что такое измерения прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед. Пирамида.
| Площадью поверхности параллелепипеда называют сумму площадей всех его граней. |
Измерения имеют названия: длина, ширина, высота. Данные названия введены, чтобы различать измерения:
Частным случаем прямоугольного параллелепипеда является куб. Куб — это прямоугольный параллелепипед, все измерения которого равны:
EFHGE1F1H1G1 — куб, его высота, ширина и длина равны. Гранями куба являются 6 равных квадратов.
Рассмотрим следующую фигуру:
Данная фигура состоит из шести прямоугольников, которые попарно равны (выделены одним цветом). Если мы согнём по линиям данную фигуру и склеим, то получим модель прямоугольного параллелепипеда, противоположные грани которого будут одного цвета. Рассматриваемую фигуру называют развёрткой прямоугольного параллелепипеда. Как сказано выше, куб состоит из 6 равных квадратов, значит, его развертка будет иметь следующий вид:
В данном случае куб «разрезали» по 6 горизонтальным ребрам и 1 вертикальному, при этом противоположные грани выделены одним цветом. Таким образом, «разрезая» любой многогранник по ребрам так, чтобы все грани оказались в одной плоскости, можно получить его развертку. Развертки многогранников нужны, например, для создания их объемных моделей.
Если мы «разрежем» по боковым рёбрам пятиугольную пирамиду, то получим следующий многоугольник, который будет являться развёрткой данной пирамиды:
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Геометрические фигуры. Прямоугольный параллелепипед.
Примерами прямоугольного параллелепипеда являются спортивный зал, коробок спичек или системный блок компьютера.
Формулы прямоугольного параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед с одинаковыми измерениями является кубом. Все 6 граней куба являются равными квадратами.
Обозначим длину ребра куба как n, тогда площадь 1-ой грани:
Площадь поверхности куба:
У прямоугольного параллелепипеда есть еще одно измерение – объем параллелепипеда (обозначается как V).
Прямоугольники, которые составляют поверхность параллелепипеда, являются гранями параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед определяют 3-мя измерениями:
Высота (обозначают как h) равняется длине ребра № 1.
Длина (обозначают как m) равняется длине ребра № 2.
Ширина (обозначают как n) равняется длине ребра № 3.
Площадь всей поверхности параллелепипеда обозначают как S:
S = (h • m + h • n + n • m) • 2
В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Площадь боковой поверхности:
где a, b — стороны основания,
c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед. Что это такое?
Определение параллелепипеда
Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.
Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.
На рисунке два параллелограмма АВСD и A1B1C1D1. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA1, ВB1, CC1, DD1 параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.
Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.
Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.
Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.
Параллелепипед — это:
Правильный параллелепипед на то и правильный, что два его измерения равны. Две грани такого правильного параллелепипеда — квадраты.
Свойства параллелепипеда
Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.
Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:
Прямой параллелепипед
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.
Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.
Свойства прямого параллелепипеда:
На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.
Формулы прямого параллелепипеда:
Прямоугольный параллелепипед
Определение прямоугольного параллелепипеда:
Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.
Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.
Свойства прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.
Формулы прямоугольного параллелепипеда:
Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема
Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.
Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор
Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Доказать теорему.
Доказательство теоремы:
Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.
Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора
ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора
d² = a² + b² + c²
Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.
У нас есть отличные дополнительные онлайн занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайся!
Куб: определение, свойства и формулы
Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.
Каждая грань куба — это квадрат.
Свойства куба:
Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.
Формулы куба:
Решение задач
Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.
Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.
Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.
Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
Нужно найти длину ребра A1B1.
В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°. Против равных сторон лежат равные углы.
Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
AB = 4
AD = 6
AA1= 5
Нужно найти отрезок BD1.
В треугольнике ADB угол A = 90°.
По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 +AD 2
BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD1 угол D = 90°.
BD1 2 = 52 + 25 = 77.
Самопроверка
Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!
Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.
Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.
Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
Вычислите длину ребра AA1.
Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:
Прямоугольный параллелепипед
Содержание
Кубик и куб
Если вы играли в настольные игры-ходилки, то наверняка вам знаком вид игрального кубика с рисунка 1. Такие кубики кидают, чтобы узнать, на сколько шагов можно сдвинуть свою фишку. На гранях кубика нарисованы точки, от одной до шести. Такой кубик можно изготовить и самостоятельно, по развёртке. Видите, она состоит из шести квадратов?
Куб – это геометрическая фигура, которая хорошо известна людям с раннего детства. Из кубиков составляют картинки, из них строят башенки… Сравните детские строительные кубики на рисунке 2.
Видите, красные кубики состоит из квадратов, а жёлтые – из прямоугольников? Такая геометрическая фигура называется прямоугольный параллелепипед.
Название «параллелепипед» составлено из двух греческих слов: parallelos – параллельный и epipedon – плоскость.
Прямоугольный параллелепипед
Если посмотреть вокруг, можно увидеть множество прямоугольных параллелепипедов. Коробки, кирпичи, шкафы, даже здания! В виде прямоугольных параллелепипедов делают упаковки для молока и сока, бруски масла и сыра. Ведь предметы такой формы удобно складывать, хранить и перевозить.
Шесть прямоугольников, из которых состоит поверхность прямоугольного параллелепипеда, называют гранями.
Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны
Стороны граней называют рёбрами параллелепипеда, а вершины граней – вершинами параллелепипеда.
У прямоугольного параллелепипеда 12 рёбер и 8 вершин.
Измерения прямоугольного параллелепипеда
Представьте, что вам нужно купить шкаф для одежды. Шкаф – это большой прямоугольный параллелепипед. На этикетке вы увидите три цифры, показывающие размеры шкафа.
Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения – длину, ширину и высоту.
А что же куб? Он ведь состоит из квадратов, а у квадратов все стороны равны. Значит, все размеры будут совпадать.
Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения одинаковы.
Объем параллелепипеда
Понятие объема
Чтобы без труда вычислить объём любой фигуры, нужно разобраться с определениями.
Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.
Другими словами, это то, сколько места занимает предмет.
Объём измеряется в единицах измерения размера пространства, занимаемого телом, то есть в кубических метрах, кубических сантиметрах, кубических миллиметрах.
За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (см 3 ), кубический миллиметр (1 мм 3 ), кубический метр (1 м 3 ).
Объём всегда выражается в положительных числах. Это число показывает, какое именно количество единиц измерения есть в теле. Например, сколько воды в бассейне, сока в графине, земли в клумбе.
Два свойства объёма
Любое объемное тело имеет объем. Получается, при желании мы можем вычислить объем кружки, смартфона, вазы, кота — чего угодно.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом.
Прямоугольным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра образуют с основаниями прямые углы.
