что такое ковариантность типов

Ковариантность и контравариантность

Содержание

Введение

Математика

Определим три отображения для целых чисел:

Рассмотрим отношение порядка в двух различных пространствах:

Будет ли оно выполняться при переходе от одного пространства к другому?

Теория категорий

В качестве стандартного примера рассмотрим функтор степени множеств: P: Set → Set [7].

Если f: a → a * a, тогда множество A = [1, 2] посредством f: A → B будет отображено в B = [1, 4], при этом PA = [[], [1], [2], [1, 2]] в случае если Pf = f: a → a * a будет отображено в PB = [[], [1], [4], [1, 4]]

Программирование

Для возможности рассуждать об отношении порядка между типами (тип/подтип) необходимо какое-то формальное правило. Такое правило было предложено Барбарой Лисков в 1987 году на конференции в основном докладе под названием «Абстракция данных и иерархия» [7].

Пусть q(x) является свойством, верным относительно объектов x некоторого типа T. Тогда q(y) также должно быть верным для объектов y типа S, где S является подтипом типа T.

Другими словами, если некоторый тип S можно подставить везде, где используется тип Т и поведение программы не будет меняться, то тип T является базовым по отношению к S при этом подразумевается, что тип S поддерживает все те же операции что и тип T и при этом все операции типа S требуют меньшего, а предоставляют большее чем соответсвующие операции в T.

При ковариантности иерархия наследования сохраняется в прямом направлении, при контравариантности она меняется на противоположное, а при инвариантности не определена.

Обычно ковариантность и контравариантность смешиваются в одном типе, например для типа произвольной функции которая является контравариантной по своим входным аргументам и ковариантной по своим выходным аргументам т.к. аргументы это нечто что требуется в то время как результат это нечто что предоставляется.

Еще одним важным следствием из вышеприведенных определений является то, что ковариантность типо-безопасна для операций чтения, а контравариантность для операций записи.

Чтобы все это уяснить, лучше обратиться к реальным примерам.

Возьмем следующую иерархию типов:

Однако это приводит к тому, что допускается не типо-безопасное присваивание и соответсвенно некорректное поведение на runtime (вспомните, что ковариантность типо-безопасна для операций чтения, а не записи):

С появлением обощенных типов (generics), которые по умолчанию инвариантны необходимость в таком подходе отпала, но для обратной совместимости поведение было сохранено.

Иногда, все-же, для увеличения гибкости есть необходимоть сделать коллекции ковариантными/контравариантными. Java предоставляет такую возможность посредством специального вида типа с параметрами, называемого ограниченным типом групповых символов (wildcard-тип).

Ковариантность

Для объявления коллекции ковариантной можно использовать констркуцию ? extends, однако в этом случае будут доступны только операции чтения, а при попытке вызова не типо-безопасных операций записи возникнет ошибка при компиляции. Например нельзя добавить елементы типа B т.к. коллекция может ссылаться на любой из подтипов типа А.

В результате можно реализовать какую-то обобщенную функцию не изменющую исходную коллекию (например вывод на экран всех елементов) для типа А, и использовать ее для елементов являющимися подтипами А (B, C или D).

Контравариантность

Для объявления коллекции контравариантной можно использовать констркуцию ? super, однако теперь будут доступны только операции записи, а при попытке вызова операций чтения возникнет ошибка при компиляции.

В качестве реального примера можно рассмотреть упрощенную реализацию стека.

Ковариантность/контравариантность также свойственна для иерархии наследования.

В C# нет аналога wildcard типов из Java, однако с версии Visual C# 2010 ковариантность/контравариантность была добавлена в обобщенных интерфейсах и типах делегатов. Интерфейс IEnumerable является ковариантным, а например IComparer контравариантным. [11]

Пример того как можно определить ковариантный/контравариантный интерфейсы:

Пример реализации стека на C#, аналогичный приведенному выше для Java:

Из-за того что в C# ковариантными являются только некоторые интерфейсы и делегаты полностью воспроизвести поведение для метода popAll как в Java не получится, но можно реализовать ForEach который достанет все елементы и передаст их в делегат action. Использоваться может так:

Ковариантность

Контравариантность

Scala

Scala обладает гораздо более широкой системой типов по сравнению с Java или C#. Для возможности определения отношений между типами в язык введены аннотации вариативности (variance annottions), которые задаются при помощи префиксов перед типовыми переменными: «+» в случае ковариантного типа либо «-» для контравариантного.

Для проверки корректности аннотаций вариативности, компилятор классифицирует все позиции в теле класса или примеси на положительные, отрицательные или нейтральные. Типовой параметр аннотированный «+» может быть использован только в положительной позиции тогда как аннотированный при помощи «-» только в отрицательной. Типовые параметры без аннотации могут использоваться в любой позиции [12]

Определение функции с одним аргументом выглядит следующим образом:

Haskell

В Haskell нет изменяемых значений, поэтому все типы ковариантны. В то же время в языке активно используется понятие функтора, который, как было показано выше (см. Теория категорий), может быть как ковариантным так и контравариантным. Само поянтие, как и монаидальные типы для работы с которыми он предназначен, было позаимствовано из теории категорий.

Пример ковариантного фуктора, имеющегося в стандартной библиотеке:

Определение контравариантного функтора тривиальна:

В качестве примера можно рассмотреть вариант использования contrmap принимающую функцию, которая вычисляет длину списка, для вычисления длины множества.

Определения контравариантного функтора в стандартной библиотеке нет, но на http://hackage.haskell.org можно найти готовый пакет [15].

Дополнение

Используемые версии компиляторов:

java version «1.8.0_05»
Java(TM) SE Runtime Environment (build 1.8.0_05-b13)
Java HotSpot(TM) 64-Bit Server VM (build 25.5-b02, mixed mode)

g++ (GCC) 4.7.2 20120921 (Red Hat 4.7.2-2)

Mono

Mono C# compiler version 3.2.8.0

Scala

Haskell

The Glorious Glasgow Haskell Compilation System, version 7.6.3

Источник

Введение в Scala.

С нуля до распределенных приложений.

Обобщенные типы. Вариантность

Создатель языка Скала, Мартин Одерски, был создателем обобщенных классов в языке Java. Не удивительно, что этот механизм усилен и улучшен в Скала.

Что такое обобщенные типы? Это обобщение функциональности типа относительно некоторого другого. Это очень абстрактное объяснение, которое проще пояснить на примере.

Допустим, мы моделируем некоторый интерпретатор и нам нужен класс объединяющий переменную с ее именем:

Если мы захотим создать классы “именованная строка” или “именованное число с плавающей точкой”, то нам придется создавать для этого отдельные классы NamedString и NamedDouble.

Обобщенные типы

Для упрощения этого механизма используются обобщенные типы:

Ковариантность

Представим следующую иерархию классов животного мира:

И функцию, которая заставляет именованное животное говорить (без насилия):

Код приведенный выше вызывает ошибку компиляции, которая гласит, что class Named is invariant in type T.

Это значит, что мы не можем передавать Named[Cat] в Named[Animal], т.к. класс Named не подчиняется иерархии наследования его аргументов, т.е. он инвариантен относительно своего аргумента.

В данном случае мы можем это исправить добавив один символ +:

Теперь класс Named подчиняется той же иерархии наследования, что и его аргумент и Named[Cat] будет подклассом Named[Animal].

Неизменяемые объекты

Есть много неочевидных случаев, когда делать тип ковариантным приводит к ошибкам. В частности, ковариантные типы должны быть неизменямыми. В языке Скала это предотвращается на этапе компиляции.

В C#, например, тип массива объектов ковариантен, т.е. Dog[ ] является производным от Animal[ ] и это ведет к возможности следующих ошибок:

Контравариантность

Это противоположность ковариантности, тип имеет иерархию наследования обратную его аргументам. Для чего это может быть нужно?

Введем класс ветеринара, который будет лечить наших животных.

Другие примеры

Класс может быть одновременно ковариантен к одним типам и контравариантен к другим.

Хорошей визуализацией понятий вариантности является следующая картинка:

Источник

КОВАРИАНТНОСТЬ

— свойство физ. величин, описывающих данное явление или круг явлений, преобразовываться по представлениям группы инвариантности, установленной или предполагаемой для этого круга. Подробнее см. Инвариантность. в. П. Павлов.

Полезное

Смотреть что такое «КОВАРИАНТНОСТЬ» в других словарях:

КОВАРИАНТНОСТЬ — (от лат. со(п) с, вместе и variare менять, видоизменять) англ. couariance; нем. Kovarianz. Измерение взаимного изменения двух переменных относительно их средних величин. К. определяется как сумма результатов отклонений пар измеряемых величин (х;… … Энциклопедия социологии

ковариантность — ковариация — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы ковариация EN covariance … Справочник технического переводчика

ковариантность — kovariantiškumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. covariance vok. Kovarianz, f rus. ковариантность, f pranc. covariance, f … Fizikos terminų žodynas

ковариантность — ковари антность, и … Русский орфографический словарь

КОВАРИАНТНОСТЬ — (от лат. со(п) с, вместе и variare менять, видоизменять) англ. couariance; нем. Kovarianz. Измерение взаимного изменения двух переменных относительно их средних величин. К. определяется как сумма результатов отклонений пар измеряемых величин (х;… … Толковый словарь по социологии

Ковариантность и контравариантность — Ковариантность и контравариантность математическое и физическое понятие, которое описывает то, как величины изменяются при преобразовании системы координат. Координаты геометрического вектора измеряются в какой нибудь конкретной системе… … Википедия

ковариантность Лоренца — Lorenco kovariantiškumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Lorentz covariance vok. Lorentz Kovarianz, f rus. ковариантность Лоренца, f; лоренцова ковариантность, f pranc. covariance de Lorentz, f … Fizikos terminų žodynas

Ковариантность и контравариантность — [от латинского co (cum) совместно, сообща, contra напротив, наоборот и vario изменяюсь], понятия, играющие важную роль в линейной алгебре и тензорном исчислении. Пусть две системы n переменных x1, x2. xn и y1, y2. yn (чисел или… … Большая советская энциклопедия

Лоренц-ковариантность — свойство физических законов записываться одинаково во всех инерциальных системах отсчета (с учётом преобразований Лоренца). Принято считать, что этим свойством должны обладать все физические законы, и экспериментальных отклонений от него не… … Википедия

Источник

Ковариантный тип возвращаемого значения в Java

Изучите, что такое ковариационные и ковариантные типы возвращаемых данных и как они ведут себя в Java.

1. Обзор

В этом уроке мы подробнее рассмотрим ковариантный тип возвращаемого значения в Java. Прежде чем рассматривать ковариацию с точки зрения возвращаемого типа, давайте посмотрим, что это значит.

2. Ковариация

Ковариацию можно рассматривать как контракт на то, как принимается подтип, когда определен только супертип.

Давайте рассмотрим несколько основных примеров ковариации:

3. Ковариантный Тип Возврата

В результате Object в качестве возвращаемого типа мы можем иметь более конкретный тип возвращаемого значения в дочернем классе. Это будет ковариантный тип возврата и будет производить числа из последовательностей символов:

4. Использование структуры

Например, давайте рассмотрим следующий сценарий производителя:

Тем не менее, мы все еще ссылаемся на результат через объект . Всякий раз, когда мы начинаем использовать явную ссылку на Целочисленного производителя, мы можем получить результат в виде Целого числа без понижения:

Хорошо известный сценарий-это Объект# клон метод, который возвращает Объект по умолчанию. Всякий раз, когда мы переопределяем клон() метод, объект ковариантных типов возврата позволяет нам иметь более конкретный объект возврата, чем метод, объект ковариантных типов возврата позволяет нам иметь более конкретный объект возврата, чем метод, объект ковариантных типов возврата позволяет нам иметь более конкретный объект возврата, чем

метод, объект ковариантных типов возврата позволяет нам иметь более конкретный объект возврата, чем

метод, объект ковариантных типов возврата позволяет нам иметь более конкретный объект возврата, чем

метод, объект ковариантных типов возврата позволяет нам иметь более конкретный объект возврата, чем

Источник

Ковариантность и контравариантность

Ковариантность и контравариантность — математическое и физическое понятие, которое описывает то, как величины изменяются при преобразовании системы координат. Координаты геометрического вектора измеряются в какой-нибудь конкретной системе координат. Связь между ковариантными и контравариантными координатами тензора возможна только в метрических пространствах, то есть в пространствах, где задан метрический тензор.

Содержание

Основные сведения

Контравариантные координаты тензора принято записывать с верхним индексом, в отличие от записи с нижним индексом для ковариантных координат тензора.

Образец контравариантного вектора — это вектор смещения, записанный в виде набора приращений координат: .

Любой набор чисел, преобразующийся при любой замене координат так же, как (новый набор через ту же матрицу выражаются через старый), представляет контравариантный вектор.

Следует заметить, что, если определён невырожденный метрический тензор, то «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» являются просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора или ковектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть набор контравариантных координат). То же можно сказать об ковекторе. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором:

(здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, по правилу Эйнштейна).

Содержательно же вектора и ковектора различают лишь по тому, какое из представлений для них естественно. Так, для ковекторов естественно разложение по дуальному базису, как например для градиента, так как их естественная свертка (скалярное произведение) с обычным вектором (например, смещением) осуществляется без участия метрики, просто суммированием перемноженных компонент. Для обычных же векторов, таких как dx i — естественно разложение по главному базису, так как они свёртываются с другими обычными векторами, такими, как вектор смещения по пространственным координатам, с участием метрики. Например, скаляр — получается (как полный дифференциал) свёртыванием без участия метрики ковариантного вектора , являющегося естественным представлением 1-формы градиента, подействовавшей на скалярное поле, с контравариантным вектором , являющимся естественным представлением обычного вектора смещения по координатам; тогда как сам с собой свёртывается с помощью метрики: , что находится в полном согласии с тем, что он контравариантный.

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности-контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения , являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свёртываются с посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантный вектор (1-форма), что же с участием метрики — это контравариантный вектор. Если же пространство и координаты настолько абстрактны и замечательны, что нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает, или становится также чисто условным.

Вопрос о том, является ли именно то представление, в каком мы видим объект, естественным для него, затронут уже чуть выше. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление, для 1-формы же — ковариантное.

Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора или ковектора, вектора касательного или кокасательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идет о наборе ковариантных координат любого объекта — 1-формы или обычного вектора, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.

Ковариантные координаты любого объекта принято записывать с нижним индексом, а также — в матричных обозначениях — в виде вектора-строки (в отличие от записи с верхним индексом и вектора-столбца для контравариантных координат, естественных для представления контравариантного вектора).

Термины ковариантность и контравариантность были введены Сильвестром в 1853 году для исследований по алгебраической теории инвариантов.

Введение

В физике вектор обычно возникает в результате измерения или серии измерений и представляется в виде списка чисел

Этот список зависит от выбора системы координат. К примеру, если вектор представляет положение по отношению к наблюдателю, то часто система координат — это точка отсчёта и три взаимно ортогональные прямые, вдоль них измеряются компоненты радиус-вектора v₁, v₂, и v₃.

Определение

Общее определение ковариантности и контравариантности исходит из того, как компоненты объектов преобразуются при изменении базиса. Пусть V — векторное пространство размерности n над полем скаляров S, и пусть каждый из f = (X₁,…,X_n) и f’ = (Y₁,…,Y_n) — базис V. Также, пусть изменение базиса из f в f′ даётся

(1)

для некоторой обратимой n×n матрицы A с величинами . Здесь, каждый вектор Y_j из f’ базисов — это линейная комбинация векторов X_i из f базиса, поэтому

.

Контравариантные преобразования

Вектор v в V представляется единственным образом как линейная комбинация элементов f базиса как

, (2)

где v i [f] — это скаляры из S известные как компоненты v в f базисе. Обозначают вектор столбец компонентов v как v[f]:

поэтому (2) может быть переписано как произведение матриц

Вектор v может также быть выражен в виде f’ базиса, поэтому

.

Однако, так как вектор v сам инвариантен при изменении базиса,

Инвариантность v комбинирует с отношением (1) между f и f’ обеспечивает

что дает правило преобразования

где коэффициенты есть величины обратной матрицы кA.

Потому, что компоненты вектора v преобразуются обратно к матрице A, про эти компоненты говорят, что они преобразуются контравариантно при преобразовании базиса.

Ковариантные преобразования

Линейный функционал α на V представляется единственным образом в виде s компонент (скаляров в S) в f базисе как

Эти компоненты есть действие α на базисные вектора X_i f базиса.

При изменении базиса из f в f’ (1), компоненты преобразуются как

. (3)

поэтому (Шаблон:EquationNote) может быть переписано как произведение матриц

Поскольку компоненты линейного функционала α преобразуются с матрицей преобразования A, говорят, что эти компоненты преобразуются ковариантно при изменении базиса.

Ко- и контравариантные векторы в пространствах (на многообразиях) с невырожденной метрикой

Далее подразумевается, что на пространстве, в котором существуют описанные объекты (или на многообразии, в касательном пространстве которого они существуют) задана невырожденная метрика.

Соответствие между векторами и ковекторами

Если определён невырожденный метрический тензор, то формально «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» можно считать просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть через набор ковариантных координат) или контравариантный (то есть через набор контравариантных координат). Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором:

(здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, по правилу Эйнштейна).

Различие между векторами и ковекторами

Содержательно векторы и ковекторы различают по тому, какое из представлений для них естественно. Так, для ковекторов, например, для градиента — естественно разложение по дуальному базису, так как их естественная свертка (скалярное произведение) с обычным вектором (например, смещением) осуществляется без участия метрики, просто суммированием перемноженных компонент. Для обычных же векторов (к которым принадлежит и само смещение по пространственным координатам ) — естественно разложение по главному базису, так как они свёртываются с другими обычными векторами, такими, как вектор смещения по пространственным координатам, с участием метрики. Например, скаляр получается (как полный дифференциал) свёртыванием без участия метрики ковариантного вектора , являющегося естественным представлением 1-формы градиента, подействовавшей на скалярное поле, с контравариантным вектором , являющимся естественным представлением обычного вектора смещения по координатам; при этом сам с собой свёртывается с помощью метрики: , что находится в полном согласии с тем, что он контравариантный.

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности — контравариантности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения , являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свертываются с посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковектора, в противном случае (свёртка требует участия метрики) — это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты полностью абстрактны и нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает или становится также чисто условным.

Алгебра и геометрия

В теории категорий, функторы могут быть ковариантными и контравариантными. Сопряжённое пространство векторного пространства — стандартный пример контравариантного функтора. Некоторые конструкции мультилинейной алгебры есть смешаными, и не есть функторами.

В геометрии то же самое отображение различается в или из пространства, что позволяет определить вариантность конструкции. Касательный вектор к гладкому многообразию M это класс эквивалентности кривых M проходящих через данную точку P. Поэтому он контравариантен, относительно гладкого отображения M. Ковариантный вектор, или ковектор, таким же способом конструируется из гладкого отображения из M на вещественную ось, около P. В кокасательном расслоении, построенном на сопряжённом пространстве касательного расслоения.

Ковариантные и контравариантные компоненты преобразуются разными способами при преобразованиях координат. При рассмотрении координатных преобразований на многообразии как отображения многообразия в себя.

Программирование

См. Ковариантность и контравариантность (информатика)

Источник