что такое квантиль порядка p

Определение 1. Кванти́ль в математической статистике – число x_p такое, что заданная случайная величина X превышает его лишь с фиксированной вероятностью p.

Классное определение, но годится такое определение разве что для википедии, оно не конструктивно, т.е не пригодно для практических целей. Немного терпения, и вам станет понятно данное определение. Более того, вы с легкостью сможете находить квантили любого уровня, а также сможете применять данное понятие для решения задач по статистике.

Как найти квантиль

Определение 1*. Квантилью x_p (p-квантилью, квантилью уровня p) случайной величины X, имеющей функцию распределения F (x), называют решение x_p уравнения F (x) = p.

Следовательно, для того чтобы найти квантиль x_p необходимо найти решение уравнения F (x) = p.

Для наглядности, найдем решение графически:

1. Построим функцию распределения F(x);

2. Построим горизонтальную линию уровня p;

3. Находим точку пересечения данных линий, опускаем перпендикуляр на ось X, получаем квантиль x_p (квантиль уровня p) смотри рисунок 1.

Аналогично для дискретной случайной величины X смотри рисунок 2.

Замечание. Для дискретной случайной величины X функция распределения F(x) имеет ступенчатый вид, функция не монотонна. Поэтому решение уравнения F(x) = p в общем случае не однозначно ( в решение попадают интервалы). В таких случаях, для определенности квантилем назначают средину интервала, как показано на рис.2.

Определение 4. Медианой называют квантиль уровня 0,5,

обозначают Me = x_0,5.

Ну вот, пришло время, на конкретном примере показать, как находить квантили.

Пример. Пусть имеется выборка дискретной случайной величины X:

Найти квантили уровня 0,2 и 0,3 ( x_0,2 и x_0,3 )

1) Находим функцию распределения дискретной случайной величины:

2) Строим график функции распределения, проводим линии уровня p = 0,2 и p = 0,3,

3) получаем квантили: x_0,2 = 1, x_0,3 = 1,5, или, можно сказать так, получаем децили d₂=1, d₃=1,5

Источник

Квантиль

Материал из MachineLearning.

Содержание

Определение

—кванти́ль случайной величины с функцией распределения — это любое число удовлетворяющее двум условиям:

Заметим, что данные условия эквивалентны следующим:

и x_\alpha)\le 1- \alpha.» alt= «\mathbb

(\xi>x_\alpha)\le 1- \alpha.» />

Если — непрерывная строго монотонная функция, то существует единственный квантиль любого порядка который однозначно определяется из уравнения и, следовательно, выражается через функцию, обратную к функции распределения:

Кроме указанной ситуации, когда уравнение имеет единственное решение (которое и дает соответствующий квантиль), возможны также две других:

Часто используемые квантили специальных видов

Терминология, принятая в математической статистике

В задачах математической статистики часто возникает необходимость отделить сверху, снизу или с обеих сторон области, вероятности попадания в которые малы. В связи с этим часто используется следующая терминология.

Нижний (односторонний) квантиль уровня — то же, что и обычный квантиль порядка :

Верхний (односторонний) квантиль уровня — обычный квантиль порядка :

Применение квантилей в задачах проверки статистических гипотез

Если статистика с указанными свойствами существует, тогда на ее основе можно получить статистический критерий для данной задачи. Для этого необходимо с помощью соответствующих квантилей выделить область (нижнюю, верхнюю или двустороннюю), попадание в которую было бы маловероятно при нулевой гипотезе (и эта вероятность известна), однако может быть объяснено тем, что на самом деле имеет место альтернатива. Многочисленные критерии принятия решения строятся именно по такой схеме.

Применение квантилей в задачах оценивания параметров

Далее можно попробовать разрешить неравенство, стоящее под вероятностью, относительно неизвестного параметра, и переписать его в виде:

чтобы величины и зависели бы только от выборки, т.е. являлись бы статистиками. Если это удается сделать, то мы построили доверительный интервал для неизвестного параметра.

Выборочные квантили; статистическая оценка квантилей

Таким образом, выборочные квантили являются несмещёнными оценками обычных (не выборочных) квантилей.

Источник