что такое квадрат четного числа

Четные и нечетные числа

Четные и нечетные числа: что, как, зачем, почему

Стремление человека делить и половинить сопровождает его всю жизнь. Нас хлебом не корми, дай поделить на два.

Прежде чем разобраться, зачем и почему мы это делаем, давайте познакомимся с определениями.

Четное число — это число, которое делится на 2.

4 : 2 = 2
Это значит, что 4 — четное число.

Нечетное число — это число, которое не делится на 2.

5 не делится на 2 без остатка — значит, 5 это нечетное число.

Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8, то это число четное.

Если число оканчивается на 1, 3, 5, 7, 9, то это число нечетное.

Если двузначное число круглое, то это число четное. Например, 20, 30, 40, 50 и т. д. — четные числа.

Свойства четных и нечетных чисел

Четные и нечетные числа чередуются друг с другом

1 — нечетное,
2 — четное,
3 — нечетное,
4 — четное,
5 — нечетное,
6 — четное,
7 — нечетное,
8 — четное,
9 — нечетное.

Внимательно рассмотрите таблицу четных и нечетных чисел. На ней хорошо видно, как они чередуются между собой.

1	11	21	31	41	51	61	71	81	91
2	12	22	32	42	52	62	72	82	92
3	13	23	33	43	53	63	73	83	93
4	14	24	34	44	54	64	74	84	94
5	15	25	35	45	55	65	75	85	95
6	16	26	36	46	56	66	76	86	96
7	17	27	37	47	57	67	77	87	97
8	18	28	38	48	58	68	78	88	98
9	19	29	39	49	59	69	79	89	99
10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

Умение быстро определять четность и нечетность поможет в решении примеров, особенно, когда нужно посчитать в уме. Вот шпаргалка — держите ее под рукой, чтобы быстро ориентироваться в цифрах и числах.

Задачи для практики

Давайте проверим, как хорошо вы научились определять четность и нечетность. Выполним несколько несложных заданий.

Задачка 1. Назовите числа, которые спрятаны за ♥. Назовите их по порядку. Какие из них — четные, а какие — нечетные?

1	♥	17
2	10	♥
♥	11	19
4	♥	20
5	13	♥
♥	14	22
7	15	23
8	♥	♥

Ответ: 3 — нечетное, 6 — четное, 9 — нечетное, 12 — четное, 16 — четное, 18 — четное, 21 — нечетное, 24 — четное.

Задачка 2. Вставьте в таблицу пропущенные числа. Определите, четное или нечетное получилось число.

X	2	4	6	8	10
X × 2
X : 2

X	2	4	6	8	10
X × 2	4	8	12	16	20
X : 2	1	2	3	4	5

2 × 2 = 4 — четное
2 : 2 = 1 — нечетное
4 × 2 = 8 — четное
4 : 2 = 2 — четное
6 × 2 = 12 — четное
6 : 2 = 3 — нечетное
8 × 2 = 16 — четное
8 : 2 = 4 — нечетное
10 × 2 = 20 — четное
10 : 2 = 5 — нечетное

Задачка 3. В коробке 44 конфеты: 15 шоколадных и 12 — с карамелью. А все остальные с воздушным рисом. Сколько в коробке конфет с воздушным рисом? Получившееся значение — четное или нечетное?

Посчитаем, сколько в сумме конфет шоколадных и с карамелью:
15 + 12 = 27 (к)

Ответ: в коробке 17 конфет с воздушным рисом. 17 — нечетное число.

Задачка 4. В инстаграме у Маши четное количество фотографий. Она добавила еще пять фотографий. Теперь фотографий 51. Сколько у Маши изначально было фотографий?

Ответ: изначально у Маши в инстаграме было 46 фотографий.

Задачка 5. Назовите числа, закрытые ☆. Распределите их по четности и нечетности. Сложите их и назовите получившееся значение.

1	☆	3	☆	5
6	☆	☆	9	10
☆	12	13	☆	15
16	☆	☆	19	20
☆	22	23	☆	25

Ответ:
2 — четное, 4 — четное, 7 — нечетное, 8 — четное, 11 — нечетное, 14 — четное, 17 — нечетное, 18 — четное, 21 — нечетное, 24 — четное.

Складываем сначала четные: 2 + 4 + 8 + 14 + 18 + 24 = 70

Затем складываем нечетные: 7 + 11 + 17 + 21 = 56
70 + 56 = 126
126 : 2 = 63

Источник

Представление чисел суммой двух квадратов и эллиптические кривые

Совсем легко понять, почему 3, 7, 11 и прочие числа, дающие при делении на 4 остаток 3, непредставимы в виде a 2 +b 2 : квадрат чётного числа всегда делится на 4, квадрат нечётного числа всегда даёт остаток 1 при делении на 4, сумма двух квадратов при делении на 4 может давать остатки 0, 1 или 2, но никак не 3. Представимость простых чисел вида 4k+1 неочевидна (особенно если заметить, что простота существенна: число 21 хотя и имеет нужный остаток, но суммой двух квадратов не представляется).

Вычеты

Натуральных чисел бесконечно много. Бывает полезно объединять их в классы по каким-нибудь признакам. В частности, объединение по остатку от деления на какое-нибудь число n приводит к вычетам по модулю n: вычет x̅ — это класс всех чисел, которые при делении на n дают тот же остаток, что и x. Что эквивалентно, вычет x̅ состоит из всех чисел вида x+n∙k, где k целое. В рамках данного поста все вычеты будут по модулю p (того самого нечётного простого числа из введения). Естественно, различных вычетов столько же, сколько может быть остатков от деления на p, то есть ровно p. По сравнению с бесконечностью натуральных чисел переход к вычетам сильно сокращает число вариантов.
Операции над классами далеко не всегда имеют смысл. Например, попытка сложить класс простых чисел с классом составных чисел не очень осмысленна: мы умеем складывать только числа, а у суммы простого числа и составного числа не видно свойств, общих для класса. Хотя члены клуба тавтологии и могут сказать, что сложение класса простых чисел и класса составных чисел даёт класс чисел, раскладывающихся в сумму простого числа и составного числа.

Для вычетов, тем не менее, сложение, вычитание и умножение, «унаследованные» от натуральных чисел, дают другие вычеты. Например, 2̅+3̅=5̅: возьмём любое число с остатком 2, любое число с остатком 3, и их сумма обязательно даст остаток 5. Вообще говоря, произведение двух ненулевых вычетов по произвольному модулю может внезапно оказаться нулём, 2̅∙3̅=0̅ по модулю 6, что неприятно. Но в случае простого модуля, очевидно, такого не бывает, как говорят, нет делителей нуля. Кроме того, можно решить уравнение a̅∙x̅=b̅ (операция деления) для любых двух вычетов, кроме случая a̅=0̅, и результат будет однозначно определён. Однозначность следует из того, что произведение ненулевых вычетов ненулевое. Поскольку a̅≠0̅, то наибольший общий делитель a и p равен 1 (здесь тоже нужна простота p), расширенный алгоритм Евклида найдёт x и y такие, что a∙x+p∙y=1, откуда следует a̅∙x̅=1̅, а значит, a̅∙(b̅∙x̅)=b̅.

Важное следствие из отсутствия делителей нуля: ненулевой многочлен от одной переменной степени n не может иметь более n корней. (Это хорошо известно для обычных целых чисел, но при использовании операций над вычетами требует дополнительного обоснования: уравнение 3̅∙x̅=0̅ по модулю 6 имеет три решения 0̅, 2̅, 4̅.) Действительно, обычное деление «в столбик» показывает, что любой многочлен f(x) можно представить в виде f(x)=(x-с)g(x)+(некоторая константа), где многочлен g(x) имеет степень на единицу меньше; если c — это корень f(x), то константа равна нулю (подставим x=c); если c’ — другой корень f(x), то он будет корнем g(x) (здесь важно отсутствие делителей нуля), так что процесс можно продолжить. Если уже набралось n корней, то оставшийся g(x) будет константой, причём ненулевой (иначе f(x)=0) и больше корней не имеет.

Вычеты по простому модулю можно складывать, вычитать, умножать. На ненулевые вычеты можно делить. Все эти операции обладают обычными свойствами типа a̅∙b̅=b̅∙a̅. В умных книгах говорят, что вычеты по простому модулю образуют поле (а вычеты по составному модулю, где делить нельзя, а всё остальное такое же, — коммутативное кольцо). И не надо быть умной книгой, чтобы назвать это поле конечным. Поле вычетов — не единственное конечное поле, но другие конечные поля нам не понадобятся.

Чуть-чуть про эллиптические кривые

Квадратичные вычеты и невычеты

Теперь мы готовы предъявить обещанные формулы для компонентов разложения p в сумму двух квадратов. Теорема. Пусть g — любой квадратичный невычет. Если p при делении на 4 даёт остаток 1, то

причём число в первой скобке целое нечётное, число во второй скобке целое чётное. Если же p при делении на 4 даёт остаток 3, то обе суммы в скобках нулевые (а значит, число точек на эллиптических кривых равно p+1).

Доказательство

Поскольку пост и без того длинный, доказательство убрано под спойлер. Его можно спокойно пропустить без ущерба для восприятия.

Если взять ненулевой вычет c и умножить его на все вычеты от 1̅ до p̅-1̅, все произведения будут ненулевыми и попарно различными (если c∙x=c∙y, то c∙(x-y)=0̅, что при ненулевом c может быть только если x=y), а значит, это будет просто какая-то перестановка всех вычетов от 1̅ до p̅-1̅. Следовательно, 1̅∙2̅∙. ∙(p̅-1̅)=(c∙1̅)∙(c∙2̅)∙. ∙(c∙(p̅-1̅))=c p-1 ∙1̅∙2̅∙. ∙(p̅-1̅) и c p-1 =1̅ для любого ненулевого вычета c. (Это было доказательство малой теоремы Ферма.)

Как следствие, получаем .

Если p даёт остаток 1 при делении на 4, то слагаемые с x и -x равны и их сумма четна. Значит, вся сумма также четна и числа в скобках действительно целые. Чётность/нечётность после деления пополам ненамного сложнее: в первой скобке теоремы есть три нулевых слагаемых, остальные слагаемые разбиваются на (p-3)/2 пар с суммой ±2 в каждой паре; при любом знаке при делении на 4 получается остаток 2, вся сумма при делении на 4 даёт остаток такой же, как p-3, то есть 2. После деления пополам получим нечётное число. Во второй скобке теоремы всего одно нулевое слагаемое и (p-1)/2 пар с ±2, итоговый остаток от деления на 4 получается 0, после деления пополам остаётся чётное число.

Пусть p при делении на 4 даёт остаток 1. Обозначим первую скобку теоремы через a, вторую через b. Мы уже знаем, что a и b целые.

Итак, первый способ вычисления даёт

Если x₂/x₁ — квадратичный невычет, то аналогично эллиптическим кривым число решений равно 2p минус число решений в случае квадратичного вычета, то есть 2p-(p-1)=p+1.

Суммируем. Есть один вариант с x₁=x₂=0, дающий p решений. Есть 2(p-1) вариантов, где один из x нулевой, а другой ненулевой, каждый из вариантов даёт p решений. Есть 2(p-1) вариантов с x₂=±x₁, каждый из которых даёт 2p-1 решений. Есть (p-1)((p-1)/2-2) вариантов, где x₁ — произвольный ненулевой вычет, а x₂/x₁ — квадратичный вычет, отличный от ±1̅, каждый из этих вариантов даёт p-1 решений. Наконец, остаётся (p-1) 2 /2 вариантов, где x₁ — произвольный ненулевой вычет, а x₂/x₁ — квадратичный невычет, в каждом из этих вариантов p+1 решений. Итого .

Сравнение двух выражений для N завершает доказательство.

Причём здесь криптография?

Знание числа точек на кривой важно для криптографии на этой кривой. На эллиптической кривой можно ввести операцию сложения точек (о чём слышали, наверное, все, кто хоть что-то знает о криптографии) со специальной точкой O в роли нуля. На основе операции сложения можно определить умножение на натуральное число: 2P=P+P, 3P=P+P+P и так далее. Так вот, можно доказать, что если n — порядок кривой, то nP=O для любой точки P. Зная n, c, d, можно решать уравнения вида x∙(cP)=dP полностью аналогично делению вычетов: расширенный алгоритм Евклида найдёт x, y такие, что c∙x+n∙y=1, откуда x∙(cP)+y∙(nP)=P, то есть x∙(cP)=P. При этом, если c, d неизвестны, а cP и dP заданы координатами, то эффективных методов деления в общем случае неизвестно.

Вычислить число точек на заданной кривой довольно сложно (полиномиальный алгоритм существует, но на практике довольно медленный). Чтобы построить кривую с какими-нибудь свойствами на число точек, можно пытаться взять случайные коэффициенты и вычислять число точек в цикле, пока не получится то, что надо, но придётся подождать. К счастью, есть другой способ.

Источник

Квадратное число

Квадрат или квадратное число — целое число, которое может быть записано в виде квадрата некоторого другого целого числа (иными словами, число, квадратный корень которого целый). Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.

Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3 (может быть представлено в виде квадрата 3 × 3 точки).

Содержание

Примеры

Последовательность квадратов начинается так:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (последовательность A000290 в OEIS)

Таблица квадратов

_0	_1	_2	_3	_4	_5	_6	_7	_8	_9
0_	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
1_	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2_	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3_	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4_	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5_	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6_	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7_	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8_	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9_	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Свойства

Геометрическое представление

Обобщения

Понятие квадрата обобщается на произвольные мультипликативные группы. В частности, в кольцах вычетов квадратам соответствуют квадратичные вычеты.

См. также

Примечания

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Квадратное число» в других словарях:

КВАДРАТНОЕ ЧИСЛО — (от лат. quadratum. квадрат). Произведете какого нибудь числа, помноженного само на себя. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. КВАДРАТНОЕ ЧИСЛО от лат. quadratum, квадрат. Произведение какого нибудь… … Словарь иностранных слов русского языка

Центрированное квадратное число — – это центрированное полигональное число, которое представляет квадрат с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся на квадратных слоях. Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного… … Википедия

Квадратное пирамидальное число — Геометическое представление квадратного пирамидального числа: 1 + 4 + 9 + 16 = 30. В математике пирамидальное чис … Википедия

100 (число) — 100 сто 97 · 98 · 99 · 100 · 101 · 102 · 103 70 · 80 · 90 · 100 · 110 · 120 · 130 200 · 100 · 0 · 100 · 200 · 300 · 400 Факторизация: 2×2×5×5 … Википедия

200 (число) — 200 двести 197 · 198 · 199 · 200 · 201 · 202 · 203 170 · 180 · 190 · 200 · 210 · 220 · 230 100 · 0 · 100 · 200 · 300 · 400 · 500 … Википедия

Треугольное число — Треугольное число это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника, см. рисунок. Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n е треугольное число это сумма n первых натуральных чисел.… … Википедия

30 (число) — 30 тридцать 27 · 28 · 29 · 30 · 31 · 32 · 33 0 · 10 · 20 · 30 · 40 · 50 · 60 Факторизация: 2×3×5 Римская запись: XXX Двоичное: 1 1110 … Википедия

Квадрат (число) — Квадрат или квадратное число целое число, которое может быть записано в виде квадрата некоторого другого целого числа (иными словами, число, квадратный корень которого целый). Геометрически такое число может быть представлено в виде площади … Википедия

10 (число) — У этого термина существуют и другие значения, см. 10 (значения). 10 десять 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 20 · 10 · 0 · 10 · 20 · 30 · 40 Факторизация: 2×5 Римская запись: X Двоичное … Википедия

Источник

То есть они являются результатом умножения числа на само себя.

Что такое точные квадратные числа?

Определение полного квадратного числа можно понимать как положительное натуральное целое число, квадратный корень которого также является натуральным положительным целым числом.

Таблица умножения и вывески полных квадратных чисел до 15

Любой квадрат, стороны которого являются целыми числами, будет идеальным квадратом.

Примеры квадратов: 1 2 = 1 и 4 2 = 16

Как вычислить, является ли число полным квадратом?

Исходя из факторизации числа, если оно имеет точный квадратный корень и является результатом квадрата других чисел, мы можем сказать, что это полный квадрат.

Пример:

Чтобы ответить на вопрос, необходимо разложить 2704 на множитель, то есть вычислить

Следовательно, имеем: 2704 = 2 × 2 × 2 × 2 × 13 × 13 = 2 4 × 13 2.

√2704 = √ (2 2 × 2 2 × 13 2) = 2 × 2 × 13 = 52

Правила идеального квадрата

Другие отношения

Квадрат числа равен произведению его соседей плюс один. Например: квадрат семи (7 2 ) равен произведению смежных чисел (6 и 8) плюс один. 7 2 = 6 × 8 + 1 = 48 + 1 = 49. х 2 = (х-1). (х + 1) + 1.

Совершенные квадраты являются результатом математической последовательности между предыдущим точным квадратом и арифметической прогрессией.

Источник

Свойства квадрата целого числа

Применение свойств квадрата целого числа в решении задач на делимость

Разделы: Преподавание математики

Цель:формирование знаний, умений и навыков при решении в целых числах уравнений, содержащих квадрат целого числа; создание условий для преодоления у выпускников трудностей при решении заданий ( ) ЕГЭ по математике.

Задачи:

Тип занятия: урок изучения нового материала.

Ход урока

I. Постановка цели

В 2009-2010 учебном году на ЕГЭ по математике задания в основном состояли из задач на делимость. Большинство выпускников 11-х классов даже не приступали к этим задачам, увидев в них нагромождение различных символов, функций и значков. Для решения таких задач необходимо знать некоторые свойства делимости целых чисел и овладеть приёмами применения этих свойств. Сегодня на занятии мы решим ряд задач на делимость, в которых используются простейшие свойства точного квадрата числа.

II. Актуализация опорных знаний

При решении задач нам пригодятся признаки делимости чисел, с которыми вы познакомились ещё в 6-ом и последующих классах, а также определение числа

Напомните, пожалуйста, признаки делимости:

И ещё вопрос: что такое и как найти значения 1!, 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, … Посмотрите, как изменяется последняя цифра числа

n! = 1 2 3 4 5 6 … n– произведение первых n натуральных чисел.
1! = 1
2! = 1 2 = 2
3! = 1 2 3 = 6
4! = 1 2 3 4 = 24
5! = 1 2 3 4 5 = 120
6! =1 2 3 4 5 6 = 720 и т.д.

При n≥5 число n! всегда оканчивается нулём.

III. Ознакомление с новым материалом

Рассмотрим таблицу квадратов натуральных чисел. Все свойства точного квадрата числа спрятаны в этой таблице. Нам только надо проявить наблюдательность при анализе данных в таблице.

к	…
	…

Обратите внимание на последние цифры квадратов чисел. Что вы заметили?

На какие натуральные числа может делиться точный квадрат числа?

Свойства квадрата целого числа

1. Точный квадрат целого числа не может оканчиваться цифрами 2, 3, 7, 8, а также нечётным количеством нулей.
Первое свойство очевидное и доказательства не требует.

2. Квадрат натурального числа либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1.
Доказательство:
Если а – число чётное, то есть а = 2к, то = 4 – делится на 4.
Если а – число нечётное, то есть а = 2к + 1, то = ( = 4 + 4к + 1 = 4к (к+1) + 1 – при делении на 8 даёт остаток 1.

3. Квадрат натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
Доказательство:
Если число а кратно 3, значит а = 3к, тогда = ( = 9 — делится на 9.
Если же число а не кратно 3, то оно имеет вид а = 3к ± 1, тогда = ( = 9 ± 6к + 1 = 3к (3к±2) + 1 – при делении на 3 даёт остаток 1.

Вот мы и сформулировали свойства точного квадрата числа. Теперь вашему вниманию я предлагаю ряд задач, в решении которых используются вышеперечисленные свойства.

1. Найти все натуральныеn, при которых число является точным квадратом.

Решение:

Если n=1, то – не является точным квадратом.
Если n=2, то – не является точным квадратом.
Если n=3, то – не является точным квадратом.
Если n=4, то , значит, при n=4 число является точным квадратом числа.
Если , то оканчивается 0, тогда оканчивается 7, но по свойству (1) квадрат целого числа не может оканчиваться цифрой 7. Значит, других натуральных чисел n, удовлетворяющих данному условию, не существует.

Ответ: при n=4.

Эта задача могла быть сформулирована иначе:

Решить в целых числах уравнение .

Способ решения тот же. Только надо помнить, что по определению

Ответ: .

2. Решить в целых числах уравнение: .

Решение:

Так как – произведение первых натуральных чисел, значит, , а целым может быть только k.
Если n=1, то
Если n=2, то
Если n=3, то
Если n=4, то

Но по свойству (1) квадрат целого числа не может оканчиваться ни 3, ни 8, значит, других целых решений уравнение не имеет.

Ответ: .

3. Решить в целых числах уравнение: .

Решение:

В решении этого уравнения надо использовать тот же приём, что и в предыдущих. Его легко решить устно.

Но тогда оканчивается 8 или 3, а это противоречит свойству (1). Значит, при уравнение не имеет решений в целых числах. Поэтому решения уравнения следует искать для
Если n=1, то
Если n=2, то .
Если n=3, то .
Если n=4, то .
Как видим, ни при каком число не является точным квадратом.

Ответ:уравнение не имеет целых решений.

4. Решить уравнение в целых числах: .

Решение:

, и опираемся на свойство(1) квадрата целого числа.

Значит, оканчивается 7, но тогда и оканчивается 7.
Но квадрат целого числа не может оканчиваться 7, значит, целых решений нет.
Значит, решения уравнения следует искать при = 1, 2, 3, 4.
Если n=1, то
Если n=2, то
Если n=3, то
Если n=4, то

Ответ: .

5. Решить в натуральных числах уравнение .

Решение:

В этом уравнении должны быть натуральными числами, а в остальном – решение аналогично предыдущим.

Но квадрат целого числа не может оканчиваться 3, значит, при натуральных решений уравнение не имеет. Остаётся проверить наличие решений при =1, 2, 3, 4.
Если n=1, то
Если n=2, то
Если n=3, то
Если n=4, то

Ответ:

6. Решить уравнение в целых числах: 1!+2!+3!+…+

Решение:

Если =1, то 1! = , тогда
Если =2, то 1!+2! = – число не целое.
Если =3, то 1!+2!+3! =
Если =4, то 1!+2!+3!+4! = – число не целое.
Если , то 1!+2!+3!+4!+…+х! оканчивается цифрой 3, но квадрат целого числа не может оканчиваться 3.
Значит, при

Ответ: =1, 2) =3,

7. Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах.

Доказательство:

если делится на 5, а это возможно, если оканчивается 0 или 5, тогда

Но квадрат целого числа не может оканчиваться ни цифрой 3, ни цифрой 8.

Значит, уравнение не имеет целых решений. Что и требовалось доказать.

8. Решить в целых числах уравнение .

Решение:

Если n=1, то
Если n=2, то
Если n=3, то
Если n=4, то
Если уравнение целых решений не имеет, так как при чётном
1 2 3 4 … ( 1 2 3 4 … ( =
=1 2 3 4 … (
При нечётном
1 2 3 4 … ( 1 2 3 4 … ( =1 2 3 4 … ( – не делится на 4, а при делении на 8 даёт остаток 3, а не 1.

Ответ: 1)

9. Решить уравнение в целых числах: .

Решение:

Если =1, то

Если =4, то
При (1 2 4 5 … +1) = – левая часть уравнения делится на 3, значит, число должно делиться на 9.
Но 1 2 4 5 … +1 на 3 не делится, поэтому левая часть уравнения не кратна 9 Значит, при уравнение не имеет целых решений.

Ответ: 1) =1, =4,

10. Решить в целых числах уравнение:

Решение:

1) Если m – число чётное, то – числа нечётные и их произведение
– тоже число нечётное, но правая часть уравнения – чётное число. Значит, при чётном m уравнение не имеет решений.
2) Если m – число нечётное, то – числа чётные, причем, – два последовательных чётных числа, одно из которых кратно 2, а другое – 4. Тогда , значит, , но квадрат целого числа делится на 4 или при делении на 8 даёт остаток 1. А лишь в единственном случае, если n=0. При n=0 уравнение примет вид:

Ответ: .

11. Решить в целых числах уравнение:

Решение:

1) Если n – число четное, то – числа нечётные, значит, – тоже нечетное число, а это возможно лишь тогда, когда , т.е. . При всех других чётных уравнение целых решений не имеет.
2) Если n – число нечётное, то – два последовательных чётных числа, одно из которых кратно 2, а другое – 4. Тогда их произведение . Значит, и левая часть уравнения
, но – число нечётное, значит, только
. Это возможно, если . При .
При ,
.
Если же , то , а правая часть уравнения , значит, других решений уравнение не имеет.

Ответ: 1) 2)

12. Решить в целых числах уравнение:

Решение:

– имеет решение, если:
1) = 0, тогда
— число нечётное, . Тогда, ,

.
( ) – нечётное число при . Значит, тоже должно быть нечётным, а это возможно, если . Тогда при исходное уравнение примет вид .

Ответ: 1) ; 2)

13. Доказать, что число, оканчивающееся двумя одинаковыми цифрами, отличными от 0 и 4, не может быть точным квадратом.

Доказательство:

Так как квадрат любого числа может оканчиваться цифрами: 0; 1; 4; 5; 6; 9, то кроме 0 и 4 последними цифрами могут быть: 11; 55; 66; 99.

— число чётное, тогда .

Значит, не существует таких чисел , что оканчивается 55, 66, 11 или 99.

Источник