что такое комплексные корни

Комплексные числа

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

Аналогично выполним вычитание чисел:

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$

Записываем в тригонометрическом виде:

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №41. Извлечение корня из комплексного числа.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие корня из комплексного числа;

2) алгоритмы извлечения корня из комплексного числа;

3) пример извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме.

Определение. Корнем n-ой степени из комплексного числа ω называется комплексное число z такое, что zn=ω. Множество всех корней n-ой степени из ω обозначается через .

Теорема. Уравнение z n =ω, где ω- комплексное число, n- натуральное, имеет ровно n различных комплексных корней.

Все n корней z_k лежат на оркужности радиусом с центом в начале кооринат; они делят окружность на n дуг величиной каждая и являются вершинами вписанного в нее правильного n-угольника.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение. Корнем n-ой степени из комплексного числа ω называется комплексное число z такое, что zn=ω. Множество всех корней n-ой степени из ω обозначается через .

Теорема. Уравнение z n =ω, где ω- комплексное число, n- натуральное, имеет ровно n различных комплексных корней.

Доказательство. Пусть ω=|ω|∙(cosφ+isinφ), число z будем искать в виде

Преобразуем уравнение z n =ω, используя формулу Муавра:

Отсюда вытекают равенства:

|z| n =|ω|, nζ= θ+2πk, k- целое,

Из которых для модуля искомого корня получается определенное значение , тогда как его аргумент , k- целое, может принимать различные значения при разных k. При этом значениям k= 0, 1, 2, …, n-1 соответствуют различные значения корня, а при k= n значение корня совпадает с его значением при k=0. При k=n+1 получим значение корня, что и при k=1, и т.д.

Таким образом, число различных значений корня равно n- это

, где k=0, 1, 2,…, n-1 что и требовалось доказать.

Все n корней z_k лежат на оркужности радиусом с центом в начале кооринат; они делят окружность на n дуг величиной каждая и являются вершинами вписанного в нее правильного n-угольника.

Пример 1. Найдите все корни n-ой степени из действительного числа x>0.

Решение. Если х- положительное действительное число, то |x|=x, θ=arg x=0. Формула корней в этом случае дает ответ:

, где k=0, 1, 2,…, n-1.

При k=0 получим – это арифметический корень. При четном n=2m имеется еще один дейсвтиельный корень., получающийся при k=m. (ζ= arg z_m=π):

Корни n-ой степени из 1 часто обозначают через ε_k, k= 0, 1, 2, …, n-1. Согласно предыдущему примеру:

Пример 2. Вычислите корни третьей степени из комплексного числа 2+2i.

Решение: Найдем тригонометрическую форму данного числа:

По формуле корней из комплексного числа имеем:

, где k пробегает значения 0, 1, 2. Запишем полученные корни:

Используя формулы для косинуса и синуса разности углов, получаем:

Немного иначе извлекаются корни из комплексных чисел, аргумент которых не приводится к виду , где m, n – целые числа.

Пример 3. Найдите

Решение. Пусть ω=3+4i. Положим φ=arg ω.

, тогда ω=5(cosφ+isinφ), где , .

Следовательно, , где k=0, 1.

Найдем и , используя формулу двойного угла:

, откуда , ; тогда , Угол φ лежит в первой четверти, а следовательно, и угол тоже, поэтому Тогда

Ответ:

Пример 4. Выполнить операцию извлечения корня z 3 для заданных комплексных чисел в алгебраической форме представления: .

Решение: Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=r(cosφ+i⋅sinφ). По условию . Вычислим модуль исходного комплексного числа:

Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):. Подставим полученные значения и получим:

Для k=0 получаем:

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: множественный выбор

Найдите

Выберите верные ответы из предложенных:

Решение. Пусть ω=3-4i. Положим φ=arg ω.

, тогда ω=5(cosφ+isinφ), где , .

Следовательно, , где k=0, 1.

Найдем и , используя формулу двойного угла:

, откуда , ; тогда , Угол φ лежит в первой четверти, а следовательно, и угол тоже, поэтому Тогда

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Источник

Комплексные числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости

Аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ справедливы неравенства:

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Тогда оказывается справедливым равенство:

(3)

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение числа z	Знаки x и y	Главное значение аргумента	Аргумент	Примеры
Положительная вещественная полуось
Положительная мнимая полуось
Второй квадрант
Отрицательная вещественная полуось	Положительная вещественная полуось
Знаки x и y
Главное значение аргумента	0
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

Главное
значение
аргументаАргументПримерыГлавное
значение
аргументаАргументПримерыГлавное
значение
аргументаАргументПримеры

x zТретий
квадрантЗнаки x и y

x zОтрицательная
мнимая
полуосьЗнаки x и y

y zЧетвёртый
квадрантЗнаки x и y

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

следствием которых являются равенства

(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

(10)

то по формуле (10) получаем:

Источник