что такое критическая частота вращения электродвигателя

Динамика и устойчивость роторов

Часть 5. Динамика и устойчивость роторов

Лекция 5.1. Критическая частота вращения простейшего ротора

Понятие о критической частоте вращения ротора. Определение критической частоты вращения ротора с одним диском без учета влияния гироскопического момента и силы веса. Жесткий и гибкий ротор. Критическая частота вращения и частота свободных поперечных колебаний

Расчёт напряжённо–деформированного состояния валопроводов и обеспечение статической прочности роторных систем обычно не вызывает трудностей и производится по известным формулам сопротивления материалов.

Более актуальным представляется рассмотрение тех явлений, которые связаны с большими частотами вращения упругих роторов газотурбинных двигателей и взаимодействием роторных систем с упругим корпусом. Это относится к потере устойчивости быстровращающихся роторов и возможным резонансным режимам системы ротор – корпус. Эти явления сопряжены с опасностью выхода из строя элементов конструкции, приводящему к разрушению двигателя.

5.1.1.Критическая частота вращения ротора

Потеря устойчивости быстровращающегося ротора может произойти в силу того, что он не является абсолютно жёстким и не может быть идеально сбалансирован. Для анализа явления неустойчивости рассмотрим простейшую схему ротора, представляющую собой невесомый вал, на который с эксцентриситетом посажен диск массы . Чтобы исключить влияние силы веса диска будем считать, что ось вала расположена вертикально. Для исключения влияния гироскопических моментов диска при прогибе вала будем полагать, что диск расположен посредине пролёта между опорами (рис.5.1)

При вращении вала с частотой за

Рис.5.1.Схема простейшего ротора счёт эксцентричного расположения диска

возникает центробежная сила, вызывающая изгиб вала, величину которого в месте крепления диска обозначим через . Это приведёт к тому, что центр масс диска будет вращаться по окружности с радиусом . Величина центробежной силы составит:

.

Если коэффициент изгибной жёсткости вала обозначить через , то уравнение равновесия диска в предположении, что прогиб диска происходит с малым ускорением, будет иметь вид:

.

. (5.1)

При выполнении равенства знаменатель выражения (5.1) становится равным нулю, то есть решение уравнения равновесия рассматриваемой системы терпит разрыв. Это означает, что условие равновесия силы упругости центробежной силе при частоте вращения, равной:

, (5.2)

не выполняется. Эта частота называется критической частотой вращения ротора.

Легко заметить, что значение критической частоты совпадает с частотой собственных колебаний системы диск – вал. По этой причине иногда встречаются ошибочные определения критического режима вращения ротора как режима резонансных колебаний.

Более детальные исследования показывают, что при частоте вращения, меньшей чем , с увеличением частоты вращения ротора величина его прогиба растёт. Следует отметить, что при этом напряжения изгиба в волокнах вала также растут не меняя своего знака, т. е. растянутые волокна на внешней по отношению к строительной оси ротора стороне вала остаются растянутыми, а сжатые (на внутренней стороне изогнутого вала) – сжатыми.

При диск неудержимо отклоняется от оси вращения со скоростью, равной:

. (5.3)

Для валов с высокой жёсткостью, имеющих большие значения , скорости нарастания прогиба бывают столь велики, что за малые доли секунды наступает разрушение вала.

Так как при расстояние от оси вращения роторной системы до центра диска растёт со скоростью, определяемой формулой (5.3), то растёт и массовый момент инерции ротора. Следовательно, для поддержания частоты вращения, равной критической частоте, необходимо увеличение потребного крутящего момента на валу по закону:

.

Только в том случае, когда скорость возрастания крутящего момента оказывается выше указанного значения, частота вращения может подняться выше . Такой переход целесообразно осуществлять для ротора с небольшой изгибной жёсткостью.

Обратимся вновь к формуле (5.1) и запишем её в виде:

. (5.4)

В результате анализа этого выражения можно сделать следующие выводы:

1. С ростом при прогиб вала , как уже было сказано выше, растёт и особенно интенсивно при , близких к ;

2. При переходе через критический режим от к величина прогиба меняет знак. Точнее, прогиб приобретает знак, противоположный эксцентриситету . Это означает (рис.5.2), что центр масс диска в результате его проворота при на 1800 оказывается ближе к оси вращения ротора, чем ось вала в точке крепления диска.

Рис.5.2.Самоцентрирование ротора при переходе через критический режим

3. При дальнейшем увеличении частоты вращения и стремлении её к бесконечности прогиб стремится к , то есть центр масс диска устанавливается на оси вращения ротора. Происходит, как это принято называть, самоцентрирование ротора.

Для ротора небольшой жёсткости можно, таким образом, получить хорошо сбалансированную систему на рабочей частоте, превышающей критическую частоту вращения.

Роторы, рабочий диапазон частот вращения которых лежит в пределах от 0 до 0,75, принято называть жёсткими роторами, а при рабочих частотах свыше 1,45 — гибкими роторами. Сказанное наглядно иллюстрируется графиком зависимости от , где (рис.5.3):

,

Рис.5.3. Гибкий и жёсткиё роторы

Заметим, что, как это упоминалось ранее, при всяком фиксированном значении частоты вращения, кроме , вращение сопровождается определённой и неизменной во времени деформацией вала. Любое его волокно в процессе вращения остаётся сжатым или растянутым. В этом смысле рассматриваемое явление ни в коей мере нельзя относить к явлениям динамическим, хотя при вращении неуравновешенного ротора опоры испытывают знакопеременные нагрузки.

Учитывая это, критический режим вращения ротора правильно определить как режим потери устойчивости ротора от действия центробежной силы.

До сих пор рассматривался ротор с диском, имеющим эксцентриситет , но из выражения (5.4) следует, что и при идеально сбалансированном роторе, у которого , на частоте вращения прогиб вала является неопределённым. Это значит, что идеально сбалансированный ротор на режиме находится в состоянии неустойчивого равновесия. Если прямолинейная форма оси вала будет по каким–то причинам нарушена, то ротор теряет устойчивость так же как и при наличии эксцентриситета.

Лекция 5.2. Влияние условий работы на критические скорости вращения ротора

Учет влияния гироскопических моментов на критические частоты вращения ротора. Прецессионное движение. Определение критических режимов по частотной диаграмме. Влияние массовых сил. Половинные критические скорости

5.2.1.Гироскопические моменты, действующие на ротор

При произвольном расположении диска относительно опор ротора изгиб вала выводит диск из плоскости, нормальной к статической оси ротора. В этом общем случае движение диска можно представить состоящим из вращения относительно упругой линии (деформированной оси вала) с частотой и вращения упругой линии вокруг неподвижной строительной оси ротора . При одновременном вращении тела относительно разных осей возникает гироскопический момент (рис.5.4).

Рис.5.4.Возникновение гироскопического Рис.5.5.К определению прогиба

момента при вращении изогнутого ротора и угла поворота сечения вала

,

где полярный момент инерции диска;

диаметральный момент инерции диска;

угол между векторами и .

Этот момент действует в плоскости векторов обоих вращений и стремится совместить по кратчайшему направлению ось диска со строительной осью ротора.

Если диск можно считать тонким, то справедливо соотношение:

.

В случае малости угла можно полагать и суммарную частоту вращения равной алгебраической сумме и . При этом:

Рассмотрим случай, который носит название прямой синхронной прецессии: .

Выражение для гироскопического момента приобретает вид:

.

Действие гироскопического момента направлено на совмещение оси вала со строительной осью ротора, что можно считать повышением эквивалентной жёсткости ротора, приводящей к росту.

В случае обратной синхронной прецессии гироскопический момент:

действует в сторону увеличения прогиба, т. е. делает систему более податливой, отчего критическая частота вращения снижается.

Для удобства будем в дальнейшем пользоваться записью гироскопического момента в виде:

имея в виду, что при прямой синхронной прецессии:

а при обратной синхронной прецессии:

5.2.2.Определение критических частот вращения ротора

с учётом гироскопических моментов

Запишем выражения для прогиба вала и угла поворота его сечения в месте посадки диска (рис.5.5):

Здесь прогиб вала в месте посадки диска под действием единичной

прогиб вала в месте посадки диска под действием единичного

угол поворота сечения вала в месте посадки диска под действием

единичной поперечной силы;

угол поворота сечения вала в месте посадки диска под действием

Заметим, что на основании принципа взаимности (теорема Бетти) .

Будем полагать, что на режиме критической частоты вращения прогиб вала значительно превышает величину эксцентриситета y>>e. Тогда центробежная сила диска:

.

.

С учётом этих выражений:

,

В результате получена система однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных и . Условием существования ненулевых решений этой системы является равенство нулю её определителя:

.

Это уравнение имеет четыре корня.

.

Практический интерес представляет лишь критическая частота вращения при прямой прецессии , которая всегда выше того значения, которое получено без учёта гироскопического момента:

.

На рис. 5.6 схематически показана картина поведения ротора при прямой и обратной синхронных прецессиях.

Рис. 5.6.Схема действия гироскопических моментов при прямой и обратной прецессиях

Численное равенство критических частот вращения и частот собственных колебаний даёт возможность для определения критических режимов вращения и частот собственных колебаний использовать частотную диаграмму (рис.5.7).

вращения ротора по частотной диаграмме

Заметим, что гироскопические моменты оказывают аналогичное описанному выше влияние и на частоты собственных колебаний вращающегося ротора. Гироскопический момент прямой прецессии повышает эффективную жёсткость, а следовательно, и частоту основного тона собственных колебаний. Гироскопический момент обратной прецессии оказывает обратное влияние.

На рис. 5.7, по существу, совмещены две частотные диаграммы: с учётом влияния прямой прецессии – справа от оси ординат и с учётом влияния обратной прецессии – слева от неё. Пересечение лучей с кривыми соответствует критическим частотам вращения ротора при прямой и обратной синхронных прецессиях.

Лекция 5.3. Критические частоты вращения многодискового ротора

Определение критических частот вращения многодискового ротора. Формула Дункерлея. Доказательство Лурье

В конце XIX века голландским учёным Дункерлеем была рекомендована следующая формула для определения критической частоты вращения вала с несколькими укреплёнными на нём дисками:

,

где критическая частота вращения многодискового ротора;

критическая частота вращения упругого вала с распределённой массой;

критическая частота вращения упругого невесомого вала с одним диском с номером (рис.5.8).

Рис. 5.8. К определению критических частот вращения многодискового ротора

Позднее, в 1940 году, теоретически показал справедливость этой формулы. Доказательство строится следующим образом. Прогиб вала (рис.5.9)

в месте посадки го диска на вал от действия сил инерции всех масс равен:

, (5.5)

где прогиб в месте посадки на вал го диска от единичной поперечной силы, приложенной в месте посадки диска с номером .

5.9. Схема многодискового ротора

Кроме сил инерции сосредоточенных масс, действуют распределённые силы инерции массы собственно вала. Эффект от учёта этих сил будет показан позже.

При поперечных колебаниях вала по первой форме, частота которых равна первой критической частоте вращения ротора, все диски перемещаются в одной фазе гармонических колебаний:

.

.

Подставив эти выражения в систему уравнений движения (5.5) и требуя, чтобы она выполнялась в любой момент движения ротора, опустим общий множитель . Как известно, условием существования ненулевого решения полученной системы однородных линейных уравнений является равенство нулю определителя этой системы:

.

Обозначим и . Определитель в этих обозначениях примет вид:

.

Раскрыв его, придём к уравнению:

.

Известное свойство алгебраических уравнений состоит в том, что сумма корней равна коэффициенту при , то есть:

и, следовательно,

, (5.6) но есть величина, обратная квадрату частоты основного (первого) тона собственных колебаний системы. А так как частота первого тона меньше частоты второго и тем более третьего и последующих тонов. Отсюда:

(5.7)

Следовательно, можно считать

.

Заметим, что есть податливость, то есть величина, обратная жёсткости вала . Отсюда:

,

где частота свободных колебаний системы из одной массы , укреплённой на невесомом валу, жёсткость которого в месте посадки массы равна .

Таким образом, .

Заметим, что эта формула даёт заниженное (5.7) против истинного значение частоты. Кроме того, при её выводе не была учтена масса вала. Этот недостаток может быть исправлен добавлением в правую часть ещё одного члена . С учётом равенства частот собственных колебаний, обозначаемых здесь буквой , критическим частотам вращения . Запишем окончательно формулу для критичёской частоты вращения многодискового ротора в виде:

.

Следует иметь в виду, что эта формула не учитывает влияние на критическую частоту вращения ротора гироскопических моментов дисков.

Лекция 5.4. Влияние конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов на критические частоты вращения

Критические частоты половинного и высших порядков. Балансировка роторов

5.4.1.Влияние неосесимметричности сечений вала

В ряде случаев особенности конструкции вала приводят к тому, что сечение вала имеет различную жёсткость в разных плоскостях. Например, вал, ослабленный шпоночной канавкой, имеет разную толщину стенок за счёт погрешностей технологии или, наконец, состоит из разных частей, соединённых болтами, которые затянуты неравномерно ( рис.5.10).

Рис. 5.10. Примеры конструктивной

неосесимметричности сечений вала

При горизонтальном расположении таких валов вращение в поле сил веса возникают резонансные изгибные колебания с частотой, равной половине критической частоты вращения ротора.

Поворот вала приводит к изменению его изгибной жёсткости в плоскости действия сил тяжести (рис.5.11). Так, при повороте сечения, ослабленного шпоночной канавкой, на 900 его момент инерции относительно горизонтальной оси изменяется от максимального до минимального значения. Это в свою очередь приводит к периодическому изменению прогиба вала от минимального до максимального значения.

Полный период изменения прогиба равен, как это легко сообразить, времени, за которое вал совершает половину оборота. То есть частота изгибных колебаний вала в поле сил тяжести в два раза меньше частоты вращения вала. Отсюда следует, что силы веса создают эффект существования гармонического возбуждения колебаний такого вала. Совпадение частоты такого возбуждения с частотой собственных колебаний вала приводит к резонансным

Рис.5.11.Колебания вала на режиме колебаниям. Частота этих колебаний p по

критической скорости вращения первой форме в два раза меньше частоты

половинного порядка вращения ротора. Значит, резонанс наступит

на частоте вращения, вдвое меньшей критической частоты вращения. Такой резонансный режим колебаний ротора с валом несимметричного сечения принято называть половинным критическим, а частоту вращения ротора на этом режиме критической скоростью половинного порядка.

Так как вал имеет две собственных частоты и , соответствующие колебаниям в плоскостях наибольшей и наименьшей жёсткости, то критическая частота половинного порядка заключена между их значениями:

.

Из приведенных рассуждений понятно, что вал с тремя шпоночными канавками может совершать резонансные колебания с частотой, равной , однако критические частоты вращения, меньшие , практического интереса не представляют, так как расположены вне зоны рабочих оборотов.

5.4.2.Влияние податливости опор

При рассмотрении динамики и устойчивости ротора выше предполагалось, что его опоры являются абсолютно жёсткими. Реально же статор авиационного двигателя предельно облегчён – его податливость соизмерима с податливостью ротора. Это обстоятельство может заметно влиять как на динамические характеристики, так и на критические частоты вращения ротора (численно равные частотам собственных колебаний). Поскольку типичной силовой схемой газотурбинного двигателя предусматривается, что один пояс статора, используемый для размещения на нём узлов крепления двигателя к самолёту, должен быть максимально жёстким, то одну из опор ротора будем по–прежнему считать абсолютно жёсткой. Вторая опора двухопорного ротора за счёт податливости статора в нашей расчётной схеме условно представлена (рис.5.12) пружиной с жёсткостью .

Рис.5.12.Схема ротора с податливой опорой

Принципиально подход к решению задачи останется прежним, если потребуется считать податливыми обе опоры.

Критическую частоту вращения ротора, как было показано ранее, можно определить по формуле Дункерлея:

,

где критическая частота вращения тяжёлого гладкого вала без дисков с одной податливой опорой;

критическая частота вращения го диска на невесомом упругом вале с учётом податливости опоры.

Величина , как известно, численно равна частоте его собственных колебаний , которая может быть определена из дифференциального уравнения собственных колебаний вала как балки постоянного сечения с изгибной жёсткостью , массовой плотностью и площадью поперечного сечения :

,

где .

Граничными условиями для рассматриваемой схемы будут условия опирания вала:

1) на абсолютно жёсткой опоре при отсутствует перемещение вала и момент; 2) на упругой опоре при также отсутствует момент , а перемещение вала связано с реакцией упругой опоры соотношением: .

Решение уравнения записывается в виде:

.

Для выполнения условий на абсолютно жёсткой опоре требуется, чтобы константы интегрирования и были равными нулю:

, а условие равенства нулю момента на упругой опоре выполняется при равенстве:

.

Таким образом, перемещения вала с податливой опорой выражаются в виде:

.

Связь реакции упругой опоры с перемещениями вала, определяемая граничными условиями при :

, или

, где , а относительная жёсткость опоры.

С учётом выражения для формула определения критической частоты вращения тяжёлого вала с податливой опорой имеет вид:

, где определяется как решение трансцендентного уравнения:

или по графику (рис.5.13).

Рис.5.13.К определению параметра

Податливость опоры снижает частоту собственных колебаний и критическую частоту вращения вала. В предельном случае абсолютно жёсткой опоры параметр становится равным .

5.4.3.Критические частоты вращения высших порядков

Тяжёлый гладкий вал как упругая система с распределёнными параметрами имеет бесконечное множество дискретных значений собственных частот . Соответственно этим частотам обнаруживаются и критические частоты вращения первого , второго и высших порядков.

В простейшем случае вала постоянного сечения спектр критических частот вычисляется по известной формуле:

,

где при шарнирном опирании вала:

. Следовательно,

При заделке концов вала:

Соответствующие этим частотам линии прогибов вала показаны на рис.5.14.

В случае многодискового ротора с валом переменного сечения положение узлов линии прогибов определяется распределением жёсткости и массы вала по его длине, массами дисков и характером опор. В этом случае для определения критических частот вращения используются различные приближённые методы.

Задача о величине критических частот вращения ротора с двумя дисками (рис.5.15), с которой чаще всего приходится сталкиваться при проектировании газотурбинных двигателей, может быть приближённо решена даже с учётом гироскопических моментов.

Рис.5.14.Формы прогибов вала при потере устойчивости Рис.5.15. Вторая форма

на критических режимах вращения высших порядков двухдискового ротора

5.4.4. Балансировка роторов

Главным источником поперечных колебаний (вибраций) газотурбинных двигателей является неуравновешенность роторов. С увеличением неуравно-вешенности растут возбуждающие силы, действующие на опоры двигателя в плоскостях, проходящих через ось вращения ротора, возрастает и скорость изгиба оси ротора при потере его устойчивости на режиме критической частоты вращения. Поэтому основным способом снижения уровня вибраций и простого перехода через критический режим является балансировка роторов.

Идеально сбалансированным ротором называется ротор, центры масс поперечных сечений которого по всей его длине совмещены с осью вращения. Реальный ротор за счёт технологических допусков имеет некоторое смещение центров масс от оси вращения. За счёт этого при вращении ротор нагружается центробежными силами и моментами, плоскости действия которых, проходя через ось вращения, в общем случае могут не совпадать.

Различают статическую и динамическую неуравновешенность (рис.5.16).

Рис.5.16. Схема различных видов неуравновешенности

z – z – ось вращения, главная центральная ось

неуравновешенного ротора, D – центр масс ротора,

а) статическая, б) динамическая, в) общий случай

Статическая неуравновешенность характеризуется только наличием неуравновешенных сил, вызываемым смещением центра масс ротора от оси вращения. Она может быть выявлена на невращающемся роторе путём установки его на параллельные горизонтальные призмы (ножи). Ротор на таких опорах под действием силы тяжести стремится, проворачиваясь, занять такое положение, при котором центр масс окажется в вертикальной плоскости.

Динамическая неуравновешенность характеризуется наличием неуравновешенных моментов, вызванных парой центробежных сил. Такая неуравновешенность проявляется только при вращении ротора.

При производстве роторы обычно вначале подвергаются статической балансировке, в результате которой условие равенства нулю суммы сил инерции с возможной точностью можно считать выполненным. Затем на втором особенно ответственном этапе производится динамическая балансировка на специальных балансировочных станках (рис.5.17)

Рис.5.17.Схема динамической балансировки ротора

При динамической балансировке предварительно статически сбалансированного ротора обе его опоры испытывают действие одинаковых по величине смещённых по фазе периодических нагрузок в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Поэтому, если балансировка производится путём постановки балансировочных грузов (или снятием материала), создающих, не смещая центра масс с оси вращения, только момент, то контроль процесса балансировки можно вести только по одной опоре. Для повышения чувствительности балансировочных машин и точности балансировки используется резонансный принцип, для чего одна из опор в фиксированной плоскости выполняется податливой. При совпадении частоты вращения с частотой собственных колебаний системы ротор – пружины возникает резонанс, приводящий к росту амплитуд системы в плоскости расположения пружин. По величине амплитуды судят о величине дисбаланса Для определения положения на роторе неуравновешенных масс используют стробоскопическое освещение.

На рис. 5.17 показана схема балансировочного устройства из четырёх грузов, расположенных эксцентрично относительно оси ротора. Эффект балансировки в данном случае можно обеспечить изменением только углов установки грузов .

Неуравновешенность ротора после балансировки характеризуется величиной остаточного дисбаланса. Под дисбалансом понимают величину статического момента груза, который нужно поместить в плоскости опоры для полной уравновешенности ротора. Допустимый дисбаланс нормируется. На выполненных конструкциях он не превышает 30 гсм.

Первым теорию биений гибкого вала, вращающегося с высокой скоростью, предложил Фёпль ( . Результаты его расчётов критической частоты вращения были подтверждены экспериментом. Изучением этого явления занимался также Стодола (Stodola A., Schweiz, Bam Zig, т. 63, 1927). Результаты его работы изложены в переведённой на русский язык книге Бицено и Граммеля “Техническая динамика”, ГИТТЛ, 1

В работах этих специалистов движение диска рассматривалось в ортогональной системе координат с центром на оси вращения ротора, совмещённой с плоскостью вращения диска (рис.5.18). Уравнения движения записывались в проекциях на оси x и y. В результате следовал вывод о гармоническом законе движения диска и, как следствие, о том, что критический режим является резонансом, возникающим на некоторой критической частоте вращения ротора.

Тот факт, что критический режим не связан с

Рис.5.18. Система координат колебаниями ротора и является режимом вращения, на

котором происходит потеря устойчивости ротора от действия центробежной силы установлен, и описан в работах его учеников в 50-х годах ХХ века.

Источник