что такое коэффициент регрессии

R — значит регрессия

Статистика в последнее время получила мощную PR поддержку со стороны более новых и шумных дисциплин — Машинного Обучения и Больших Данных. Тем, кто стремится оседлать эту волну необходимо подружится с уравнениями регрессии. Желательно при этом не только усвоить 2-3 приемчика и сдать экзамен, а уметь решать проблемы из повседневной жизни: найти зависимость между переменными, а в идеале — уметь отличить сигнал от шума.

Для этой цели мы будем использовать язык программирования и среду разработки R, который как нельзя лучше приспособлен к таким задачам. Заодно, проверим от чего зависят рейтинг Хабрапоста на статистике собственных статей.

Введение в регрессионный анализ

Основу регрессионного анализа составляет метод наименьших квадратов (МНК), в соответствии с которым в качестве уравнения регресии берется функция такая, что сумма квадратов разностей минимальна.

Карл Гаусс открыл, или точнее воссоздал, МНК в возрасте 18 лет, однако впервые результаты были опубликованы Лежандром в 1805 г. По непроверенным данным метод был известен еще в древнем Китае, откуда он перекочевал в Японию и только затем попал в Европу. Европейцы не стали делать из этого секрета и успешно запустили в производство, обнаружив с его помощью траекторию карликовой планеты Церес в 1801 г.

Вид функции , как правило, определен заранее, а с помощью МНК подбираются оптимальные значения неизвестных параметров. Метрикой рассеяния значений вокруг регрессии является дисперсия.

Линейная регрессия

Уравнения линейной регрессии можно записать в виде

В матричном виде это выгладит

Случайная величина может быть интерпретирована как сумма из двух слагаемых:

Ограничения линейной регрессии

Для того, чтобы использовать модель линейной регрессии необходимы некоторые допущения относительно распределения и свойств переменных.

Как обнаружить, что перечисленные выше условия не соблюдены? Ну, во первых довольно часто это видно невооруженным глазом на графике.

Неоднородность дисперсии

При возрастании дисперсии с ростом независимой переменной имеем график в форме воронки.

Нелинейную регрессии в некоторых случая также модно увидеть на графике довольно наглядно.

Тем не менее есть и вполне строгие формальные способы определить соблюдены ли условия линейной регрессии, или нарушены.

В этой формуле — коэффициент взаимной детерминации между и остальными факторами. Если хотя бы один из VIF-ов > 10, вполне резонно предположить наличие мультиколлинеарности.

Почему нам так важно соблюдение всех выше перечисленных условий? Все дело в Теореме Гаусса-Маркова, согласно которой оценка МНК является точной и эффективной лишь при соблюдении этих ограничений.

Как преодолеть эти ограничения

Нарушения одной или нескольких ограничений еще не приговор.

К сожалению, не все нарушения условий и дефекты линейной регрессии можно устранить с помощью натурального логарифма. Если имеет место автокорреляция возмущений к примеру, то лучше отступить на шаг назад и построить новую и лучшую модель.

Линейная регрессия плюсов на Хабре

Итак, довольно теоретического багажа и можно строить саму модель.
Мне давно было любопытно от чего зависит та самая зелененькая цифра, что указывает на рейтинг поста на Хабре. Собрав всю доступную статистику собственных постов, я решил прогнать ее через модель линейно регрессии.

Загружает данные из tsv файла.

Вопреки моим ожиданиям наибольшая отдача не от количества просмотров статьи, а от комментариев и публикаций в социальных сетях. Я также полагал, что число просмотров и комментариев будет иметь более сильную корреляцию, однако зависимость вполне умеренная — нет надобности исключать ни одну из независимых переменных.

В первой строке мы задаем параметры линейной регрессии. Строка points

. определяет зависимую переменную points и все остальные переменные в качестве регрессоров. Можно определить одну единственную независимую переменную через points

Перейдем теперь к расшифровке полученных результатов.

Можно попытаться несколько улучшить модель, сглаживая нелинейные факторы: комментарии и посты в социальных сетях. Заменим значения переменных fb и comm их степенями.

Проверим значения параметров линейной регрессии.

Проверим, соблюдены ли условия применимости модели линейной регрессии? Тест Дарбина-Уотсона проверяет наличие автокорреляции возмущений.

И напоследок проверка неоднородности дисперсии с помощью теста Бройша-Пагана.

В заключение

Конечно наша модель линейной регрессии рейтинга Хабра-топиков получилось не самой удачной. Нам удалось объяснить не более, чем половину вариативности данных. Факторы надо чинить, чтобы избавляться от неоднородной дисперсии, с автокорреляцией тоже непонятно. Вообще данных маловато для сколь-нибудь серьезной оценки.

Но с другой стороны, это и хорошо. Иначе любой наспех написанный тролль-пост на Хабре автоматически набирал бы высокий рейтинг, а это к счастью не так.

Источник

Quantitative trading for dummies. Part 1 (Линейная регрессия)

Добрый день. Решил начать цикл статей на модную нынче тему Quantitative trading / data minig / machine learning. Сегодняшняя тема будет посвящена построении модели линейной регрессии цен закрытия акций GAZP и LKOH.

Линейная регрессия представляет из себя метод регрессионного анализа, если обратиться к статье на вики, то определение регрессионного анализа звучит таким образом:
Регрессио́нный анализ — статистический метод исследования влияния одной или нескольких независимых переменных на зависимую переменную . Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных (см. Ложная корреляция), а не причинно-следственные отношения.

Чем это может дать нам, как трейдерам. Представьте что независимые переменные X1,X2. Xp (предикты) есть не что иное как стоимость акций компаний X1,X2. Xp а Y есть стоимость акий компании Y. И существует функция которая описывает стоимость актива Y. F(X1,X2. Xp)=Y, соответственно мы можем предсказать по предиктам X значение Y.

Существует множество типов регрессий, но в основе из них лежит одна и та же идея: построить модель, связывающую предсказываемое значение с исходными данными (предиктами). Простейший вариант из регрессий которых мы рассмотрим в статье — Линейная регрессия. Линейная она от того что представляет из себя линейное уравнение y=a+b*x В данной статье рассмотрим пример линейной регрессии с одним предиктом, и одной предсказываемой величиной. Такую регрессию можно нарисовать на графике X,Y. Для этого по оси абсцисс X мы отмечаем значения предиктора, а по оси ординат Y значения предсказываемой величины. В качестве предикта я буду использовать цену закрытия GAZP а в качестве предсказываемой величины цену закрытия LKOH. Таким образом наше уравнение сводится к виду LKOH.Close = GAZP.Close*b+ КОНСТАНТА, а сама задача примет вид: найти коэффициенты a и b минимизирующие величину ошибки. Если мы можем определить константу и коэффициент, то мы можем по цене GAZP предсказывать цену акции LKOH, исли возникает отклонение, то можно купить спред и на этом заработать, в теории. И так, что же такое линейная регрессия. Для начала чуть чуть теории, без нее будет сложновато, формул не будет(ну практически)!

Линия регрессии

Математическое уравнение, которое оценивает линию простой (парной) линейной регрессии:

Линия линейной регрессии, показывающая пересечение a и угловой коэффициент b (величину возрастания Y при увеличении x на одну единицу)

Мметод наименьших квадратов

Линия линейной регрессии с изображенными остатками (вертикальные пунктирные линии) для каждой точки..

Практика

Для начала нам понадобятся данные
Далее создадим вектора из цен закрытия
Построим линию регрессии

Построим модель

Сначала идет строка, которая напоминает, как строилась модель.
Затем идет информация о распределении остатков (Residuals): минимум, первая квартиль, медиана, третья квартиль, максимум. В этом месте было бы полезно не только посмотреть на некоторые квантили остатков, но и проверить их на нормальность, это очень важно! Это мы сделаем ниже.

Гипотеза линейной регрессии
Коэффициенты (1) это значения которые мы подставляем в линейное уравнение. LKOH.Close = GAZP.Close*14.84+504.49. Помимо этого R нам показывает величину ошибок или стандартное отклонение для каждого коэффициента. Нам так же интересно, объясняют ли вообще хоть что-нибудь наши коэффициенты. Чтобы проверить это, мы, выдвигаем нулевую гипотезу, что, к примеру коэффициент 504.49 является лишь результатом погрешности и его значением можно пренебречь. Для проверки такой гипотезы, используется t-критерий Стьюдента. Здесь R вычисляет как саму величину t так и степень значимости нашей гипотезы Pr(>|t|). Так, в нашем случае величина (2) 0.148 означает что мы на 100*(1-0.148) = 85.2% уверены в том, что свободный член в нашем выражении отличен от нуля.

Оценка качества линейной регрессии: коэффициент детерминации R2
Коэфицент R 2 (Multiple R-squared)(3), так же его называют коэффициентом детерминации, описывает насколько точно наша модель описывает данные, он показывает, насколько условная дисперсия модели отличается от дисперсии реальных значений Y. Чем ближе величина этих значений к 1, тем лучше. 1 это идеальный результат, означающий, что модель на 100% описывает данные. Если же коэффициент R-квадрат сильно меньше, например, меньше 0.5, то, с большой долей уверенности модель не отражает реальное положение вещей. Однако, у статистики R-квадрат есть один серьезный недостаток: при увеличении числа предикторов эта статистика может только возрастать. Поэтому, может показаться, что модель с большим количеством предикторов лучше, чем модель с меньшим, даже если все новые предикторы никак не влияют на зависимую переменную. Тут можно вспомнить про принцип бритвы Оккама. Следуя ему, по возможности, стоит избавляться от лишних предикторов в модели, поскольку она становится более простой и понятной. Для этих целей была придумана статистика скорректированный R-квадрат (Adjusted R-squared). Она представляет собой обычный R-квадрат, но со штрафом за большое количество предикторов. Основная идея: если новые независимые переменные дают большой вклад в качество модели, значение этой статистики растет, если нет — то наоборот уменьшается.

И, наконец, мы можем проверить, насколько предсказываемая величина зависит от предикторов(F-statistic). Для этого выдвигается нулевая гипотеза, что предсказываемая величина вообще не зависит от предикторов. для этой гипотезы определяется p-значение (4). В нашем случае, оно получилось равным 5.176e^-09. т.е. 99.99948%, что предсказываемая величина действительно зависит от предикторов. Обычно, имеет смысл смотреть на этот параметр в первую очередь. График чуть выше, как раз показывает наши данные и результат линейной регрессии.

Диагностика, и ошибки модели.
Чтобы модель была корректной, необходимо выполнение условий Гаусса-Маркова, т.е. ошибки должны быть гомоскедастичны с нулевым математическим ожиданием. Построим графики нашей модели, по сути все они из себя представляют модель линейной регрессии, однако в качестве данных для модели, они используют данные полученные из линейной модели ваших данных, и рассмотрим некоторые из них.

График (Residuals vs Fitted) График распределения остатков, могут быть как положительны так и отрицательны. На нем мы должны наблюдать случайно распределение остатков с нулевым средним значением. На первый взгляд остатки более-менее равномерно распределены относительно горизонтальной оси, что говорит об «отсутствие систематической связи между значениями случайного члена в любых двух наблюдениях». Однако, как мы увидим ниже, это не так! Обратите внимание, некоторые точки пронумерованы, это точки которые требуют особого внимания.

А теперь исследуем такой же график, но построенный для линейной модели, которая на самом деле не линейна:

По левому графику можем заметить что вроде бы существует линейная зависимость, но у остатков есть паттерн (оно точно не нормально распределено) так что линейная модель тут не подходит.

График (Normal Q-Q) График зависимости квантилей остатков против квантилей, которые можно было бы ожидать при условии, что остатки нормально распределены. Напомню, что одно из предположений регрессии наименьших квадратов является то, что ошибки распределены нормально. Точки на графике должны лежит максимально близко линии регрессии, некоторые отклонения можно ожидать на концах, но они должны быть небольшие, в нашем случае отклонения достаточно велики. Можем наблюдать что предложение о нормальности остатков можно опровергнуть, что говорит о некорректности модели.

Заключение. Статья получилась гораздо больше чем ожидал в начале. Данный материал может существенно помочь вам в парном трейдинге. Надеюсь статья была вам полезна. Что же дальше? Думаю продолжить с темами корреляции и коинтеграции, если же конечно данная статья вызовет хоть какой-нибудь интерес.

Источник

Что такое коэффициент регрессии

Регрессионный анализ позволяет приближенно определить форму связи между результативным и факторными признаками, а также решить вопрос о том, значима ли эта связь. Вид функции, с помощью которой приближенно выражается форма связи, выбирают заранее, исходя из содержательных соображений или визуального анализа данных. Математическое решение задачи основано на методе наименьших квадратов.

В вычислительном аспекте метод наименьших квадратов сводится к составлению и решению системы так называемых нормальных уравнений. Исходным этапом для этого является подбор вида функции, отображающей статистическую связь.

Тип функции в каждом конкретном случае можно подобрать путем прикидки на графике исходных данных подходящей, т. е. достаточно хорошо приближающей эти данные, линии. В нашем случае связь между сбором хлеба на душу и величиной посева на душу может быть изображена с помощью прямой линии ( рис. 14 ) и записана в виде

где у—величина сбора хлеба на душу (результативный признак или зависимая переменная); x—величина посева на душу (факторный признак или независимая переменная); a o и a 1 — параметры уравнения, которые могут быть найдены методом наименьших квадратов.

Для нахождения искомых параметров нужно составить систему уравнений, которая в данном случае будет иметь вид

Полученная система может быть решена известным из школьного курса методом Гаусса. Искомые параметры системы из двух нормальных уравнений можно вычислить и непосредственно с помощью последовательного использования нижеприведенных формул:

Пример 9. Найдем уравнение линейной связи между величиной сбора хлеба (у) и размером посева (х) по данным табл. 4. Проделав необходимые вычисления, получим из (6.17):

Таким образом, уравнение связи, или, как принято говорить, уравнение регрессии, выглядит следующим образом:

Интерпретация коэффициента регрессии. Уравнение регрессии не только определяет форму анализируемой связи, но и показывает, в какой степени изменение одного признака сопровождается изменением другого признака.

Коэффициент при х, называемый коэффициентом регрессии, показывает, на какую величину в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на единицу.

В примере 9 коэффициент регрессии получился равным 24,58. Следовательно, с увеличением посева, приходящегося на душу, на одну десятину сбор хлеба на душу населения в среднем увеличивается на 24,58 пуда.

Средняя и предельная ошибки коэффициента регрессии. Поскольку уравнения регрессии рассчитываются, как правило, для выборочных данных, обязательно встают вопросы точности и надежности полученных результатов. Вычисленный коэффициент регрессии, будучи выборочным, с некоторой точностью оценивает соответствующий коэффициент регрессии генеральной совокупности. Представление об этой точности дает средняя ошибка коэффициента регрессии ( ), рассчитываемая по формуле

В формуле (6.18), в частности, формализовано очевидное положение: чем больше фактические значения отклоняются от выравненных, тем большую ошибку следует ожидать; чем меньше число наблюдений, на основе которых строится уравнение, тем больше будет ошибка.

Средняя ошибка коэффициента регрессии является основой для расчета предельной ошибки. Последняя показывает, в каких пределах находится истинное значение коэффициента регрессии при заданной надежности результатов. Предельная ошибка коэффициента регрессии вычисляется аналогично предельной ошибке средней арифметической (см. гл. 5), т. е. как t где t—величина, числовое значение которой определяется в зависимости от принятого уровня надежности.

Пример 10. Найти среднюю и предельную ошибки коэффициента регрессии, полученного в примере 9.

Для расчета прежде всего подсчитаем выравненные значения ŷ i для чего в уравнение регрессии, полученное в примере 9, подставим конкретные значения x i :

ŷ i = 17,6681 +24,5762*0,91 = 40,04 и т. д.

Таким образом, средняя ошибка коэффициента регрессии равна 2,89, что составляет 12% от вычисленного коэффициента

Задавшись уровнем надежности, равным 0,95, найдем по табл. 1 приложения соответствующее ему значение t=1,96, рассчитаем предельную ошибку 1,96*2,89=5,66 и пределы коэффициента регрессии для принятого уровня надежности ( В случае малых выборок величина t находится из табл. 2 приложения. ). Нижняя граница коэффициента регрессии равна 24,58-5,66=18,92, а верхняя граница 24,58+5,66=30,24

Средняя квадратическая ошибка линии регрессии. Уравнение регрессии представляет собой функциональную связь, при которой по любому значению х можно однозначно определить значение у. Функциональная связь лишь приближенно отражает связь реальную, причем степень этого приближения может быть различной и зависит она как от свойств исходных данных, так и от выбора вида функции, по которой производится выравнивание.

На рис. 15 представлены два различных случая взаимоотношения между двумя признаками. В обоих случаях предполагаемая связь описывается одним и тем же уравнением, но во втором случае соотношение между признаками х и у достаточно четко выражено и уравнение, по-видимому, довольно хорошо описывает это соотношение, тогда как в первом случае сомнительно само наличие сколько-нибудь закономерного соотношения между признаками. И в том, и в другом случаях, несмотря на их существенное различие, метод наименьших квадратов дает одинаковое уравнение, поскольку этот метод нечувствителен к потенциальным возможностям исходного материала вписаться в ту или иную схему. Кроме того, метод наименьших квадратов применяется для расчета неизвестных параметров заранее выбранного вида функции, и вопрос о выборе наиболее подходящего для конкретных данных вида функции в рамках этого метода не ставится и не решается. Таким образом, при пользовании методом наименьших квадратов открытыми остаются два важных вопроса, а именно: существует ли связь и верен ли выбор вида функции, с помощью которой делается попытка описать форму связи.

Чтобы оценить, насколько точно уравнение регрессии описывает реальные соотношения между переменными, нужно ввести меру рассеяния фактических значений относительно вычисленных с помощью уравнения. Такой мерой служит средняя квадратическая ошибка регрессионного уравнения, вычисляемая по приведенной выше формуле (6.19).

Пример 11. Определить среднюю квадратическую ошибку уравнения, полученного в примере 9.

Промежуточные расчеты примера 10 дают нам среднюю квадратическую ошибку уравнения. Она равна 4,6 пуда.

Варьируя виды функций для выравнивания и оценивая результаты с помощью средней квадратической ошибки, можно среди рассматриваемых выбрать лучшую функцию, функцию с наименьшей средней ошибкой. Но существует ли связь? Значимо ли уравнение регрессии, используемое для отображения предполагаемой связи? На эти вопросы отвечает определяемый ниже критерий значи-мости регрессии.

Мерой значимости линии регрессии может служить следующее соотношение:

где ŷ i —i-e выравненное значение; —средняя арифметическая значений y i ; σ y.x —средняя квадратическая ошибка регрессионного уравнения, вычисляемая по формуле (6.19); n—число сравниваемых пар значений признаков; m—число факторных признаков.

Действительно, связь тем больше, чем значительнее мера рассеяния признака, обусловленная регрессией, превосходит меру рассеяния отклонений фактических значений от выравненных.

Соотношение (6.20) позволяет решить вопрос о значимости регрессии. Регрессия значима, т. е. между признаками существует линейная связь, если для данного уровня значимости вычисленное значение F ф [m,n-(m+1)] превышает критическое значение F кр [m,n-(m+1)], стоящее на пересечении m-го столбца и [n—(m+1)]-й строки специальной таблицы ( см. табл. 4 приложения ).

Пример 12. Выясним, связаны ли сбор хлеба на душу населения и посев на душу населения линейной зависимостью.

Воспользуемся F-критерием значимости регрессии. Подставив в формулу (6.20) данные табл. 4 и результат примера 10, получим

Коэффициент детерминации. С помощью F-критерия мы Установили, что существует линейная зависимость между величиной сбора хлеба и величиной посева на душу. Следовательно, можно утверждать, что величина сбора хлеба, приходящегося на душу, линейно зависит от величины посева на душу. Теперь уместно поставить уточняющий вопрос — в какой степени величина посева на душу определяет величину сбора хлеба на душу? На этот вопрос можно ответить, рассчитав, какая часть вариации результативного признака может быть объяснена влиянием факторного признака.

Наконец, отметим, что введенный ранее, при изложении методов корреляционного анализа, коэффициент детерминации совпадает с определенным здесь показателем, если выравнивание производится По прямой линии. Но последний показатель (R 2 ) имеет более широкий спектр применения и может использоваться в случае связи, отличной от линейной ( см. § 4 данной главы ).

Пример 13. Рассчитать коэффициент детерминации для уравнения, полученного в примере 9.

Итак, уравнение регрессии почти на 78% объясняет колебания сбора хлеба на душу. Это немало, но, По-видимому, можно улучшить модель введением в нее еще одного фактора.

Случай двух независимых переменных. Простейший случай множественной регрессии. В предыдущем изложении регрессионного анализа мы имели дело с двумя признаками — результативным и факторным. Но на результат действует обычно не один фактор, а несколько, что необходимо учитывать для достаточно полного анализа связей.

В математической статистике разработаны методы множественной регрессии ( Регрессия называется множественной, если число независимых переменных, учтенных в ней, больше или равно двум. ), позволяющие анализировать влияние на результативный признак нескольких факторных. К рассмотрению этих методов мы и переходим.

Возвратимся к примеру 9. В нем была определена форма связи между величиной сбора хлеба на душу и размером посева на душу. Введем в анализ еще один фактор — уровень урожайности (см. столбец З табл. 4). Без сомнения, эта переменная влияет на сбор хлеба на душу. Но в какой степени влияет? Насколько обе независимые переменные определяют сбор хлеба на душу в черноземных губерниях? Какая из переменных — посев на душу или урожайность — оказывает определяющее влияние на сбор хлеба? Попытаемся ответить на эти вопросы.

После добавления второй независимой переменной уравнение регрессии будет выглядеть так:

Для нахождения числовых значений искомых параметров, как и в случае одной независимой переменной, пользуются методом наименьших квадратов. Он сводится к составлению и решению системы нормальных уравнений, которая имеет вид

Когда система состоит из трех и более нормальных уравнений, решение ее усложняется. Существуют стандартные программы расчета неизвестных параметров регрессионного уравнения на ЭВМ. При ручном счете можно воспользоваться известным из школьного курса методом Гаусса.

Таким образом, уравнение множественной регрессии между величиной сбора хлеба на душу населения (у), размером посева на душу (x 1 ) и уровнем урожайности (х 2 ) имеет вид:

Интерпретация коэффициентов уравнения множественной регрессии. Коэффициент при х 1 в полученном уравнении отличается от аналогичного коэффициента в уравнении примера 9.

Коэффициент при независимой переменной в уравнении простой регрессии отличается от коэффициента при соответствующей переменной в уравнении множественной регрессии тем, что в последнем элиминировано влияние всех учтенных в данном уравнении признаков.

Коэффициенты уравнения множественной регрессии поэтому называются частными или чистыми коэффициентами регрессии.

Частный коэффициент множественной регрессии при х 1 показывает, что с увеличением посева на душу на 1 дес. и при фиксированной урожайности сбор хлеба на душу населения вырастает в среднем на 28,8 пуда. Частный коэффициент при x 2 показывает, что при фиксированном посеве на душу увеличение урожая на единицу, т. е. на 1 пуд с десятины, вызывает в среднем увеличение сбора хлеба на душу на 0,33 пуда. Отсюда можно сделать вывод, что увеличение сбора хлеба в черноземных губерниях России идет, в основном, за счет расширения посева и в значительно меньшей степени—за счет повышения урожайности, т. е. экстенсивная форма развития зернового хозяйства является господствующей.

Величина коэффициентов регрессии изменяется в зависимости от единиц измерения, в которых представлены переменные. Если переменные выражены в разном масштабе измерения, то соответствующие им коэффициенты становятся несравнимыми. Для достижения сопоставимости коэффициенты регрессии исходного уравнения стандартизуют, взяв вместо исходных переменных их отношения к собственным средним квадратическим отклонениям. Тогда уравнение (6.22) приобретает вид

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (6.22), определяем стандартизованные частные коэффициенты уравнения, так называемые бета-коэффициенты, по формулам:

Вычислив бета-коэффициенты для уравнения, полученного в примере 14:

Оценка точности уравнения множественной регрессии.

Пример 15. Оценим точность полученного в примере 14 уравнения регрессии.

Воспользовавшись формулой (6.19) и данными табл. 4, вычислим среднюю квадратическую ошибку уравнения:

Оценка полезности введения дополнительной переменной. Точность уравнения регрессии тесно связана с вопросом ценности включения дополнительных членов в это уравнение.

Можно провести сравнение ошибок с помощью коэффициентов вариации

где σ f —средняя квадратическая ошибка регрессионного уравнения; —средняя арифметическая результативного признака.

Для уравнения, содержащего одну независимую переменную:

Для уравнения, содержащего две независимые переменные:

Итак, введение независимой переменной «урожайность» уменьшило среднюю квадратическую ошибку до величины порядка 7,95% среднего значения зависимой переменной.

Наконец, по формуле (6.21) рассчитаем коэффициент детерминации

Он показывает, что уравнение регрессии на 81,9% объясняет колебания сбора хлеба на душу населения. Сравнивая полученный результат (81,9%) с величиной R 2 для однофакторного уравнения (77,9%), видим, что включение переменной «урожайность» заметно увеличило точность уравнения.

Таким образом, сравнение средних квадратических ошибок уравнения, коэффициентов вариации, коэффициентов детерминации, рассчитанных до и после введения независимой переменной, позволяет судить о полезности включения этой переменной в уравнение. Однако следует быть осторожными в выводах при подобных сравнениях, поскольку увеличение R 2 или уменьшение σ и V σ не всегда имеют приписываемый им здесь смысл. Так, увеличение R 2 может объясняться тем фактом, что число рассматриваемых параметров в уравнении приближается к числу объектов наблюдения. Скажем, весьма сомнительными будут ссылки на увеличение R 2 или уменьшение σ, если в уравнение вводится третья или четвертая независимая переменная и уравнение строится на данных по шести, семи объектам.

Полезность включения дополнительного фактора можно оценить с помощью F-критерия.

Частный F-критерий показывает степень влияния дополнительной независимой переменной на результативный признак и может использоваться при решении вопроса о добавлении в уравнение или исключении из него этой независимой переменной.

Пример 16. Оценить полезность включения в уравнение регрессии дополнительной переменной «урожайность» (по данным и результатам примеров 12 и 15).

Разброс признака, объясняемый уравнением множественной регрессии и рассчитываемый как сумма квадратов разностей выравненных значений и их средней, равен 1623,8815. Разброс признака, объясняемый уравнением простой регрессии, составляет 1545,1331.

Разброс признака, регрессией не объясняемый, определяется квадратом средней квадратической ошибки уравнения и равен 10,9948 (см. пример 15).

Воспользовавшись этими характеристиками, рассчитаем частный F-критерий

С уровнем надежности 0,95 (α=0,05) табличное значение F (1,20), т. е. значение, стоящее на пересечении 1-го столбца и 20-й строки табл. 4А приложения, равно 4,35. Рассчитанное значение F ф значительно превосходит табличное, и, следовательно, включение в уравнение переменной «урожайность» имеет смысл.

Таким образом, выводы, сделанные ранее относительно коэффициентов регрессии, вполне правомерны.

Важным условием применения к обработке данных метода множественной регрессии является отсутствие сколько-нибудь значительной взаимосвязи между факторными признаками. При практическом использовании метода множественной регрессии, прежде чем включать факторы в уравнение, необходимо убедиться в том, что они независимы.

Если один из факторов зависит линейно от другого, то система нормальных уравнений, используемая для нахождения параметров уравнения, не разрешима. Содержательно этот факт можно толковать так: если факторы х 1 и x 2 связаны между собой, то они действуют на результативный признак у практически как один фактор, т. е. сливаются воедино и их влияние на изменение у разделить невозможно. Когда между независимыми переменными уравнения множественной регрессии имеется линейная связь, следствием которой является неразрешимость системы нормальных уравнений, то говорят о наличии мультиколлинеарности.

На практике вопрос о наличии или об отсутствии мультиколлинеарности решается с помощью показателей взаимосвязи. В случае двух факторных признаков используется парный коэффициент корреляции между ними: если этот коэффициент по абсолютной величине превышает 0,8, то признаки относят к числу мультиколлинеарных. Если число факторных признаков больше двух, то рассчитываются множественные коэффициенты корреляции. Фактор признается мультиколлинеарным, если множественный коэффициент корреляции, характеризующий совместное влияние на этот фактор остальных факторных признаков, превзойдет по величине коэффициент множественной корреляции между результативным признаком и совокупностью всех независимых переменных.

Самый естественный способ устранения мультиколлинеарности — исключение одного из двух линейно связанных факторных признаков. Этот способ прост, но не всегда приемлем, так как подлежащий исключению фактор может оказывать на зависимую переменную особое влияние. В такой ситуации применяются более сложные методы избавления от мультиколлинеарности ( См.: Мот Ж. Статистические предвидения и решения на предприятии. М., 1966; Ковалева Л. Н. Многофакторное прогнозирование на основе рядов динамики. М., 1980. ).

Выбор «наилучшего» уравнения регрессии. Эта проблема связана с двойственным отношением к вопросу о включении в регрессионное уравнение независимых переменных. С одной стороны, естественно стремление учесть все возможные влияния на результативный признак и, следовательно, включить в модель полный набор выявленных переменных. С другой стороны, возрастает сложность расчетов и затраты, связанные с получением максимума информации, могут оказаться неоправданными. Нельзя забывать и о том, что для построения уравнения регрессии число объектов должно в несколько раз превышать число независимых переменных. Эти противоречивые требования приводят к необходимости компромисса, результатом которого и является «наилучшее» уравнение регрессии. Существует несколько методов, приводящих к цели: метод всех возможных регрессий, метод исключения, метод включения, шаговый регрессионный и ступенчатый регрессионный методы.

Метод включения состоит в том, что в уравнение включаются переменные по степени их важности до тех пор, пока уравнение не станет достаточно «хорошим». Степень важности определяется линейным коэффициентом корреляции, показывающим тесноту связи между анализируемой независимой переменной и результативным признаком: чем теснее связь, тем больше информации о результирующем признаке содержит данный факторный признак и тем важнее, следовательно, введение этого признака в уравнение.

Процедура начинается с отбора факторного признака, наиболее тесно связанного с результативным признаком, т. е. такого факторного признака, которому соответствует максимальный по величине парный линейный коэффициент корреляции. Далее строится линейное уравнение регрессии, содержащее отобранную независимую переменную. Выбор следующих переменных осуществляется с помощью частных коэффициентов корреляции, в которых исключается влияние вошедших в модель факторов. Для каждой введенной переменной рассчитывается частный F-критерий, по величине которого судят о том, значим ли вклад этой переменной. Как только величина частного F-критерия, относящаяся к очередной переменной, оказывается незначимой, т. е. эффект от введения этой переменной становится малозаметным, процесс включения переменных заканчивается. Метод включения связан с меньшим объемом вычислений, чем предыдущие методы. Но при введении новой переменной нередко значимость включенных ранее переменных изменяется. Метод включения этого не учитывает, что является его недостатком. Модификацией метода включения, исправляющей этот недостаток, является шаговый регрессионный метод.

Рассмотренные методы предполагают довольно большой объем вычислений и практически неосуществимы без ЭВМ. Для реализации ступенчатого регрессионного метода вполне достаточно малой вычислительной техники.

Ступенчатый регрессионный метод включает в себя такую последовательность действий. Сначала выбирается наиболее тесно связанная с результативным признаком переменная и составляется уравнение регрессии. Затем находят разности фактических и выравненных значений и эти разности (остатки) рассматриваются как значения результативной переменной. Для остатков подбирается одна из оставшихся независимых переменных и т. д. На каждой стадии проверяется значимость регрессии. Как только обнаружится незначимость, процесс прекращается и окончательное уравнение получается суммированием уравнений, полученных на каждой стадии за исключением последней.

Ступенчатый регрессионный метод менее точен, чем предыдущие, но не столь громоздок. Он оказывается полезным в случаях, когда необходимо внести содержательные правки в уравнение. Так, для изучения факторов, влияющих на цены угля в Санкт-Петербурге в конце XIX— начале XX в., было получено уравнение множественной регрессии. В него вошли следующие переменные: цены угля в Лондоне, добыча угля в России и экспорт из России. Здесь не обосновано появление в модели такого фактора, как добыча угля, поскольку Санкт-Петербург работал исключительно на импортном угле. Модели легко придать экономический смысл, если независимую переменную «добыча» заменить независимой переменной «импорт». Формально такая замена возможна, поскольку между импортом и добычей существует тесная связь. Пользуясь ступенчатым методом, исследователь может совершить эту замену, если предпочтет содержательно интерпретируемый фактор.

§ 4. Нелинейная регрессия и нелинейная корреляция

Построение уравнений нелинейной регрессии. До сих пор мы, в основном, изучали связи, предполагая их линейность. Но не всегда связь между признаками может быть достаточно хорошо представлена линейной функцией. Иногда для описания существующей связи более пригодными, а порой и единственно возможными являются более сложные нелинейные функции. Ограничимся рассмотрением наиболее простых из них.

Одним из простейших видов нелинейной зависимости является парабола, которая в общем виде может быть представлена функцией (6.2):

Дает ли преимущества описание связи с помощью параболы по сравнению с описанием, построенным по гипотезе линейности? Ответ на этот вопрос можно получить, рассчитав последовательный F-критерий, как это делалось в случае множественной регрессии (см. пример 16).

На практике для изучения связей используются полиномы более высоких порядков (3-го и 4-го порядков). Составление системы, ее решение, а также решение вопроса о полезности повышения порядка функции для этих случаев аналогичны описанным. При этом никаких принципиально новых моментов не возникает, но существенно увеличивается объем расчетов.

Кроме класса парабол для анализа нелинейных связей можно применять и другие виды функций. Для расчета неизвестных параметров этих функций рекомендуется использовать метод наименьших квадратов, как наиболее мощный и широко применяемый.

Однако метод наименьших квадратов не универсален, поскольку он может использоваться только при условии, что выбранные для выравнивания функции линейны по отношению к своим параметрам. Не все функции удовлетворяют этому условию, но большинство применяемых на практике с помощью специальных преобразований могут быть приведены к стандартной форме функции с линейными параметрами.

Рассмотрим некоторые простейшие способы приведения функций с нелинейными параметрами к виду, который позволяет применять к ним метод наименьших квадратов.

Функция не является линейной относительно своих параметров.

Прологарифмировав обе части приведенного равенства

получим функцию, линейную относительно своих новых параметров:

Кроме логарифмирования для приведения функций к нужному виду используют обратные величины.

с помощью следующих переобозначений:

может быть приведена к виду

Подобные преобразования расширяют возможности использования метода наименьших квадратов, увеличивая число функций, к которым этот метод применим.

Измерение тесноты связи при криволинейной зависимости. Рассмотренные ранее линейные коэффициенты корреляции оценивают тесноту взаимосвязи при линейной связи между признаками. При наличии криволинейной связи указанные меры связи не всегда приемлемы. Разберем подобную ситуацию на примере.

Пример 17. В 1-м и 2-м столбцах табл. 5 приведены значения результативного признака у и факторного признака х (данные условные). Поставив вопрос о тесноте связи между ними, рассчитаем парный линейный коэффициент корреляции по формуле (6.3). Он оказался равным нулю, что свидетельствует об отсутствии линейной связи. Тем не менее связь между признаками существует, более того, она является функциональной и имеет вид

Для измерения тесноты связи при криволинейной зависимости используется индекс корреляции, вычисляемый по формуле

где у i —i-e значение результативного признака; ŷ i —i-e выравненное значение этого признака; —среднее арифметическое значение результативного признака.

Числитель формулы (6.27) характеризует разброс выравненных значений результативного признака. Поскольку изменения выравненных, т. е. вычисленных по уравнению регрессии, значений признака происходят только в результате изменения факторного признака х. то числитель измеряет разброс результативного признака, обусловленный влиянием на него факторного признака. Знаменатель же измеряет разброс признака-результата, который определен влиянием на него всех факторов, в том числе и учтенного. Таким образом, индекс корреляции оценивает участие данного факторного признака в общем действии всего комплекса факторов, вызывающих колеблемость результативного признака, тем самым определяя тесноту зависимости признака у от признака х. При этом, если признак х не вызывает никаких изменений признака у, то числитель и, следовательно, индекс корреляции равны 0. Если же линия регрессии полностью совпадает с фактическими данными, т. е. признаки связаны функционально, как в примере 17, то индекс корреляции равен 1. В случае линейной зависимости между х и у индекс корреляции численно равен линейному коэффициенту корреляции г. Квадрат индекса корреляции совпадает с введенным ранее (6.21) коэффициентом детерминации. Если же вопрос о форме связи не ставится, то роль коэффициента детерминации играет квадрат корреляционного отношения η 2 y/x (6.12).

Таковы основные принципы и условия, методика и техника применения корреляционного и регрессионного анализа. Их подробное рассмотрение обусловлено тем, что они являются высокоэффективными и потому очень широко применяемыми методами анализа взаимосвязей в объективном мире природы и общества. Корреляционный и регрессионный анализ широко и успешно применяются и в исторических исследованиях.

Источник