что такое линейная алгебра в экономике

16.1. Применение элементов линейной алгебры в экономике. Использование алгебры матриц. Матричные вычисления

Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно этот вопрос стал актуальным при разработке и ис­пользовании баз данных: при работе с ними почти вся инфор­мация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Рассмотрим типичные задачи, использующие понятие век­тора и его свойства.

1. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изде­лий, основные производственно-экономические показатели ко­торых приведены в табл. 16.1.

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р Выпускаемой продуции предприятия.

Решение. По данным табл. 16.1 составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

= (20, 50, 30,40) — вектор ассортимента,

= (5, 2, 7, 4) — вектор расхода сырья,

= (10, 5, 15, 8) — вектор затраты рабочего времени,

= (30, 15, 45, 20) — ценовой вектор.

Тогда искомые величины будут представлять собой соот­ветствующие скалярные произведения вектора ассортимента На три других вектора, т. е.

2. Предприятие выпускает 4 вида изделий с использовани­ем 4-х видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

Требуется найти затраты сырья на каждый вид изделия при заданном плане их выпуска: соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение. Составим вектор-план выпуска продукции

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду; этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора на матрицу А:

3. Пусть затраты 4-х видов сырья на выпуск 4-х видов про­дукции характеризуются матрицей А, приведенной в предыду­щей задаче. Требуется найти: а) общие затраты на сырье для каждого вида продукции и его перевозку; б) общие затраты на сырье и его транспортировку при условии заданного вектора-плана предыдущей задачи, если известны себестоимости каж­дого вида сырья и его доставки (соответственно 4, 6, 5, 8 и 2, 1, 3, 2 ден. ед.).

Решение. Составим матрицу себестоимостей сырья и его доставки (соответственно 1-я и 2-я строки):

Тогда ответ на первый вопрос задачи дается в виде произве­дения матрицы А на транспонированную матрицу CT:

Суммарные затраты на сырье и его доставку (в денежных еди­ницах) при векторе-плане выпуска продукции = (60, 50, 35, 40) определяются произведением вектора на матрицу АСT:

4. В табл. 16.2 приведены данные о дневной производительности 5 предприятий, выпускающих 4 вида продукции с по­треблением 3-х видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия в году и цена каждого вида сырья.

1) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий;

2) годовую потребность каждого предприятия по каждому виду сырья;

3) годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указан­ных видов и количеств.

Решение. Нужно составить матрицы, характеризующие весь интересующий нас экономический спектр производства, а затем при помощи соответствующих операций над ними полу­чить решение данной задачи. Прежде всего приведем матрицу производительности предприятий по всем видам продукции:

Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной про­изводительности отдельного предприятия по каждому виду продукции. Следовательно, годовая производительность J-Го предприятия по каждому виду продукции получается умноже­нием J—Гo столбца матрицы А на количество рабочих дней в году для этого предприятия (J = 1, 2, 3, 4, 5). Таким образом, годовая производительность каждого предприятия по каждому из изделий описывается матрицей

Матрица затрат сырья на единицу изделия (эти показатели по условию одинаковы для всех предприятий) имеет вид

Дневной расход по типам сырья на предприятиях описывается произведением матрицы В на матрицу А:

Где I-я строка соответствует номеру типа сырья, а J-Й стол­бец — номеру предприятия согласно табл. 16.2 (I = 1, 2, 3; J = 1, 2, 3, 4, 5). Ответ на второй вопрос задачи получим по аналогии с матрицей АГод умножением столбцов матрицы ВА На соответствующие количества рабочих дней в году для предприятий — это годовая потребность каждого предприятия в каждом виде сырья:

Введем вектор стоимости сырья

Тогда стоимость общего годового запаса сырья для каждого предприятия получается умножением вектора на матри­цу ВAГод:

Следовательно, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими компонентами векто­ра .

5. Отрасль состоит из П предприятий, выпускающих по од­ному виду продуции каждое; обозначим объем продукции I-го предприятия через Xi. Каждое из предприятий отрасли для обеспечения своего производства потребляет часть продукции, выпускаемой им самим и другими предприятиями. Например, в отрасли электротехнического оборудования часть продукции предприятий, выпускающих электродвигатели, силовые кабе­ли, электрокары и т. д., употребляется практически всей от­раслью. Пусть Aij — доля продукции I-го предприятия, потреб­ляемая J-М предприятием для обеспечения выпуска своей про­дукции объема Xj. Возникает естественный вопрос о величине Yi — количестве продукции I-го предприятия, предназначенной для реализации вне данной отрасли (объем конечного продук­та). Эта величина легко может быть подсчитана по формуле

Введем в рассмотрение матрицу порядка N, описывающую вну­треннее потребление отрасли:

Тогда вектор конечного продукта является решением матрич­ного уравнения

Или с использованием единичной матрицы Е получаем

Рассмотрим конкретный пример при П = 3. Пусть вектор выпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребле­ния имеют соответственно вид

Используя формулу (16.1) и правило сложения матриц, получа­ем вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли, состоящей из 3-х предприятий:

Источник

Линейная алгебра

Дисциплина «Линейная алгебра» относится к базовой части профессионального цикла (Major), обеспечивающего подготовку бакалавра по направлению 38.03.01 «Экономика», реализуется на 1 курсе в 1-2 модулях.

Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: «Алгебра и начала анализа», «Геометрия» (программа средней общеобразовательной школы). Студенты должны владеть знаниями и компетенциями, соответствующими школьной программе по математике: простейшие представления о системе вещественных (действительных) чисел; алгебраические операции над вещественными числами и свойства этих операций.

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении всех естественнонаучных дисциплин, в числе которых: «Методы оптимальных решений», «Эконометрика», «Теория вероятностей и статистика».

В содержание дисциплины «Линейная Алгебра» входит изучение следующего круга вопросов: векторная алгебра; матрицы и определители; системы линейных уравнений; элементы аналитической геометрии; линейные пространства; евклидово пространство; линейные операторы; квадратичные формы. При реализации учебной работы предполагается разбор практических задач в рамках теоретических и практических занятий.

При выполнении письменных контрольных работ, а также экзаменационной письменной работы студент должен продемонстрировать знание теоретического материала соответствующего раздела курса, уметь правильно применять его к решению конкретных задач, соблюдать логику решения задачи и грамотно формулировать ответ.

После прохождения курса «Линейная алгебра» студент должен обладать следующими компетенциями: выявлять научную сущность проблем в профессиональной области (УК-2);работать с информацией: находить, оценивать и использовать информацию из различных источников, необходимую для решения научных и профессиональных задач (в том числе на основе системного подхода (УК-5); быть способным к обработке, хранению данных проектного и профессионального характера, распределению информации в соответствии с поставленными профессиональными задачами и ее распространению (ПК-20);осуществлять сбор, анализ и обработку статистических данных, информации, научно-аналитических материалов, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК- 11);выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-12);использовать для решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и информационные технологии (ПК-17).

В результате освоения дисциплины студент должен: усвоить терминологию, принятую в изучаемой дисциплине, ее основные понятия и определения; знать основные теоретические факты и практические методы решения задач математического анализа и линейной алгебры; уметь применять на практике изученные методы и алгоритмы; иметь навыки формализации поставленной задачи (напр., задачу максимизации прибыли предприятия записать в математических символах, то есть составить функцию прибыли, применить известные методы исследования функции с помощью производных, получить ответ в формализованной задаче и сформулировать «смыслосодержащий» ответ в терминах исходной задачи); иметь навыки (приобрести опыт) применения теоретических фактов и различных практических математические методов и алгоритмов решения задач к реальным задачам прикладного характера, возникающим в некоторых прикладных областях.

При реализации учебной работы предполагается разбор практических задач в рамках теоретических и практических занятий. Для успешного освоения дисциплины и контроля правильности самостоятельного решения задач по курсу, а также для облегчения визуализации решения задач, связанных с исследованием функций студенту рекомендуется использовать следующие программные средства: математические среды Maple, Mathcad, MATLAB, Mathematica, графические среды AGrapher (для функций одной переменной), 3DGrapher (для функций двух переменных).

Источник

Применение линейной алгебры в экономике

Производственные показатели

Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в следующей таблице:

По приведенным данным составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие скалярные произведения вектора ассортимента на три других вектора:

Т = = 1220 ч, P = = 3500 ден. ед.

Расход сырья

Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

Вид сырья

Вид изделия.

Требуется найти затраты сырья каждого вида при заданном плане выпуска каждого вида изделия: соответственно, 60, 50, 35 и 40 ед.

Составим вектор-план выпуска продукции:

=(60, 50, 35, 40).

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду: этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора на матрицу А:

.

Конечный продукт отрасли

Введем в рассмотрение квадратную матрицу порядка п, описывающую внутреннее потребление отрасли

Тогда вектор конечного продукта является решением матричного уравнения

с использованием единичной матрицы Е получаем

Пример. Пусть вектор выпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребления имеют, соответственно, вид

.

Получим вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли, состоящей из трех предприятий:

.

Прогноз выпуска продукции

вектор-план выпуска продукции определяется из решения системы т уравнений с п неизвестными:

где индекс «т» означает транспонирование вектора-строки в вектор-столбец.

Пример. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Необходимые характеристики производства представлены следующими данными:

Вид сырья

Расход сырья по видам

продукции, вес. ед./изд.

Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Задачи такого рода типичны при прогнозах и оценках функционирования предприятий, экспертных оценках проектов освоения месторождений полезных ископаемых, а также в планировании микроэкономики предприятий.

Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции составят по каждому виду соответственно (в условных единицах):

.

Линейная модель многоотраслевой экономики

Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой п отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период; в ряде случаев такой единицей служит год.

Введем следующие обозначения:

Эти уравнения называются соотношениями баланса. Поскольку продукция разных отраслей имеет разные измерения, в дальнейшем будем иметь в виду стоимостный баланс.

.

Соотношения баланса можно переписать в виде системы уравнений

Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:

.

Тогда система уравнений в матричной форме имеет вид

Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления это уравнение носит название модели Леонтьева.

Линейная модель торговли

.

Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (это можно трактовать как торговый бюджет), справедливо равенство

.

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. , или

.

Докажем, что в условиях не может быть знака неравенства. Действительно, сложим все эти неравенства при i от 1 до п. Группируя слагаемые с величинами бюджетов , получаем

.

Нетрудно заметить, что в скобках стоят суммы элементов матрицы А по ее столбцам, которые равны единице по условию. Стало быть, мы получили неравенство

,

откуда следует, что возможен только знак равенства.

Таким образом, условия принимают вид равенств:

Введем вектор бюджетов , каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны. Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме:

Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению l =1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли. Перепишем уравнение в виде, позволяющем определить :

Пример. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид

.

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана:

.

Решение. Необходимо найти собственный вектор , отвечающий собственному значению l =1 заданной структурной матрицы А, т.е. решить уравнение, которое в нашем случае имеет вид

.

Поскольку ранг этой системы равен трем, то одна из неизвестных является свободной переменной, остальные выражаются через нее. Решая систему методом Гаусса, находим компоненты собственного вектора :

.

Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, определим величину с:

Откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле:

.

Источник