что такое линейный спектр колебаний

СПЕКТР колебаний

— совокупность гармонич. колебаний, на к-рыеможет быть разложено сложное колебат. движение (см. Фурье анализ). Математическитакое движение представляется в виде периодической, но негармонич. ф-ции f(t )с частотой w. Эту ф-цию можно представить в виде ряда гармонич.

Полезное

Смотреть что такое «СПЕКТР колебаний» в других словарях:

Спектр колебаний — 28. Спектр колебаний Совокупность соответствующих гармоническим составляющим значений величины, характеризующей колебания, в которой указанные значения располагаются в порядке возрастания частот гармонических составляющих Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

спектр колебаний — svyravimų spektras statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. oscillation spectrum vok. Schwingungsspektrum, n rus. колебательный спектр, m; спектр колебаний, m pranc. spectre des oscillations, m; spectre d’oscillations, m … Fizikos terminų žodynas

спектр колебаний — virpesių spektras statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. oscillation spectrum; vibration spectrum vok. Schwingungsspektrum, n rus. спектр колебаний, m pranc. spectre de vibrations, m; spectre d’oscillations, m … Fizikos terminų žodynas

Спектр колебаний (вибрации) — – совокупность соответствующих гармоническим составляющим значений величины, характеризующей колебания (вибрацию), в которой указанные значения располагаются в порядке возрастания частот гармонических составляющих. Примечания. Периодическим … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

Спектр колебаний (вибрации) — 46. Спектр колебаний (вибрации) Спектр Совокупность соответствующих гармоническим составляющим значений величины, характеризующей колебания (вибрацию), в которой указанные значения располагаются в порядке возрастания частот гармонических… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Спектр (математич.) — Спектр колебаний, совокупность простых гармонических колебаний, на которые может быть разложено данное сложное колебательное движение. Математически такое движение может быть представлено в виде периодической, но негармонической функции f(t) с… … Большая советская энциклопедия

Спектр (в физике) — Спектр (от лат. spectrum ≈ представление, образ) в физике, совокупность различных значений, которые может принимать данная физическая величина. С. могут быть непрерывными и дискретными (прерывными). Наиболее часто понятие С. применяется к… … Большая советская энциклопедия

спектр — 01.02.14 спектр (сигнал или шум) [spectrum ]: Совокупность синусоидальных колебаний, представляющая в полосе частот изменяющийся во времени сигнал или шум, причем каждое колебание характеризуется собственной частотой,… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Спектр — I (от лат. spectrum представление, образ) в физике, совокупность различных значений, которые может принимать данная физическая величина. С. могут быть непрерывными и дискретными (прерывными). Наиболее часто понятие С. применяется к… … Большая советская энциклопедия

спектр — а, м. 1) Многоцветная полоса, возникающая при прохождении светового луча через призму или иную преломляющую среду. Солнечный спектр. Цвета спектра. 2) спец. Совокупность всех значений какой л. величины, характеризующей систему или процесс. Спектр … Популярный словарь русского языка

Источник

Линейный спектр

Содержание

Происхождение линий в световом и рентгеновском спектрах

Каждый материал, каждый атом или молекула имеет характерные дискретные уровни энергии, на которых электроны могут «оставаться». Переход с одного энергетического уровня на другой происходит через поглощение (переход из более низкого состояния в более высокое) или испускание (переход из более высокого в более низкое состояние) фотона с энергией

Из всех возможных энергетических состояний материала только несколько пар энергетических состояний обычно являются предпочтительными поглотителями или эмиттерами.

Если материал расположен между источником излучения с непрерывным спектром и спектрометром (например, для измерения спектра), он поглощает фотоны тех энергий, которые задаются энергетическими состояниями материала. Поглощенные фотоны тогда отсутствуют в наблюдаемом спектре источника; это вызывает появление темных линий поглощения.

Возбужденный атом или молекула через короткий промежуток времени возвращается в состояние с более низкой энергией. Излучается фотон, энергия которого соответствует разнице энергий между более высоким и более низким энергетическим состоянием. Если за этим материалом наблюдать сбоку, то есть без видимого источника излучения, эти фотоны определенной энергии (и, следовательно, длины волны) проявляются в виде линий излучения в спектре.

Получение информации из линейчатых спектров

В астрономии линейчатые спектры являются источником информации о Вселенной. Линейчатые спектры характерны для соответствующего атома или молекулы, поэтому элементы, встречающиеся в космосе, можно определить по свету. Таким образом, например, гелий был впервые обнаружен на Солнце, прежде чем его также можно было обнаружить на Земле.

Линейный спектр в акустике и электротехнике

В линейчатом спектре каждая частичная частота сигнала символизируется дискретной спектральной линией. Частота представлена ​​позицией на абсциссе (ось частот); длина такой линии представляет собой амплитуду колебаний (амплитудный спектр) или силу звукового процесса (спектр уровней). Шкала частот обычно делится логарифмически. Каждая спектральная линия (постоянная частота, постоянная амплитуда) представляет собой идеальное гармоническое (т. Е. Синусоидальное) колебание (то есть, например, напряжение). Соответствующий фазовый спектр представляет информацию о фазе (нулевой фазовый угол), например Б. амплитуды напряжения или тока.Амплитуда и фазовый спектр вместе описывают сигнал, эквивалентный его представлению во временной области.

Источник

Гармонические колебания

На хабре было несколько статей по преобразованию Фурье и о всяких красивостях типа Цифровой Обработки Сигналов (ЦОС), но неискушённому пользователю совершенно не понятно, зачем всё это нужно и где, а главное как это применить.

АЧХ шума.

Лично мне после прочтения этих статей (например, этой ) не стало понятно, что это и зачем оно нужно в реальной жизни, хотя было интересно и красиво.
Хочется не просто поглядеть красивые картинки, а так сказать, ощутить нутром, что и как работает. И я приведу конкретный пример с генерацией и обработкой звуковых файлов. Можно будет и послушать звук, и поглядеть его спектр, и понять, почему это так.
Статья не будет интересна тем, кто владеет теорией функций комплексной переменной, ЦОС и прочими страшными темами. Она скорее для любопытствующих, школьников, студентов и им сочувствующих :).

Сразу оговорюсь, я не математик, и многие вещи могу даже сказать неправильно (поправляйте личным сообщением), и данную статью пишу, опираясь на собственный опыт и собственное понимание текущих процессов. Если вы готовы, то поехали.

Пару слов о матчасти

Если мы вспомним школьный курс математики, то для построения графика синуса мы использовали круг. В общем-то так и получается, что вращательное движение можно превратить в синусоиду (как и любое гармоническое колебание). Самое лучшая иллюстрация этого процесса приведена в википедии

Гармонические колебания

Т.е. фактически график синуса получается из вращения вектора, который описывается формулой:

где A — длина вектора (амплитуда колебаний), φ — начальный угол (фаза) вектора в нулевой момент времени, ω — угловая скорость вращения, которая равна:

ω=2 πf, где f — частота в Герцах.

Как мы видим, что зная частоту сигнала, амплитуду и угол, мы можем построить гармонический сигнал.

Магия начинается тогда, когда оказывается, что представление абсолютно любого сигнала можно представить в виде суммы (зачастую бесконечной) различных синусоид. Иначе говоря, в виде ряда Фурье.
Я приведу пример из английской википедии. Для примера возьмём пилообразный сигнал.

Пилообразный сигнал

Его сумма будет представлена следующей формулой:

Если мы будем по очерёдно суммировать, брать сначала n=1, затем n=2 и т.д., то увидим, как у нас гармонический синусоидальный сигнал постепенно превращается в пилу:

Наверное красивее всего это иллюстрирует одна программа, найденная мной на просторах сети. Выше уже говорилось, что график синуса является проекцией вращающегося вектора, а как же быть в случае более сложных сигналов? Это, как ни странно, проекция множества вращающихся векторов, а точнее их суммы, и выглядит это всё так:

Вектора рисуют пилу.

Вообще рекомендую сходить самим по ссылке и попробовать самим поиграться с параметрами, и посмотреть как меняется сигнал. ИМХО более наглядной игрушки для понимания я ещё не встречал.

Ещё следует заметить, что есть обратная процедура, позволяющая получить из данного сигнала частоту, амплитуду и начальную фазу (угол), которое называется Преобразование Фурье.

Разложение в ряд Фурье некоторых известных периодических функций (отсюда)

Я детально на нём останавливаться не буду, но покажу, как это можно применить по жизни. В списке литературы порекомендую то, где можно почитать подробнее о матчасти.

Переходим к практическим упражнениям!

Мне кажется, что каждый студент задаётся вопросом, сидя на лекции, например по матану: зачем мне весь этот бред? И как правило, не найдя ответа в обозримом будущем, к сожалению, теряет интерес к предмету. Поэтому я сразу покажу практическое применение данных знаний, а вы эти знания уже будете осваивать сами :).

Всё дальнейшее я буду реализовывать на сях. Делал всё, конечно, под Linux, но никакой специфики не использовал, по идее программа будет компилироваться и работать под другими платформами.

Для начала напишем программу для формирования звукового файла. Был взят wav-файл, как самый простой. Прочитать про его структуру можно тут.
Если кратко, то структура wav-файла описывается так: заголовок, который описывает формат файла, и далее идёт (в нашем случае) массив 16-ти битных данных (остроконечник) длиной: частота_дискретизации*t секунд или 44100*t штук.

Для формирования звукового файла был взят пример здесь. Я его немного модифицировал, исправил ошибки, и окончательная версия с моими правками теперь лежит на гитхабе тут

Сгенерируем двухсекундный звуковой файл с чистым синусом частотой 100 Гц. Для этого модифицируем программу таким образом:

Обращаю внимание, что формула чистого синуса соответствует той, о которой мы говорили выше. Амплитуда 32000 (можно было взять 32767) соответствует значению, которое может принимать 16-ти битное число (от минус 32767 до плюс 32767).

В результате получаем следующий файл (можно его даже послушать любой звуковоспроизводящей программой). Откроем данный файл audacity и увидим, что график сигнала в действительности соответствует чистому синусу:

Чистый ламповый синус

Поглядим спектр этого синуса (Анализ->Построить график спектра)

График спектра

Виден чистый пик на 100 Гц (логарифмический масштаб). Что такое спектр? Это амплитудно-частотная характеристика. Существует ещё фазочастотная характеристика. Если помните, выше я говорил, что для построения сигнала надо знать его частоту, амплитуду и фазу? Так вот, можно из сигнала получить эти параметры. В данном случае у нас график соответствий частот амплитуде, при чём амплитуда у нас не в реальных единицах, а в Децибелах.

Величина, выраженная в децибелах, численно равна десятичному логарифму безразмерного отношения физической величины к одноимённой физической величине, принимаемой за исходную, умноженному на десять.

В данном случае просто логарифм амплитуды, умноженный на 10. Логарифмический масштаб удобно использовать при работе с сигналами.

Мне, честно говоря, не очень нравится анализатор спектра в этой программе, поэтому я решил написать свой с блекджеком и шлюхами, тем более, что это несложно.

Пишем свой анализатор спектра

Здесь может быть скучно, поэтому можете перейти сразу к следующей главе.

Поскольку я прекрасно понимаю, что тут портянки кода размещать нет смысла, те, кому реально интересно — сами найдут и поковыряют, а тем, кому это неинтересно, будут скучать, то я остановлюсь только на основных моментах написания анализатора спектра wav-файла.

Во-первых, нам wav-файл необходимо читать. Там необходимо прочитать заголовок, чтобы понять, что содержит данный файл. Я не стал реализовывать море вариантов чтения данного файла, а остановился только на одном. Пример чтения файла был взят отсюда практически без изменений, ИМХО — отличный пример. Там же есть реализация на питоне.

Следующее, что нам нужно, это быстрое преобразование Фурье. Это то самое преобразование, которое позволяет получить из конечного набора точек вектора исходных сигналов. Пусть вас пока это не пугает, дальше я объясню.
Опять же, велосипед изобретать не стал, а взял готовый пример отсюда.

Я понимаю, что чтобы объяснить, как работает программа, надо объяснить, что такое быстрое преобразование Фурье, а это как минимум ещё на одну некислую статью.

Для начала алокируем массивы:

Скажу лишь, что в программе мы читаем данные в массив длиной size_array (которое берём из заголовка wav-файла).

Массив для быстрого преобразования Фурье должен представлять собой последовательность , где fft_size=1

Источник

Что такое линейный спектр колебаний

Мы уже говорили о колебаниях, в точности повторяющихся через определенные интервалы времени, но не являющихся гармоническими. Например, шла речь о пилообразных колебаниях. Если быть достаточно придирчивыми, то окажется, что гармонических колебаний, т. е. таких, которые изображаются синусоидой, встречается в природе и технике много меньше, чем негармонических.

В конце предыдущего параграфа мы отметили, что сумма двух синусоид хоть и не дает синусоиды, но образует периодическое колебание, если только частоты относятся как целые числа. Разумеется, это верно и для любого числа гармонических колебаний, а не только для двух.

Сумма колебаний с периодами даст колебание с периодом с таким же периодом будет происходить колебание, складывающееся из трех колебаний с периодами из четырех — с добавлением колебания с периодом из пяти — с добавлением колебания с периодом Переходя к частотам, можно это выразить так: сумма любого числа колебаний с частотами, кратными т. е. с частотами есть колебание с частотой о).

Теперь перед нами встает такой естественный вопрос. Складывая произвольно большое число колебаний с частотами, кратными беря разные колебания то с теми, то с иными амплитудами, не удастся ли нам всегда подобрать такую сумму, которая передаст своеобразие любого колебания, даже пилообразного? Положительный ответ на этот вопрос был дан французским ученым Фурье. Теорема, которая носит его имя, доказывает, что всегда можно подобрать такие значения чтобы представить любое периодическое колебание с частотой со в виде суммы гармонических колебаний:

Частота со называется основной частотой, частоты это обертоны, или гармоника (говорят: вторая гармоника, третья гармоника и т. д.). Чем ближе график колебания к синусоиде, тем меньше амплитуды гармоник. Напротив, если график колебания мало похож на синусоиду, то амплитуды нескольких гармоник будут не сильно отличаться от амплитуды основной частоты.

Представление колебания в виде суммы гармонических колебаний называется разложением колебания в спектр, а спектром

называются данные о частотах и амплитудах гармонических колебаний, из которых составляется колебание с частотой Данные о спектре колебания можно записать в виде таблички. Если частот много, то часто прибегают к графическому изображению спектра (рис. 52).

Идею спектра оказывается возможным распространить и на не периодические процессы. Можно говорить о спектре упругих колебаний, созданных ударом кулака по столу, имеет смысл понятие спектра выстрела или выкрика.

Чтобы это стало ясным, рассмотрим сначала процесс, состоящий из периодических затухающих толчков. Это не выкрик или выстрел, а серия выкриков или выстрелов, повторяющихся через равные промежутки времени. Элементом такого процесса является быстро затухающее колебание, и вся кривая имеет вид, показанный на рис. 53, а. Спектр такого колебания можно установить существующими средствами: он будет иметь вид, показанный на соседнем рисунке. Мы видим, что (как этого и следовало ожидать) спектр состоит из множества частот, кратных основной. Обратите внимание, что спектр имеет максимум: наиболее сильно в спектре представлена восьмая гармоника. Этоне случайно: если мы вернемся к картине колебания, то увидим, что в кажготдельном толчке затухающий импульс колеблется с «частотой», в 8 раз большей частоты основного тона (рис. 53, а).

На рис. 53, б показана картина таких же толчков, но они происходят с частотой в два раза меньшей, чем ранее. Сравните спектр этого колебания с предыдущим. Так как основная частота теперь в два раза меньше, то «частота» затухающего элементарного процесса (она осталась той же) будет теперь 16-й гармоникой основного тона. Распределение амплитуд гармоник останется прежним, но только число их в том же интервале частот станет в два раза большим.

Нетрудно теперь понять, что спектр непериодического процесса — одного толчка — будет сплошным. Отдельных частот в нем

не будет, но характер спектра в том же интервале частот будет весьма похож на то, что рассмотрено ранее (рис. 53, в).

Математическое доказательство приведенных рассуждений содержится в теории так называемых интегралов Фурье.

Источник

Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебания

Спектральное представление колебаний

Спектральное представление периодических колебаний

При формировании и обработке сигналов часто приходится иметь дело с колебаниями, описываемыми периодическими функциями вида S(t) = S(t±kT), где k = 1, 2, …; Τ — период (рис. 2.9).

Зададим на отрезке полную систему тригонометрических ортогональных функций:

где ω1 = 2π / T — основная частота.

Выбор такого базиса наиболее распространен, так как в результате его использования обеспечиваются:
• сравнительная простота формирования гармонических колебаний;
• инвариантность сигналов относительно их преобразований в линейных электрических цепях (ЛЭЦ). При прохождении через ЛЭЦ изменяются только амплитуда и начальная фаза составляющих.

В этом случае для сигнала S(t) обобщенный ряд Фурье будет иметь вид
Здесь коэффициенты разложения
откуда видно, что периодический сигнал содержит постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний с частотами (Формула), которые являются кратными основной частоте.

Рис. 2.9. Пример периодической функции

Рис. 2.10. Амплитудная спектральная диаграмма периодического сигнала

Представим коэффициенты разложения в виде
где Ак — амплитуда; фк — начальная фаза.

Амплитудный спектр показан на рис. 2.10.

Рассмотрим теперь комплексную форму записи сигнала в виде ряда Фурье. В этом случае в качестве базисных функций применяются комплексные экспоненты:

где k = 0, ±1, ±2, …; j — мнимая единица.

Такая система также является полной.

Соответственно обобщенный ряд Фурье, известный как ряд Фурье в комплексной форме, приобретает следующий вид:
Здесь комплексная амплитуда k-й гармоники
связана с Аk, αk, bk, φk следующими выражениями:
Из этих выражений следует, что фазовый угол φk является нечетной функцией относительно k, т. е. относительно частоты, а модуль комплексной амплитуды Аk — четной.

Как видно из соотношения (2.13), суммирование распространено на положительные (k) и отрицательные (−k) частоты. Последние имеют фиктивный характер. Действительную составляющую (Формула) сигнала с частотой (Формула) получают как сумму двух комплексных функций:
т. е. происходит взаимное уничтожение мнимых частей.

Отметим также, что спектр периодического сигнала является дискретным и бесконечным. С увеличением периода следования сигналов разность частот между соседними гармониками уменьшается, т. е. спектр сгущается.

Из формул (2.11) и (2.14) видно, что изменение периода T сказывается на значении амплитуд спектральных составляющих: с увеличением Τ амплитуды уменьшаются. Однако форма спектра амплитуд при этом сохраняется.

Пример 2.3. Определим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой Е, длительностью (Формула) и периодом следования Т.

Итак, пусть
По формуле (2.14) находим
Комплексная амплитуда (Формула) пропорциональна функции вида (Формула) и содержит только вещественную часть, т. е.
Начальные фазы гармоник следующие: φ = 0, в интервалах частот (Формула), где n = 0, 2, 4, …

φk = ±π в интервалах частот (Формула), n = 1, 3, 5, …

С учетом этих соотношений ряд Фурье (2.13) для последовательности прямоугольных импульсов можно записать в виде
Пример 2.4. Периодическая последовательность двухполярных импульсов ±Е задана в виде
Представим S1(t) как результат суммирования однополярных импульсов с амплитудой 2Е и постоянной составляющей −Е, т. е. получим выражение
S1(t) = 2S(t) − E.

Подставив в это выражение S1(t) в виде (2.15), получим ряд Фурье для S1(t):
Спектральное представление непериодических колебаний

Рассмотренные ранее периодические сигналы на практике почти не встречаются. В подавляющем большинстве случаев в теории и технике связи приходится иметь дело с сигналами и помехами, которые по существу являются непериодическими и к которым аппарат рядов Фурье не применим. Поэтому вместо них используют интегралы Фурье. Такое представление получают посредством перехода от ряда Фурье при стремлении периода повторения сигнала к бесконечности, т.е. T → ∞ или f1 = 1 / T = ω1 / (2π) → 0.

Рассмотрим вновь ряд Фурье в экспоненциальной форме:
где Δω = ω1 = [kω1 − (k − 1)ω1] — разность между частотами соседних гармоник, k = 1, 2, …

Определим комплексную спектральную плотность в виде

При Δω → 0 интервалы между соседними гармониками неограниченно сокращаются, поэтому сумму можно заменить интегралом:
Для нахождения комплексной спектральной плотности S(jω), или комплексного спектра, можно использовать выражение

которое следует из формулы (2.14) для комплексной амплитуды и отличается от нее только наличием множителя 2 / Т.

Выражения (2.17) и (2.18) имеют фундаментальное значение в ТЭС. Первое из них называется «обратным преобразованием Фурье» для сигнала S(t), или «операцией синтеза», поскольку с его помощью сигнал восстанавливается (синтезируется) из спектральных составляющих. Второе выражение называется «прямым преобразованием Фурье», или «операцией анализа» сигнала на основе определения его спектральных составляющих. В символической записи соответствие между сигналом S(t) и его преобразованием Фурье S(jω) отображается следующим образом: S(t) ⇄ S(jω).

С учетом четности модуля S(ω) и нечетности фазы φ(ω) обратное преобразование Фурье (2.17) можно записать в виде.

Бесконечно малые амплитуды составляющих определяются выражением Am = с|S(jω)|dω, где (Формула) для формулы (2.17) или с учетом четности модуля S(ω), т.е. |S(jω)| отражает спектральную (частотную) плотность амплитуд составляющих. Другими словами, |S(jω)| — это амплитуда, отнесенная к бесконечно малой полосе частот dω.

Особенностью комплексного спектра является его распространение как в положительной, так и в отрицательной области частот. Следовательно, двум составляющим частот ω и −ω со спектральной плотностью комплексного спектра соответствует одна гармоническая составляющая частоты ω со спектральной плотностью |S(jω)|.

Сопоставив формулы (2.18) и (2.14) для непериодического колебания и периодического колебания, полученного из исходного непериодического сигнала посредством его периодического продолжения, можно сделать вывод о том, что спектры таких колебаний совпадают по форме и отличаются лишь масштабом.

В табл. 2.1 приведены результаты расчетов S(jω) для колебаний (импульсов) различной формы.

Источник