что такое компланарный граф

Основные определения теории графов

Содержание

Ориентированные графы [ править ]

Инцидентность (англ. incidence) — понятие, используемое только в отношении ребра и вершины. Две вершины или два ребра не могут быть инцидентны.

Заметим, что по определению ориентированного графа, данному выше, любые две вершины [math]u,

Данное определение разрешает соединять вершины более чем одним ребром. Такие рёбра называются кратными (иначе — параллельные, англ. multi-edge, parallel edge). Граф с кратными рёбрами принято называть мультиграфом (англ. multigraph). Если в мультиграфе присутствуют петли, то такой граф называют псевдографом (англ. pseudograph).

Источник

Теория Графов. Часть 1 Введение и классификация графов

«Графы являются одним из объединяющих понятий информатики – абстрактное представление, которое описывает организацию транспортных систем, взаимодействие между людьми и телекоммуникационные сети. То, что с помощью одного формального представления можно смоделировать так много различных структур, является источником огромной силы для образованного программиста». Стивен С. Скиена

Введение

Сначала под землей города Москвы ничего не было. Потом была построена первая станция метро, а затем и вторая и третья. Образовалось множество станций метро. На карту было занесено множество точек. Позже между станциями стали прокладывать пути линии. И соединилась станция метро А со станцией метро Б. Все остальные станции также стали соединятся друг с другом и на карте появилось множество линий. В итоге мы имеем Московский метрополитен очень красивый, я там был проверял.

Схема Московского метро

Посмотрите какая красота. У нас имеется множество точек (которые называются вершинами или узлами), а также множество линий (называемые рёбрами или дугами). Обозначим множество вершин буквой V от английского vertex−вершина и множество рёбер обозначим E от английского edge−ребро. Граф в формулах именуют буквой G. Все вершины обязательно должны быть идентифицированы.

Отмечу, что число вершин обозначается буквой n:

Число рёбер обозначается буквой m:

Таким образом граф задается и обозначается парой V,E:

Также определение графа рассказывается в этой статье на Хабре (https://habr.com/ru/post/65367/)

Неформально граф является совокупностью точек и линий. Линии в котором задаются парой вершин, расположенных не важно в каком порядке.

Разберем определение графа подробней. Может ли в G быть пустым множество E? Да без проблем! Такой граф будет называться нулевым, а вершины в нем будут называться изолированными.

Нулевой граф

Только вот множество V вершины пустым быть не может. Ведь множество E рёбра задается парой неупорядоченных вершин множества V. Две вершины образующие ребро, называются концами этого ребра.

Множество E задается парой неупорядоченных вершин множества V.

Пример: Пусть множество V = <1,2,3,4,5>. Тогда множество E =

Граф будет выглядеть следующим образом:

Висячей вершиной называется вершина которая соединена только с одной соседней вершиной. В нашем случаи висячей вершиной будет вершина 5, так как она соединена только с вершиной 1.

Степень записывают, как:

Максимальная степень, то есть какое количество степеней вообще присутствуют в графе обозначаются, как:

Формула суммы степеней для G = V,E выглядит так:

То есть сумма степеней всех вершин v графа равна удвоенному количеству его рёбер E. Считаем количество степеней в нашем примере. От этого никуда не денешься. Я насчитал 12. А теперь считаем, сколько у нас рёбер. Их 6! Умножаем на 2 и получаем 12. Совпадение? Не думаю!

А давайте представим наш граф в другом виде, но с сохранением данных пар. G теперь имеет следующий вид:

Заметьте я не изменил пары между собой. Вершина 4 также соединяется с вершиной 3, а у вершины 1 степень также осталась 4. Так почему граф имеет совершенно другой вид и законно ли это?

Классификации графов

Первым признаком классификации является отсутствие или наличие ориентации у ребер.

Ребро является неориентированным если у него нет понятия начала или конца. То есть оба его конца равноправны. Такой граф называется неориентированным, обыкновенным или неографом.

Неориентированный граф

Ориентированное ребро обозначается стрелкой. И указывает ориентацию от вершины к вершине. То есть данный граф имеет начало и конец. И называется он ориентированным или орграфом.

Ориентированный граф

Также существует граф со смешанными ребрами. Это когда в графе присутствуют, как ориентированные рёбра, так и неориентированные.

Смешанный граф

Вторым признаком является отсутствие или наличие кратных ребер.

Мультиграф

Граф в котором кратных ребер нет, является простым графом. В простом графе мы просто называем пару вершин для идентификации ребра, но в мультиграфе такое уже не сработает, так как одна и та же пара вершин будет указывать на два ребра и не понятно что к чему будет относится. Поэтому если вы повстречаете мультиграф, то вы должны обозначить каждое ребро отдельно.

Заключение

В данной стать я не рассмотрел, понятия смежности и инцидентности, однако я решил их рассмотреть в следующий раз. Также хочу отметить, что более подробно виды графов, я буду рассматривать в следующих статьях. Если у вас есть вопросы, предложения или я где-то допустил ошибки, то прошу написать их в комментариях.

Источник

Компланарные векторы и условие компланарности

В данной статье мы рассмотрим такие темы, как:

Определение компланарных векторов

Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости.

Два любых вектора всегда компланарны, поскольку всегда можно найти плоскости параллельные 2-м произвольным векторам.

Условия компланарности векторов

Примеры решения задач на компланарность векторов

Исследуем на компланарность векторы

Как решить?

Векторы будут являться компланарными, если их смешанное произведение равно нулю, поэтому вычисляем смешанное произведение заданных векторов. Для этого составляем определитель, по строкам которого записываются координаты векторов-сомножителей:

Отсюда следует, что смешанное произведение не равняется нулю, поэтому векторы не являются компланарными.

Ответ: векторы не являются компланарными.

Докажем, что три вектора

Как решить?

Находим смешанное произведение данных векторов:

Из данного примера видно, что смешанное произведение равняется нулю.

Ответ: векторы являются компланарными.

Проверим, компланарны ли векторы

Как решить?

Необходимо найти количество линейно независимых векторов: записываем значения векторов в матрицу и выполняем элементарные преобразования:

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 4-ой вычитаем 1-ю, умноженную на 3:

К 3-ей строке прибавляем 2-ю:

Поскольку в матрице только две ненулевые строки, делаем вывод, что среди них всего два линейно независимых вектора.

Ответ: векторы являются компланарными, поскольку среди них всего два линейно независимых вектора.

Источник

Хроматическое число планарного графа

Содержание

Раскраска в 6 цветов [ править ]

Докажем по индукции.

Если граф содержит не более [math]6[/math] вершин, то очевидно, что [math] \chi (G) \leqslant 6.[/math]

Предположим, что для планарного графа с [math]N[/math] вершинами существует раскраска в [math]6[/math] цветов. Докажем то же для графа с [math] N+1 [/math] вершиной.

Вернём удалённую вершину и покрасим её в цвет, не встречающийся среди смежных ей вершин (ведь «занято» максимум [math]5[/math] цветов). Индукционный переход доказан.[math]\triangleleft[/math]

Раскраска в 5 цветов [ править ]

Обозначим за [math] u [/math] — возвращаемую вершину, [math] v^ <(k)>[/math] — вершину, покрашенную в [math] k [/math] цвет.

Иначе, уложим полученный после удаления [math] u [/math] граф на плоскость, вернём вершину [math] u [/math] (пока бесцветную) и пронумеруем цвета в порядке обхода смежных вершин по часовой стрелке.

Заметим, что не удаётся составить подобное доказательство для раскраски в четыре цвета, поскольку здесь наличие двух вершин одного цвета среди смежных [math] u [/math] не исключает того, что при их (смежных вершин) раскраске использовались все возможные цвета.

Раскраска в 4 цвета [ править ]

Теорема о четырёх красках была доказана в [math]1976[/math] году Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном из Иллинойского университета. Это была первая крупная математическая теорема, доказанная с помощью компьютера. Первым шагом доказательства была демонстрация того, что существует определенный набор из [math]1936[/math] карт, ни одна из которых не может содержать карту меньшего размера, которая опровергала бы теорему. Аппель и Хакен использовали специальную компьютерную программу, чтобы доказать это свойство для каждой из [math]1936[/math] карт. Доказательство этого факта заняло сотни страниц. После этого Аппель и Хакен пришли к выводу, что не существует наименьшего контрпримера к теореме, потому что иначе он должен бы содержать, хотя не содержит, какую-нибудь из этих [math]1936[/math] карт. Это противоречие говорит о том, что вообще не существует контрпримера. Изначально доказательство не было принято всеми математиками, поскольку его невозможно было проверить вручную. В дальнейшем оно получило более широкое признание, хотя у некоторых долгое время оставались сомнения.

Чтобы развеять оставшиеся сомнения, в [math]1997[/math] году Робертсон, Сандерс, Сеймур и Томас опубликовали более простое доказательство, использующее аналогичные идеи, но по-прежнему проделанное с помощью компьютера. Кроме того, в [math]2005[/math] году доказательство было проделано Джорджсом Гонтиром с использованием специализированного программного обеспечения (Coq v7.3.1)

Эквивалентные формулировки [ править ]

В теории графов утверждение теоремы четырёх красок имеет следующие формулировки:

Ложное доказательство [ править ]

Карта(слева) окрашена пятью цветами, и нужно изменить как минимум [math]4[/math] из [math]10[/math] регионов, чтобы получить окраску в четыре цвета(справа)

Источник

Алгоритмы на графах — Часть 0: Базовые понятия

Как оказалось тема алгоритмов интересна Хабра-сообществу. Поэтому я как и обещал, начну серию обзоров «классических» алгоритмов на графах.
Так как публика на Хабре разная, а тема интересна многим, я должен начать с нулевой части. В этой части я расскажу что такое граф, как он представлен в компьютере и зачем он используется. Заранее прошу прощения у тех кто это все уже прекрасно знает, но для того чтобы объяснять алгоритмы на графах, нужно сначала объяснить что такое граф. Без этого никак.

В математике, Граф — это абстрактное представление множества объектов и связей между ними. Графом называют пару (V, E) где V это множество вершин, а E множество пар, каждая из которых представляет собой связь (эти пары называют рёбрами).
Граф может быть ориентированным или неориентированным. В ориентированном графе, связи являются направленными (то есть пары в E являются упорядоченными, например пары (a, b) и (b, a) это две разные связи). В свою очередь в неориентированном графе, связи ненаправленные, и поэтому если существует связь (a, b) то значит что существует связь (b, a).

Неориентированный граф: Соседство (в жизни). Если (1) сосед (3), то (3) сосед (1). См рис. 1.а

Ориентированный граф: Ссылки. Сайт (1) может ссылаться на сайт (3), но совсем не обязательно (хотя возможно) что сайт (3) ссылается сайт (1). См рис. 1.б

Путь в графе это конечная последовательность вершин, в которой каждые две вершины идущие подряд соединены ребром. Путь может быть ориентированным или неориентированным в зависимости от графа. На рис 1.а, путем является например последовательность [(1), (4), (5)] на рис 1.б, [(1), (3), (4), (5)].

У графов есть ещё много разных свойств (например они могут быть связными, двудольными, полными), но я не буду описывать все эти свойства сейчас, а в следующих частях когда эти понятия понадобятся нам.

Представление графов

Существует два способа представления графа, в виде списков смежности и в виде матрицы смежности. Оба способа подходят для представления ориентированных и неориентированных графов.

Матрица смежности
Этот способ является удобным для представления плотных графов, в которых количество рёбер (|E|) примерно равно количеству вершин в квадрате (|V| 2 ).
В данном представлении мы заполняем матрицу размером |V| x |V| следущим образом:
A[i][j] = 1 (Если существует ребро из i в j)
A[i][j] = 0 (Иначе)
Данный способ подходит для ориентированных и неориентированных графов. Для неориентированных графов матрица A является симметричной (то есть A[i][j] == A[j][i], т.к. если существует ребро между i и j, то оно является и ребром из i в j, и ребром из j в i). Благодаря этому свойству можно сократить почти в два раза использование памяти, храня элементы только в верхней части матрицы, над главной диагональю)
Понятно что с помощью данного способа представления, можно быстро проверить есть ли ребро между вершинами v и u, просто посмотрев в ячейку A[v][u].
С другой стороны этот способ очень громоздкий, так как требует O (|V| 2 ) памяти для хранения матрицы.

На рис. 2 приведены представления графов из рис. 1 с помощью матриц смежности.

Списки смежности
Данный способ представления больше подходит для разреженных графов, то есть графов у которых количество рёбер гораздо меньше чем количество вершин в квадрате (|E| 2 ).
В данном представлении используется массив Adj содержащий |V| списков. В каждом списке Adj[v] содержатся все вершины u, так что между v и u есть ребро. Память требуемая для представления равна O (|E| + |V|) что является лучшим показателем чем матрица смежности для разреженных графов.
Главный недостаток этого способа представления в том, что нет быстрого способа проверить существует ли ребро (u, v).

На рис. 3 приведены представления графов из рис. 1 с помощью списков смежности.

Применение

Те кто дочитал до этого места, наверное задали себе вопрос, а где же собственно я смогу применить графы. Как я и обещал я буду стараться приводить примеры. Самый первый пример который приходит в голову это социальная сеть. Вершинами графа являются люди, а ребрами отношения (дружба). Граф может быть неориентированным, то есть я могу дружить только с теми кто дружит со мной. Либо ориентированным (как например в ЖЖ), где можно добавить человека в друзья, без того чтобы он добавлял вас. Если же он да добавит вас вы будете «взаимными друзьями». То есть будет существовать два ребра: (Он, Вы) и (Вы, Он)
Ещё одно из применений графа, которое я уже упоминал это ссылки с сайта на сайт. Представим Вы хотите сделать поисковую систему и хотите учесть на какие сайты есть больше ссылок (например сайт A), при этом учитывать сколько сайтов ссылается на сайт B, который ссылается на сайт A. У вас будет матрица смежности этих ссылок. Вы захотите ввести какую то систему подсчёта рейтинга, которая делает какие то подсчёты на этой матрице, ну, а дальше… это Google (точнее PageRank) =)

Заключение

Это небольшая часть теории которая понадобится нам чтобы для следующих частей. Надеюсь вам было понятно, а главное понравилось и заинтересовало читать дальнейшие части! Оставляйте свои отзывы и пожелания в комментариях.

В следующей части

BFS — Алгоритм поиска в ширину

Библиография

Кормен, Лайзерсон, Риверст, Штайн — Алгоритмы. Построение и анализ. Издательство Вильямс, 2007.
Словарь терминов теории графов
Граф — статья в английской Википедии

Статья это кросс-пост из моего блога — «Programing as is — записки программиста»

Источник