что такое квантовое состояние
Квантовая песочница: часть 2
Квантовая песочница: часть 1
Что такое квантовое состояние? Чем обычное состояние отличается от квантового? В какой момент обычное состояние становится квантовым и что будет, если от него отнять квантовости? Оно всё еще будет квантовым или уже превратится в обычное? Оно же только что было квантовым. Наверное, оно стало запутанным, и кот тоже стал запутанным.
В данной статье постараемся ответить на эти вопросы и разобраться в сути квантовой механики.
Цель: написать простую программу, «имитирующую» квантовую эволюцию, чтобы наконец можно было пощупать эти кубиты ручками.
Оглавление:
Что такое обычное «состояние»? Этим термином пользуются так часто, что он начал восприниматься полностью интуитивно.
Часть I: Классическое состояние
Вопрос №1: «Дана частица P, которую можно наблюдать вдоль отрезка
. Что такое состояние частицы P?»
Ответ: Классическое состояние частицы P — число из отрезка
Внимательного читателя привлечет слово «наблюдать» — как это вообще понимать?
Оказалось, что все это время на участке были расположены какие-то «детекторы», которые «наблюдали», но почему мы о них ничего не сказали? И сколько их там вообще штук?
Мы сказали, что состояние частицы — число из отрезка . Мощность множества равна континууму — между нашими «границами» А и B находится бесконечно много чисел, причем они расположены бесконечно близко друг к другу — значит нам требуется бесконечно много детекторов для каждой точки? Звучит довольно затратно, не так ли?
А ведь, утверждая, что состояние есть число, мы, получается, подразумеваем именно это. Именно то, что у нас в наличии бесконечно много детекторов. Но ведь это не так. И такого не может быть в принципе.
На практике мы бы разбили отрезок на конечное число сегментов, а в пересечениях поставили бы детекторы, и каждый детектор был бы способен приближенно сообщить, есть ли частица в его окрестности или нет.
То, что было сделано выше называется квантованием. В данном случае мы провели квантование отрезка на сегменты. Квант — неделимая порция чего-либо в рамках используемой модели, абстрактный термин.
Самые интересные явления начинаются именно по той причине, что состояние частицы теперь перестало быть просто числом.
Часть II: Квантовое состояние
Вопрос №2: «Дана частица P, которую можно наблюдать только в окрестности некоторого числа детекторов на отрезке
Ответ: .
Дан отрезок и два детектора, расположенные в точках A и B.
Каждый детектор показывает какое-то определенное число, согласно которому мы можем определить, как далеко находится частица от данного детектора.
A — первый детектор, — его показания ( = 1, если частица попала прямо в А)
B — второй детектор, — его показания ( = 1, если частица попала прямо в В)
Выдвинем предположение о частице, чтобы как-то ограничить круг наших исследований:
Предположение: Частица одна, она не может просто так взять и клонировать себя.
Из этого предположения следует, что если частица в А, то она не может быть в В, и наоборот.
Или, что то же самое, если = 1, то = 0 и наоборот.
Теперь рассмотрим «движение» частицы от детектора А к детектору В. Частица была в А ( = 1, = 0), затем она начала лететь к В. Показания детектора А начали уменьшаться ( 0). Затем частица достигла детектора В и его показания равны = 1, а детектор А оповещает нас, что частицы в нем нет = 0.
Таким образом, мы описываем состояние частицы с помощью самих детекторов и их показаний.
Это запись означает, что конфигурация X включает в себя детектор A, показывающий нам число c1, и детектор B, показывающий нам число c2.
Вопрос №2: «Дана частица P, которую можно наблюдать только в окрестности детекторов, расположенных в точках A и B, которые являются квантованием отрезка
Предположение: Частица одна, она не может взять и просто так клонировать себя.
Ответ: Квантовое состояние частицы P — вектор двумерного гильбертова пространства
Вопрос №2 (обобщенный): «Дана частица P, которую можно наблюдать только в окрестности конечного числа детекторов, расположенных в точках
Предположение: Частица одна, она не может взять и просто так клонировать себя.
Ответ: Квантовое состояние частицы P — вектор N-мерного гильбертова пространства
Часть III: Кот
Мы вплотную подошли к самым интересным проявлениям квантовой механики. Без сомнения каждый из читателей хоть краем уха слышал о таких терминах, как «квантовая суперпозиция» или «квантовая запутанность» — эти эффекты и другая подобная магия начинаются именно в тот момент, когда вы не будете делать тех умозаключений, которые не требуются.
У нас есть два определения состояния.
Определение №1: Классическое состояние частицы P — число из отрезка
Предположение: Частица одна, она не может взять и просто так клонировать себя.
Определение №2: Квантовое состояние частицы P — вектор двумерного гильбертова пространства …
Обычно из каких-то определений выводят следствия, здесь же нас будет интересовать то, что не следует из определения, но мы все равно назовем это следствиями для стройности.
Следствие №1: Из определения квантового состояния не следует, что частица находится в одной точке отрезка. Вообще ниоткуда никак не следует.
То есть частица может находится сразу в двух точках! Например для частицы, которая находится в квантовом состоянии не следует, что она находится в одной точке. Да, может быть она где-то посередине, в какой-то точке M между A и B, но утверждая подобное, мы проявим необоснованную вольность.
Следствие №2: Из определения квантового состояния не следует, что частица разделилась на маленькие кусочки, одни кусочку полетели туда, а другие сюда.
Как это вообще понимать? Как частица может находится сразу в двух точках и при этом оставаться неделимой? Мы же привыкли, что кот Шрёдингера и жив, и мертв одновременно, значит и частица тоже и здесь, и там одновременно. Но ведь она же неделима. Она что растянулась?
Введем понятие роя и экземпляра виртуальных частиц.
Часть IV: Рой
Определение №3: Экземпляр частицы — виртуальный объект, которому соответствует положение в пространстве в данный момент времени, траектория движения с течением времени, а также комплексное число (называемое амплитудой), обладающее модулем и аргументом, для которого справедливы все алгебраические правила:
Определение №4: Рой — совокупность экземпляров.
Определение №5: Частица — рой (при выполнении операции квантования пространства).
Представим экземпляр как шарик, внутри которого есть стрелка, соответствующая комплексному числу в комплексной плоскости. Важно понимать, что шарик может иметь одно направление движения, а стрелка внутри него — другое, то есть эти направления разные.
Но почему разные? Дело в том, что процессы внутри элементарной частицы настолько сложно описать, что влияние этих процессов на движение самой частицы невозможно предсказать на фундаментальном уровне, поэтому и связи между стрелкой внутри шарика и направлением движения самого шарика для нас не существует.
Словесные манипуляция, которые мы сейчас совершили, бесполезны, если не определить законы изменения величин r, φ и закон движения, ведь в них все и упирается.
Закон изменения аргумента: φ постоянно равномерно увеличивается на величину dφ по мере движения экземпляра.
Иными словами, наши комплексное стрелки постоянно крутятся в одном и том же направлении. Зачем это нужно? Чтобы система ни при каких обстоятельствах не перестала эволюционировать.
Закон сложения и умножения: По мере движения вдоль одной траектории амплитуды перемножаются. Амплитуды вдоль всевозможных траекторий складываются.
Данный закон также известен как «принцип суперпозиции в квантовой механике»
| 1. Внутри каждого шарика находится та самая комплексная стрелка, которая крутится на угол dφ после каждого перемещения экземпляра из одной клетки в другую. | 2. Таким образом у нас есть огромная динамическая система, которая постоянно клонирует себя. | 3. Направление движения самого первого экземпляра, в целом, определяет движения роя, но рой тем не менее распространяется во все стороны. Если же отследить движение любого отдельного экземпляра (не обращая внимание на клонов), то он будет двигаться по абсолютно случайной траектории. |
Мы не забываем, что внутри каждого шарика находится комплексная стрелка, которая имеет свое направление и длину. Как предсказать, какая результирующая стрелка окажется в произвольной клетке пространства в данный момент времени? Очевидно, для этого нужно знать, что было со всей системой в предыдущий момент времени. Мы получаем дифференциальное уравнение (его называют уравнением Шрёдингера в честь Шрёдингера, который его и открыл).
Закон движения экземпляров в пространстве: Пусть —
Формирование оператора энергии «по кусочкам ручками» будет рассмотрено в следующей статье.
Основы квантовых вычислений: чистые и смешанные состояния
Недавно мы рассказали о способе наглядного представления однокубитных состояний — сфере Блоха. Всем чистым состояниям соответствуют точки на поверхности сферы Блоха, а смешанным — точки внутри нее. В этой публикации мы постараемся объяснить, что на самом деле представляют собой чистые и смешанные состояния.
Статьи из цикла:
Строгое математическое объяснение приводится в книге М. Нильсена И. Чанг «Квантовая информация и квантовые вычисления», в разделе 2.4.1: «Ансамбли квантовых состояний», а также в этих замечательных конспектах (и в соответствующих записях лекций) профессора Леонарда Зюскинда из Стендфордского университета.
Чистые состояния
Чистым называется состояние, которое можно представить одним вектором состояния |ψι〉. С практической точки зрения это означает, что в любой момент времени мы точно (с вероятностью 100 %) знаем, что наша система находится в состоянии |ψι〉. Другими словами, если система находится в чистом состоянии, мы обладаем полным представлением о ней и точно знаем, в каком состоянии она находится.
Примеры чистых состояний: |0〉, |1〉, , . Им соответствуют следующие точки на поверхности сферы Блоха:
Смешанные состояния
Если полного представления о том, в каком состоянии находится подготовленная система, нет, то говорят, что она находится в смешанном состоянии. Такая ситуация может быть вызвана множеством причин: например, некорректной настройкой лабораторного оборудования или спутанностью частиц с внешней системой, которая нам недоступна. Как бы то ни было, если система находится в смешанном состоянии, мы не можем быть на 100 % уверены, находится ли она в чистом состоянии или либо в любом другом возможном состоянии. В таком случае состояние системы описывается вероятностным распределением всех чистых состояний, в которых она с ненулевой вероятностью может находиться после подготовки.
Рассмотрим пример. Допустим, наша коллега Мэри подготовила кубиты для нашего эксперимента. Она пытается саботировать работу и не говорит нам, в каком состоянии находится каждый кубит, но мы знаем, что возможных вариантов всего три: это чистые состояния . Поэтому наше стартовое состояние необходимо описать на языке теории вероятностей: . Такое сочетание чистых состояний называют смешанным состоянием.
Пусть мы знаем, что Мэри (например) подготавливает состояние в два раза чаще, чем или . Мы можем использовать это знание, чтобы описать вероятности возможных состояний нашей системы к началу эксперимента. Если мы не знаем, как именно Мэри выбирает подготавливаемые состояния, то следует предположить, что все они равновероятны. И сейчас пришло время рассказать о матрице плотности (или операторе плотности).
Оператор плотности, ρ
Оператор плотности (ρ) можно использовать для представления состояния системы, начальное состояние которой не известно наверняка. Этот оператор является обобщением векторов состояния (которые используется для записи чистых состояний). Матрица плотности для чистого состояния естественным образом вырождается в вектор состояния |ψι〉. Для тех, кому это интересно, ниже приводятся некоторые математические выкладки.
Немного математики
ПРИМЕЧАНИЕ. Предполагается, что читатель владеет базовыми понятиями векторной и матричной алгебры: внешнее и внутреннее произведение, ортогональность и т. п. Для знакомства с ними рекомендуется обратиться к книге М. Нильсена и И. Чанг или к Стендфордским лекциям, которые упомянуты в начале статьи.
Оператор плотности можно определить как
Если подставить значения вероятности из рассмотренного выше примера, получим
Это и есть матрица плотности нашей воображаемой системы! Не так уж сложно.
После того как мы вычислили оператор плотности, найти вероятность того, что измерение ρ покажет некоторое чистое квантовое состояние |ψ〉, очень просто: она равна 〈ψ|ρ|ψ〉.
В том случае, если состояние является чистым (то есть изначально система может находиться только в одном состоянии), выполняется следующее равенство:
Так мы получаем второе, эквивалентное определение чистого состояния: состояние, в котором ρ = |ψ〉〈ψ| (то есть с матрицей плотности, состоящей из единственного проектора), является чистым.
Применим оператор плотности к нашему вектору чистого состояния:
Как видите, в результате остается только |ψ〉.
По аналогии, вероятность обнаружить систему в некотором состоянии |φ〉 равна P = 〈φ|ρ|φ〉 = |〈φ|ψ〉|².
Как мы видим, правила вычисления вероятностей для смешанных состояний сводятся к правилам для чистых состояний, которые мы уже знаем. Таким образом, все правила для смешанных состояний выражаются через правила для чистых состояний, как и утверждалось ранее.
Квантовая система
Вы будете перенаправлены на Автор24
Квантовая система
Для объяснения многих свойств микрочастиц (фотонов, электронов и др.) требуются специальные законы и подходы квантовой механики. Квантовые свойства микромира проявляются через свойства макросистем. Микрообъекты составляют определенную физическую систему, которая называется квантовой. Примерами квантовых систем могут служить: фотонный газ, электроны в металлах. Под терминами квантовая система, квантовая частица следует понимать материальный объект, который описывается с помощью специального аппарата квантовой механики.
Квантовая механика исследует свойства и явления мира микрочастиц, которые не может трактовать классическая механика. Такими особенностями, например, стали: корпускулярно-волновой дуализм, дискретность, существование спинов. Методы классической механики не могут описать поведение частиц микромира. Имеющиеся одновременно волновые и корпускулярные свойства у микрочастицы не дают возможности определить состояние частицы с классической точки зрения.
Данный факт отразился в соотношении неопределенности Гейзенберга ($1925г.$):
Имея корпускулярные и одновременно волновые свойства, микрочастица не обладает точной координатой, а является «размазанной» в некоторой области пространства. В случае присутствия в некоторой области пространства двух и более частиц не возможно их отличить друг от друга, так как нельзя отследить за движением каждой. Из вышесказанного следует тождественность частиц в квантовой механике.
Готовые работы на аналогичную тему
Некоторые параметры, относящиеся к микрочастицам, принимают дискретные значения, что классическая механика объяснить не может. В соответствии с положениями и законами квантовой механики, помимо энергии системы, дискретными могут быть момент количества движения системы:
спин может принимать значения:
Проекция магнитного момента на направление внешнего поля принимает значения:
С целью математического описания квантовых особенностей физических величин в соответствие каждой величине ставят оператор. Так, в квантовой механике физические величины отображаются операторами, при этом их значения определяются средними по собственным значениям операторов.
Состояние квантовой системы
Любое состояние в квантовой системе описывается при помощи волновой функции. Однако данная функция прогнозирует параметры будущего состояния системы с некоторой долей вероятности, а не достоверно, то является принципиальным отличием от классической механики. Таким образом, для параметров системы волновая функция определяет вероятностные значения. Такая неопределенность, неточность предсказаний более всего вызывала споры в среде ученых.
Измеряемые параметры квантовой системы
Самые глобальные различия между классической и квантовой механикой заключены в роли измерения параметров изучаемой квантовой системы. Проблема измерений в квантовой механике заключается в том, что при попытках провести измерения параметров микросистемы исследователь действует на систему макроприбором, чем изменяет состояние самой квантовой системы. Так, при попытке точно измерить параметр микрообъекта (координату, импульс, энергию), мы сталкиваемся с тем, что сам процесс измерения изменяет параметры, которые мы пытаемся измерить, причем существенно. Провести точные измерения в микромире невозможно. Всегда будет иметь место ошибки в соответствии с принципом неопределенности.
В квантовой механике динамические переменные представляют операторы, поэтому говорить о числовых значениях не имеет смысла, так как оператор определяет действие на вектор состояния. Результат представлен, так же вектором пространства Гильберта, а не числом.
В том случае, если вектор состояния не собственный вектор оператора динамической переменной, то результат измерения не становится однозначным и говорят только о вероятности того или иного значения получаемого в измерении.
Результатами теории, которые проверяемы эмпирически служат вероятности получения в измерении динамической переменной при большом количестве измерений для одного и того же вектора состояния.
Процессы, которые происходят в микромире лежат за пределами чувственного восприятия человека. Следовательно, понятия и явления, которые использует квантовая механика, лишены наглядности.
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем соотношение неопределенностей Гейзенберга в виде:
\[\triangle p_x\triangle x\ge \hbar \left(1.1\right),\]
\[\triangle p_x=m\triangle v_x\left(1.2\right).\]
Подставим правую часть выражения (1.2) вместо неопределенности проекции импульса в выражении (1.1), имеем:
\[m\triangle v_x\triangle x\ge \hbar \left(1.3\right).\]
Из формулы (1.3) выразим искомую неопределенность скорости:
Из неравенства (1.4) следует, что минимальная погрешность при определении скорости частицы равна:
Задание: Какова минимальная погрешность в измерении кинетической энергии электрона, если он находится в области, размер которой l.
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем соотношение неопределенностей Гейзенберга в виде:
\[\triangle p_xl\ge \hbar \to \triangle p_x\ge \frac<\hbar >
Из неравенства (2.1) следует, что минимальная погрешность импульса равна:
Погрешность кинетической энергии можно выразить как: