорение математического маятника прямо пропорционально его смещению и направлено к положению равновесия.
Эту формулу называют динамическим уравнением движения математического маятника.
Теперь перепишем это уравнение следующим образом
А теперь сравним его с уравнением гармонических колебаний.
Из такой записи видно, что колебания математического маятника являются гармоническими. А так как рассмотренные колебания происходили только под действием внутреннихсил, то это были свободныеколебания. Таким образом, можно сделать важный вывод о том, что при малых углах отклонения свободные колебания математического маятника являются гармоническими.
Также из анализа формул следует, что циклическая частота колебаний маятника равна квадратному корню из отношения ускорения свободного падения к длине маятника.
Помня о том, что период колебаний и циклическая частота связаны друг с другом обратной пропорциональностью, получим формулу, по которой можно рассчитать период свободных колебаний математического маятника.
Полученная формула называется формулой Гюйгенса, так впервые была получена нидерландским физиком Христианом Гюйгенсом.
Следует обратить внимание на то, что эту формулу можно использовать для расчета периода при выполнении одновременно двух условий:
1) колебаниямаятника должны быть малыми, так как эта формула дает результаты приемлемой точности (ошибка менее одного процента) при углах, не превышающих 4º;
2) точкаподвеса маятника должна покоиться или двигаться прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы отсчета, в которой находится маятник.
Дело в том, что если точка подвеса математического маятника движется с некоторым ускорением, то изменяется сила натяжения нити. Это приводит к изменению возвращающей силы, а, следовательно, частоты и периода колебаний. В этом случае в формуле периода математического маятника ускорение свободного падения следует заменить на так называемое «эффективное» ускорение маятника в неинерциальной системе отсчета.
«Эффективное» ускорение можно найти, как векторную сумму ускорения свободного падения и вектора, противоположного вектору ускорения, с которым движется маятник.
Теперь рассмотрим колебания пружинного маятника. Пружинныммаятником называется система, состоящая из пружины жесткостью k и материальной точки массой m.
В простейшей модели пружинного маятника рассматривают только упругую деформацию пружины и пренебрегают:
1) любыми силами сопротивления;
2) размерами тела, то есть тело принимают за материальную точку;
Различают два вида пружинных маятников — горизонтальный и вертикальный.
В горизонтальном пружинном маятнике, колебания тела происходят вдоль горизонтальной прямой.
У вертикального пружинного маятника колебания происходят вдоль вертикальной прямой.
Рассмотрим более подробно колебания идеального горизонтального пружинного маятника. Пусть в начальный момент времени пружина не деформирована, и тело находится в положении равновесия.
Теперь выведем тело из положения равновесия, например, сжав пружину на некоторую величину, и отпустим его. И так, со стороны деформированной пружины на тело начнет действовать сила упругости, которая всегда будет направленна к положению равновесия, и под действием этой силы тело начнет ускоренно двигаться. При этом в самом крайнем положении на тело действует максимальная сила упругости, так как здесь абсолютное удлинение пружины наибольшее. Значит и ускорение тела в этом положении максимальное.
При движении тела к положению равновесия абсолютное удлинение пружины начинает уменьшаться, а, следовательно, уменьшается и ускорение, сообщаемое силой упругости. Но так как ускорение сонаправлено со скоростью, то скорость маятника увеличивается и в положении равновесия, как и в случае с математическим маятником, она будет максимальна.
Достигнув положения равновесия, тело не остановится (хотя в этом положении пружина не деформирована), а будет по инерции двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости направлена теперь против движения тела и тормозит его. В точке D тело на мгновение остановится, так как его скорость окажется равной нулю. Но ускорение в этой точке максимально, так как максимальна действующая сила упругости и под действием этой силы тело начнет двигаться в обратную сторону, к положению равновесия.
Вновь пройдя его по инерции, тело, сжимая пружину и замедляя движение, дойдет до точки A, то есть совершит одно полное колебание. После этого движение маятника будет повторяться в описанной последовательности.
Таким образом, причинами свободных колебаний пружинного маятника являются действие силы упругости, возникающей при деформации пружины, и инертность тела.
Получим уравнение, описывающее движение пружинного маятника. И так, согласно второму закону Ньютона, единственный результат действия силы упругости — это сообщение телу ускорения.
По закону Гука, сила упругости прямо пропорциональна смещению тела и противоположно ему направлена.
Перепишем второй закон Ньютона с учетом определения силы упругости пружины.
Как видно из уравнения, ускорение маятника прямо пропорционально смещению и противоположно ему по направлению.
Перепишем уравнение следующим образом
Полученное равенство является динамическим уравнением движения пружинного маятника.
Сравнивая его с уравнением гармонических колебаний, видим, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой равной
Учитывая, что период колебаний и циклическая частота связаны друг с другом обратной пропорциональностью, получим формулу, по которой можно рассчитать период свободных колебаний пружинного маятника.
По этой же формуле можно рассчитывать и период колебаний вертикальногопружинногомаятника.
Рассмотрели математический и пружинный маятники. Рассмотрели условия возникновения свободных гармонических колебаний в таких системах. А также вспомнили формулы, по которым можно рассчитать период свободных колебаний математического и пружинного маятников.
