что такое линейные множители
Разложение квадратного трёхчлена на множители
Как разложить на множители квадратный трёхчлен
В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:
Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом.
Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена.
Полученные корни x1 и x2 следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением:
Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:
Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен.
Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение:
В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить:
Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче:
Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства.
Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:
Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента:
Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2x 2 − 14x + 24
Как это работает
Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить тождественные преобразования.
Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице:
Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид:
Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть:
Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен x 2 + bx + c
Раскроем скобки там где это можно:
В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:
Далее замечаем, что выражение ( x − x1 ) является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым. В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить.
Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент a
Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a
Далее чтобы квадратный трёхчлен вида ax 2 + bx + c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета. Но в этот раз нам следует использовать равенства 
и 
В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:
Далее замечаем, что выражение x − x1 тоже является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Скобки внутри скобок можно раскрыть. Тогда получим следующее:
При этом если нужно получить короткий ответ, последнее выражение можно записать в виде (x + 2) 2 поскольку выражение (x + 2)(x + 2) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (x + 2)
Примеры разложений
Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:
Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3
Теперь воспользуемся сочетательным законом умножения. Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках:
Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби 
, а произведение корней — дроби 
Выразим из первого равенства переменную x2 и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x2
Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене заменить деление умножением, то получим 
. Если поменять местами сомножители, то получится 
. То есть коэффициент a станет равным 
Коэффициент b можно перевести в обыкновенную дробь. Так проще будет искать дискриминант:
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратный трехчлен – это многочлен вида \(ax^2+bx+c\) (\(a≠0\)).
Примеры не квадратных трехчленов:
Корень квадратного трехчлена:
Значение переменной \(x\), при котором квадратный трехчлен обращается в ноль, называют его корнем.
Пример:
У трехчлена \(x^2-2x+1\) корень \(1\), потому что \(1^2-2·1+1=0\)
У трехчлена \(x^2+2x-3\) корни \(1\) и \(-3\), потому что \(1^2+2-3=0\) и \((-3)^2-6-3=9-9=0\)
Чтобы найти корни квадратного трехчлена нужно решить соответствующее квадратное уравнение.
Например: если нужно найти корни для квадратного трехчлена \(x^2-2x+1\), приравняем его к нулю и решим уравнение \(x^2-2x+1=0\).
Готово. Корень равен \(1\).
Разложение квадратного трёхчлена на множители:
Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно представить как \(a(x-x_1)^2\), если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) равен нулю.
Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) не раскладывается на множители, если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) меньше нуля.
Например, у трехчленов \(x^2+x+4\) и \(-5x^2+2x-1\) – дискриминант меньше нуля. Поэтому разложить их на множители невозможно.
Пример. Разложите на множители \(2x^2-11x+12\).
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2-11x+12=0\)
Полученный ответ, может быть, записать по-другому: \((2x-3)(x-4)\).
Пример. (Задание из ОГЭ) Квадратный трехчлен разложен на множители \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Найдите \(a\).
Решение:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac<-33-17><10>=-5\)
\(x_2=\frac<-33+17><10>=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Ответ: \(-1,6\)
Разложение многочлена на множители
Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.
Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.
Теория
Замечание
Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.
Основная теорема алгебры
Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.
Теорема Безу
Следствие из теоремы Безу
Разложение на множители квадратного трехчлена
Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.
Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.
Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:
После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.
Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что
Произвести разложение многочлена 2 x 2 + 1 на множители.
Теперь нужно решить квадратное уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и найти его корни. Получим, что
Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и найти его корни.
Получив корни, запишем
Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.
Способы разложения на множители многочлена степени выше второй
Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями и целыми коэффициентами.
Вынесение общего множителя за скобки
Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.
Разложение на множители многочлена с рациональными корнями
Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.
Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.
Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.
4 f ( x ) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g ( y )
Когда получившаяся функция вида g ( y ) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:
Перейдем к вычислению функции g ( y ) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 ( 2 x 2 + 14 x + 6 ) = = 2 x + 5 2 ( x 2 + 7 x + 3 )
Отсюда следует, что
Искусственные приемы при разложении многочлена на множители
Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.
Способ группировки
Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.
Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.
Необходимо провести группировку:
После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что
Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.
Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что
После разложения на множители получим, что
Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители
Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.
Необходимо выполнить преобразование выражения к виду
После применения разности квадратов, получим
Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида
Займемся преобразованием выражения. Получаем, что
Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:
Способ замены переменной при разложении многочлена на множители
При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:
То есть получили искомое разложение.
Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении и разложении многочлена на множители разными способами.
Что такое множитель и разложение на простые множители
Дадим определение понятию «множитель» и разберемся что такое множитель. Какие множители бывают и почему некоторые из множителей — простые.
Определение множителя
В младших классах вы учили, что множители — это числа, которые мы умножаем, называя результат их умножения произведением.
Определения множителя как компонента умножения
Сейчас немного расширим понятие множителя.
Давайте рассмотрим определение множителя на примерах. Давайте определим где в представлении числа или выражения прячется множитель?
Пример 1
Пусть нам дано число 15. Это число можно представить в виде произведения 
. Значит, согласно определению 5 — это множитель, 3 — это тоже множитель.
Пример 2
Рассмотрим теперь выражение: 
. Это выражение можно представить в виде произведения 
. Получаем два множителя — первый множитель (2x-3) и второй множитель (2x+3).
Самое простое произведение имеет два множителя, но может быть и больше множителей.
Простые множители
Пример 1
Разложите число 65 на простые множители.
Решение: число 65 будем делить на простые числа, пока оно нацело не разделится. Так мы видим, что число 65 не делится на 2, 3 и 4, так как не соответствует признакам делимости на эти числа. Зато делится на 5, так как оканчивается на 5. При делении мы получаем 13. Число 13 — простое, так как делится только на себя и на единицу. Таким образом, число 
. И мы выполнили разложение числа на простые множители. Теперь вы знаете, как разложить число на простые множители.
Пример 2
Разложите число 270 на простые множители.
Решение: Разделим сначала число 270 на 2 (сначала берем самое маленькое простое число), получим 135. Посмотрим, делится ли это число на 3. Для этого сложим все числа, стоящие в разрядах данного числа — 
. Девять делится на 3, значит, и число 135 разделится на 3: 
. Получившееся число опять делится на 3: 
. И снова число 15 делится на 3: 
. Получили простое число 5. Делим 
.
Итак, запишем разложение числа 270 на простые множители в виде столбца, где справа от черты мы пишем на какое простое число мы делим, а слева — что получаем:
Разложение числа на простые множители в столбик.
Разложение числа на простые множители в строчку записывается так: 
.
Про разложение многочлена на множители поговорим в отдельной теме.