что такое математическая линия

ЛИНИЯ

кривая,- геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение к-рого представляет значитю трудности и осуществляется в разных разделах геометрии различно.

В рамках элементарной геометрии понятие Л. не получает отчетливой формулировки и иногда определяется как «длина без ширины» или как «граница поверхности». По существу в элементарной геометрии изучение Л. сводится к рассмотрению примеров (прямая, отрезок, ломаная, окружность и др.). Не располагая общими методами, элементарная геометрия довольно глубоко проникла в изучение свойств конкретных Л. (конич. сечения, нек-рые алгебраич. Л. высших порядков и трансцендентные Л.), применяя в каждом случае специальные приемы.

В аналитич. еометрии Л. на плоскости определяется как множество точек, координаты к-рых удовлетворяют уравнению F(x, у)=0. При этом на функцию Fдолжны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, уравнение это имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло «куска плоскости».

Важный класс Л. составляют те, для к-рых функция F(x, у).есть многочлен от двух переменных; в этом случае Л., определяемая уравнением F(x, y) = 0, наз. алгебраической. Алгебраич. Л., задаваемые уравнением 1-й степени, суть прямые. Уравнение 2-й степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или Л., распадающуюся на две прямые. Алгебраич. Л., определяемые уравнениями высших степеней, рассматриваются в алгебраич. геометрии. При этом большую стройность приобретает их теория, если рассмотрение ведется на комплексной проективной плоскости. В этом случае алгебранч. Л. определяется уравнением вида

Для тех разделов математики, в к-рых господствуют методы теории функций (анализ, дифференциальная геометрия и др.), естественное определение Л.- задание ее пара метрически мп уравнениями. Так, в случае плоскости, Л., заданная параметрич. уравнениями

Кроме такого подхода существует п другая точка зрения (К. Жордан, С. Jordan, 1882) на определение Л. параметрич. уравнениями: Л. наз. множество точек плоскости, координаты к-рыХ суть непрерывные функции параметра t, заданные на отрезке [a, b]; теперь точки, соответствующие различным значениям параметра, но имеющие одни и те же координаты, уже не считаются различными, и множество, составляющее Л., уже не рассматривается как упорядоченное значениями t. Это определение обобщается на любое топологич. пространство: множество точек топологич. пространства, являющееся непрерывным образом отрезка, наз. жордановой кривой.

Однако построены такие непрерывные функции и что множество точек, координаты к-рых определяются. этими функциями, заполняют квадрат (см. Пеано кривая). Более общо, всякий локально связный континуум (т. е. континуум, каждая точка к-рого обладает сколь угодно малой связной окрестностью) является непрерывным образом отрезка (теорема М а з у р к е в и ч а). Таким образом, не только квадрат, но и куб любого числа измерений и даже бесконечномерный гильбертов кирпич являются непрерывными образами отрезка.

Вышеизложенное показывает, что Л. не может быть определена как непрерывный образ отрезка, если на отображение не наложить дополнительных ограничений. Так, в дифференциальной геометрии эти ограничения выражаются в том, что на функции, фигурирующие в параметрическом задании Л., налагаются условия существования производных различных порядков. С другой стороны, существуют континуумы, которые естественно рассматривать как Л., но к-рые, не будучи локально связными, не являются непрерывными образами отрезка. Таков, напр., континуум, определяемый

Общее определение Л. для случая плоскости было дано (Г. Кантор, G. Cantor, 1870-е гг.) в связи с созданием теории точечных множеств. Плоский континуум, в любой окрестности каждой точки к-рого имеются точки плоскости, не принадлежащие континууму, наз. канторовой кривой. Важный пример канторовой кривой доставляет ковер Серпиньского, строящийся следующим образом. Квадрат Qсо стороной 1 делят на девять равных квадратов прямыми, параллельными его сторонам, и удаляют все

внутренние точки центрального квадрата (рис. 2,. n=1). Так же поступают и с каждым из оставшихся восьми квадратов первого ранга, получается 64 квадрата второго ранга (рис. 2, n = 2). Продолжая процесс для всех натуральных n, на n-м шаге получают 8 n квадратов n- горанга со стороною Пересечение полученных таким образом множеств и есть ковер Серпинь-ского (рис. 2).

Какова бы ни была канторова кривая L, она может быть топологически вложена в ковер Серпиньского 5, т. е. в Sсодержится континуум L’, гомеоморфный Л. L. Ковер Серпиньского является локально связным континуумом и потому может быть получен как непрерывный образ отрезка.

В топологии пользуются понятием Л., введенным в 1921 П. С. Урысоном и являющимся наиболее общим (но не чрезмерно). Определение Л. формулируется следующим образом: линией наз. одномерный континуум, т. с. связное компактное метрич. пространство С, каждая точка к-рого обладает сколь угодно малой окрестностью с границей размерности нуль. Другими словами, при любом e>0 пространство Сможет быть представлено в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра, меньшего е, обладающих тем свойством, что никакие три из этих множеств не имеют общей точки. Ковер Серпиньского удовлетворяет этому определению Л., так что всякая канторова кривая является также и Л. в смысле П. С. Урысона. Обратно, если плоский континуум является Л. в смысле П. С. Урысона, то он будет канторовой кривой. Определение Л., данное П. С. Урысоном, является внутренним: оно характеризуется лишь свойствами самого пространства С и не зависит от того, рассматривается ли это пространство само по себе или как подмножество другого топологич. пространства.

В исследовании Л. важную роль играет понятие индекса ветвления. Л. Св точке химеет индекс ветвления т, если каково бы ни было число e>0, существует открытое множество Uдиаметра, меньшего, чем е, содержащее точку х. граница к-рого есть множество мощности, не превосходящей т, но для достаточно малого e’>0 граница всякого открытого множества, содержащего точку х, диаметр к-рого меньше e’, имеет мощность, не меньшую, чем т. Точки Л. относительно их индекса ветвления классифицируются следующим образом.

2) Точки неограниченного индекса ветвления w. (Точка х Л. С имеет индекс ветвления со, если каково бы ни было число e>0, существует открытое множество, содержащее точку х, с диаметром, меньшим, чем е, граница к-рого состоит’из конечного множества точек; но каково бы ни было натуральное п, найдется такое e n >0, что граница всякого открытого множества,

содержащего хи имеющего диаметр меньший, чем e n состоит не менее, чем из га точек.)

3) Точки счетного индекса ветвления

4) Точки континуального индекса ветвления с.

Точка Л. С, индекс ветвления к-рой больше двух, наз. точкой ветвления; точка, индекс ветвления к-рой равен единице, наз. концевой точкой.

Примеры, а) Отрезок во всех своих внутренних точках имеет индекс ветвления, равный двум; индекс ветвления концов отрезка равен единице, б) Окружность в каждой своей точке имеет индекс ветвления два. в) Л., состоящая из га прямолинейных отрезков,.

исходящих из одной точки О, имеет в точке Оиндекс ветвления п. г) Л., состоящая из отрезков выходящих из начала координат О, имеющих длины и образующих с осью Ох углы, соответственно равные имеет в точке Онеограниченно возрастающий: индекс ветвления со (рис. 5). д) Л., состоящая из отрезка Оа 0 длины 1 и отрезков длины 1, выходящих из точки Ои образующих с отрезком Оа 0 углы, соответственно равные имеет в каждой точке отрезка Оа 0 счетный индекс ветвления (рис. 6). е) Л., состоящая из отрезков, соединяющих точку Осо всеми точками канторова множества, лежащего на отрезке

y=0, имеет во всех своих точках континуальный индекс ветвления с (рис. 7). ж) Ковер Серпиньского также имеет во всех своих точках континуальный индекс ветвления.

Существуют также Л., имеющие во всех своих точках неограниченный индекс ветвления, счетный индекс ветвления и континуальный индекс ветвления. Лит.:[1] Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.- Л., 1948; [2] К у р а т о в с к и й К., Топология, пер. с англ., т. 2, М., 1969; [3] М е n g е r К., Kurventheorie, Lpz.- В., 1932; [4] Пархоменко А. С., Что такое линия, М., 1954; [5] У р ы с о н П. С., Труды по топологии и другим областям математики, т. 2, М.- Л., 1951; [6] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Д., 1937. А. С. Пархоменко.

Источник

Плоскость, прямая линия, луч

Плоскость в математике можно сравнить с другими плоскостями, которые окружают нас в повседневной жизни: школьная доска, лист бумаги, экран планшета или смартфона и т.д. На них мы можем легко обозначить точки и линии, которые мы изучали на предыдущем уроке. На школьной доске мы это делаем мелом или фломастером, на листе бумаги можем нарисовать их ручкой, карандашом, фломастером; когда мы прокручиваем окно сайта или приложения на смартфоне, мы проводим на экране пальцем линию, когда переходим по ссылкам – ставим на его плоскости точку.

Но эти примеры плоскостей из жизни имеют свои размеры и границы, они конечные, их можно измерять.

Плоскость – это воображаемая абсолютно ровная и неизменяемая поверхность, которая не имеет толщины, но обладает бесконечными длиной и шириной.

Плоскость нельзя измерять, потому что она бесконечная.

Плоскость нельзя согнуть, в каком бы положении она ни находилась.

Все объекты и фигуры, которые изучаются в курсе математики 5 класса, находятся на плоскости.

Прямая линия

Прямая линия – абсолютно ровная линия, которая длится бесконечно в обе стороны, и на всем ее протяжении не изгибается и не преломляется.

Обозначение прямой

Например, на рисунке 1 обозначены такие прямые:

Рис. 1 Обозначение прямой линии

Рис. 2 Обозначение прямой с несколькими точками

Некоторые свойства прямой

Две точки, лежащие на одной прямой, создают отрезок этой прямой.

Через две любые точки на плоскости можно провести единственную прямую.

Рис. 3 Отрезок на прямой

Две разные прямые могут пересекаться или не пересекаться.

Две прямые пересекаются в том случае, если у них есть общая точка.

Рис. 5 Пересечение прямых

Более подробно об этих и других свойствах прямой написано в уроке геометрии 7 класса.

Луч – это часть прямой, которая начинается в определенной точке и длится бесконечно в одну сторону.

Рис. 6 Деление прямой линии точкой

У луча есть начало, но нет конца. От прямой луч отличается тем, что луч бесконечно продолжается только в одну сторону.

Свое название этот математический объект получил по аналогии с лучом света, который имеет начало (источник света), но определенного конца у него нет.

Обозначение луча

Луч, как и прямую, обозначают двумя способами.

Рис. 7 Обозначение луча

На рисунке 2 приведены примеры обозначения луча:

Луч имеет второе название – полупрямая.

Рис. 8 Дополнительные друг другу и совпадающие лучи

На рисунке 8 видно, что:

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.6 / 5. Количество оценок: 20

Источник

Точка и линия

Я не буду рассказывать вам, что об этом пишут в различных учебниках, ведь вы здесь для того, чтобы понять и применять, а не для того, чтобы зубрить. Я расскажу так, чтобы было понятно.

Точка – это воображаемый геометрический объект, не имеющий никаких размеров и не состоящий ни из чего.
У точки нет ни длины, ни ширины, ни высоты. Ее нельзя измерить. Точка неделимая. Она не состоит ни из каких-либо других частей.

Зачем нужна точка, если она воображаемая? Для чего ее придумали?

Точка выполняет только одну задачу: указание месторасположения.

Пример: точка на карте навигатора указывает нам на то, где находится конечный пункт поездки, то есть, на его местоположение.

Линия – это множество точек, расположенных последовательно друг за другом.

Например, представим себе цепь. Можно вообразить, что каждое ее звено – это точка. И точно так же, как цепь состоит из звеньев, соединенных между собой, так и линия состоит из точек, образно говоря, склеенных друг с другом.

Рис. 1 Цепь и линия

Линия не имеет ширины и высоты, но можно измерить ее длину. Линия состоит из точек.

Как можно измерить то, что состоит из придуманных объектов, не имеющих размеров? Зачем нужна линия?

Действительно, геометрическая точка не имеет размеров, ее невозможно измерить. Но она, как было сказано выше, указывает на местоположение чего-либо конкретного.

Возьмем для примера опять навигатор. Вы на автомобиле проехали от своего дома в любимое кафе.

Рис. 2 Путь автомобиля

Можем ли мы представить автомобиль точкой? Да, можем. Во время движения автомобиль изменял свое местоположение. Чтобы показать на карте, в каких именно местах побывал автомобиль во время поездки, мы обозначим их точками, следовательно, для упрощения рисунка мы смело можем заменить автомобиль точкой. Тогда полный путь от дома к кафе (множество мест на дороге, на которых побывала машина) мы можем изобразить в виде линии, то есть, идущих друг за другом точек. А так как путь от дома к кафе имеет какую-то длину, то и нарисованная линия имеет длину, равную этому пути, а значит, линию можно измерить.

Рис. 3 Контур и диапазон

Как видно на примере рисунка 3-а, при помощи линии обозначено очертание птицы на ветке, а на 3-б – пример решения неравенств методом интервалов.

Для чего нужна линия:
1. Показывает путь движения какого-либо объекта;
2. С ее помощью можно измерить расстояние между какими-нибудь объектами;
3. Служит для обозначения границ объекта или фигуры;
4. Показывает диапазон каких-то значений.

Обозначение точек и линий

Рис. 4 Обозначение точек и линий

Взаимное расположение точек и линии

Точка может принадлежать линии (то есть, быть одной из ее составляющих), а может не принадлежать ей.

Рис. 4.1 Принадлежность точек линии

При записи на письме точка обозначается при помощи знака точка, заключенного в скобки, с добавлением заглавной буквы латинского алфавита: (·) H

Теперь я запишу то, что мы увидели на рисунке 4.1, на языке геометрии, а вы попробуйте прочитать самостоятельно:

Виды линий

Рис. 5 Замкнутая и незамкнутая линия

Замкнутая линия не имеет обрывающихся концов. Она начинается и заканчивается в одной точке. Причем эта точка может находиться в любом месте на этой линии.

Рис. 6 Контур птицы

Незамкнутая линия имеет один или два обрывающихся конца. Начало и конец такой линии находятся в разных местах (точки A и B ).

Рис. 7 Незамкнутые линии

Еще несколько примеров.

1. Ты вышел из дома погулять и вернулся домой. Какой линией можно обозначить твой путь? Правильно, замкнутой.

2. Ты вышел из дома, погулял, а потом зашел к соседу. Какой линией можно обозначить твой путь? Правильно, разомкнутой.

3. Ты вышел из дома и пошел к другу в дом напротив. Какой линией можно обозначить твой путь? Правильно, разомкнутой.

Также линии бывают:

Рис. 11 Самопересекающиеся и не самопересекающиеся линии

Попробуйте сформулировать самостоятельно, какие линии называются самопересекающиеся, а какие – не самопересекающиеся.

Рис. 12 Прямая, ломаная, кривая линии

Более подробно о прямых, кривых и ломаных линиях рассмотрено в других уроках.

Источник

Что такое математическая линия

О РАЗМЕРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ И ТОЛЩИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ

Так каковы же эти размеры, и как их определить?

Отметим на прямой сечением начало её разметки, и обозначим его нулём. Следующим сечением отметим конец единичного мерного отрезка для создания из прямой числовой оси, и обозначим его единицей. Этим действием мы уже создали числовую ось, так как при помощи мерного отрезка автоматически возникает числовая разметка прямой. Нельзя забывать только, что получена разметка размещения на прямой системы рациональных чисел.

Мы знаем, что существует, помимо полученной рациональной системы разметки, бесконечное множество иррациональных систем, которые не соизмеримы с нашей, а так же между собой. Но они ни чем не отличаются от нашей, просто пользоваться избранной гораздо проще.

Теперь введём определённый порядок в проведении числовой разметки прямой. Напоминаю, что разметка ведётся здесь только сечениями.

Первый порядок — это отложение целых чисел. Сразу необходимо отметить, что между любыми двумя соседними целыми числами рациональной системы обязательно должен находиться весь бесконечный перечень иррациональных чисел, по одному от каждого вида того же порядка, что и в рациональной системе.

Второй порядок получаем делением промежутка между соседними целыми числами, скажем, пополам (можно и на любое другое число). То же деление (и на то же число) производим и с иррациональными числами, которые были представлены в рациональном промежутке первого порядка. В половинчатом рациональном промежутке снова окажется весь половинчатый перечень представителей иррациональных чисел, по одному от каждого вида, но уже второго порядка.

Этот процесс дробления можно (и необходимо)продолжать до бесконечности, но только в направлении к сечению конкретного рационального числа. Приближение должно проводиться с недостачей и с избытком. Этот бесконечный процесс дробления промежутка с приближением к сечению конкретного рационального числа и даёт нам размер математической точки, представляющий собою бесконечно малую величину.

Взяв прямоугольную систему координат на плоскости, и приближаясь к точке их пересечения с двух сторон по одной из них выше указанным методом определим, что и линия (математическая) имеет бесконечно малую ширину.

Взяв пространственную прямоугольную систему координат, тем же методом найдём, что пространственная линия (математическая) имеет бесконечно малую толщину.

Источник

Прямые, кривые и очень изломанные. Краткая история линии от «Начал» Евклида до фракталов начала XX века

Что такое линия? Чем отличаются разные кривые друг от друга? Эти вопросы математики задают себе уже 2500 лет, и путь к ответам на них не лишен драматизма — открытие иррациональных длин отрезков было, по легенде, трагедией для мировоззрения пифагорейцев, а открытие заполняющих плоскость кривых Пеано в начале ХХ столетия заставило ученых пересмотреть свои представления о непрерывности и размерности пространства. Математик и художник Давид Кац — об истории понятия «кривая» в математике Античности и Средневековья и математическом анализе Нового времени.

Узоры древности

Интерес человека к прямым и искривленным линиям можно отследить с древнейших времен. Самые разные кривые мы видим в геометрических узорах на керамике и в архитектуре. Кроме достаточно простых узоров, составленных из прямых линий, часто можно встретить и что-то более сложное: спирали, волнистые линии и другие.

Представления о геометрии существовали уже в Египте и у цивилизаций Плодородного полумесяца. Возникли они, по-видимому, из совершенно практических потребностей: например, для сельского хозяйства важно уметь измерять площади участков земли. Однако в сохранившихся источниках мы видим эти представления скорее как набор рецептов, чем как науку.

Греция: длина без ширины

Древние греки подошли к вопросу более строго. В «Началах» Евклида возникают определения (впрочем, зачастую носящие скорее описательный характер — на них, например, не ссылаются далее) линии, прямой линии, точки. Выглядят они, мягко говоря, несовременно:

Определение 1.1. Точка — это то, часть чего есть ничто.

Определение 1.2. Линия — это длина без ширины.

Определение 1.3. Концы линий — это точки.

Определение 1.4. Прямая линия лежит равномерно по отношению к точкам на ней. (Или: Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках.)

Первое из этих определений можно при желании трактовать в духе теории множеств, третье, по-видимому, намекает, что линии у нас априори конечные. Второе можно трактовать описательно, что касается четвертого, то мнения сильно расходятся.

Несколько иная, хотя местами и похожая ситуация возникает в труде, традиционно приписываемом Герону, — «Определение понятий геометрии» (но в статье W. R. Knorr, ‘Arithmêtikê stoicheiôsis’: on Diophantus and Hero of Alexandria, Historia Math. 20 (2) (1993), 180–192 приводятся аргументы в пользу принадлежности его Диофанту):

Прямая линия — это линия, которая одинакова по отношению ко всем точкам на ней, лежит прямо и максимально натянута между своими концами.

Последнее определение довольно явно отсылает нас к кратчайшему расстоянию между двумя точками.

Читайте также

В наиболее известных трудах древних греков рассматриваются главным образом прямые линии. Хотя в некоторых трудах встречаются и иные известные им линии.

Аполлоний Пергский, один из трех великих геометров Античности (вместе с Евклидом и Архимедом), занимался коническими сечениями. Об их существовании знали и до него, однако именно он дал им названия, закрепившиеся в науке, — эллипс, гипербола, парабола.

Приведем и несколько других примеров, известных грекам.

Знаменитая архимедова спираль:

Вторжение иррационального

Для пифагорейцев это была печальная новость — в рамках арифметики им такие числа не встречались, поэтому казалось, что и в целом вычисления с длинами оказывались под угрозой.

Интересно, что позже, в рукописи «Выпрямляющий кривое» (в рамках нашей статьи это предельно интригующее название — чуть позже станет понятно почему) некоего Альфонсо, предположительно, крещеного еврея, жившего в Испании между XIII и XV веками, к несоразмерности длин отношение уже гораздо более доброжелательное:

«Следует знать, что от ученых не скрыто то, как поступают люди, которые обвивают прямыми тонкими нитями из шелка, или льна, или другого материала скрепленный круг и измеряют его окружность прямой линией. Однако следует знать, будет ли на самом деле так, как это воспринимается чувством, которое обладает приблизительностью, ибо чувство недостаточно для этого при той приблизительности, которая имеется в нем. Ведь всякие две линии, не равные друг другу, можно разрезать на очень маленькие части так, что чувством будут их воспринимать как равноценные. Вместе с тем возможно, что эти величины несоизмеримы и что видов иррациональной меры бесконечное количество, как это доказано в 10-й книге Евклида».

Координаты и разрывы

Значительное развитие в понимании кривых линий произошло с переходом от геометрического описания к алгебраическому — в частности, к описанию кривых через уравнения.

В действительности нечто похожее на уравнение встречается у Архимеда и Аполлония Пергского — это так называемые симптомы конических сечений.

Затем координаты (в виде заимствованных из географии понятий долготы и широты) встречаются у Николая Орезмского во второй половине XIV столетия. В XVI веке Виет начал использовать символы для записи уравнений. И, наконец, Рене Декарт (синхронно с ним — Пьер де Ферма) развил идеи, совмещающие символьную запись уравнений и систему координат. Его труд пользовался огромной популярностью и быстро получил широкое распространение и существенное развитие. В системе координат появились отрицательные значения, саму сетку координат научились строить косоугольной.

Этот подход, хотя и ограниченно, применял Ньютон. Впоследствии Кеплер для представления траекторий движения планет активно использовал конические сечения в координатах, геометрически описанные еще греками.

Предыдущие шаги сформировали понятие алгебраической кривой — множества точек, чьи координаты связаны уравнением кривой.

Интересно, что уже на этом, алгебраическом уровне возникают кривые с любопытными особенностями. Возьмем, например, известную многим со школы гиперболу — график функции 1/x. Его можно построить по точкам, но несложно сообразить, что уравнение y = 1/x имеет решение для любого x, кроме одного: x = 0 (на ноль делить нельзя). Это сказывается и на графике:

Что происходит в окрестности нуля? Нетрудно ответить. Давайте подойдем к нему справа. Когда мы подставляем в качестве x в выражение 1/x целое число больше 1, мы получаем дробь. Чем больше число, тем меньше получается дробь — этим и объясняется то, что график идет всё ниже и ниже по мере продвижения вправо. Подставляем х = 100, получаем у = 1/100, подставляет 1000000, получаем 1/1000000. Когда мы подставим в выражение единицу, на выходе получим единицу. Теперь пойдем в обратную сторону, ближе к нулю. Когда мы подставляем в выражение для y ½, она попадает в нижнюю часть дроби. Как мы помним, когда мы делим что-то на дробь, нам нужно умножить на перевернутую эту дробь. Значит, мы получим 2. Очевидно, чем ближе мы к нулю, тем сильнее уходим вверх — подставив 1/1000000, мы получим у = 1000000. Похожая ситуация при подходе слева, но с отрицательным знаком.

То, что происходит в нуле, называется разрывом (по виду графика хорошо понятно почему). В анализе принято классифицировать точки разрыва особым образом. То, что мы сейчас видели, называется точкой разрыва второго рода, поскольку односторонние пределы с двух сторон бесконечны (достаточно того, что один из них бесконечен). Если же односторонние пределы в точке разрыва конечны, то такая точка называется точкой разрыва первого рода.

Длина кривой

С самого начала людям хотелось описывать не только сами объекты, но и их свойства. И раз уж мы говорим о «длине, лишенной ширины», хотелось бы уметь эту длину считать. Мы хорошо умеем считать длины прямых отрезков при помощи линейки, которая позволяет нам определять расстояние между двумя точками, но когда дело касается кривых линий, нам нужен иной метод.

Мы расставляем n точек на равном расстоянии вдоль кривой, после чего замеряем длину прямых отрезков между этими точками (это мы делать умеем). Интуитивно возникает подозрение, что с увеличением числа n мы будем приближаться к значению настоящей длины — прирост суммы будет всё меньше, сверху он ограничен настоящей длинной кривой.

Для простых примеров — скажем, окружностей, синусоид, парабол — этот подход отлично работает. Примеры, в которых он дает сбой, мы рассмотрим далее.

Гладкость

Еще одним свойством, характеризующим кривые, является гладкость. Хотя смысл слова интуитивно понятен, задать ее математически не совсем элементарно. Мы хотим, чтобы у кривой не было углов, заострений, клювов и т. п.

Хороший пример гладкой кривой — синусоида:

А вот пример негладкой кривой:

Чтобы определить это свойство, разберемся, что оно означает геометрически. Для начала вспомним концепцию касательной. Обычно в школе рассматривают в первую очередь касательные окружностей и определяют их как прямые, имеющие одну общую точку с окружностью. В случае произвольной кривой рассматривается касательная в локальном смысле — пересечения кривой вне некоторой окрестности точки касания не рассматриваются как проблема.

В курсе начал анализа доказывается, что такая касательная неразрывно связана с производной функции, график которой образует нашу кривую: более конкретно — тангенс угла наклона касательной (по отношению к положительному направлению оси Ox) равен значению производной функции в точке касания.

Может быть интересно

Кажется, что гладкость — довольно естественное требование к кривой. Это ощущение привело к тому, что в 1806 году Андре-Мари Ампер выдвинул гипотезу о том, что любая функция всюду, за исключением отдельных, «исключительных и изолированных» точек, имеет производную в этих точках.

Позднее гипотеза была разрушена. Первый контрпример следует атрибутировать, по-видимому, Бернхарду Риману. Более простой и широко известный контрпример был построен Ван дер Варденом позднее, в 1930 году. Но наибольшей известностью пользуется функция Вейерштрасса, выраженная формулой:

здесь a — любое нечетное число кроме единицы, b — число от нуля до единицы, а большая греческая cигма обозначает суммирование. Функция оказывается непрерывной для всех вещественных х, но при ряде условий на a и b очень негладкой:

Бесконечность в глубине отрезка

Совсем другой подход к кривым предложил великий французский математик Мари Энмон Камиль Жордан. Что если мы возьмем все точки отрезка и с помощью некоторого отображения перенесем их в пространство? Представьте, что наш отрезок сделан из проволоки, которую можно гнуть, вытягивать и сжимать. С помощью сжатия и вытягивания мы можем добиться изменения длины нашего отрезка, а с помощью сгибания — изменения его формы. Если же строго, то жордановой дугой называется образ непрерывного вложения отрезка в пространство: то есть разные точки отрезка обязательно перейдут в разные точки кривой. Можно представить, что отрезок у нас — временной, скажем, от начала работы секундомера до конца его работы. Тогда каждую секунду мы переводим в какое-то положение точки.

Жордановой замкнутой кривой называют образ непрерывного вложения окружности в пространство (из накладываемых требований следует, что окружность обязательно перейдет в некоторую замкнутую линию).

И хотя концепт жордановой кривой кажется достаточно простым, с его помощью можно получить весьма парадоксальные результаты.

В 1903 году Уильям Фогг Осгуд рассмотрел кривую, которая, являясь жордановой кривой, заполняет собой квадрат и в некоторых своих частях (более строго — порциях) имеет ненулевую площадь.

Впоследствии Кнопп построил жорданову кривую, обладающую ненулевой площадью вдоль всей кривой. Этот результат достигается за счет очень узких вырезаемых «клиньев», узость которых приводит к тому, что вычитаемая из площади треугольника площадь падает экспоненциально.

Кстати, вот здесь можно построить ее самостоятельно.

Примеров на эту тему много. Здесь мы упомянем полученные аффинными преобразованиями кривые де Рама:

кривую Коха — Пеано

и еще несколько кривых де Рама:

Заполнить плоскость

В 1890 году итальянский математик Джузеппе Пеано построил непрерывную кривую, которая проходит через любую точку квадрата (в оригинале использовался единичный, но построение легко повторить для квадрата любых размеров). Пеано задавался вопросом: может ли кривая заполнить всю плоскость или пространство? Результат Пеано воспринимался контринтуитивно. Годом позже кривую с тем же свойством построил уже графически Давид Гильберт.

В дальнейшем все кривые со свойством «заполнения» квадрата стали называть кривыми Пеано, а в более узком смысле это название закрепилось за конкретной кривой из его статьи 1890 года. Поскольку кривая заполняет любой наперед заданный квадрат, мы можем использовать ее и для заполнения плоскости, а в более общем случае — пространства или пустоты внутри нас.

Здесь нужно сделать важное уточнение — отображение с отрезка на квадрат, построенное Пеано, не взаимно-однозначно: не существует кривых Пеано, в которых каждая точка квадрата проходится только единожды — везде при этом построении возникают кратные точки.

Однако существуют кривые Пеано, у которых каждая точка проходится не более трех раз (и множество таких точек счетно).

Интересный факт следует из наших построений. Можно задать параметрически пространственную дугу, которая при проецировании на горизонтальную плоскость будет давать сплошное пятно; при этом такая «крыша» будет давать тень от вертикальных лучей света, но не спасет от дождя, поскольку ее поверхность получается не сплошной.

Ни одна кривая Пеано не гладкая. На интуитивном уровне можно объяснить это необходимостью очень быстро разворачивать направление нашей кривой, что невозможно сделать гладко. Сам Пеано в первой работе на эту тему сознательно не приводил построение кривой, чтобы не опираться на рисунок, однако мы всё же приведем это построение:

Обратите внимание на клетки, они позволяют понять, что происходит на каждом участке. То, что получится в результате бесконечного процесса этого рода, и называется кривой Пеано.

Обладающую тем же свойством кривую построил и современник Пеано Гильберт. Его кривая строится следующим образом:

Существуют и объемные, и многомерные аналоги кривой Пеано, заполняющие куб (многомерный куб, соответственно).

Приведем несколько примеров других кривых, обладающих этим свойством.

Фракталы

Подробнее об этом виде кривых мы писали тут. Однако в рамках разговора об эволюции представлений о кривых не упомянуть их невозможно. Классическим примером фрактала (фигуры со свойством самоподобия) является кривая Коха.

Свойство самоподобия означает, что фигура полностью или приближенно совпадает по форме с частью самой себя. В качестве примера можно провести кривую Коха:

В качестве нулевого «поколения» берем просто отрезок. На первом шаге его среднюю треть превращаем в правильный треугольник без основания, как бы выгибаем его. У нас получится четыре соединенных в кривую линию отрезка. На следующем шаге повторяем эту операцию с каждым из четырех отрезков. И так далее до бесконечности.

Читайте также

Наш подход с прямыми отрезками терпит здесь фиаско — вместо приближения к какой-то конечной длине сумма длин отрезков неограниченно растет.

Конечно, кривые, обладающие этим свойством, не исчерпываются самоподобными фигурами. Достаточно найти трещину на стене не самой простой формы: самоподобия в ней мы, как правило, не наблюдаем, и в то же время от одной ее «ветки» отходят новые, иной формы, и т. д.

Интересно, что тотально (то есть на любой порции) неспрямляемая кривая очень плохо помещается в ту же концепцию кривой как траектории движения. Точка, движущаяся по такой траектории, очевидно движется не по законам классической механики.

Во-первых, если бы точка двигалась с конечной скоростью по такой кривой, то она бы не двигалась вовсе: сколь угодно малая дуга здесь имеет бесконечную дугу. Но более того — такая кривая нигде не имеет и касательной, а значит, и направление скорости не задано!

В этом кратком обзоре мы лишь немного коснулись трансформации интуитивного представления о кривой в анализе — оставив за скобками развитие этого понятия в алгебре или современной геометрии, равно как и все вопросы, связанные с исследованием строения кривых.

Если эти — опущенные здесь — вопросы заинтересовали вас, то рекомендуем обратиться, например, к популярной брошюре В. И. Арнольда «Вещественная алгебраическая геометрия», а также к брошюре В. В. Острика и М. А. Цфасмана «Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые».

Источник