что такое конус в математике

Что такое конус: определение, элементы, виды

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы и виды одной из самых распространенных фигур в пространстве – конуса. Представленная информация сопровождается соответствующими рисунками для лучшего восприятия.

Определение конуса

Далее мы будем рассматривать самый распространенный вид конуса – прямой круговой. Остальные возможные варианты фигуры перечислены в последнем разделе публикации.

Итак, прямой круговой конус – это трехмерная геометрическая фигура, полученная путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов, который в данном случае будет являться осью фигуры. Ввиду этого иногда такой конус называют конусом вращения.

Конус на рисунке выше получен в результате вращения прямоугольного треугольника ACD (или BCD) вокруг катета CD.

Основные элементы конуса

Между образующей конуса, его высотой и радиусом основания есть взаимосвязь (согласно теореме Пифагора):

Развёртка конуса – боковая поверхность конуса, развернутая в плоскость; является круговым сектором.

Примечание: Основные свойства конуса мы рассмотрели в отдельной публикации.

Источник

Что такое конус: определение. Основание, вершина, высота конуса

Определение фигуры

Предположим, что имеется некоторая плоская замкнутая кривая, например окружность или эллипс. В пространстве выберем некоторую точку, которая не принадлежит плоскости указанной кривой. Теперь соединим ее с каждой точкой на кривой при помощи прямых отрезков. Полученная фигура дает ответ на вопрос о том, что такое конус. На фото ниже показаны три конуса, изготовленные из бумаги.

Вам будет интересно: Подберем рифму к слову «капля»

Исходная замкнутая кривая называется директрисой или направляющей фигуры. Фиксированная точка в пространстве, упомянутая выше, называется вершиной конуса. Прямые отрезки, которые соединяют вершину с точками на директрисе, получили название генератрис, или образующих.

Рассматриваемая фигура образует некоторую поверхность, поэтому объемом не обладает. Если же внутри эту фигуру заполнить каким-либо веществом, то у нее появится некоторый объем. Полученное твердое тело также называется конусом.

Элементы конуса

Вам будет интересно: Абашевская культура бронзового века: локализация, археологические находки

Под элементами фигуры понимают геометрические объекты, из которых она состоит. Зная, что такое конус, можно сказать, что основными его элементами являются следующие:

Виды конуса

Мы узнали, что такое конус. Теперь перейдем к рассмотрению вопроса о том, какие виды фигур бывают.

В зависимости от кривой, находящейся в основании, говорят о конусе круглом, эллиптическом, гиперболическом, параболическом и так далее. Кроме того, фигура может быть прямой и наклонной. Чтобы понять разницу между ними, следует познакомиться с понятием высоты.

В большинстве геометрических задач рассматривают прямой конус с круглым основанием. Далее в статье дадим подробную характеристику этой фигуре.

Как можно получить круглый прямой конус?

В результате описанного способа получения круглого конуса образуется фигура, имеющая радиус основания a и высоту b. Катет b является частью оси конуса, которая проходит через его вершину и центр основания. Гипотенуза исходного треугольника будет генератрисой фигуры.

Схема выше показывает, как можно получить конус, вращая прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов.

Линейные характеристики круглого прямого конуса

Фигура образована кругом некоторого радиуса r и конической поверхностью. Пусть высота конуса равна h. Указанные две линейные характеристики являются основными. Их знание позволяет вычислить любые параметры фигуры, например, длину его генератрис, площадь поверхности и объем.

Поскольку рассматриваемая фигура является прямой, то длины всех его генератрис равны между собой. Если обозначить их длину буквой d, тогда формула для ее вычисления будет иметь вид:

Нетрудно догадаться, откуда взялась эта формула. Она является результатом применения теоремы Пифагора к соответствующему прямоугольному треугольнику. Отметим, что генератриса конуса всегда больше радиуса его основания, независимо от значения величины h.

Данное выражение позволяет по двум известным линейным величинам определить третью. Например, если известны d и h, тогда радиус круга в основании будет равен:

Поверхность и объем

S = pi*r2 + pi*r*√(r2 + h2).

Объем конуса произвольного типа рассчитывается по следующей формуле:

Здесь символом So обозначена площадь основания. Заметим, что аналогичная формула и у объема пирамиды. Это совпадение не является случайным, поскольку увеличение числа граней пирамиды до бесконечности переводит ее в конус.

Записанная формула для случая прямого круглого конуса приобретает конкретный вид:

Здесь множитель pi*r2 является площадью основания (круга).

Таким образом, объем прямого конуса, основанием которого является круг, равен одной трети объема цилиндра, имеющего тот же радиус и ту же высоту.

Источник

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Стереометрия:

Контакты

Конус

Конусом ( прямым круговым конусом ) называется тело, состоящее из круга ( основания конуса ), точки, не лежащей в плоскости этого круга ( вершины конуса ), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

Конус — тело, которое ограничено конической поверхностью и плоскостью, на которой лежат концы образующих конической поверхности.

Коническая поверхность — поверхность, которая образуется движением отрезка, один из концов которого неподвижен, а другой перемещается на плоскости вдоль некоторой кривой. Отрезки называют образующими конической поверхности, а кривую – направляющей. Неподвижная точка – вершина конической поверхности.

Боковая поверхность конуса — часть конической поверхности, ограниченная плоскостью.

Основание конуса — часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью конуса.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания (См.Рис.1). В противном случае, конус называется наклонным. В школьном курсе изучается прямой круговой конус.

Круговой конус — конус, у которого в основании круг.

Прямой круговой конус ( просто конус ) — круговой конус, у которого прямая, соединяющая вершину конуса с центром круга, лежащего в основании, перпендикулярна плоскости основания.

Ось конуса — прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.

Высота конуса — отрезок оси конуса, соединяющий вершину конуса с центром основания.

Конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет.

Образующие конуса совпадают с образующими конической поверхности.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса. См.Рис.2.

Развёртка боковой поверхности конуса — круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания. См.Рис.3.

Видео-решение.

Инструменты страницы

Записаться на занятия

Источник

Основные свойства конуса

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства конуса, сопроводив их соответствующими рисунками для лучшего восприятия представленной информации.

Примечание: определение конуса, его основные элементы и разновидности мы рассмотрели в отдельной публикации, поэтому далее на них подробно останавливаться не будем.

Свойства конуса

Приведенные свойства применимы к прямому круговому конусу (самый распространенный вид данной фигуры).

Свойство 1

Все образующие конуса имеют одинаковую длину.

Свойство 2

Конус образуется путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов на 360° или равнобедренного треугольника (состоит из двух равных прямоугольных треугольников) вокруг своей оси на 180°.

Следствия:

Свойство 3

При пересечении конуса любой плоскостью, параллельной его основанию, получается круг (коническое сечение). Образованная между основанием и данным кругом фигура – это усеченный конус.

Другие варианты конического сечения:

1. Если секущая плоскость не параллельна основанию конуса, то результатом сечения является эллипс.

2. Если секущая плоскость проходит через основание конуса, то результатом сечения является парабола/гипербола.

3. Результатом сечения конуса плоскостью, проходящей через его ось (или высоту), является равнобедренный треугольник.

Свойство 4

Центр тяжести конуса расположен на четверти его высоты, считая от основания.

Источник

Геометрические тела. Конус.

Конус — геометрическое тело в евклидовом пространстве, которое можно получить путем объединения каждого луча, который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность.

Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса, а конус называется опирающимся на данное основание.

Когда основание конуса является многоугольником – это уже пирамида.

Отрезки, которые соединяют вершину конуса и точки окружности основания, называют образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Прямой конус – это конус, в котором прямая, которая соединяет вершину конуса и центр основания, перпендикулярна плоскости основания.

Прямой круговой конус – это тело, которое получено вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Высота конуса – это перпендикуляр, который опущен из вершины конуса на плоскость основания. Основание высоты в прямом конусе совпадает с центром основания.

Ось прямого кругового конуса – это прямая, которая содержит его высоту.

Сечение конуса плоскостью, который проходит через вершину конуса – это равнобедренный треугольник, боковые стороны этого треугольника являются образующими конуса.

Равнобедренным треугольником оказывается и осевое сечение конуса. Это сечение, проходящее через ось конуса.

Плоскость, которая параллельна основанию конуса и которая пересекает конус, отсекает от него конус меньшего размера. Оставшаяся часть является усеченным конусом.

Площадь боковой поверхности правильной n-угольной пирамиды, вписанной в конус:

То есть, площадь боковой поверхности конуса определяют с помощью формулы:

где R — радиус основания конуса, а l — длина образующей.

По тому же принципу: для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R₁, R₂ и образующей l получаем такую формулу:

Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом:

Свойства конуса.

где S — площадь основания, H — высота.

Т.о., каждый конус, который опирается на это основание и имеющие вершину, которая находится на плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, так как их высоты одинаковые.

где α — угол раствора конуса.

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания), формула:

где R — радиус основания, l — длина образующей.

где S₁ и S₂ — площадь верхнего и нижнего оснований,

h и H — расстояния от плоскости верхнего и нижнего основания до вершины.

Источник