что такое квантор существования
Квантор существования
В предикатной логике, квантор существования (экзистенциальный квантификатор) — это предикат свойства или отношения для, по крайней мере, одного элемента области определения. Он обозначается как символ логического оператора ∃ (произносится как «существует» или «для некоторого»). Квантор существования отличается от квантора всеобщности, который утверждает, что свойство или отношение выполняется для всех элементов области.
Существует модификация этого квантора как квантор существования и единственности — это предикат свойства или отношения для одного, и только для одного элемента области определения. Обозначается ∃! и читается «существует и единственный».
Варианты чтения
Выражение 
читается так:
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Квантор существования» в других словарях:
квантор существования — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN existential quantifier … Справочник технического переводчика
квантор существования — egzistavimo kvantorius statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. existential quantifier vok. Existenzquantor, m rus. квантор существования, m pranc. quantifier d existence, m … Automatikos terminų žodynas
Квантор общности — Не путать с: Кантор фамилия, Кантор, Георг Фердинанд Людвиг Филипп известный математик Квантор общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого либо предиката. Чаще всего упоминают квантор всеобщности (обозначение … Википедия
КВАНТОР — общее название для логических операций, к рые по предикату Р(х)строят высказывание, характеризующее область истинности предиката Р(х). В математич. логике наиболее употребительны квантор всеобщности и квантор существования Высказывание означает,… … Математическая энциклопедия
Квантор — (от лат. quantum сколько) символ, используемый для обозначения некоторых операций математической логики, одновременно логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которым относится выражение, получаемое в… … Начала современного естествознания
КВАНТОР — логический оператор, с помощью которого высказывание о к. л. отдельном объекте преобразуется в высказывание о совокупности (множестве) таких объектов. В логике используется два основных К.: К. общности, «V», и К. существования, «Э». В… … Философская энциклопедия
Квантор — (от лат. quantum сколько) логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которой относится выражение, получаемое в результате её применения. В обычном языке носителями таких характеристик служат слова типа… … Большая советская энциклопедия
MT1102: Линейная алгебра (введение в математику)
В алгебре высказываний применяют логические знаки для записи различных утверждений. Однако нам не достаточно этих знаков для выражения мысли типа «Всякий элемент %%x%% из множества %%D%% обладает свойством %%P(x)%%».
Понятие кванторов
Введем новые логические знаки, обозначаемые %%\forall%%, %%\exists%% и %%\exists!%%. Знак %%\forall%% называется квантором всеобщности, знак %%\exists%% — квантором существования, а %%\exists!%% — квантором существования и единственности.
Пусть %%P(x)%% — одноместный предикат, определенный на множестве %%D%%.
Квантор всеобщности
Используя квантор всеобщности, можно составить следующее высказывание
Читается как: «для любого %%x%% выполняется %%P(x)%%»; «для всякого %%x
P(x)%%»; «для всякого %%x%% верно %%P(x)%%» и т.п.
Пусть %%P(x)%% предикат %%x^2 \geq 0%%, определенный на множестве действительных чисел %%D = \mathbb R %%. Тогда высказывание %%\forall x
P(x)%% имеет вид %%\forall x
x^2 \geq 0%%. Это истинное высказывание, так как для любого значения пременной %%x = a \in \mathbb R %% получаем истинное высказывание %%a^2 \geq 0%%. Однако, высказывание %%\forall x
x^2 > 0%% ложно, например, как при %%x = 0%% получаем ложное высказывание %%0 > 0%%.
Квантор существования
Используя квантор существования, можно составить следующее высказывание
Читается как: «существует %%x%% такой, что %%P(x)%%»; «существует %%x%% с условием %%P(x)%%» и т.п.
Квантор существования и единственности
Используя квантор существования и единственности, можно составить следующее высказывание
Читается как: «существует единственный %%x%% такой, что %%P(x)%%»; «существует единственный %%x%% с условием %%P(x)%%» и т.п.
Отрицание «кванторов»
Докажем первое из них. Пусть высказываине %%\overline<\forall x
P(x)>%% истинно. Тогда высказывание %%\forall x
P(x)%% ложно. Поэтому для некоторого %%x = a%% имеем %%P(a)%% ложно. Тогда %%\overline
\overline
Аналогично доказывается второе утверждение.
Применение одного из кванторов «понижает» степень предиката на единицу. Из двуместного предиката получается одноместный предикат, а из одноместного — предикат %%0%% степени или высказывание.
Правила перестановки кванторов
P(x,y) \equiv \exists y
P(x,y) \equiv \forall y
Однако, разноименные кванторы переставлять местами нельзя. Рассмотрим двуместный предикат %%P(x, y): x + y = 0%%, определенный на множестве %%\mathbb R%%. Тогда высказывание %%\exists x
x + y = 0%% можно прочитать так: «существует %%x%%, которое в сумме с любым %%y%% равно 0». Это ложно высказывание.
Переставим разноименные кванторы местами и получим высказывание %%\forall y
x+ y = 0%%, которое можно прочитать так: «для любого %%y%% существует %%x%% такой, что их сумма равна 0». Это истинное высказывание. В итоге получили различные истинностные значения высказываний.
Для записи одноименных кванторов существуют следующие сокращения:
\forall y \equiv \forall x, y
\exists y \equiv \exists x, y. \end
Логика: предикатная, формальная и сентенциальная. Кванторы и создание информатики
1 | Введение
Логика, как эпистемологический инструмент, изобретена независимо в трёх отдельных государствах: Греции (Аристотелем), Китае (до правления Цинь Шихуанди) и Индии. В последних двух перечисленных государствах логика не распространилась настолько, чтобы «прижиться» и получить своё полноценное развитие. В античной же Греции произошло наоборот — логика сформировалась в своих основах столь определённо, что дополнилась только через 2 тысячелетия.
Значительные изменения в греческую логику, помимо Дж. Буля, О. де Моргана и Б. Рассела, внёс Готлоб Фреге — он придумал 2 вида кванторов. А также Курт Гёдель, открыв знаменитые две теоремы о неполноте, описывающие невозможность объединения множества доказуемых утверждений со множеством истинных. Он утверждал, что доказательства математики зависят от начальных предположений, а не фундаментальной истины, из которой происходят ответы. Одна из главных идей его работ состоит в том, что ни один набор аксиом, — в том числе математических, — не способен доказать свою непротиворечивость.
На этом этапе некоторые заметят влияние платонизма на австрийского логика. Верно, ведь Гёдель не раз заявлял о влиянии метафизики Платона на собственную деятельность. Но сам Платон развитию формальной логики способствовал лишь косвенно: в истории он вносит вклад в развитие другого направления — философской логики. Платоном созданы вопросы, на которых основывается вся западная философия вплоть до наших дней. Философия, в том виде, котором она известна, возникла только благодаря учителю Аристотеля.
Платон — учитель Аристотеля
В другие периоды в логику также вносили дополнения:
античной школой стоицизма введены термины «модальности», «материальной импликации», «оценки смысла и истины», которые являются задатками логики высказываний;
также средневековыми схоластами введены несколько понятий;
Но главное, что сами логические операции не изменились. «Органон» Аристотеля, как сборник из 6 книг — первоисточник, где подробно описаны главные логические законы. «Органон» (с древнегреческого ὄργανον), означает — инструмент. Аристотель считал, что логика является инструментом к познанию. Он объединяет методом получения информации такие науки:
Физика — наука о природе;
Метафизика — наука о природе природы;
Биология — раздел физики, наука о жизни;
Психология — раздел физики, наука о душе;
Кинематика — раздел физики, наука о движении;
2 | Терминология
У каждой из наук должен быть идентичный фундамент в способе получения гнозисов (знаний), который позволит упорядочить информацию и выводить новые силлогизмы (умозаключения). Только таким образом получится прогресс в познании истины. Без логики наука была бы похожа на коллекционирование фактов, т.к. информация бы не поддавалась анализу.
Сам Аристотель находит логике как средству убеждения иное применение: в риторике, спорах, дебатах, выступлениях и т. д., описывая это в своём труде «Риторика». В западной философии принято давать чёткие определения перед рассуждениями, поэтому определимся с терминами. Логика — наука о правильном мышлении.
В языковой зависимости возникают трудности трактовки термина «наука», но даже в оригинальном названии труда Фридриха Гегеля «Наука логики» — «Wissenschaft der Logik», употребляется слово «наука» (Wissenschaft). Поэтому придём к консенсусу и будем считать, что научной можно назвать ту дисциплину, в которой возможны открытия, исследование и анализ. Логика в таком случае — наука, ибо внутри неё возможно совершать открытия. Яркий пример — комбинаторика Лейбница.
Слово «правильный» сразу веет нормативными коннотациями: правильное поведение, правильное выражение лица, и т.д. Перечисленное соответствует некоторым критериям и логика выставляет их (критерии) для правильного мышления.
Слово «мышление» понимается на интуитивном уровне, но чёткое объяснение затруднительно, обширно и иногда не объективно.
Бюст Аристотеля
3 | Формальная и неформальная логика
Первоначально, деление логики происходит на формальную и неформальную. Формальная логика отличается тем, что, в отличие от неформальной, записывается уравнениями. Неформальная же логика пишется выражениями в форме языка, поэтому она подходит для риторики, а формальная логика для абстрактных наук.
Формальная логика равным образом делится на дедуктивную и индуктивную. Они различаются тем, что в дедуктивном аргументе истинность условий гарантирует истинность умозаключения или вывода. В индукции же, при истинности условий одинаково возможен ложный и истинный вывод.
Законы формальной логики:
1. Закон тождества (А = А): эквивокация или двусмысленность недопустимы. Нельзя подменять одно понятие, другим.
2. Закон непротиворечия (А ∧ ¬А = 0): одно и то же утверждение не может быть истинным и ложным одновременно.
3. Закон исключения третьего или бивалентности (А ∨ ¬А = 1): утверждение может быть либо истинным, либо ложным — третьего не дано.
Принципы формальной логики:
1. Принцип достаточного обоснования: достаточными являются такие фактические и теоретические обоснования, из которых данное суждение следует с логической необходимостью.
4 | Сентенциальная логика (алгебра высказываний)
Базовые операции сентенциальной логики — логики высказываний, где заглавная буква означает предложение:
Отрицание (Утверждение ¬A истинно тогда и только тогда, когда A ложно): если имеем утверждение «А» и имеем утверждение «не А», то, когда утверждение «А» будет истинным, утверждение «не А» будет ложным. Также и когда утверждение «А» будет ложным — утверждение «не А» будет истинным.
Конъюнкция (Утверждение A ∧ B истинно, если и A, и B — истинны. Ложно в противном случае): в английском языке — союз «and/&»; в русском — «и». В утверждении «А и В», между «А» с «В» стоит знак конъюнкции — «∧». Утверждение «А и В» является истинным, если «А» с «В» являются истинными одновременно. Если хоть один элемент ложен, то всё утверждение ложно. «А и В» подразумевает, во-первых: истинность «А», во-вторых: истинность «В».
Дизъюнкция (Утверждение A ∨ B верно, если A или B (или оба) верны. Если оба не верны — утверждение ложно): в английском языке — союз «or»; в русском — «или». Существует два типа дизъюнкции — включающая и исключающая (в логике используется включающее «или»). Условия таковы, что утверждение «А или В» будет истинным, когда один или оба элемента истинны, но никогда — когда оба элемента ложны. Это противоречит нашему обыденному мышлению, т.к. когда спрашивают: «Чай или кофе?» мы выбираем один элемент, но в логике подразумевается выбор не только одного, а нескольких возможных.
Импликация (Утверждение A ⇒ B ложно, только когда A истинно, а B ложно): в английском языке — «therefore»; в русском языке — «следовательно». Подразумевает истинность одного элемента при истинности другого. Потому что условия истинности соблюдаются всегда, кроме случая, когда «А» истинно, а «B» ложно. Поэтому утверждение: «А» ложно, следовательно «B» ложно — истинно. Покажется, что когда «А» ложно, а «В» истинно — не соблюдаются условия, но это не так. Если вы скажете, что после дождя промокните — это утверждение будет истинным вне зависимости от того, пошёл дождь или нет.
Эквивалентность (Утверждение A ⇔ B истинно, только если оба значения A и B ложны, либо оба истинны): если истинно утверждение «А, следовательно В» и истинно утверждение «В, следовательно А», то истинными являются выражения «А эквивалентно В» и соответственно «В эквивалентно А». Условия истинности соблюдаются в случаях, когда оба элемента истинны или оба ложны.
5 | Предикатная логика первого порядка
В XX веке, после добавлений в логику работ Готфрида Лейбница и Готлоба Фреге, на основе этой дисциплины создаётся новая — информатика. Языки программирования основываются на видоизменённой логике Аристотеля — предикатной логике, описательная способность которой выше, чем у логики высказываний (сентенциальной). Прежде чем разобрать этот новый тип логики, поговорим об её отличии от сентенциальной. Главная особенность предикатной логики, что заглавными буквами обозначаются предикаты, а не целые высказывания. Можно сказать, что предикат — это математическая функция, которая «накладывает» множество субъектов на множество утверждений.
Высказывание «Я пошёл в зоопарк» — состоит из субъекта и предиката. В нём субъект — «Я», а предикат — то, что остаётся кроме субъекта («… пошёл в зоопарк»). Субъект — кто совершает действие в предложении или имеет выраженное свойство; предикат — всё оставшееся. Таким образом, если в сентенциальной логике высказывание «Я пошёл в зоопарк» выражалось бы одной заглавной буквой, то в логике предикатов использовались бы две буквы (заглавная и подстрочная): «P» — для предиката; «x» — для субъекта. Субъекты обозначаются переменной («x»), потому что в предикатной логике появляются две относительно новые операции: универсальный и экзистенциальный кванторы. Особенность кванторов заключается в том, что ими возможно записать выражение истинное при всех возможных переменных «х» или хотя бы при одном.
Универсальный квантор (квантор всеобщности) обозначается символом — «∀», с указанием переменной под ним. Возьмём утверждение «Все пингвины чёрно-белые». В логике высказываний оно бы выражалось как «X ⇒ P», где «X» — нечто являющееся пингвином, а «P» — нечто являющееся чёрно-белым. В предикатной логике же используются субъекты и предикаты, поэтому нечто являющееся пингвином (субъект), обозначалось бы переменной «х» снизу под предикатом. «»х» — является пингвином, следовательно, является чёрно-белым». Записывается так: P(х) ⇒ B(х), где P(х): х — пингвин; B(х): x — чёрно-белый.
Однако этого недостаточно, ведь непонятно, один субъект «х» чёрно-белый или больше одного, а может вообще все. Поэтому утверждение «»х» — является пингвином, следовательно, является чёрно-белым», берётся в скобки и перед скобками используется символ «∀» с переменной «х» под ним — которые вместе и будут универсальным квантором.
Универсальный квантор переводится как: «Для всех «х» истинно, что …». Теперь утверждение «х — является пингвином, следовательно, является чёрно-белым» с универсальным квантором перед ним, расшифровывается так: «Для всех «х» истинно, что «х» — является пингвином, следовательно, является чёрно-белым». Это означает, что чем бы ни был объект во вселенной, если этот объект пингвин — он является чёрно-белым. Полная запись будет выглядеть так:
Экзистенциальный квантор (квантор существования) обозначается символом — «∃» с указанием переменной под ним. Возьмём утверждение «Некоторые пингвины серые». Как и в прошлый раз, выражение «»x» — является пингвином и «х» — является серым» возносим в скобки и ставим перед ними квантор, в этом случае экзистенциальный с указанной переменной. «»x» — является пингвином и «х» — является серым» записывается так: P(х) ∧ C(х), где P(х): х — пингвин; C(х): x — серый.
Экзистенциальный квантор можно перевести так: «Есть такой «х», для которого будет истинно, что …». Подразумевается, что есть как минимум один «х», для которого выполняются условия выражения. Если вам говорят, что картофеля не существует, достаточно показать одну картофелину для опровержения этого утверждения. Также и с кванторами, если существует хотя бы один серый пингвин, то утверждение об отсутствии серых пингвинов будет ложно. Полная запись экзистенциального квантора для выражения «Есть такой «х», для которого будет истинно, что «x» — является пингвином и «х» — является серым», будет выглядеть так:
6 | Заключение
Примечательно, что есть возможность перевода одного вида квантора в другой. Возьмём утверждение «Все пингвины не являются серыми». Для универсального квантора текстовая запись будет такая: «Для всех «х», будет истинным утверждение о том, что если «х» — является пингвином, то «х» — не является серым объектом». Но утверждение изменяется и для экзистенциального квантора, используя знак отрицания: «Нет такого «х», для которого бы было истинным утверждение о том, что «x»— является пингвином и «х»— является серым».
В середине XIX века, Готлоб Фреге дополнил логику Аристотеля двумя этими операциями, которые позже сформировались в отдельную дисциплину — предикатную логику. С введением в логику экзистенциального квантора (после универсального) — предикатная логика, в основе своей, завершилась как система…
Источники:
1 — Аристотель: «Органон» — «Первая аналитика» и «Вторая аналитика»;
2 — Аристотель: «Риторика»;
3 — Готлоб Фреге: «Исчисление понятий»;
4 — «Monatshefte für Mathematik und Physik» 1931 г.: Курт Гёдель «О принципиально неразрешимых положениях в системе Principia Mathematica и родственных ей системах»;
5 — The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz;
6 — Мельников Сергей: «Введение в философию Аристотеля»;
7 — Гильмутдинова Нина: «Логика и теория аргументации»;
Привычка не думать
Заметки о классических человеческих заблуждениях
10 окт. 2009 г.
Кванторы всеобщности и существования
Данная заметка является в большой степени технической и не будет интересна большинству из-за своей простоты и очевидности. Последнее время мне всё чаще нужна страница в сети, на которую можно отправить человека, не понимающего разницы между утверждениями «для любого представителя такого-то множества данное свойство верно» и «существует представитель такого-то множества, для которого данное свойство верно». Если что-то не удалось найти, а оно нужно, то я предпочитаю это сделать своими руками.
Если вам кто-то порекомендовал эту ссылку для прочтения, то очень прошу не обижаться. Дело в том, что это означает, что в вас верят! Если бы не верили, то не стали бы пытаться объяснить свою позицию. А раз пытаются, значит хотят продолжить беседу на более высоком уровне понимания. И это само по себе уже очень хорошо.
Итак, вернёмся к кванторам всеобщности и существования. Звучит страшно, но устроено очень просто. Есть два похожих, но очень отличающихся смысла: «некоторое утверждение верно всегда» и «бывают ситуации, когда утверждение верно». В различных спорах данные смыслы часто смешивают, подменяя понятия. Это позволяет «выиграть» в споре, создав иллюзию корректности аргументов (фактически, запутав слушателей или самого себя). Следующий текст адресован людям, путающимся в этих двух типах утверждений.
Смысл «все лошади лиловые» можно переформулировать как «для любой лошади X верно «X лиловая»». Математики для краткости это записывают примерно так: «∀лошади X, X имеет лиловый цвет». Как доказать такое утверждение? Есть два способа:
1) Рассмотреть все возможные X, убедившись, что они все удовлетворяют условию «X имеет лиловый цвет».
2) Доказать, что не существует ни одного X, имеющего другое свойство (доказать, что не бывает лошадей другого цвета).
Первый путь может быть очень долгим, если рассматривается большое множество (лошадей на планете очень много), а второй сложен тем, что надо найти какой-то изящный ход, показывающий отсутствие лошадей с заданным свойством, что тоже нелегко.
Трудно доказывать высказывания о том, что что-то всегда верно, но легко их опровергать. Достаточно предъявить хотя бы одного представителя рассматриваемого множества, не удовлетворяющего условию. Если найти хоть одну не лиловую лошадь, то утверждение о том, что все они являются лиловыми, можно будет смело считать ложным.
А смысл «существуют порядочные журналисты» можно переформулировать как «существует журналист X такой, что «X честен»». Это для краткости оформляют примерно так: «∃ журналист X, X порядочен». Как это можно доказать? Есть очень простой способ: предъявить хотя бы одного честного журналиста. Достаточно одного примера, чтобы доказать утверждение!
Высказывания о существовании чего-то легко доказывать, потому что надо найти всего одну сущность. Но как же тяжело их опровергать! Есть два способа:
1) Проверить всех журналистов (а их очень много): установить для каждого, является ли он честным. И если в результате этой длительной работы выяснится, что каждый журналист не является порядочным, то утверждение о существовании честных журналистов будет опровергнуто.
2) Доказать, что из самой принадлежности X к множеству журналистов заведомо следует, что X не может быть порядочным. Дело это сложное, потому что требуется найти корректный ход, доказывающий данное утверждение.
Полагаю, двойственность этих обоих типов высказываний и способов их доказательства очень заметна:
1) существование легко доказать, но сложно опровергнуть,
2) всеобщность (верность для всех) легко опровергнуть, но трудно доказать.
Именно по этой причине спорщики часто стараются проигнорировать корректные доказательства существования, указав на то, что бывают элементы, не имеющие обсуждаемого свойства.
Этот диалог может продолжаться, пока автору высказывания о существовании не надоест тратить своё время на беседу с человеком, считающим, что опровергнуть возможность чего-то можно примерами других возможностей.
Вернёмся к вчерашнему примеру с треугольником. Если в нём всё хорошо и корректно, то он доказывает утверждение «существуют треугольники, площадь которых не обладает аддитивностью» и опровергает утверждение «площадь всех треугольников аддитивна».
Но важно понимать: если мой пример с треугольником некорректен (что правда), то это не доказывает аддитивность площади для всех треугольников, а всего лишь опровергает конкретное утверждение о существовании такого треугольника без аддитивности 🙂
Напишите, пожалуйста, если знаете место в сети, где эта же идея изложена яснее и короче.