что такое логарифмическое неравенство

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №28.Логарифмические неравенства.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Понятие логарифмического неравенства

2) Основные способы решения логарифмических неравенств

Логарифмические неравенства – это неравенства вида , где и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Решение логарифмических неравенств:

(знак неравенства сохраняется)

(знак неравенства меняется)

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014. – 384 с.

Лысенко Ф. Ф. Тематические тесты. Математика. ЕГЭ-2008. Под редакцией – Ростов-на-Дону: Легион, 2007. 256 с.

Шестаков С.А., Трепалин А.С., Ященко И.В., Захаров П.И.; под ред. Ященко И. В. ЕГЭ 2016. Математика. 20 вариантов тестов. Тематическая рабочая тетрадь – М.: МЦНМО, Издательство «Экзамен», 2016. – 295, [1] c.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Логарифмические неравенства – это неравенства вида , где и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Способы решения логарифмических неравенств основаны на монотонности логарифмической функции в зависимости от основания логарифма. Функция возрастает, если и убывает, если .

(знак неравенства сохраняется)

(знак неравенства меняется)

Решить неравенство.

Основание логарифма 3 > 1, значит используем 1 схему.

; ; .

Решить неравенство .

Выполним преобразование правой части: заменим и используем свойство суммы логарифмов.

Основание логарифма , значит используем 2 схему.

;; ; .

Ответ:

Решение логарифмических уравнений и неравенств встречается в заданиях ГИА.

Задача 1. Решите неравенство

.

Замена: .

Рассмотрим функцию: .

Нули:

Обратная замена:

Используем определение логарифма, учитывая, что основание 2 >1.

; ; ;

Ответ:

Задача 2. Решите неравенство

.

;

Квадраты противоположных чисел равны, поэтому применяя свойство логарифма степени, не забываем поставить модуль.

;

Т. к. основание логарифма содержит переменную, необходимо рассмотреть 2 случая.

1.

; ; ;

; .

2. .

; ; ;

; .

Ответ:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства .

Источник

Решение логарифмических неравенств.

Логарифмические неравенства в задании 14 профильного уровня ЕГЭ по математике встречаются чаще других. Это связано, в первую очередь, с тем, что выражения с логарифмом имеют ограниченную область допустимых значений, причём задаваемую также неравенством. Последнее обстоятельство приводит к тому, что решение логарифмического неравенства во многих случаях сводится к решению систем алгебраических неравенств (рациональных и не только).

В этом разделе рассмотрены типовые логарифмические неравенства – простейшие и соответствующие профильному уровню ЕГЭ. Все неравенства даны с решениями и комментариями, поэтому будут полезны и при текущем изучении или повторении этой темы.

Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.

Основные положения и примеры решения простейших логарифмических неравенств.

С этим разделом могут ознакомиться и выпускники, которые планируют сдавать экзамен по математике на базовом уровне.
На профильном экзамене встречаются более сложные неравенства, но их также тем или иным образом требуется сводить к простейшим.

К простейшим относятся логарифмические неравенства, которые содержат неизвестную переменную в составе аргумента логарифмической функции с фиксированным основанием, т.е. это неравенства вида \(log_a > \log_a\), где \(a>0,\;a\ne1\) и неравенства, сводящиеся к этому виду.
В более общих случаях неизвестная величина может встречаться и в основании логарифма.

Чтобы решать как логарифмические неравенства, так и логарифмические уравнения, нужно вспомнить определение и свойства логарифмической функции как таковой.
1) Логарифм – трансцендентная функция, т.е. аналитическая функция, которая не может быть задана с помощью алгебраического уравнения. Поэтому чтобы получить решение простейшего логарифмического неравенства, нужно сначала перейти к алгебраическим соотношениям, т.е. «убрать» логарифм.
2) Логарифм – однозначная и монотонная функция, что означает каждому значению аргумента из области определения соответствует единственное значение функции. Поэтому её можно сравнивать саму с собой и «вычёркивать» логарифм. Как и в каких случаях это делать, рассмотрим на примерых ниже.
3) Главное – логарифмическая функция имеет ограниченную область определения. Это означает, что при решении любых заданий с логарифмами, содержащими переменные, нужно не забывать про ОДЗ (область допустимых значений) этой переменной.

Область значений функции E = R – всё множество действительных чисел. Т.е. сам логарифм, в отличие от его аргумента и основания, может принимать любые значения из промежутка \((-\infty; +\infty)\).

Как уже упоминалось, логарифмическая функция монотонна. Посмотрите на её графики.

При a > 1 функция возрастающая,

Поэтому для решения простейших логарифмических неравенств достаточно преобразовать обе части неравенства к логарифму с одинаковым основанием и затем сравнить подлогарифмические выражения. Таким образом мы сравниваем функцию с самой собой при разных значениях её аргумента, т.е. как бы «вычёркиваем» log с обоих сторон неравенства. При этом,
— если основание степени больше единицы, то знак неравенства без «log» будет таким же, как знак исходного неравенства, что характерно для возрастающих функций – большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
— если основание степени меньше единицы, то знак неравенства будет обратным по отношению к знаку исходного неравенства, что характерно для убывающих функций – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пример 1.

Решение.

Область допустимых значений (ОДЗ) выражения \(2x+7>0.\)

Воспользуемся определением логарифма, чтобы представить число −2 в виде значения логарифмической функции с основаением 0,2.

Ответ: \(x \in (3; 8). \)

Введение вспомогательной переменной

Пример 4.

Решение.

В последнем неравенстве неизвестная величина встречается в обоих слагаемых в совершенно одинаковой форме, поэтому можно продолжить решение методом введения вспомогательной переменной.

Замечание 1. Чтобы не выписывать совокупности систем и системы совокупностей, особенно, если вы путаетесь в этих скобках, можно все этапы решения реализовать схемами на числовой оси.

Замечание 2. Заметим, что с некоторого момента решение задачи сводится к анализу неравенств, в которых один и тот же квадратный трёхчлен \(4+3x-x^2\) сравнивается с числовыми значениями. Поэтому дальнейшие действия можно свести к построению одной параболы – эскиза графика функции \(y = 4+3x-x^2\) – и посмотреть как она соотносится с горизонтальными линиями \(y = 0, \; y = 4\; и\; y =32.\) (Вспомните аналогичное задание 2-й части ОГЭ за 9-ый класс.) На это не уйдёт много времени, т.к. коэффициенты трёхчлена целые числа, корни легко вычисляются по теореме Виета, а параболу достаточно построить только по характерным точкам.
Как быстро построить параболу можно посмотреть в видеоуроке на youtube-канале Mathematichka.

Ответ: \(x \in (-1;0) \cup (3;4).\)

Решение.

Выпишем ОДЗ неравенства.
Условие положительности всех аргументов логарифмической функции \[\begin 64x > 0;\\ x > 0;\\ x^4 > 0 \end\] сводится к одному требованию \(x > 0\).
Условие неравенства нулю знаменателей всех дробей \[\begin \log_4−3 \ne 0;\\ \log_4 <(64x)>\ne 0;\\ \log^2_4−9 \ne 0\\ \end\] пока запишем формально, анализировать будем в процессе решения.

Учитывая, что до сих пор все преобразования, которые производились, были равносильными, можем утверждать, что выколов точки 3 и −3 из возможных значений переменной \(y\), мы обеспечили неравенство нулю общего знаменателя дроби, а значит и всех дробей, участвовавших в равносильных преобразованиях. Тем самым выполнена вторая часть ограничений ОДЗ неравенства.

Итак, неравенство для переменной \(y = \log_4\) выполняется при \[<\left[<\begin y 3; \end>\right.> \; <\left|<\begin \log_4 3; \end>\right.> \; <\left|<\begin \log_4 \log_4<64>; \end>\right.> \; <\left|<\begin x 64. \end>\right.>\] С учётом первого условия ОДЗ \((x>0)\), получаем окончательный ответ

Ответ: \(x \in \left(0; \;\dfrac<1><64>\right) \cup \ <4\>\cup (64;\;+\infty)\).

О разложении на множители

\( \log_3\cdot\log_4 — \log_3 — \log_4 +1 0.\)\[ \log_3\cdot\log_4 — \log_3 — \log_4 +1 0; \end > \\ <\begin\log_4 — 1 > 0,\\ \log_3 — 1 1; \end > \; \left|\; <\begin < \log_4\log_3<3>; > \end> \right. \\ <\begin\log_4> 1,\\ \log_3 \log_4<4>,\\ \log_3 3; \end > \; |\; \\ <\beginx > 4,\\ x 0\), можем записать ответ.

Решение II – вспомогательная переменная.

ОДЗ: \(x>0.\)
Приведём логарифмы к одному основанию, например, к основанию 3. \[\log_4 = \frac<\log_3><\log_3<4>>.\] \[\log_3\cdot\log_4 — \log_3 — \log_4 +1 1.\) Имеем \[ 1 0\), следовательно это окончательный ответ.

Решение III – через уравнение.

По рисунку формулируем ответ.

Сравните все три способа решения для этого вовсе не сложного неравенства и определитесь, какой вариант наиболее приемлем для вас.

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.

Чтобы продолжить решение логарифмических неравенств, перейдите по ссылкам
Метод рационализации. в разработке
Примеры неравенств из банка заданий ЕГЭ в разработке
Задачи для самостоятельного решения в разработке

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

Источник