что такое куб разности чисел
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Куб суммы. Куб разности
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Формулы сокращённого умножения.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )
a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
(a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b).
Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:
Итак, доказано равенство, которое называют «куб суммы»: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Читается так: «куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, плюс куб второго числа».
Аналогично докажем формулу «куб разности».
(a – b) 3 = (a – b) 2 (a – b) =(a 2 – 2ab + b 2 )(a – b)
Применив правило умножения многочленов, получим:
a 3 – 2a 2 b + b 2 a – a 2 b + 2ab 2 – b 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3
Доказано равенство, которое называют «куб разности»:
(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3
Читается так: «куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, минус куб второго числа».
Формулы суммы и разности кубов часто используют для упрощения выражений.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
Найдите куб двучлена:
(a + 3) 3 = a 3 + 3a 2 · 3 + 3a · 3 2 + 3 3 = a 3 + 9a 2 + 27a + 27.
(10 – a) 3 =10 3 – 3 · 10 2 a + 3 · 10 · a 2 – a 3 = 1000 – 300a + 30a 2 – a 3 .
Упростите: x 3 + 3x(x + 4) – (x + 2) 3
x 3 + 3x 2 + 12x – (x 3 + 6x 2 + 12x + 8) =
Сокращенное умножение: правила, формулы
Формулы сокращенного умножения
Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.
Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.
Как читать формулы сокращенного умножения
Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:
Доказательство формул сокращенного умножения
Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.
Бином Ньютона
Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:
Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:
ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.
Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых
Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.
Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Формула разности n-ых степеней двух слагаемых
a n − b n = (a − b) * (a n-1 + a n-2 * b + a n-3 * b 2 + … + a * b n-2 + b n-1 ).
Для четных показателей можно записать так:
a 2*m − b 2*m = (a 2 − b 2 ) *(a 2*m−2 + a 2*m−4 * b 2 + a 2*m−6 * b 4 + … + b 2*m−2 ).
Для нечетных показателей:
a 2*m+1 − b 2*·m+1 = (a − b) * (a 2*m + a 2*m−1 * b + a 2*m−2 * b 2 + … + b 2*m ).
Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.
Решение задач
Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.
Задание 1
Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10) 2 = 55 2 + 2 * 55 * 10 + 10 2 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.
Задание 2
Что сделать: упростить выражение 64 * с 3 – 8.
Как решаем: применим разность кубов: 64 * с 3 – 8 = (4 * с) 3 – 2 3 = (4 * с – 2)((4 * с) 2 + 4 * с * 2 + 2 2 ) = (4 * с – 2)(16 * с 2 + 8 * с + 4).
Задание 3
Как решаем:
Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂
Куб суммы и разности двух выражений
Формула куба суммы
Возведем в куб сумму (a+b):
Мы получили формулу куба суммы двух выражений:
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, плюс куб второго выражения.
Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:
Формула куба разности
Возведем в куб разность (a-b):
Мы получили формулу куба разности двух выражений:
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, минус куб второго выражения.
Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:
Не забывайте о втором и третьем слагаемом в формулах куба двучленов!
Не путайте знаки «+» и «-» перед слагаемыми!
Примеры
Пример 1. Представьте в виде многочлена
Пример 2. Упростите выражение:
Пример 3. Найдите значение выражения:
$a^3-b^3-3ab(a-b) = a^3-b^3-3a^2 b+3ab^2 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 =$
Пример 4. Решите уравнение:
Пример 5*. Дайте геометрическое объяснение формуле куба суммы (аналогично квадрату суммы – см. §21 данного справочника, но для кубов в пространстве).
Рассмотрим куб со стороной (a+b) и вписанный в один из его углов куб со стороной b.
Как использовать куб разности
В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.
В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.
Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.
Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.
Вспомним, как выглядит формула куба разности.
(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Формула куб разности не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.
a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = (a − b) 3
Как возвести в куб разность
Рассмотрим пример. Необходимо возвести в куб многочлен, который содержит разность.
Используем формулу куба разности. Только вместо « a » у нас будет « 2y », а вместо « b » будет « x ».
Часто возводят многочлен в куб следующим образом:
Это неверно! Для возведения многочлена в куб необходимо использовать формулу сокращенного умножения: (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Применение куба разности для разложения многочлена на множители
Рассмотрим многочлен. Требуется разложить его на множители, используя формулу куба разности.
Обратите внимание, что многочлен « x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 » напоминает правую часть формулы « a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 », только вместо « a » стоит « x », а на месте « b » стоит « y ».
Используем для многочлена « x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 » формулу куба разности.
Рассмотрим пример сложнее. Требуется разложить многочлен на множители.
В этом многочлене не так очевидно, что будет являться в формуле « a », а что « b ».
Представим многочлен « 8y 3 − 36y 2 + 54y − 27 » в виде « a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 ».
Обратим внимание, что « 8y 3 » — это « (2y) 3 », значит « a » в исходном многочлене — это « 2y ».
Чтобы понять, что является « b » в исходном многочлене, рассмотрим последний одночлен — « 27 ». Вспомним, что « 27 » — это « 3 3 », значит « b » в исходном многочлене — это « 3 ».
Рассмотрим одночлены посередине « 36y 2 » и « 54y ». При сравнении многочлена с кубом разности « a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 » можно понять, что эти одночлены должны быть « 3a 2 b » и « 3ab 2 соответсвенно.
Преобразуем одночлены « 36y 2 » и « 54y » в виде « 3a 2 b » и « 3ab 2 ». С учетом того, что ранее мы нашли, что в нашем многочлене « a » — это « 2y », а « b » — это « 3 ».
Внимательно проверяйте, правильно ли вы разложили числовые коэффициенты.
Проверим, верно ли мы разложили одночлены « 36y 2 » и « 54y ».
После необходимых преобразований становится видно, что многочлен
« 8y 3 − 36y 2 + 54y − 27 » является правой частью формулы куба разности
« (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 ».
Используем формулу куба разности и решим пример до конца.
Формулы куба суммы и куба разности
Куб разности и суммы чисел
Вычисление куба суммы и разности чисел необходимы во всех разделах математики. Они применяются при решении многих неравенств и уравнений, упрощении выражений, разложении многочленов, вычислении пределов, сокращении дробей, решении интегралов.
Поэтому необходимо уметь их выводить, понимать смысл и уметь применять на практике.
Правило для куба суммы
Возведем в куб сумму чисел a и b. Для этого распишем выражение в виде многочлена:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Воспользуемся формулой квадрата суммы и получим следующее выражение:
Теперь умножаем многочлен на многочлен и получаем:
Упростим получившиеся выражение и получим формулу куба суммы:
Куб суммы двух выражений равен сумме куба первого, утроенного произведения квадрата первого на второе, утроенного произведения первого на квадрат второго и куб третьего.
Правило для куба разности
При любых значениях b и c верно равенство:
Докажем его. Для этого разложим куб разности двух чисел на множители:
Теперь умножим многочлен на многочлен и упростим выражение:
Таким образом, выведенное тождество верно для любых значений переменных b, c и называется формулой куба разности \(\left(b-c\right)^3=b^3-3b^2c+3bc^2-c^3\)
Она читается так: куб разности двух выражений равен кубу первого, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго.
Куб разности трех чисел
Нередко при решении различных задач возникает необходимость вычислить куб разности трех чисел. Чтобы облегчить мыслительную работу можно вывести формулу и для этого случая:
Сложив подобные слагаемые придадим полученной формуле более удобный вид:
Она называется правилом куба разности трехчлена.
Аналогично можно вывести и формулу куба суммы трехчлена:
Примеры задач куба разности и суммы
Пример 1
Раскрыть скобки \(\left(2x-3y^2\right)^3\)
Решение
Пример 2
Решение
Если внимательно посмотреть на эту дробь, то можно увидеть, что в знаменателе представлен квадрат разности, а в числителе – куб разности.