что такое корреляционное поле
Что такое поле корреляции и как оно используется в эконометрике?
Поле корреляции – это поле точек, на котором каждая точка соответствует единице совокупности; ее координаты определяются значениями признаков 
и 
.
Любое эконометрическое исследование начинается со спецификации модели, т. е. с формулировки вида модели, исходя из соответствующей теории связи между переменными.
В парной регрессии выбор вида математической функции 
может быть осуществлен графическим методом. По характеру расположения точек на поле корреляции делают вывод о наличии или отсутствии связи, о характере связи, т. е. о виде математической функции.
Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей, представлены на рис. 
Рис. 1. Основные типы кривых, используемые при
количественной оценке связей между двумя переменными.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему
Что такое поле корреляции и как оно используется в эконометрике?
Что такое поле корреляции и как оно используется в эконометрике?
Что такое поле корреляции и как оно используется в эконометрике?
Что такое корреляционное поле
Графически взаимосвязь двух признаков изображается с помощью поля корреляции. В системе координат на оси абсцисс откладываются значения факторного признака, а на оси ординат — результативного. Каждое пересечение линий, проводимых через эти оси, обозначается точкой. При отсутствии тесных связей имеет место беспорядочное расположение точек на графике (рис. 11.1). [c.111]
Изобразим полученную зависимость графически точками координатной плоскости (рис. 3.1). Такое изображение статистической зависимости называется полем корреляции. [c.53]
Корреляционная связь или ее отсутствие часто устанавливается графически, путем построения так называемого поля корреляции (рис. 1.5 и 1.6) [14]. [c.28]
Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи. [c.37]
При изучении зависимости между двумя признаками графический метод подбора вида уравнения регрессии достаточно нагляден. Он основан на поле корреляции. Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей, представлены на рис. 2.1. [c.37]
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров — а и Ь. Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами. Можно обратиться к полю корреляции и, выбрав на графике две точки, провести через них прямую линию (см. рис. 2.2). Далее по графику можно определить значения параметров. Параметр а определим как точку пересечения линии регрессии с осью оу, а параметр b оценим, исходя из угла наклона линии регрессии, как dy/dx, где dy — приращение результата j>, adx — приращение фактора х, т. е. [c.41]
Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место их разброс как обусловленный влиянием фактора х, т. е. регрессией у по х, так и вызванный действием прочих причин (необъясненная вариация). Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объясненную вариацию. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное воздействие на результату. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации г2 будет приближаться к единице. [c.49]
Соответственно для зависимости, изображенной на полях корреляции рис. 3,5 б) и в), гетероскедастичность остатков представлена на рис. 3.9 и 3.10. [c.162]
| Рис. 3.9. Гетероскедастичность, соответствующая полю корреляции |  |
Если же величины независимы, то «поле корреляции» или па- [c.28]
После выделения названных выше групп железнодорожных хозяйств был использован еще один приближенный прием предварительного анализа однородности совокупности по каждой группе железнодорожных хозяйств — построение полей корреляции каждого из включенных в исследование факторов с себестоимостью перевозок. Основным признаком однородности или неоднородности выбранных совокупностей служило отсутствие или наличие разрывов и скачков в расположении точек на полях корреляции. [c.111]
Для изучения были предварительно выбраны путем профессионального логического анализа все возможные факторы, данные об изменении которых по предприятиям имеются в отчетности министерства. Такими факторами следует считать общий объем перевозок, среднюю производительность вагонов и локомотивов рабочего парка, грузонапряженность, фондоемкость единицы перевозок и производительность труда и др. (всего 11 факторов). Таким образом, по четырем группам предприятий было построено 44 поля корреляции. [c.111]
Имеются и другие ошибки в расчетах себестоимости перевозок в мелких железнодорожных хозяйствах. Как следствие — она искусственно завышается в несколько раз. Поэтому мелкие железнодорожные хозяйства с объемом перевозок до 1 млн. т в год были исключены. С помощью такого искусственного приема удалось достигнуть относительной однородности в расположении точек на полях корреляции. Окончательный вывод об однородности выбранных совокупностей (групп) железнодорожных хозяйств можно сделать по характеру отклонений фактических значений себестоимости перевозок в каждом железнодорожном хозяйстве от рассчитанных по разработанным многофакторным моделям (уравнениям регрессии). [c.112]
После определения указанных величин получается уравнение парной зависимости, графическое изображение которого в осях координат называется теоретической линией регрессии. Если на такое поле нанести все замеры, а не только теоретическую линию регрессии, то мы получим поле корреляции. [c.122]
Исходный материал систематизируем на поле корреляции и в корреляционной таблице. В нашем примере в качестве фактора выступает стоимость машин См, а в качестве функции — среднегодовая численность рабочих Р. [c.135]
В результате разбивки на интервалы вся плоскость, на которой нанесены замеры по обоим признакам к и у, называемая полем корреляции, представит собой клетки, причем каждый замер характеризуется не точными значениями своих координат, а лишь значениями интервала, в который он отнесен. [c.136]
На рис. 16 представлено поле корреляции, на котором по оси абсцисс даны интервалы для значений аргумента Сы, а по оси ординат — интервалы для значения функции Р. Построенное таким способом поле корреляции называется вторичным. [c.136]
Для выбора интервалов может быть построено также первичное поле корреляции. Все точки на этом поле проставлены с учетом значений их координат. По густоте расположения точек и намечаются интервалы. [c.136]
Наряду с построением поля корреляции, как указано выше, составляется корреляционная таблица, в которой производятся все вычисления, связанные с определением средних, построением эмпирической линии регрессии и исходных данных для определения параметров в системе нормальных уравнений. [c.136]
| Рис. 16. Корреляционная таблица и вторичное поле корреляции |  |
Восстанавливая из центра каждого интервала перпендикуляр к оси абсцисс, откладываем на каждом из них соответствующие значения у но интервалам г/, = 1081, 1/2 = 1774 и т. д. Полученные точки соединяем между собой отрезками прямых. Полученная ломаная линия представляет собой эмпирическую линию регрессии для зависимости между стоимостью машин См и численностью рабочих Р. По аналогии с проведенными вычислениями мы можем построить корреляционные таблицы и поля корреляции для выявления зависимости между численностью рабочих Р, объемами работ О, количеством сборных бетонных и железобетонных конструкций /Иж.б. [c.139]
| Рис. 18. Корреляционная таблица и вторичное поле корреляции зависимости численности рабочих и объема применения сборных железобетонных конструкций |  |
Уравнения парной регрессии и выведенной в дальнейшем множественной регрессии применимы в случае, если переменные изменяются в следующих пределах численность рабочих — от 850 до 7850 чел., стоимость машин — от 0,15 до 3,15 млн. руб., объем сборных конструкций — от 10 до 230 тыс. m и объем работ — от 2,5 до 35,5 млн. руб. Указанные пределы изменения представлены на полях корреляции (рис. 16, 18, 19 и 20) и в табл. 39. [c.148]
Такая зависимость графически изображается в виде экспериментальных точек, образующих поле рассеяния, или, как принято говорить, поле корреляции (рис.26). Следовательно, такие двумерные данные можно анализировать с использованием диаграммы рассеяния в координатах
Что такое корреляционное поле
Корреляционное поле
Построенные на прямоугольной координатной сетке графики или диаграммы связывают две переменные величины. Их используют для быстрого нахождения функции по соответствующему значению аргумента. В анализе применяют диаграммы временных рядов, диаграммы сравнения, кривые распределения, корреляционные поля. Особенно широко используют диаграммы для сравнения плановых показателей с отчетными, для характеристики изменения показателей во времени, для показа структуры того или иного явления. [c.22]
В экономическом анализе применяются почти все виды графиков диаграммы сравнения, диаграммы временных рядов, кривые распределения, графики корреляционного поля, статистические картограммы. Особенно широко распространены в анализе диаграммы сравнения — для сравнения отчетных показателей с плановыми, предшествующих периодов и передовых предприятий отечественных или зарубежных. Для наглядного изображения динамики экономических явлений (а в анализе с динамическими рядами приходится иметь дело очень часто) используются диаграммы временных рядов. [c.152]
Тип кривой выбирается на основе сочетания теоретического анализа и исследования исходных эмпирических данных. Теоретический анализ наряду с обычными логическими сопоставлениями известных научных понятий включает опыт предыдущих исследований, экспертные оценки специалистов. Эмпирический путь заключается в изучении имеющихся исходных данных посредством построения корреляционных полей и эмпирических линий регрессии, а также анализа параллельных рядов, в результате которого исследуются разности между парами значений признаков (увеличивающиеся и уменьшающиеся абсолютные разности, постоянные и изменяющиеся относительные роста и т.д.). Изучение эмпирического материала показывает наличие или отсутствие связи, ориентирует ее направление и форму. Так, если результативный признак по сравнению с факторным увеличивается с одинаковой скоростью — связь прямолинейная, одинаковым темпом — связь экспоненциальная и т.п. [c.320]
Этап 2, Данные из таблицы наносятся на плоскость координат — строится корреляционное поле. [c.50]
| Рис. 11.1. График корреляционного поля |  |
Рис. 1.1 иллюстрирует два выбора функции регрессии — линейной и квадратичной. Как видно, имеющееся множество экспериментальных данных (точек) парабола сглаживает, пожалуй, даже лучше, чем прямая. Однако парабола быстро удаляется от корреляционного поля и для добавленного наблюдения (обозначенного крестиком) теоретическое значение может очень значительно отличаться от эмпирического. [c.18]
Две корреляционные зависимости переменной Y от X приведены на рис. 3.2. Очевидно, что в случае а зависимость между переменными менее тесная и коэффициент корреляции должен быть меньше, чем в случае б, так как точки корреляционного поля а дальше отстоят от линии регрессии, чем точки поля б. [c.57]
Следует отметить, что мы ввели выборочный коэффициент корреляции г исходя из оценки близости точек корреляционного поля к прямой регрессии Y по X. Однако г является непосредственно оценкой генерального коэффициента корреляции р между X и У лишь в случае двумерного нормального закона распределения случайных величин X и У В других случаях (когда распределения Хи У отклоняются от нормального, одна из исследуемых величин, например X, не является случайной и т.п.) выборочный коэффициент корреляции не следует рассматривать как строгую меру взаимосвязи переменных. [c.59]
| Рис. 1.5. Зависимость. между весом машин и себестоимостью их изготовления (пример построения корреляционного поля) |  |
Построим по этим данным график корреляционного поля (рис. 1.7). Допустим, исследованием существа явления установлено, что связь между показателями х и у должна быть линейной, вида [c.31]
Проводимый анализ даже небольшого объема статистического материала дает возможность установить корреляционные зависимости между себестоимостью производства однотипных машин аналогичного эксплуатационного назначения и их наиболее характерными параметрами. Такие корреляционные зависимости характеризуются тем, что одному и тому же значению аргумента (в данном случае параметру машины) соответствует несколько значений функции (себестоимости). При построении корреляционного поля отчетливо прослеживается, что изменение параметра-аргумента вызывает закономерное изменение функции (рис. 4.3). [c.121]
Постройте корреляционное поле и сформулируйте гипотезу о форме связи. [c.8]
Совокупность точек, представленных табл. 11, образует так называемое корреляционное поле, изображенное на рис. 41а. [c.171]
Очевидно, что если все точки корреляционного поля лежат на линии f(x 1), то aij.i = 0. Отсюда можно построить коэффициент связи [c.80]
Обращаясь к диаграмме рассеяния (рис. 6.1), отметим, что через точки на графике можно провести несколько прямых линий, удовлетворяющих выражению (6.1), хотя в действительности невозможно построить одну прямую линию, которая пройдет через все точки корреляционного поля. Отсюда очевидно, что нужно выбрать лишь одну линию. [c.264]
Анализ парных корреляционных полей состоит обычно в следующем [c.181]
В результате такого анализа обычно получают формулировку нескольких рабочих гипотез об общем виде искомой зависимости, окончательная проверка которых и выбор наиболее адекватной из них осуществляются (при отсутствии априорных сведений содержательного характера) с помощью соответствующих математико-статистических методов. Описание наиболее эффективных, с нашей точки зрения, приемов такого типа приводится в 6.3. Здесь же остановимся на двух вспомогательных приемах, которые полезно использовать при геометрическом анализе парных корреляционных полей. 6.2.2. Учет и формализация гладких свойств искомой функции регрессии. Выше упоминалось, что чрезмерное усложнение класса допустимых решений F и, в частности, завышение порядка аппроксимирующего регрессионного полинома (в но- [c.181]
Корреляционное поле 181 Корреляционный анализ 49, 56 Коэффициент конкордации (согласованности) 116—117 [c.473]
Применение корреляционного анализа позволяет установить наличие или отсутствие связи между изучаемыми величинами в условиях действия большого числа факторов, ряд из которых неизвестен. Наличие или отсутствие связи определяется путем составления уравнений связи или, как их принято называть, уравнений регрессий. Форму связи (прямолинейную или криволинейную) определяют на основе предварительного анализа. О наличии корреляционной связи, а также о форме и характере кривой в первом приближении может дать представление графический анализ распределения совокупности точек, образующих корреляционное поле. Так, вытянутый характер расположения точек и ось контура корреляционного поля, составляющая острый или тупой угол с осями координат, свидетельствуют о наличии корреляционной связи и прямолинейной формы связи. Если наибольшая ось контура корреляционного поля параллельна одной из осей координат или контур поля приближается к форме круга, то такое соотношение исследуемых факторов не имеет или почти не имеет корреляционной связи. [c.114]
Распределение точек в системе координат при влиянии большего количества факторов характеризуется большим или меньшим их разбросом даже при определенно выраженной форме связи. В связи с этим внутри корреляционного поля всегда можно провести значительное количество линий, выражающих данную форму. Задача исследователя состоит в проведении линии наиболее вероятной, наиболее точно выражающей зависимость исследуемой величины от изменения того или иного фактора. Практически это решается применением метода наименьших квадратов, т. е. сводится к минимизации указанного в формуле (с. 111) выражения, где сумма охватывает все точки выборки. [c.114]
Если провести прямые линии параллельно оси абсцисс и оси ординат через точки (х, у) средних значений х и у, то плоская поверхность, по которой разбросаны точки, окажется разделен-. ной на четыре части. Как показано на рис. 9.1, это называют I, II, III, IV секторами корреляционного поля. [c.155]
IV. Диаграммы 1. Диаграммы кон- корреляционное поле точечные и фоновые ДГ [c.55]
На первом этапе рекомендуется попытаться установить зависимости между внешними (внутренними) факторами и уровнем риска. Количество зависимостей определяется полнотой и качеством информационного обеспечения системы управления рисками. Для этих целей следует строить корреляционные поля (рис. 5.3) и устанавливать статистические зависимости. [c.200]
| Рис. 5.3. Корреляционные поля зависимостей уровня риска (Y) от факторов |  |
По этим результатам с использованием компьютера строится диаграмма рассеивания в корреляционном поле. Если последовательность точек диаграммы рас- [c.134]
Для установления силы влияния (корреляции) одного фактора на другой и направленности взаимодействия строят корреляционные поля (диаграммы рассеяния) — рис. 17.8. Анализ рисунка показывает, что связь между Х и Y тесная, прямолинейная, [c.473]
Если уравнение регрессии проходит через все точки корреляционного поля, что возможно только при функциональной свв-зи, когда все точки лежат на линии регрессии ух =5 ДчО ТО фактические значения результативного признака совпадают с теоретическими у = ух, т. е. они полностью обусловлены влиянием факторах. В этом случаеостаточная дисперсия Вост — 0. Впрйктичёб-ких исследованиях, как правило, имеет место некоторое рЙссея-ние точек относительно линии регрессии. Оно обусловлено влиянием прочих не учитываемых в уравнении регрессии факторов. Иными словами, имеют место отклонения фактических данных от теоретических (у — ух). Величина этих отклонений и лежит в основе расчета остаточной дисперсии [c.40]
Аппарат, используемый А. Ноткиным, — числовые модели роста национального дохода и фонда потребления в зависимости от нормы Производственного накопления. Здесь сразу же следует поставить вопрос возможно ли статистическое изучение Конечно, данные о динамике нормы производственного накопления за ряд лет (аналогичные приведенным выше) позволяют сделать определенные выводы о политике капитальных вложений за весь период экономического развития нашей страны и с этой точки зрения весьма полезны. Однако они не могут ответить на вопрос, насколько величина нормы накопления данного года приближается к оптимальной. Не поможет и коррелирование фонда потребления от нормы производственного накопления, которое, вообще говоря, возможно (поскольку для каждого года экономического развития можно выявить точку корреляционного поля), но методологически неверно, ибо условия различных лет несопоставимы (разная производительность общественного труда, разная фондоемкость продукции, различно число занятых в процессе материального производства и т. д.). Естественно, что для каждого отдельного года существует лишь одна норма производственного накопления. Итак, на вопрос о возможности статистического изучения оптимума накопления и потребления для данного периода следует ответить отрицательно. Остаются два пути числовое моделирование и математическое моделирование. [c.37]
Некоторые вспомогательные преобразования, линеаризующие исследуемую парную зависимость. Часто при рассмотрении парных корреляционных полей ни линейная, ни полиномиальная регрессия не дают желаемой точности приближения. В этих случаях приходится обращаться к другим видам зависимостей гиперболической, степенной, показательной и др. Покажем, что в ряде ситуаций эти зависимости оказываются не менее удобными, чем линейная, поскольку легко к ней сводятся. [c.184]
Важную роль в правильном выборе параметрического класса допустимых решений играет предварительный анализ геометрической структуры совокупности исходных данных и в первую очередь анализ геометрии парных корреляционных полей, включающий в себя, в частности, учет и формализацию гладких свойств искомой функции регрессии, использование вспомогательных линеаризующих преобразований. [c.207]
В специальной литературе приводятся несколько вариантов набора инструментов качества. Например, в [7, 23] рассматривается семь инструментов качества метод расслоения информации по группам факторов, влияющих на качество процессов, графики, диаграммы Парето, причинно-следственные диаграммы (диаграмма Исикавы), гистограммы, диаграммы разброса, контрольные карты и контрольные листки. В этом же источнике приводятся семь дополнительных инструментов качества диаграммы сродства (сходства), диаграммы зависимостей, системные (древовидные) диаграммы, матричные диаграммы, сетевые графы, диаграммы планирования процессов, метод анализа матричных данных. В [23] приведены девять инструментов качества 1) построение схемы процесса 2) контрольный листок 3) мозговая атака 4) диаграмма Парето 5) причинно-следственная диаграмма (диаграмма Исикавы) 6) временной ряд 7) гистограмма 8) диаграмма рассеяния (корреляционное поле) 9) контрольная карта. [c.470]
Что такое корреляционное поле
6. Корреляционный анализ и регрессионный анализ данных
6.1. Корреляционный анализ
Корреляционный анализ – это совокупность методов обнаружения так называемой корреляционной зависимости между случайными величинами.
Для двух случайных величин Х и Y корреляционный анализ состоит из следующих этапов:
— построение корреляционного поля и составление корреляционной таблицы;
— вычисление выборочного коэффициента корреляции;
— проверка статической гипотезы о значимости корреляционной связи.
Рассмотрим подробнее каждый из указанных этапов.
Пример 6.1. Исследование зависимости между среднемесячными доходами X на семью (в тыс. у.е.) и расходами Y на покупку кондитерских изделий (в у.е.) представлено в таблице:
Построить корреляционное поле и сделать предварительный вывод о форме зависимости случайных величин.
Решение. Корреляционное поле, построенное по статистическим данным, приведено на рис. 6.1.
При большом объеме выборки результаты группируются и представляются в виде корреляционной таблицы.
Построить корреляционную таблицу и сделать предварительный вывод о форме зависимости случайных величин.
По таблице можно видеть, что в целом для всей совокупности фирм увеличение затрат на рекламу приводит к увеличению количества туристов, пользующихся услугами фирмы. Хотя в отдельных случаях наличие такой зависимости может не усматриваться. Например, сопоставим данные по фирмам с порядковыми номерами 7 и 11. Здесь можно увидеть даже обратное соотношение: у фирмы 11 количество туристов меньше, чем у фирмы 7, хотя затраты на рекламу выше. В каждом отдельном случае количество туристов, воспользовавшихся услугами фирмы, будет зависеть не только от размера затрат фирмы на рекламу, но и от того, как сложатся прочие факторы, определяющие величину результативного признака.
Однако наличие большого числа различных значений результативного признака, соответствующих одному и тому же значению признака-фактора, затрудняет восприятие таких параллельных рядов. Особенно это сказывается при большом числе единиц, составляющих изучаемую совокупность. В таких случаях целесообразнее воспользоваться для установления факта наличия связи корреляционной таблицей. Построение корреляционной таблицы начинают с группировки значений факторного и результативного признаков. Поскольку в приводимом примере факторный признак представлен всего пятью вариантами повторяющихся значений, достаточно в первом столбце корреляционной таблицы выписать эти результаты. Для результативного признака необходимо определить величину интервала группировки. Это можно сделать с помощью формулы Стержэсса:
Данная корреляционная таблица уже при общем знакомстве дает возможность выдвинуть предположение о наличии или отсутствии связи, а также выяснить ее направление. Если частоты в корреляционной таблице расположены на диагонали из левого верхнего угла в правый нижний угол (т.е. бóльшим значениям фактора соответствуют бóльшие значения функции), то можно предположить наличие прямой корреляционной зависимости между признаками. Если же частоты расположены по диагонали из правого верхнего угла в левый нижний, то предполагают наличие обратной связи между признаками.
Для следующей группы, состоящей из пяти фирм, у которых затраты на рекламу 9 усл. ден. ед.
и т.д. (рассчитанные таким образом средние представлены в последнем столбце корреляционной таблицы).
Итак, увеличение средних значений результативного признака с увеличением значений факторного признака еще раз свидетельствует о возможном наличии прямой корреляционной зависимости числа туристов, воспользовавшихся услугами фирмы, от затрат фирмы на рекламу.
Корреляционная таблица позволяет сжато, компактно изложить материал. Поэтому все последующие расчеты можно вести по корреляционной таблице.
Выборочный коэффициент корреляции Пирсона для группированной 
корреляционной таблицы определяется формулой:
(6.2)
– выборочная ковариация; 
и 
– центры соответствующих интервалов группировки;
– соответствующие выборочные дисперсии.
Для выборочной ковариации 
справедлива формула
являющаяся аналогом формулы 
в теории вероятностей. Для простой (негруппированной) выборки формулы (6.2) – (6.4) упрощаются и приобретают вид:
При этом, чем ближе 
к 1 (или к 
), тем сильнее выражена линейная зависимость между X и Y. Однако значимость такой зависимости должна быть
подкреплена проверкой гипотезы. Проверка гипотезы о наличии корреляции осуществляется следующим образом. Основная гипотеза – отсутствие линейной статистической связи ( 
); альтернативной гипотезой может выступать любая из трех возможных 
где обозначено 
– выборочный коэффициент корреляции, а объем n выборки предполагается большим (число степеней свободы равно 
).
Пример 6.3. В таблице представлены результаты измерений роста Х (см) и веса Y (кг) 50 мужчин – слушателей военной академии:
Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проверить гипотезу о значимости корреляционной связи.
По формулам группированной выборки вычисляем средние
выборочные вторые начальные моменты
Далее, используя формулы (6.2) – (6.4), получаем:
Наконец, по формуле (6.1) определяем:
Замечание. Несколько обескураживающий результат предыдущего примера( 
отвергнута при достаточно малом значении r) объясняется сильной зависимостью статистики Стъюдента от объема выборки n. В следующем параграфе при анализе регрессии будет показано, что линейная связь может оказаться значимой и при малых значениях коэффициента корреляции r. Однако для получения надежных выводов при использовании статистики Z следует иметь более 100 наблюдений.
Фишером было доказано, что при 
случайная величина V имеет приближенно нормальное распределение с независящей от r дисперсией
и математическим ожиданием
Стандартизуя V, получим подходящую статистику Фишера:
центрирование статистики V в формуле (6.8) осуществляется на эту величину.
Таким образом, при 
гипотеза для данного значения 
будет приниматься.
6.2. Регрессионный анализ
Зависимость между случайными величинами X и Y называется стохастической, если с изменением одной их них (например, Х) меняется закон распределения другой ( Y). В качестве примеров такой зависимости приведем зависимость веса человека ( Y) от его роста ( Х), предела прочности стали ( Y) от ее твердости ( Х) и т.д.
В теории вероятностей стохастическую зависимость Y от Х описывают условным математическим ожиданием:
Если 
– случайный вектор, распределенный по двумерному нормальному закону, то коэффициенты 
и 
определяются равенствами:
уравнением регрессии в этом случае является прямая линия
В реальных экспериментах, связанных со статической обработкой опытных данных, условный закон распределения случайной величины Y при условии 
обычно заранее неизвестен. В таком случае, речь может идти лишь о каком либо приближении к теоретической кривой регрессии, построенном на основе выборочных данных. Другими словами, задача заключается в подборе подходящей функциональной зависимости, наилучшим образом (в некотором статистическом смысле) приближающей стохастическую зависимость.
Во многих случаях можно считать, что «независимая» переменная Х находится под контролем экспериментатора, и может бать измерена с любой заданной точностью, в то время как измеряемые значения Y как функции от Х (выборочные значения 
при фиксированных 
) определяются с ошибкой (содержат шум измерения). Если вид функциональной зависимости зафиксирован, то статистическую модель регрессии можно записать следующим образом:
(1)
где 
– набор неизвестных параметров, определяющих функциональную зависимость (параметры регрессии); 
– случайные величины, складывающиеся при каждом фиксированном 
из шума измерений и ошибки модели. При исследовании качества построения модели важно уметь разделять эти ошибки.
2
Указанный критерий минимизации суммы квадратов отклонений носит название метода наименьших квадратов (сокращенно МНК), а полученные в результате решения этой задачи оценки 
параметров называются МНК-оценками. Основанием для выбора критерия МНК служит следующая теорема.
Заметим, что по условию теоремы
Из этого выражения следует, что
что и требовалось доказать. 
Замечание. На практике ошибки измерений часто удовлетворяют поставленным в теореме условиям в силу центральной предельной теоремы.
Регрессионный анализ проводится в три этапа.
На третьем этапе анализируют качество построения модели: проверяются так называемые корректность и адекватность модели. Этот этап осуществляется средствами проверки статистических гипотез.
Искомые оценки являются решениями следующей задачи минимизации:
Получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных значений а и b:
(2)
Решение системы (2), как нетрудно убедиться, имеет вид:
где 
– выборочный коэффициент корреляции, 
и 
– выборочные среднеквадратические отклонения.
Уравнение линейной регрессии приобретает вид:
(3)
Заметим, что полученное уравнение аналогично теоретическому уравнению регрессии, если заметить все входящие в него вероятностные моменты соответствующими выборочными оценками в соответствии с методом подстановки.
6.3 Однофакторный дисперсионный анализ
Формулируется следующая линейная модель дисперсионного анализа:
– j-е наблюдение из i-ой подпопуляции,
– среднее i-ой подпуляции,
– генеральное (тотальное) среднее всей популяции X,
– дифференциальный эффект, определяющий различие средних.
Напомним, что для проверки этой гипотезы использовалась статистика Стъюдента W, основанная на нормированной разности выборочных средних. Фишером доказано, что при 
подходящей статистикой для проверки указанной гипотезы является фишеровское отношение дисперсий, сконструированных специальным образом.
Обозначим выборочное среднее i-ой выборки:
; (1)
общее среднее объединенной выборки:
;
объем объединенной выборки:
т.е. тотальное среднее равно среднему арифметическому внутригрупповых средних.
Обозначим через сумму квадратов отклонений результатов наблюдений от общего среднего
Если гипотеза верна, то 
не должны сильно отличаться от общего среднего 
, но для точного решения задачи нужна подходящая статистика. Идея ее построения основана на разбиении суммы квадратов:
,
(3)
– сумма квадратов отклонений «внутри групп»,
(4)
– сумма квадратов отклонений « внутри групп».
Покажем, как получается это разбиение. Преобразуем разность:
Возведем в квадрат:
Далее обе части равенства необходимо просуммировать сначала по k от 1 до 
, затем по i от 1 до l. Учтем, что согласно (1):
Выражение для этих сумм можно преобразовать к виду более удобному для вычислений:
Из этой теоремы и теоремы Фишера следует, что статистика
Пример 1. Три группы водителей обучались по различным методикам. По окончанию срока обучения был произведен тестовый контроль над случайно отобранными водителями из каждой группы. Результаты контроля сведены в следующую таблицу: