что такое математическая модель 7 класс
§ 3. Что такое математическая модель
Представьте себе такую ситуацию: в школе четыре седьмых класса. В 7А учатся 15 девочек и 13 мальчиков, в 7Б — 12 девочек и 12 мальчиков, в 7В — 9 девочек и 18 мальчиков, в 7Г — 20 девочек и 10 мальчиков. Если нам нужно ответить на вопрос, сколько учеников в каждом из седьмых классов, то нам 4 раза придётся осуществлять одну и ту же операцию сложения:
в 7А 15 + 13 = 28 учеников:
в 7Б 12 + 12 = 24 ученика;
в 7В 9 + 18 = 27 учеников;
в 7Г 20 + 10 = 30 учеников.
Используя математический язык, можно все эти четыре разные ситуации объединить: в классе учатся а девочек и Ъ мальчиков, значит, всего учеников а + b. Такова математическая модель данной реальной ситуации. Алгебра, в частности, занимается тем, что описывает различные реальные ситуации на математическом языке в виде математических моделей, а затем имеет дело уже не с реальными ситуациями, а с этими моделями, используя разные математические правила, свойства, законы.
В следующей таблице приведены различные реальные ситуации и их математические модели; при этом а — число девочек в классе, b — число мальчиков в том же классе.
Наверное, у вас возник вопрос: а зачем нужна математическая модель реальной ситуации, что она нам даёт, кроме краткой выразительной записи? Чтобы ответить на этот вопрос, решим следующую задачу.
Пример 1. В классе девочек вдвое больше, чем мальчиков. Если из этого класса уйдут три девочки и придут три мальчика, то девочек будет на 4 больше, чем мальчиков. Сколько учеников в данном классе?
Это уравнение — математическая модель задачи. Используя известные правила решения уравнений, последовательно получаем:
Теперь мы можем ответить на вопрос задачи. В классе 10 мальчиков, а значит, 20 девочек (вы помните, их по условию было в 2 раза больше). Ответ: всего в классе 30 учеников.
Интересно, заметили ли вы, что в ходе решения было чёткое разделение рассуждений на три этапа? Давайте посмотрим вместе.
На втором этапе, используя наши знания из курса математики 5—6-го классов, мы это уравнение решили: х = 10. На этом этапе мы не думали ни про девочек, ни про мальчиков, а занимались «чистой» математикой, работали только с математической моделью.
На третьем этапе мы использовали полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи. На этом этапе мы снова вернулись к девочкам, мальчикам и интересующему нас классу.
Разработка урока по математике «Математическая модель» ( 7 кл)
Разработка урока алгебры в 7 классе
Тема: Что такое математическая модель?
А. Г. Мордкович. Алгебра – 7.
Учитель математики высшей квалификационной категории Кирсанова Галина Эдуардовна, город Новосибирск.
Рис. 1. Титульный слайд презентации
Тип урока : урок изучения нового материала.
знакомство учащихся с понятием математической модели, ее основными видами и сущностью моделирования; приобретение учащимися практических навыков математического моделирования и его использования в реальном мире;
развитие умения наблюдать, умения рассуждать по аналогии, развитие логического мышления; интереса к предмету через использование информационных технологий;
повторить алгоритм решения задач с помощью уравнений;
совершить экскурс в историю математики;
актуализировать умения и навыки решения задач на движение.
изучение нового материала,
закрепление изученного материала,
практические: учебно-трудовые, тренировочные;
работа учащихся под руководством учителя и самостоятельная.
мел, классная доска;
экран, проектор, компьютер;
карточки с алгоритмом-памяткой математического моделирования ;
карточки со старинными задачами.
Предполагаемый результат : осознание учащимися связи между явлениями реального или проектируемого мира и его математическими моделями, смысла понятия математической модели, значимости математического моделирования для изучения окружающей действительности; смысла идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации; формирование умений и навыков построения математической модели, поэтапной работы с математической моделью.
Изучению этой темы может предшествовать домашнее задание – написание сочинения «Моя будущая профессия». И тогда, учитель, входя в класс, свой урок может начать так…
Учитель: «Ребята, я с удовольствием прочла ваши сочинения и поняла, что в нашем классе учатся будущие врачи и строители, модельеры и менеджеры, дизайнеры и конструкторы. Очень много хороших и нужных профессий, созидающих и украшающих нашу жизнь, вас интересуют. А задумывались ли вы, что изготовление любого продукта происходит в несколько этапов? Давайте посмотрим на экран (рис. 2).
Рис. 2. Видеофрагмент «Полет на Луну»
Учитель: «Какие шаги предпринял Знайка, чтобы осуществить свою мечту о полете на Луну?» Слушая ответы учеников, учитель выделяет нужные и выстраивает нужную цепочку рассуждений (рис. 3). В процессе обсуждения, вниманию ребят предлагается слайд с этапами построения ракеты, на котором последовательно появляются фотографии, нумеруются и выделяются этапы моделирования.
Рис.3. Этапы моделирования полета.
У
читель: «Ребята, собираясь в полет, Незнайка и Пончик запаслись продуктами. Винтику и Шпунтику понадобится в полете в 4 раза больше пончиков, чем Незнайке. Знайке на 15 пончиков меньше, чем Незнайке. Количество пончиков для Мушки составляют 4/5 от количества пончиков Незнайки. А Ромашке нужно на 20% пончиков меньше, чем Незнайке.
Рис. 4. Математические модели.
Для планирования запасов пончиков необходимо составить соответствующие выражения».
По мере формулирования верных выражений, правильные ответы появляются на слайде в зеленых прямоугольниках (рис. 4).
Затем учителем предлагаются задания, приведенные на карточках (рис.5), для того, чтобы каждый ребенок мог работать индивидуально. Первое задание можно выполнить фронтально, для устранения непонятных моментов, возможных вопросов. Дав ребятам время подумать и поработать самостоятельно, можно проверить результаты с помощью этого же слайда, высветив правильные ответы. Эта же работа, по желанию учителя, может быть спланирована как работа по вариантам или группам.
Рис. 5. Составление математических моделей.
Учитель: «Ребята, а зачем нужна математическая модель реальной ситуации, что она нам дает, кроме краткой выразительной записи?» Чтобы ответить на вопрос, предлагается рассмотреть следующую ситуацию, предложенную на следующем слайде (рис. 6).
Рис. 6. Видеофрагмент «Незнайка в ракете».
Учитель начинает читать задачу, схематичное условие которой показано на следующем слайде (рис. 7): «Коротышки собирались привезти лунным жителям 310 кг семян овощей и фруктов. Разложив семена по сортам, они увидели, что семян второго сорта оказалось в 1,5 раза больше, чем первого и на 110 кг больше третьего. Какова была масса каждого сорта семян?»
После обсуждения условия задачи вводится переменная, причем обсуждаются все возможные варианты, предложенные детьми, с целью составления различных математических моделей и выбора модели, наиболее просто решаемой. Затем на экране постепенно с помощью анимации, по мере решения уравнения детьми, появляются уравнения, равносильные составленному уравнению. Если учитель считает возможным, можно цепочку уравнений укоротить, не показывая простейшие преобразования. Конечный вид слайда приведен на рис. 8. Он пока без номеров этапов.
Учитель, обращаясь к ребятам, просит разделить рассуждения на 4 этапа. При условии правильных высказываний детей на экране последовательно появляются номера этапов.
Рис. 7. Первый этап решения задачи.
Рис. 8. Этапы решения задачи.
Для более полного и четкого усвоения детьми данного материала составляется алгоритм-памятка математического моделирования, показанный на рис. 9 и раздается на карточках или записывается в тетрадь.
Р
ис. 9. Этапы математического моделирования.
Учитель: «Ребята, составляя математические модели, мы шли от реальной ситуации. Но надо уметь двигаться и в обратном направлении, т. е. по заданной математической модели описывать словами реальную ситуацию. Вернемся к схематичной записи решенной задачи. Что означают такие математические модели: а) х + 52,5 = 1,5х; б) х – 57,5 = 1,5х – 110; в) 2(1,5х – 110) = х – 10 »?
При этом с помощью гиперссылки делается возврат на 7 слайд (рис. 7)
Эти уравнения могут быть записаны на доске заранее, могут появляться на следующем слайде, а возможна и индивидуальная работа с карточками, выданными ребятам.
а) Если массу семян первого сорта увеличить на 52,5 кг, то она будет равна массе семян второго сорта.
б) Если массу семян первого уменьшить на 57,5 кг, то она будет равна массе семян третьего сорта.
в) Если массу семян третьего сорта увеличить в два раза, то получим на 10 кг больше массы семян первого сорта.
Учитель: «Ребята, так зачем нужна математическая модель реальной ситуации, что она нам дает, кроме краткой выразительной записи?»
В
озможные ответы: наглядность решений, удобство работы, скорость и лаконичность рассуждений. Благодаря математическим моделям человек экономит труд и время, вот только что для этого нужно сделать, нам подскажет следующий видеофрагмент (рис.10).
Рис. 10. Неправильное моделирование.
Просмотрев этот видеоклип о неудачной шутке мышат над котом, ребята приходят к выводу, что при моделировании реальной ситуации нужно тщательно все продумать, в исполнении быть аккуратным, приложить все свое умение и старание во избежание ошибки.
Еще один вид задач требует систематического, регулярного возврата к их решению. В зависимости от уровня подготовленности учащихся на последнем этапе урока можно актуализировать знания учащихся по определению скорости движения объектов. Для этого обращается внимание на следующий слайд (рис. 10) с таблицей, голубые клетки которой еще не заполнены. Для включения всего класса в работу, можно устно обсудить все возможные составленные модели, дав время ученикам подумать, можно организовать работу по вариантам, дифференцируя задания по сложности, разделить задания на варианты или предложить ребятам работу по группам. При недостатке времени можно, разобрав эти задания устно, оставить для письменной домашней работы.
Рис. 10. Математические модели задач на движение.
С целью развития исторического кругозора и закрепления изученного материала предлагаются для домашнего задания 3 задачи: Ньютона, Диофанта и задача неизвестного автора, рукопись которой ( VI в.) найдена в Индии.
З а д а ч а Ньютона [1].
«Купец имел некоторую сумму денег. 100 фунтов из нее он затрачивал каждый год на содержание своей семьи, прибавляя к оставшейся сумме одну ее треть. Через три года он обнаружил, что его состояние удвоилось. Сколько денег было у него вначале?»
З а д а ч а Диофанта [1].
«Если прибавить к 20 и отнять от 100 одно и то же число, то полученная сумма будет в 4 раза больше полученной разности. Найти неизвестное».
З а д а ч а из Индии [1].
§ 3. Что такое математическая модель (окончание)
Подведём итоги. В процессе решения задачи были чётко выделены три этапа.
Первый этап. Составление математической модели.
Второй этап. Работа с математической моделью.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Вот так обычно применяется математика к реальной действительности. После рассмотренного примера повторим вопрос: нужны ли математические модели и надо ли уметь работать с ними? Нужны! Разумеется, чем сложнее модель, тем больше фактов, правил, свойств приходится применять для работы с ней. Эти факты, правила, свойства надо изучить, что мы и будем с вами делать на протяжении всех лет изучения алгебры в школе.
Математические модели бывают не только алгебраические (в виде равенства с переменными, как в таблице на с. 17, или в виде уравнения, как было в примере 1). Для знакомства ещё с одним видом математической модели возьмём задачу из учебника математики для 6-го класса (специально берём задачу, с которой вы, может быть, встречались).
Пример 2. Построить график температуры воздуха, если известно, что температуру измеряли в течение суток и по результатам измерения составили следующую таблицу:
Р е ш е н и е. Построим прямоугольную систему координат. По горизонтальной оси (оси абсцисс) будем откладывать значения времени, а по вертикальной оси (оси ординат) — значения температуры. Построим на координатной плоскости точки, координатами которых являются соответствующие числа из таблицы. Всего получается 12 точек (рис. 1). Соединив их плавной линией, получим один из возможных графиков температуры (рис. 2). 
Итак, нам нужно учиться описывать реальные ситуации словами (словесная модель), алгебраически (алгебраическая модель), графически (графическая модель). Бывают ещё геометрические модели реальных ситуаций — они изучаются в курсе геометрии. Впрочем, графические модели также иногда называют геометрическими, а вместо термина «алгебраическая модель» употребляют термин «аналитическая модель». Всё это — виды математических моделей.
Чтобы свободно оперировать любыми видами математических моделей, нужно научиться переходить от одного из них к другому. Так, выше, в примере 1, нам удалось перейти от словесных моделей к аналитическим (см. таблицу на с. 17). В примере 2 удалось перейти от словесной (точнее, табличной) модели к графической, что позволило вновь вернуться к словесному описанию рассматриваемой ситуации, но уже на более содержательном уровне. Будем учиться этим переходам.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое математическая модель?
2. Какие виды математических моделей вы знаете? Приведите пример каждого вида математической модели.
3. Назовите три этапа математического моделирования.
4. На каком из этапов математического моделирования при решении текстовой задачи нам не нужно знать объекты условия задачи?
Конспект урока на тему «Математические модели» 7 класс УМК Л.Л. Босовой
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ 7_2.4_ Математические модели.pps
Описание презентации по отдельным слайдам:
Описание слайда:
11.08.2021
1
Математические модели
7 класс
Выполнила презентацию
учитель информатики
МОУ «СОШ №20»
Поспелова Г. В.
г. Новомосковск Тульская область
Описание слайда:
11.08.2021
2
2
§ 2.4. Математические модели
Основным языком информационного моделирования в науке является язык математики.
Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями.
Описание слайда:
Описание слайда:
11.08.2021
4
Рассматривая физическую систему: тело массой m, скатывающееся по наклонной плоскости с ускорением a под воздействием силы F, Ньютон получил соотношение F = mа.
Это математическая модель физической системы.
Описание слайда:
11.08.2021
5
Метод моделирования дает возможность применять математический аппарат к решению практических задач. Понятия числа, геометрической фигуры, уравнения, являются примерами математических моделей.
К методу математического моделирования в учебном процессе приходится прибегать при решении любой задачи с практическим содержанием. Чтобы решить такую задачу математическими средствами, ее необходимо вначале перевести на язык математики (построить математическую модель).
Математическое моделирование
Описание слайда:
11.08.2021
6
При математическом моделировании исследование объекта осуществляется посредством изучения модели, сформулированной на языке математики.
Пример: нужно определить площадь поверхности стола. Измеряют длину и ширину стола, а затем перемножают полученные числа. Это фактически означает, что реальный объект – поверхность стола – заменяется абстрактной математической моделью прямоугольником. Площадь этого прямоугольника и считается искомой.
Из всех свойств стола выделили три: форма поверхности (прямоугольник) и длины двух сторон. Не важны ни цвет стола, ни материал, из которого он сделан, ни то, как он используется.
Предположив, что поверхность стола – прямоугольник, легко указать исходные данные и результат. Они связаны соотношением S=ab.
Описание слайда:
Описание слайда:
Описание слайда:
11.08.2021
9
Пример 1:
Вычислить количество краски для покрытия пола в спортивном зале.
Описание слайда:
11.08.2021
10
Пример 2:
Через первую трубу бассейн наполняется за 30 часов, через вторую трубу – за 20 часов. За сколько часов бассейн наполнится через две трубы?
Описание слайда:
На шоссе расположены пункты А и В, удалённые друг от друга на 20 км. Мотоциклист выехал из пункта В в направлении, противоположном А со скоростью 50 км/ч.
Составим математическую модель, описывающую положение мотоциклиста относительно пункта А через t часов.
За t часов мотоциклист проедет 50t км и будет находится от А на расстоянии 50t км + 20 км. Если обозначить буквой s расстояние (в километрах) мотоциклиста до пункта А, то зависимость этого расстояния от времени движения можно выразить формулой: S=50t + 20, где t>0.
Описание слайда:
Описание слайда:
11.08.2021
13
Вот так обычно применяется математика к реальной жизни.
Математические модели бывают не только алгебраические (в виде равенства с переменными, как в разобранных выше примерах), но и в другом виде: табличные, графические и другие.
С другими видами моделей мы познакомимся на следующем занятии.
Описание слайда:
11.08.2021
14
Задание на дом:
§ 2.4 (стр. 54-58)
№№ 1, 2, 3, 4 (стр. 57) в тетради
Описание слайда:
11.08.2021
15
Спасибо за урок!
Описание слайда:
Описание слайда:
11.08.2021
17
Презентацию подготовила
Поспелова Г.В.
Желаю всем приятного просмотра.
Учитель информатики МОУ «СОШ № 20»
г. Новомосковск
Тульская область, 2010 г.
Выбранный для просмотра документ 7_2.4_Математические модели.doc
Тема «Математические модели»
7 класс (УМК Л.Л. Босовой)
§ систематизировать и обобщить сведения, полученные учащимися на предыдущем уроке;
§ расширить представления учащихся о знаковых информационных моделях;
§ дополнить и обобщить представления учащихся о математических моделях.
§ закрепить представления учащихся о моделях и моделировании, видах информационных моделей, математических моделях;
§ систематизация полученных знаний.
§ развитие аналитико-синтезирующего мышления, формирование умений наблюдать, делать выводы, развитие находчивости, умения преодолевать трудности для достижения намеченной цели.
§ воспитание положительного отношения к знаниям, привитие интереса к Информатике, формирование навыков самоорганизации и самоконтроля.
Тип урока: комбинированный.
Формы работы на уроке: самостоятельная, индивидуальная работа.
Методы: словесный (рассказ), наглядно-иллюстративный, практический.
§ Комплекс мультимедиа (ПК, проектор, интерактивная доска);
§ Презентация 7_2.4 «Математические модели».
§ знаковая информационная модель,
1) Актуализация и проверка усвоения изученного материала
1. Обсуждаются вопросы:
• Что такое моделирование?
• Какие модели называют натурными?
• Какие модели называют информационными?
• Какие существуют виды информационных моделей?
• Какие информационные модели наиболее распространены в общении?
• В каких случаях вместо текстовых описаний лучше использовать списки
(нумерованные, маркированные, многоуровневые)?
• Почему естественный язык не всегда пригоден для создания информационных
2. Ученики отвечают на вопросы учителя:
1. Модели, включающие набор свойств, содержащий всю необходимую информацию об исследуемом объекте, называют… (информационные)
2. Объект, который используется в качестве “заместителя” другого объекта с определенной целью (модель)
3. Описание предмета, рассказ о явлении, событии – это … модели (словесные)
4. Кукла, плюшевый медвежонок, глобус – это…. модели (натурные)
5. Формула площади прямоугольника, текст – это … модели (знаковые)
6. Рисунки, фотографии – это … модели (образные)
7. Карта, график, таблица, схема – это … модели (смешанные)
8. Процесс создания и использования моделей (моделирование)
2) Объяснение нового материала: Математические модели. § 2.4.
(Сопровождается показом презентации 7_2.4_Математические модели»)
Основным языком информационного моделирования в науке является язык математики.
Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями. Метод моделирования дает возможность применять математический аппарат к решению практических задач. Понятия числа, геометрической фигуры, уравнения, являются примерами математических моделей.
К методу математического моделирования в учебном процессе приходится прибегать при решении любой задачи с практическим содержанием. Чтобы решить такую задачу математическими средствами, ее необходимо вначале перевести на язык математики (построить математическую модель). (Слайды 2-5)
Рассмотрим примеры приведения решения конкретной задачи к математической модели.
Слайды 6 : Нужно определить площадь поверхности стола.
Слайды 7 и 8 : Через иллюминатор затонувшего корабля требуется вытащить сундук с драгоценностями.
Слайд 9 : Вычислить количество краски для покрытия пола в спортивном зале.
Слайд 10 : Через первую трубу бассейн наполняется за 30 часов, через вторую трубу – за 20 часов. За сколько часов бассейн наполнится через две трубы?
Слайд 11 : На шоссе расположены пункты А и В, удалённые друг от друга на 20 км. Мотоциклист выехал из пункта В в направлении, противоположном А со скоростью 50 км/ч.
Составим математическую модель, описывающую положение мотоциклиста относительно пункта А через t часов.
Вот так обычно применяется математика к реальной жизни.
§ Известно, что дети быстро утомляются на уроках, поскольку длительное время находятся в статичном положении.
§ Физкультминутки помогают предупреждению и снятию умственного утомления.
§ Проводят физкультминутку на 12- 20 минуте от начала урока.
§ Продолжительность 1-2 минуты.
(Проводится физкультминутка для глаз.)
4) Практическая работа
Составить математические модели для ситуаций: (Слайд 12.)
1). У Миши x марок, а у Андрея в полтора раз больше. Если Миша отдаст Андрею 8 марок, то у Андрея станет марок вдвое больше, чем останется у Миши.
3). Первое число равно x, а второе на 2,5 больше первого. Известно, что 1/5 первого числа равна 1/4 второго.
Ученики самостоятельно составляют математические модели, а затем выполняется проверка решения (Слайд 12).
1) Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: было у Миши х марок; у Андрея 1,5х. Стало у Миши х-8, у Андрея 1,5х+8. По условию задачи 1,5х+8=2(х-8).
3) Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: первое число х; второе х+2,5. По условию задачи х/5=(х+2,5)/4.
Математические модели бывают не только алгебраические (в виде равенства с переменными, как в разобранных выше примерах), но и в другом виде: табличные, графические и другие. (Слайд 13).
5) Домашнее задание
2) § 2.4 (стр. 54-58); №№ 1, 2, 3, 4 (стр. 57) в тетради (Слайд 14)
У каждого ученика на столе карточки (зеленая, желтая, красная). Уходя из класса, нужно оставить на столе учителя одну из них:
Материал размещен на сайтах:
Выбранный для просмотра документ ‚ ¦®!.txt
. Орфография и форматирование автора материала.
Образовательно-информационный ресурс для учителей информатики,
учащихся и всех-всех, кто интересуется ИТ:
Организационные, методические и нормативные документы,
лабораторно-практические работы (комплекс занятий по MS Word, MS Excel,
MS Access, MS PowerPaint, Paint, Move Maker и др. прикладным программам),
лекции,конспекты, дидактический материал, занимательная информатика,
экзамен, проектная деятельность, презентации.
Все в свободном доступе! Без регистрации!
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс профессиональной переподготовки
Методическая работа в онлайн-образовании
Курс профессиональной переподготовки
Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала: