что такое коническое сечение

1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая — эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.

2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая — парабола, целиком лежащая на одной полости.

3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения — гипербола — состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.

С точки зрения аналитической геометрии К. с.— действительные нераспадающиеся линии второго порядка.

В тех случаях, когда К. с. имеет центр симметрии (центр), т. е. является эллипсом или гиперболой, его уравнение может быть приведено (путём перенесения начала координат в центр) к виду:

Дальнейшие исследования таких (называемых центральными) К. с. показывают, что их уравнения могут быть приведены к ещё более простому виду:

если за направления осей координат выбрать т. н. главные направления — направления главных осей (осей симметрии) К. с. Если А и В имеют одинаковые знаки (совпадающие со знаком С), то уравнение (1) определяет эллипс; если А и В разного знака, то — гиперболу.

Уравнение параболы привести к виду (1) нельзя. При надлежащем выборе осей координат (одна ось координат — единственная ось симметрии параболы, другая — перпендикулярная к ней прямая, проходящая через вершину параболы) её уравнение можно привести к виду:

К. с. были известны уже математикам Древней Греции (например, Менехму, 4в. до н. э.); с помощью этих кривых решались некоторые задачи на построение (удвоение куба и др.), оказавшиеся недоступными при использовании простейших чертёжных инструментов — циркуля и линейки. В первых дошедших до нас исследованиях греческие геометры получали К. с., проводя секущую плоскость перпендикулярно к одной из образующих, при этом, в зависимости от угла раствора при вершине конуса (т. е. наибольшего угла между образующими одной полости), линия пересечения оказывалась эллипсом, если этот угол —острый, параболой, если — прямой, и гиперболой, если — тупой. Наиболее полным сочинением, посвященным этим кривым, были «Конические сечения» Аполлония Пергского (около 200 до н. э.). Дальнейшие успехи теории К. с. связаны с созданием в 17 в. новых геометрических методов: проективного (французские математики Ж. Дезарг, Б. Паскаль) и в особенности координатного (французские математики Р. Декарт, П. Ферма).

При надлежащем выборе системы координат уравнение К. с. может быть приведено к виду:

y 2 = 2px + lx 2 (р и l постоянные).

Если р ¹ 0, то оно определяет параболу при l = 0, эллипс при l 0. Геометрическое свойство К. с., содержащееся в последнем уравнении, было известно уже древнегреческим геометрам и послужило для Аполлония Пергского поводом присвоить отдельным типам К. с. названия, сохранившиеся до сих пор: слово «парабола» (греческого parabole) означает приложение (т. к. в греческой геометрии превращение прямоугольника данной площади y 2 в равновеликий ему прямоугольник с данным основанием 2p называлось приложением данного прямоугольника к этому основанию); слово «эллипс» (греческий élleipsis) — недостаток (приложение с недостатком), слово «гипербола» (греческий hyperbole) — избыток (приложение с избытком).

С переходом к современным методам исследования стереометрическое определение К. с. было заменено планиметрическими определениями этих кривых как геометрических мест на плоскости. Так, например, эллипс определяется как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух данных точек (фокусов) имеет данное значение.

Можно дать другое планиметрическое определение К. с., охватывающее все три типа этих кривых: К. с.— геометрическое место точек, для каждой из которых отношение её расстояний до данной точки («фокуса») к расстоянию до данной прямой («директрисы») равно данному положительному числу («эксцентриситету») е. Если при этом е 1, то — гипербола; если е = 1, то — парабола.

Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959.

Источник

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ, плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину (рис. 1). С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы.

Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала. Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении. См. также НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА.

РАННЯЯ ИСТОРИЯ

Открывателем конических сечений предположительно считается Менехм (4 в. до н.э.), ученик Платона и учитель Александра Македонского. Менехм использовал параболу и равнобочную гиперболу для решения задачи об удвоении куба.

Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце 4 в. до н.э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые Конические сечения Аполлония Пергского (ок. 260–170 до н.э.), которые сохранились до нашего времени. Аполлоний отказался от требования перпендикулярности секущей плоскости образующей конуса и, варьируя угол ее наклона, получил все конические сечения из одного кругового конуса, прямого или наклонного. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых – эллипс, парабола и гипербола.

В своих построениях Аполлоний использовал двухполостной круговой конус (как на рис. 1), поэтому впервые стало ясно, что гипербола – кривая с двумя ветвями. Со времен Аполлония конические сечения делятся на три типа в зависимости от наклона секущей плоскости к образующей конуса. Эллипс (рис. 1,а) образуется, когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; парабола (рис. 1,б) – когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; гипербола (рис. 1,в) – когда секущая плоскость пересекает обе полости конуса.

ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.

Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.

Эллипс.

Если концы нити заданной длины закреплены в точках F₁ и F₂ (рис. 2), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F₁ и F₂ называются фокусами эллипса, а отрезки V₁V₂ и v₁v₂ между точками пересечения эллипса с осями координат – большей и малой осями. Если точки F₁ и F₂ совпадают, то эллипс превращается в окружность.

Гипербола.

При построении гиперболы точка P, острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F₁ и F₂, как показано на рис. 3,а. Расстояния подобраны так, что отрезок PF₂ превосходит по длине отрезок PF₁ на фиксированную величину, меньшую расстояния F₁F₂. При этом один конец нити проходит под шпеньком F₁ и оба конца нити проходят поверх шпенька F₂. (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы (PV₁Q) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и потягивая оба конца нити вниз за точку F₂, а когда точка P окажется ниже отрезка F₁F₂, придерживая нить за оба конца и осторожно потравливая (т.е. отпуская) ее. Вторую ветвь гиперболы (P ў V₂Q ў ) мы вычерчиваем, предварительно поменяв ролями шпеньки F₁ и F₂.

Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы, строятся как показано на рис. 3,б. Угловые коэффициенты этих прямых равны ± (v₁v₂)/(V₁V₂), где v₁v₂ – отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F₁F₂; отрезок v₁v₂ называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V₁V₂ – ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v₁, v₂, V₁, V₂ параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v₁ и v₂. Они находятся на одинаковом расстоянии, равном

от точки пересечения осей O. Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov₁ и V₂O и гипотенузой F₂O.

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными.

Парабола.

СВОЙСТВА КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

Определения Паппа.

Установление фокуса параболы навело Паппа на мысль дать альтернативное определение конических сечений в целом. Пусть F – заданная точка (фокус), а L – заданная прямая (директриса), не проходящая через F, и D_F и D_L – расстояния от подвижной точки P до фокуса F и директрисы L соответственно. Тогда, как показал Папп, конические сечения определяются как геометрические места точек P, для которых отношение D_F/D_L является неотрицательной постоянной. Это отношение называется эксцентриситетом e конического сечения. При e 1 – гипербола; при e = 1 – парабола. Если F лежит на L, то геометрические места имеют вид прямых (действительных или мнимых), которые являются вырожденными коническими сечениями.

Бросающаяся в глаза симметрия эллипса и гиперболы говорит о том, что у каждой из этих кривых есть по две директрисы и по два фокуса, и это обстоятельство навело Кеплера в 1604 на мысль, что и у параболы существует второй фокус и вторая директриса – бесконечно удаленные точка и прямая. Точно также и окружность можно рассматривать как эллипс, фокусы которого совпадают с центром, а директрисы находятся в бесконечности. Эксцентриситет e в этом случае равен нулю.

Конструкция Данделена.

Фокусы и директрисы конического сечения можно наглядно продемонстрировать, если воспользоваться сферами, вписанными в конус и называемыми сферами (шарами) Данделена в честь бельгийского математика и инженера Ж.Данделена (1794–1847), предложившего следующую конструкцию. Пусть коническое сечение образовано пересечением некоторой плоскости p с двухполостным прямым круговым конусом с вершиной в точке O. Впишем в этот конус две сферы S₁ и S₂, которые касаются плоскости p в точках F₁ и F₂ соответственно. Если коническое сечение – эллипс (рис. 5,а), то обе сферы находятся внутри одной и той же полости: одна сфера расположена над плоскостью p, а другая – под ней. Каждая образующая конуса касается обеих сфер, и геометрическое место точек касания имеет вид двух окружностей C₁ и C₂, расположенных в параллельных плоскостях p₁ и p₂. Пусть P – произвольная точка на коническом сечении. Проведем прямые PF₁, PF₂ и продлим прямую PO. Эти прямые – касательные к сферам в точках F₁, F₂ и R₁, R₂. Поскольку все касательные, проведенные к сфере из одной точки, равны, то PF₁ = PR₁ и PF₂ = PR₂. Следовательно, PF₁ + PF₂ = PR₁ + PR₂ = R₁R₂. Так как плоскости p₁ и p₂ параллельны, отрезок R₁R₂ имеет постоянную длину. Таким образом, величина PR₁ + PR₂ одна и та же для всех положений точки P, и точка P принадлежит геометрическому месту точек, для которых сумма расстояний от P до F₁ и F₂ постоянна. Следовательно, точки F₁ и F₂ – фокусы эллиптического сечения. Кроме того, можно показать, что прямые, по которым плоскость p пересекает плоскости p₁ и p₂, – директрисы построенного эллипса. Если p пересекает обе полости конуса (рис. 5,б), то две сферы Данделена лежат по одну сторону от плоскости p, по одной сфере в каждой полости конуса. В этом случае разность между PF₁ и PF₂ постоянна, и геометрическое место точек P имеет форму гиперболы с фокусами F₁ и F₂ и прямыми – линиями пересечения p с p₁ и p₂ – в качестве директрис. Если коническое сечение – парабола, как показано на рис. 5,в, то в конус можно вписать только одну сферу Данделена.

Другие свойства.

Свойства конических сечений поистине неисчерпаемы, и любое из них можно принять за определяющее. Важное место в Математическом собрании Паппа (ок. 300), Геометрии Декарта (1637) и Началах Ньютона (1687) занимает задача о геометрическом месте точек относительно четырех прямых. Если на плоскости заданы четыре прямые L₁, L₂, L₃ и L₄ (две из которых могут совпадать) и точка P такова, что произведение расстояний от P до L₁ и L₂ пропорционально произведению расстояний от P до L₃ и L₄, то геометрическое место точек P является коническим сечением. Ошибочно полагая, что Аполлоний и Папп не сумели решить задачу о геометрическом месте точек относительно четырех прямых, Декарт, чтобы получить решение и обобщить его, создал аналитическую геометрию.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД

Алгебраическая классификация.

В алгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второй степени. Иначе говоря, уравнение всех конических сечений можно записать в общем виде как

где не все коэффициенты A, B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворота осей уравнение (1) можно привести к виду

Первое уравнение получается из уравнения (1) при B 2 № AC, второе – при B 2 = AC. Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго вида с q № 0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов.

-2831) Если коэффициенты a, b и c имеют один и тот же знак, то не существует вещественных точек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечение называется мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если a = b).

2) Если a и b имеют один знак, а c – противоположный, то коническое сечение – эллипс (рис. 1,а); при a = b – окружность (рис. 6,б).

3) Если a и b имеют разные знаки, то коническое сечение – гипербола (рис. 1,в).

4) Если a и b имеют разные знаки и c = 0, то коническое сечение состоит из двух пересекающихся прямых (рис. 6,а).

5) Если a и b имеют один знак и c = 0, то существует только одна действительная точка на кривой, удовлетворяющая уравнению, и коническое сечение – две мнимые пересекающиеся прямые. В этом случае также говорят о стянутом в точку эллипсе или, если a = b, стянутой в точку окружности (рис. 6,б).

6) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют разные знаки, то коническое сечение состоит из двух параллельных прямых.

7) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют один знак, то не существует ни одной действительной точки, удовлетворяющей уравнению. В этом случае говорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых.

8) Если c = 0, и либо a, либо b также равно нулю, то коническое сечение состоит из двух действительных совпадающих прямых. (Уравнение не определяет никакого конического сечения при a = b = 0, поскольку в этом случае исходное уравнение (1) не второй степени.)

9) Уравнения второго типа определяют параболы, если p и q отличны от нуля. Если p № 0, а q = 0, мы получаем кривую из п. 8. Если же p = 0, то уравнение не определяет никакого конического сечения, поскольку исходное уравнение (1) не второй степени.

Вывод уравнений конических сечений.

Построение, представленное на рис. 7, можно использовать для вывода общих уравнений конических сечений. Квадрат длины отрезка перпендикуляра, восстановленного из любой точки диаметра до пересечения с окружностью, всегда равен произведению длин отрезков диаметра. Поэтому

Для параболы отрезок RQ имеет постоянную длину (так как при любом положении точки P он равен отрезку AE), а длина отрезка QS пропорциональна x (из соотношения QS/EB = QF/FE). Отсюда следует, что

где a – постоянный коэффициент. Число a выражает длину фокального параметра параболы.

Если угол при вершине конуса острый, то отрезок RQ не равен отрезку AE; но соотношение y 2 = RQ Ч QS эквивалентно уравнению вида

где a и b – постоянные, или, после сдвига осей, уравнению

являющемуся уравнением эллипса. Точки пересечения эллипса с осью x (x = a и x = –a) и точки пересечения эллипса с осью y (y = b и y = –b) определяют соответственно большую и малую оси. Если угол при вершине конуса тупой, то кривая пересечения конуса и плоскости имеет вид гиперболы, и уравнение приобретает следующий вид:

или, после переноса осей,

Теперь из уравнений (3), (2) и (4) мы можем понять смысл названий, данных Аполлонием трем основным коническим сечениям. Термины «эллипс», «парабола» и «гипербола» происходят от греческих слов, означающих «недостает», «равен» и «превосходит». Из уравнений (3), (2) и (4) ясно, что для эллипса y 2 2 /a) x, для параболы y 2 = (a) x и для гиперболы y 2 > (2b 2 /a) x. В каждом случае величина, заключенная в скобки, равна фокальному параметру кривой.

Сам Аполлоний рассматривал только три общих типа конических сечений (перечисленные выше типы 2, 3 и 9), но его подход допускает обобщение, позволяющее рассматривать все действительные кривые второго порядка. Если секущую плоскость выбрать параллельной круговому основанию конуса, то в сечении получится окружность. Если секущая плоскость имеет только одну общую точку с конусом, его вершину, то получится сечение типа 5; если она содержит вершину и касательную к конусу, то мы получаем сечение типа 8 (рис. 6,б); если секущая плоскость содержит две образующие конуса, то в сечении получается кривая типа 4 (рис. 6,а); при переносе вершины в бесконечность конус превращается в цилиндр, и если при этом плоскость содержит две образующие, то получается сечение типа 6.

Если на окружность смотреть под косым углом, то она выглядит как эллипс. Взаимосвязь между окружностью и эллипсом, известная еще Архимеду, становится очевидной, если окружность X 2 + Y 2 = a 2 с помощью подстановки X = x, Y = (a/b) y преобразовать в эллипс, заданный уравнением (3a). Преобразование X = x, Y = (ai/b) y, где i 2 = –1, позволяет записать уравнение окружности в виде (4a). Это показывает, что гиперболу можно рассматривать как эллипс с мнимой малой осью, или, наоборот, эллипс можно рассматривать как гиперболу с мнимой сопряженной осью.

Соотношение между ординатами окружности x 2 + y 2 = a 2 и эллипса (x 2 /a 2 ) + (y 2 /b 2 ) = 1 непосредственно приводит к формуле Архимеда A = p ab для площади эллипса. Кеплеру была известна приближенная формула p (a + b) для периметра эллипса, близкого к окружности, но точное выражение было получено лишь в 18 в. после введения эллиптических интегралов. Как показал Архимед, площадь параболического сегмента составляет четыре третьих площади вписанного треугольника, но длину дуги параболы удалось вычислить лишь после того, как в 17 в. было изобретено дифференциальное исчисление.

ПРОЕКТИВНЫЙ ПОДХОД

Проективная геометрия тесно связана с построением перспективы. Если начертить окружность на прозрачном листе бумаги и поместить под источником света, то эта окружность будет проецироваться на находящуюся ниже плоскость. При этом, если источник света расположен непосредственно над центром окружности, а плоскость и прозрачный лист параллельны, то проекция также будет окружностью (рис. 8). Положение источника света называется точкой схода. Она обозначена буквой V. Если V расположена не над центром окружности или если плоскость не параллельна листу бумаги, то проекция окружности принимает форму эллипса. При еще большем наклоне плоскости большая ось эллипса (проекции окружности) удлиняется, и эллипс постепенно переходит в параболу; на плоскости, параллельной прямой VP, проекция имеет вид параболы; при еще большем наклоне проекция принимает вид одной из ветвей гиперболы.

Каждой точке на исходной окружности соответствует некоторая точка на проекции. Если проекция имеет вид параболы или гиперболы, то говорят, что точка, соответствующая точке P, находится в бесконечности или бесконечно удалена.

Когда точка P приближается к коническому сечению, поляра стремится занять положение касательной; если точка P лежит на коническом сечении, то ее поляра совпадает с касательной к коническому сечению в точке P. Если точка P расположена внутри конического сечения, то построить ее поляру можно следующим образом. Проведем через точку P любую прямую, пересекающую коническое сечение в двух точках; проведем касательные к коническому сечению в точках пересечения; предположим, что эти касательные пересекаются в точке P₁. Проведем через точку P еще одну прямую, которая пересекается с коническим сечением в двух других точках; допустим, что касательные к коническому сечению в этих новых точках пересекаются в точке P₂ (рис. 10). Прямая, проходящая через точки P₁ и P₂, и есть искомая поляра p. Если точка P приближается к центру O центрального конического сечения, то поляра p удаляется от O. Когда точка P совпадает с O, то ее поляра становится бесконечно удаленной, или идеальной, прямой на плоскости. См. также ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ

Эллипс, как заметил Н.Коперник (1473–1543), можно построить с помощью эпициклического движения. Если окружность катится без скольжения по внутренней стороне другой окружности вдвое большего диаметра, то каждая точка P, не лежащая на меньшей окружности, но неподвижная относительно нее, опишет эллипс. Если точка P находится на меньшей окружности, то траектория этой точки представляет собой вырожденный случай эллипса – диаметр большей окружности. Еще более простое построение эллипса было предложено Проклом в 5 в. Если концы A и B отрезка прямой AB заданной длины скользят по двум неподвижным пересекающимся прямым (например, по координатным осям), то каждая внутренняя точка P отрезка опишет эллипс; нидерландский математик Ф. ван Схотен (1615–1660) показал, что любая точка в плоскости пересекающихся прямых, неподвижная относительно скользящего отрезка, также опишет эллипс.

Б.Паскаль (1623–1662) в 16 лет сформулировал ныне знаменитую теорему Паскаля, гласящую: три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в любое коническое сечение, лежат на одной прямой. Из этой теоремы Паскаль вывел более 400 следствий.

Источник

• ← что такое берди в гольфе
• коэффициенты в осаго что это →