что такое компланарные векторы
Компланарные векторы и условие компланарности
В данной статье мы рассмотрим такие темы, как:
Определение компланарных векторов
Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости.
Два любых вектора всегда компланарны, поскольку всегда можно найти плоскости параллельные 2-м произвольным векторам.
Условия компланарности векторов
Примеры решения задач на компланарность векторов
Исследуем на компланарность векторы
Как решить?
Векторы будут являться компланарными, если их смешанное произведение равно нулю, поэтому вычисляем смешанное произведение заданных векторов. Для этого составляем определитель, по строкам которого записываются координаты векторов-сомножителей:
Отсюда следует, что смешанное произведение не равняется нулю, поэтому векторы не являются компланарными.
Ответ: векторы не являются компланарными.
Докажем, что три вектора
Как решить?
Находим смешанное произведение данных векторов:
Из данного примера видно, что смешанное произведение равняется нулю.
Ответ: векторы являются компланарными.
Проверим, компланарны ли векторы
Как решить?
Необходимо найти количество линейно независимых векторов: записываем значения векторов в матрицу и выполняем элементарные преобразования:
Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 4-ой вычитаем 1-ю, умноженную на 3:
К 3-ей строке прибавляем 2-ю:
Поскольку в матрице только две ненулевые строки, делаем вывод, что среди них всего два линейно независимых вектора.
Ответ: векторы являются компланарными, поскольку среди них всего два линейно независимых вектора.
Компланарность векторов. Условия компланарности векторов.
 |
| рис. 1 |
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.
Условия компланарности векторов
Примеры задач на компланарность векторов
Решение: найдем смешанное произведение векторов
Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.
Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования
 | 1 | 1 | 1 |  |
| 1 | 2 | 0 | ||
| 0 | -1 | 1 | ||
| 3 | 3 | 3 |
из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3
к 3-тей строке добавим 2-рую
Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок №18. Компланарные векторы. Векторный метод решения задач
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— какие векторы называются компланарными и их изображение на чертежах
-определение компланарных векторов.
— признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда, сложение трех некомпланарных векторов.
— основы векторного метода решения задач.
Ершова А.П., Голобородько В.В., Крижановский А.Ф. Тетрадь-конспект по геометрии для 10 класса. 2016. С.88-93.
Теоретический материал для самостоятельного изучения:
Давайте вспомним основные определения по теме «Векторы». В этом поможет следующее задание: установите соответствие между понятием и его определением.
Противоположно направлены и их длины равны.
Сонаправлены и их длины равны.
Лежат на одной или параллельных прямых
Определение2.Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Рассмотрим некоторые случаи:
1 случай. Любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них
можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести
единственную плоскость.
2 случай. Три вектора будут компланарными если среди них есть пара коллинеарных
векторов. Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему
можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко
изобразить равный в этой плоскости.
3 случай. Если хотя бы один из трёх векторов является нулевым, то эти три вектора компланарны
Из планиметрии: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Часть 2. Векторный метод решения задач
Векторный метод решения задач – один из наиболее общих методов решения геометрических задач. Векторное решение стереометрических задач значительно проще их решения средствами элементарной геометрии.
Рассмотрим следующую задачу: Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.
Докажем, что точка О лежит на прямой МN.
Условие задачи переводится на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык.
Решением задач векторным методом занимались ученые: Уильман Гамильтон Иога́нн Берну́лли, Пьер Ферма, Рене Декарт, Леонард Эйлер.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:
Задача. В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 М —точка пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, точка K — середина ребра ВВ1. Докажите, что прямые А1В1, KМ и ВС1 параллельны некоторой плоскости.
Решение. Введем векторы: 
. Векторы 
некомпланарны.
Разложим векторы 
и 
по векторам
. Получим:
+
= 
.
Тогда векторы 
= 
+ 
компланарны. Следовательно, они параллельны некоторой плоскости, тогда этой плоскости параллельны и прямые А1В1, KМ и ВС1.
Общие сведения
Под вектором в математике принято понимать линию, которая имеет начало и конец. Иными словами, это отрезок. При этом имеет значение его направление, то есть знание начальной точки и конечной. Расположение векторов в пространстве или на плоскости определяется их координатами. Они соответствуют проекциям отрезка на координатные оси.
Над отрезками можно выполнять различные действия. Их можно между собой складывать или вычитать, умножать на произвольное число, находить произведение. Последнее может быть скалярным или смешанным. Немаловажным параметром является и длина вектора. Находят её путём вычитания из конечных координат начальных. Если векторов несколько, то на их базе строят геометрические фигуры, с помощью которых находят нужные параметры.
Все векторы разделяют по расположению в пространстве на следующие виды:
Изображение геометрической проекции отрезков на координатных осях называют расположением по базису. За него чаще всего выбирают координатные орды. При исследовании свойств вначале выполняют графическое изображение, а после переходят к алгебраическому расчёту. Это очень удобно и применяется повсюду.
Обозначают вектор двумя заглавными буквами, символизирующими начальную точку и конечную, а сверху ставится стрелочка или риска. Кроме этого отрезок часто обозначают и просто маленькой латинской буквой с чёрточкой. Например, AB или a.
Отрезки на плоскости
Условия, при которых отрезки являются компланарными, изучают в одиннадцатом классе средней школы на уроках геометрии. Так как на одной плоскости условие критерия всегда выполняется, то рассматривается их положение в пространстве. Согласно определению, векторы называются компланарными, если при откладывании их от произвольной точки они будут находиться в одной плоскости. То есть на признак не влияет длина и направление.
Для наглядности определения можно провести эксперимент. Взять три карандаша и расположить их на столе. В этом случае признак компланарности векторов выполняется, они лежат на одной плоскости. Затем параллельно ей приподнять два карандаша перпендикулярно вверх. Они так же будут являться компланарными, так как, если их отложить от одной точки, они будут всё равно лежать в одной плоскости.
Пусть имеются два вектора, a и b, направленные из одной точки. Любая третья ограниченная линия C в плоскости однозначно разлагается по этим неколлинеарным отрезкам: c = xa + yb. Это соотношение берётся из геометрического построения. Если из конца отрезка C опустить линию, параллельную b, а вектор a продлить до пересечения с ней в точке D, то образуется треугольник и отрезок AD коллинеарный a (AD||a). Это обозначает, что существует число икс, при котором получается новый отрезок: AD = xa.
Теперь из точки C нужно провести прямую параллельную AD и рассмотреть вектор AB в нарисованном параллелограмме. Получается, что он параллелен b (AB||b). А это может быть только тогда, когда существует такое число игрек, что оно, умноженное на число b, даст в точности отрезок AB. Отсюда следует, что в плоскости к любому третьему вектору можно применить разложение единственным образом.
Если вектор C можно разложить по линиям a и b, то есть записать как c = xa + yb, где x и y конкретные числа, то эти три отрезка компланарные. Это и есть условие компланарности векторов с простым его доказательством.
Действительно, если рассмотреть чертёж, то можно явно увидеть, что все три линии a, b, c лежат в одной плоскости, образованной их направлениями. Иными словами, три линии, имеющие начало и конец, будут компланарными при условии, что среди них есть пара коллинеарных отрезков. Тогда через коллинеарный и неколлинеарный вектор можно пропустить плоскость, и оставшийся отрезок перенести на неё.
Компланарность в пространстве
Пусть имеются три ограниченных линии в пространстве. Из них можно построить параллелепипед, имеющий общую точку O. Если на плоскости сумма отрезков ищется по правилу треугольника или параллелограмма, то в пространстве используется теорема о многоугольнике. На чертеже следует изобразить диагональ, обозначив её конечную точку буквой F.
Диагональная линия OF по правилу параллелепипеда будет находиться как сумма образующих отрезков: OF = a + b + c. Если в плоскости имеются два неколлинеарных вектора, то можно владеть линиями, принадлежащими ей, то есть третий вектор однозначно разлагается по этим коллинеарным отрезкам. В пространстве же нужны для этого три некомпланарные ограниченные линии.
Это значит, что, если их отложить, они не будут лежать в одной плоскости. Отсюда следует прямая зависимость с четвёртым отрезком, находящимся в пространстве. Она заключается в том, что он однозначно разлагается по трём некомпланарным линиям.
Этот принцип описывается теоремой: любой четвёртый вектор в пространстве будет равняться сумме трёх отрезков, каждый из которых умножен на конкретное число. Равенство записывают в виде формулы: p = xa + yb + xc. При этом если отрезок можно представить как сложение трёх линий в пространстве, то говорят о его разложении, а числа, используемые в записи, называют коэффициентами разложения. Это необходимое условие для выполнения теоремы.
Для доказательства необходимо построить четыре отрезка. Причём a, b, c будут не компланарными, а четвёртая линия будет произвольной в пространстве. Все векторы отложены от одной точки. Выходящие из одной точки a и b образуют плоскость. Из конечной точки P можно опустить перпендикуляр на ось b, тем самым построив прямоугольник. Точка соприкосновения с осью пусть будет P1. Тогда PP1 = zC. Это следует из коллинеарности. Так как P = OP1 + PP1, а OP1 = xa + yb, то, подставив эти выражения линейных комбинаций, можно записать, что P = xa + yb + zc.
Можно утверждать, если существуют такие числа x, y, z, то любую линию, имеющую начало и конец, можно разложить в линейную комбинацию по трём векторам. При этом такое разложение единственное. Проверить это утверждение достаточно просто, если идти от обратного.
Необходимое условие
При решении заданий обязательно нужно понимать, как можно проверить компланарность векторов. Для этого используется понятие смешанного произведения.
Следует рассмотреть векторное произведение отрезков a и b. По сути, это есть некий отрезок, который можно скалярно умножить на вектор c. При таком умножении в ответе должно получиться число (скаляр). Поэтому произведение вида (a x b) * c имеет конкретное численное значение. Такое произведение и называется смешанным.
Пусть имеются векторы с однозначными координатами:
Тогда смешанное произведение можно найти как определитель третьего порядка. Полученное вычисление очень важно, так как по полученному ответу можно судить о компланарности. Если смешанное произведение равняется нулю — векторы компланарны. В ином случае они некомпланарные и говорят, что они образуют базис пространства. Отсюда следует, что необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов является то, что смешанное их произведение равняется нулю a x b * c = 0.
Решение задачи
Теоретические аспекты любой темы лучше всего понимаются при наглядном их использовании. Поэтому важное место в геометрии и аналитической математике занимают практические задания. Вот пример одной из задач, для решения которой достаточно знать свойства компланарности отрезков и разложение по базису.
Для этого на первом шаге нужно найти смешанное произведение и установить соответствие компланарности. Делается это через составление определителя:
Искомое разложение имеет вид линейной комбинации отрезков: x = a * p + b * q + t * r, где a, b, t — коэффициенты разложения. Поэтому на втором шаге и нужно найти эти числа. Для того чтобы отрезок умножить на число, необходимо каждую его координату перемножить с ним:
Использование онлайн-калькулятора
Проверка на условие компланарности обычно не вызывает трудностей в решении примеров из школьного курса. Но на практике, особенно физикам, приходится сталкиваться с большими числами, при этом часто в системе уравнений стоят дробные члены. Поэтому при сложных расчётах благоразумно будет использовать автоматические решатели.
Это такие онлайн-сервисы, которые предоставляют услуги по вычислению различных математических параметров. От пользователя требуется лишь точно ввести в предложенную форму исходные данные и нажать кнопку «Вычислить». Система автоматически рассчитает ответ и выдаст его на дисплей.
Из существующих онлайн-калькуляторов, предоставляющих бесплатно возможность проверки вектора на компланарность, можно выделить:
Эти сервисы доступны на русском языке. Их страницы не содержат рекламного кода. При этом интерфейс интуитивно понятен.
На всех сайтах имеется информация по проверке векторов на параллельность, компланарность и другие свойства. Поэтому даже неподготовленный пользователь сможет разобраться, откуда взялась в ответе та или иная цифра.
Для удобства пользователь может включить подробное решение. В таком случае ему будет доступно посмотреть каждое действие, связанное с решением задачи, причём с короткими комментариями. Поэтому онлайн-калькуляторы довольно востребованы как среди школьников, студентов, так и среди инженеров, выполняющих ряд сложных векторных вычислений.
Компланарные векторы
Урок 37. Геометрия 10 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Компланарные векторы»
Ранее мы ввели понятие вектора в пространстве, понятие равных векторов, правила сложения и вычитания векторов, а также произведение вектора на число.
И все теоретические аспекты векторов в пространства практически совпадают с теорией векторов на плоскости. За исключением правила многоугольника сложения нескольких векторов. Многоугольник сложения в пространстве может быть и пространственным, то есть не все его вершины лежат в одной плоскости.
Сегодня мы с вами познакомимся с существенным и одним из главных отличий векторов на плоскости и векторов в пространстве. Мы введём понятие компланарных векторов.
Определение. Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
Но в связи с тем, что от любой точки пространства можно отложить вектор равный данному, и притом только один, можно это определение переформулировать так.
Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Понятно, что любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести единственную плоскость.
Если же рассмотреть три вектора, то они могут быть как компланарными, так и некомпланарными.
Компланарными они будут в том случае, когда среди них есть пара коллинеарных векторов.
Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко изобразить равный в этой плоскости.
Так мы получаем, что два вектора всегда будут компланарными, а три вектора будут компланарными, если среди них есть пара коллинеарных векторов.
прямоугольный параллелепипед.
Компланарны ли векторы?
а) 
, 
, 
б) 
, 
, 
Первой рассмотрим тройку 
.
Через векторы и проведём плоскость ACC1.
Рассмотрим следующую тройку векторов. 
.
В этом задании мы, пользуясь определением, выяснили компланарны данные тройки векторов или нет.
Помимо определения компланарных векторов есть ещё и признак компланарности трёх векторов.
Если вектор 
можно разложить по векторам 
и 
, то есть представить его в таком виде 
, где x и y некоторые числа. То векторы , и 
компланарны.
Докажем данный признак.
Рассмотрим два неколлинеарных вектора и , отложим их от некоторой точки О. Далее проведём через них плоскость.
Очевидно, что в этой же плоскости лежат векторы x и y.
По правилу параллелограмма построим вектор суммы векторов x и y. Полученный вектор суммы равен вектору . А по рисунку становится понятно, что векторы , и действительно лежат в одной плоскости, а значит, они компланарны.
Так мы доказали признак компланарности трёх векторов. Но справедливо и обратное утверждение, которое можно считать свойством трёх компланарных векторов.
Если векторы , и компланарны, а векторы , не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Итак, воспользуемся тем, векторы компланарны, то есть лежат в одной плоскости. А из курса планиметрии известно, что любой вектор плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам. Как раз векторы и являются такими по условию.
Тогда отложим векторы , и от некоторой точки О плоскости.
Вектор равен сумме векторов 
и 
, каждый из которых коллинеарен векторам и соответственно. Опираясь на коллинеарность, можем вектор представить в виде произведения вектора и некоторого числа x, а вектор — в виде произведения вектора и некоторого числа y.
Отсюда получаем, что вектор равен сумме произведений вектора на число x и вектора на число y.
Тем самым мы смогли разложить вектор по векторам и .
Что и требовалось доказать.
Для параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 среди данных троек векторов найти компланарные.
Первой рассмотрим тройку векторов 
.
Все эти векторы коллинеарны, так как являются противоположными рёбрами параллелепипеда. А для компланарности трёх векторов достаточно коллинеарности хотя бы двух из них (в начале урока мы рассматривали такой случай). Поэтому можно утверждать, что данные векторы компланарны.
Далее рассмотрим векторы 
, 
и 
.
Векторы 
и лежат в одной плоскости, а вектор 
пересекает её. Поэтому можно сказать, что данные векторы не компланарны.
Следующей рассмотрим тройку векторов , и 
.
Среди них есть пара коллинеарных векторов, и . А значит, векторы данной тройки будут компланарны.
Осталось рассмотреть тройку векторов , и 
.
В плоскости ABCD лежит вектор . И вектор , равен вектору 
. Но для вектора в этой плоскости не найдётся равный, так как он пересекает её. Значит, векторы данной тройки не будут являться компланарными.
Так, пользуясь определением, мы нашли две тройки компланарных векторов.
Задача. 
тетраэдр. Точки 
и 
— середины сторон 
и 
. Доказать, что 
. Компланарны ли векторы 
, 
и 
?
Итак, сначала проведём доказательство.
Пользуясь правилом многоугольника сложения нескольких векторов в пространстве, можно записать, что 
. С другой стороны вектор 
.
Сложим покомпонентно эти два равенства.
Векторы 
и 
, а также 
и 
противоположны, ведь их длины равны и они противоположно направлены. А значит, каждая из этих сумм равна нулевому вектору.
Тогда мы получаем, что .
Что и требовалось доказать.
Теперь ответим на вопрос, компланарны ли векторы , и .
Разделим обе его части равенства, доказанного выше, на 2.
Так мы записали разложение вектора 
по векторам и , где оба коэффициента разложения равны 
.
Тогда по признаку компланарных векторов, данные векторы компланарны.
Подведём итоги нашего урока.
Сегодня мы ввели понятие компланарных векторов.
Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
На практике удобнее использовать такую формулировку: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Так же мы выяснили, что любые два вектора всегда компланарны, а вот три вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.
В связи с этим мы доказали признак компланарности векторов.
Если вектор можно разложить по неколлинеарным векторам и , то векторы , и 
компланарны.
Справедливо также и обратное утверждение.
Если векторы , и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.