что такое линия пархоменко
Что такое линия
PEKЛAMA: 500 РАДИОСПЕКТАКЛЕЙ НА SD 64GB — ГДЕ.
BAШA ПОМОЩЬ ПРОЕКТУ: ЗАНЕСТИ КОПЕЕЧКУ — КУДА.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В нашей популярной и учебной математической литературе имеется еще мало книг, посвященных основным понятиям математики. Между тем необходимость в такого рода литературе в настоящее время определяется задачей подготовки кадров высоко квалифицированных учителей средней школы. И если учитель не имеет возможности полностью раскрыть школьникам сущность всех основных понятий математики, то сам он должен иметь о них полное и отчетливое представление.
Предлагаемая книга посвящена разъяснению одного из самых основных понятий математики — понятия линии. Кажущееся на первый взгляд очень простым, понятие линии требует для своего общего и полного определения довольно значительных сведений из теории точечных множеств, получившей особенное развитие за последние 50 лет. Именно этим можно объяснить то обстоятельство, что вопрос об определении понятия линии, поставленный еще в древности, нашел свое полное и отчетливое разрешение лишь в 20-х годах текущего столетия. Заслуга решения этого вопроса принадлежит советскому математику П. С. Урысону.
Настоящая книга рассчитана прежде всего на студентов университетов и. педагогических институтов, как дополнительный материал к тем общим и специальным курсам, в которых учащихся знакомят с основами теории множеств. Эта книга имеет в виду также учителей средней школы, самостоятельно работающих над повышением уровня своих знаний. Под руководством учителя некоторые разделы книги могут быть использованы в работе школьных математических кружков.
Книга состоит из четырех глав: в первой главе дается краткий очерк развития понятия линии и выясняется вопрос о необходимости теории точечных множеств для общего определения понятия линии.
Вторая глава посвящена изложению необходимых сведений из теории точечных множеств. Наиболее трудными в ней являются теорема 5 § 5 и теоремы 2, 3 § 6. Этот материал при первом чтении можно пропустить и вернуться к нему, когда это станет необходимым для понимания последующего.
В третьей главе рассмотрено определение линии, данное Г. Кантором, до конца исчерпывающее вопрос для случая плоских линий.
Наконец, в четвертой главе дается общее определение линии и выясняются основные свойства линии, вытекающие из определения линии.
Как из общей теории множеств, так и из теории точечных множеств приведены лишь основные определения и факты. Для более полного ознакомления с этими вопросами мы отсылаем читателя к книге П. С. Александрова «Введение в общую теорию множеств и функций», особенно к главам I, VI, VII.
Лицам, которые пожелают глубже познакомиться с понятием линии, мы можем рекомендовать работу самого Ц. С. У р ы-сона «О канторовых многообразиях», ч. И, Канторовы кривые, помещенную во втором томе собрания сочинений П, С. Урысона, изданного под названием «Труды по топологии и другим областям математики», Москва, 1951 г.
ГЛАВА I
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ЛИНИИ
§ 1. Исторический очерк
Линия является одним из основных объектов геометрического исследования. Причина этого лежит прежде всего в том, что понятие линии возникло из практической деятельности человека, связанной с изготовлением чертежей, определением границ земельных участков, изучением траекторий движения тел. Возникнув из практики, понятие линии находит в свою очередь широкое применение для математического описания явлений природы и производственно-технических процессов.
Вот почему с древних времен до наших дней понятие линии привлекало к себе внимание математиков. Ученые стремились точно определить, что такое линия как математическое понятие, т. е. выяснить, что же общего есть у всех тех вещей, которые на практике мы называем линиями?
Эти попытки лишь в недавнее время нашли свое завершение в работах советского математика П. С. Урысона (1898—1924), который в 20-х годах текущего столетия сумел дать наиболее общее определение линии, позволяющее до конца исследовать сущность этого понятия. Но работы П. С. Урысона могли появиться лишь как результат глубокого и критического освоения всего того огромного научного материала, который был накоплен человечеством за весь предшествующий период времени. Поэтому, чтобы понять всю естественность и необходимость современного определения яинии, мьГ1 должны будем проследить, как развивалось это понятие в связи с общим развитием математики.
Евклид в своих «Началах» определяет линию как длину без ширины («Начала», определение 2) или как границу
поверхности (определение 6) 1). Такие определения, отражая в известной мере свойства линии, не могут, тем не менее, служить для математического изучения понятия линии, так как определяются через другие понятия, которые сами, в свою очередь, нуждаются в определении. Для математического же изучения какого-либо объекта надо, как говорят, задать его аксиоматически, т. е. указать ряд свойств этого объекта, из которых можно было бы логически выводить другие его свойства.
При тогдашнем уровне развития науки и характере требований, предъявляемых к ней практикой, Евклид не мог в сколько-нибудь общей мере справиться с определением понятия линии и, ограничившись вышеприведенными на этот счет общими высказываниями, он в «Началах» останавливает свое внимание на изучении двух простейших и наиболее употребительных линий: прямой и окружности.
Это не значит, конечно, что древние не знали никаких других линий, кроме прямой и окружности. Еще задолго до Евклида была известна такая кривая, как квадратриса Дино-страта, а сто лет спустя Аполлоний подробно разработал теорию конических сечений: эллипса, гиперболы, параболы (Аполлонию же принадлежат и эти названия линий),—линий, получающихся в сечении плоскостью боковой поверхности конуса с круговым основанием. Механика также приводила к необходимости изучения кривых (спираль Архимеда). Однако все это были лишь отдельные разрозненные факты и не существовало ни сколько-нибудь общего определения линий, ни методов их изучения.
Решительный шаг в этом отношении принадлежит Декарту (1596—1650). Бурный рост торговли и промышленности в эпоху первоначального накопления способствовал быстрому развитию техники, что, в свою очередь, привело к небывалому дотоле развитию естествознания и особенно механики. Это развитие нуждалось в математическом аппарате, который был необходим механике для точного выражения ее законов. Огромная роль в развитии этого математического аппарата принадлежит Декарту.
Идеи Декарта вообще имели огромное влияние на развитие всей математики; его координатный метод, в частности, впервые позволил определить понятие линии в очень общей для того времени форме. Поэтому мы остановимся на нем несколько подробнее.
Выбрав на плоскости систему координат, мы можем поставить в соответствие каждой точке плоскости пару действительных чисел — координат этой точки. При этом оказывается, что разным точкам соответствуют разные пары чисел, и что каждой паре чисел соответствует вполне определенная точка плоскости, имеющая эти числа своими координатами. Таким образом, устанавливается, как говорят, взаимно однозначное соответствие между множеством точек плоскости, с одной стороны, и множеством пар действительных чисел — с другой. Это соответствие позволяет для каждой линии составить ее уравнение, т.-е. найти такую зависимость между координатами ее точек, которая справедлива для всех точек этой линии и не имеет места ни для каких других точек. Так, например, окружность с центром в начале координат и радиусом г имеет уравнение
биссектриса угла между осями координат имеет уравнение х—у — 0, и т. д.
Возможность составить для каждой линии ее уравнение дает нам в руки очень общий и очень сильный метод изучения уже известных линий; но в вопросе об общем определении понятия линии мы не получим ничего нового, пока не «обернем» постановку вопроса следующим образом.
Пусть нам дано одно уравнение с двумя неизвестными, которое, перенеся все его члены в левую часть, мы запишем в виде F(x, у) — 0, обозначив через F(x,y) выражение (функцию), стоящее в левой части уравнения. Предположим, далее, что это уравнение имеет бесконечное множество действительных решений, т. е. что существует бесконечное множество пар действительных чисел х, у, удовлетворяющих этому уравнению. Будем рассматривать числа х и у как координаты точки относительно некоторой системы координат на плоскости и назовем линией, заданной уравнением F(x, у) = 0, множество всех тех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
KOHEЦ ФPAГMEHTA
Что такое линия
Описание книги
Предлагаемая книга посвящена разъяснению одного из самых основных понятий математики’ понятия линии. Кажущееся на первый взгляд очень простым, понятие линии требует для своего общего и полного определения довольно значительных сведений из теории точечных множеств, получившей особенное развитие за последние 50 лет. Именно этим можно объяснить то обстоятельство, что вопрос об определении понятия линии, поставленный еще в древности, нашел свое полное и отчетливое разрешение лишь в 20-х годах текуще.
Предлагаемая книга посвящена разъяснению одного из самых основных понятий математики’ понятия линии. Кажущееся на первый взгляд очень простым, понятие линии требует для своего общего и полного определения довольно значительных сведений из теории точечных множеств, получившей особенное развитие за последние 50 лет. Именно этим можно объяснить то обстоятельство, что вопрос об определении понятия линии, поставленный еще в древности, нашел свое полное и отчетливое разрешение лишь в 20-х годах текущего столетия. Заслуга решения этого вопроса принадлежит советскому математику П. С. Урысону. Настоящая книга рассчитана прежде всего на студентов университетов и. педагогических институтов, как дополнительный материал к тем общим и специальным курсам, в которых учащихся знакомят с основами теории множеств. Эта книга имеет в виду также учителей средней школы, самостоятельно работающих над повышением уровня своих знаний. Под руководством учителя некоторые разделы книги могут быть использованы в работе школьных математических кружков. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Глава I. Развитие понятия линии’ 1. Исторический очерк’ 2.’Кривые? Пеано’ 3. Простые дуги. Линии, составленные из простых дуг’ 4. Значение теории точечных множеств в вопросе об определении линии Глава II. Некоторые сведения из теории точечных множеств’ 1. Основные понятия общей теории множеств’ 2. Замкнутые и открытые множества’ 3. Связность’ 4. Компактность’ 5. Непрерывные отображения’ 6. Свойства континуумов Глава III. Канторовы линии Глава IV. Общее определение линии’ 1. Определение линии. Основные свойства’ 2. Индекс ветвления. Примеры’ 3. Линии конечного ветвления’ 4. Некоторые общие свойства линий Прибавление. О понятии размерности Книга «Что такое линия» автора Пархоменко Алексей Серапионович оценена посетителями КнигоГид, и её читательский рейтинг составил 0.00 из 10.
Для бесплатного просмотра предоставляются: аннотация, публикация, отзывы, а также файлы для скачивания.
Что такое линия
Описание книги
Рецензии на книгу
Написано 0 рецензий
Посмотрите еще
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
Эта книга – самый дружелюбный и доступный ликбез по математике. После ее прочтения вы разберетесь в большинстве базовых терминов и вычислений, сможете применять их в жизни и даже узнаете несколько математических трюков, которыми можно произвести впечатление на друзей. Глоссарий в конце книги позволит вам быстро освежить в памяти любое определение.Книга будет полезна широкому кругу читателей.На рус.
Альберт Эйнштейн писал: «Как так получилось, что математика, продукт человеческой мысли, независимый от опыта, так прекрасно соотносится с объектами физической реальности?» Наука предлагает абстрактную математическую модель, а спустя какое-то время (иногда десятилетия) выясняется, что эта модель существует в реальности! Так кто же придумал математику — мы сами или Вселенная? Может быть, математика.
How Not to Be Wrong
Учебник полностью охватывает материал, входящий в программу по высшей математике для студентов, обучающихся по всем перечисленным в его грифе специальностям. При изложении материала авторы сделали попытку свести до минимума язык кванторов, заменяя его четкими словесными объяснениями проводимых рассуждений, и внесли ряд методических усовершенствований. Материал учебника был апробирован при чтении.
В пособии даны методологические, теоретические и дидактические основы формирования элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста. Раскрываются формы и методы обучения детей математике во всех возрастных группах детского сада, обосновывается необходимость систематической подготовки детей в дошкольных учреждениях к усвоению школьной программы.
Настоящая книга охватывает все основные разделы современной аффинной дифференциальной геометрии, из которых многие не вошли в существующие монографии. Кроме того, в русской оригинальной и переводной литературе руководства по аффинной геометрии вообще
Книга: Пархоменко А.С. «Что такое линия»
Издательство: «Вузовская книга» (2014)
Формат: мягкий, 132 стр.
Другие книги схожей тематики:
См. также в других словарях:
Линия (геометрич. понятие) — Линия (от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно. 1) В элементарной геометрии рассматриваются… … Большая советская энциклопедия
Линия — I Линия (от лат. linea) геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно. 1) В элементарной… … Большая советская энциклопедия
ЛИНИЯ — кривая, геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение к рого представляет значитю трудности и осуществляется в разных разделах геометрии различно. В рамках элементарной геометрии понятие Л. не получает отчетливой… … Математическая энциклопедия
линия — Линия, перед нами одно из словечек, которыми осчастливила нас в последние годы безграмотная реклама и неквалифицированные переводчики. Вы понимаете, что такое Новая линия «Проктер энд Гэмбл»? Может быть, известный производитель шампуней построил… … Словарь ошибок русского языка
Линия Рэдклиффа — Раздел Британской Индии Линия Рэдклиффа линия раздела территорий Индии и Пакистана, предложенная британской правительственной комиссией в … Википедия
Линия фронта. Афганистан’82 — Обложка компьютерной игры «Линия фронта. Афганистан’82» Разработчики … Википедия
Линия Оэдо (Toei) — Линия Оэдо (Toei) 都営大江 … Википедия
Линия фронта. Афганистан\’82 — Обложка компьютерной игры «Линия фронта. Афганистан’82» Разработчики … Википедия
Линия Карлсруэ — Линия Юрдингена и линия Карлсруэ Линия Карлсруэ (нем. Karlsruher Linie) … Википедия
Линия (кривая) — Кривая или линия геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно. Содержание 1 Элементарная геометрия 2 Параметрические определения 3 Кривая Жордана … Википедия
Линия перемены даты — Координаты: 0° с. ш. 180° з. д. / 0° с. ш. 180° з. д. … Википедия
