что такое исчисление бесконечно малых брюстер

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ИСЧИСЛЕНИЕ

— термин, ранее объединявший различные разделы математич. анализа, связанные с понятием бесконечно малой функции. Хотя «метод бесконечно малых» (в той или иной форме) с успехом применялся учеными Древней Греции и средневековой Европы для решения задач геометрии и естествознания, точные определения основных понятий теории бесконечно малых функций сложились только в 19 в. Для понимания значения этого метода важно заметить, что практич. интерес представляют не Б. м. и. сами по себе, а те случаи, в к-рых рассмотрение Б. м. и. приводит к величинам конечным. В истории математики основное значение имели трп типа такого рода задач.

1) Простейшие задачи древнегреческих математиков на исчерпывания метод, в к-рых бесконечно малые используются лишь для доказательства равенства двух заранее заданных величин (или двух отношений заранее заданных величин).

2) Более сложные задачи на метод исчерпывания, в к-рых искомая конечная величина получается в виде предела суммы

неограниченно возрастающего числа бесконечно малых величин. Эти задачи впоследствии привели к созданию интегрального исчисления.

3) Задачи, в к-рых конечная величина получается в виде предела отношения, бесконечно малых величин. Они послужили материалов для создания дифференциального исчисления.

Изобретение метода исчерпывания приписывается Евдоксу Книдскому (4 в. до н. э.). Во всяком случае, он проходит в качестве основного приема доказательства через всю 12-ю книгу «Начал» Евклида (3 в. до н. э.). В современной форме логич. схема рассуждений Евклида может быть записана так: если все отношения

равны между собой и имеют постоянное значение и если при обе разности бесконечно малы, то

Напр., для сравнения площадей двух кругов Евклид вписывает в каждый из них по квадрату и доказывает, что площадь этого квадрата превосходит половину площади круга: остающиеся четыре сегмента (рис. 1) составляют вместе меньше половины площади круга; дополнив квадрат до правильного восьмиугольника, он обнаруживает, что остаток составляет уже меньше четверти круга, затем восьмиугольник дополняется до правильного шестнадцатиугольника, причем оставшиеся шестнадцать сегментов составляют в сумме уже меньше одной восьмой доли площади круга и т. д. Таким образом, площадь круга постепенно «исчерпывается» при переходе к вписанным многоугольникам со все большим числом сторон. Так как в двух кругах площади соответствующих многоугольников относятся как квадраты радиусов, то Евклид заключает отсюда, при помощи доказательства от противного, что то же самое отношение имеют и площади кругов.

Более широкое и свободное употребление бесконечно малых наблюдается у Архимеда (3 в. до н. э.).

В своих соч. «О коноидах и сфероидах» и «О спиралях» Архимед систематически пользуется при вычислении площадей и объемов методом, к-рый до своей идее вполне аналогичен современному определению интеграла. Вот как, напр., Архимед определяет площадь первого витка спирали (рис. 2), к-рая наз. теперь «архимедовой» и к-рая в полярных координатах имеет уравнение

В рассматриваемую фигуру Sвписывается фигура, состоящая из круговых секторов с углом при вершине (эти секторы для случая изображены на рис. 3 заштрихованными), а вокруг описывается фигура, состоящая из аналогичных круговых секторов (на рис. 3 изображены без штриховки). Легко видеть, что в обоих случаях площадь k-го сектора

Из построения ясно, что площадь S заключена в пределах

то при любом

Архимед выражает последнее соотношение в геометрия, форме: при любом

при является бесконечно малой, Архимед делает вывод, что

Конец изложенного рассуждения показывает, каким образом Архимедом был развит и усовершенствован метод исчерпывания Евдокса. Начало же этого рассуждения показывает, что Архимед владел и приемами, к-рые были отнесены выше ко второй группе и к-рые но своему идейному замыслу соответствуют современному интегральному исчислению.

При помощи интегрального исчисления рассматриваемая площадь вычисляется как

Входящий в эту формулу интеграл, по определению, есть предел сумм вида

В частном случае, когда

при получается архимедова сумма , а при — архимедова сумма . Следует специально отметить, что при выборе (3) точек деления j k архимедовы суммы и совпадают с Дарбу суммами, для к-рых и в общем случае гарантировано выполнение неравенства (1). Таким образом, Архимед для своей частной задачи проделывает весь ряд рассуждений, свойственных интегральному исчислению, и притом в его логически законченной форме (точные оценки сверху и снизу при помощи сумм Дарбу), разработанной, в качестве общей теории лишь во 2-й пол.. 19 в. Аналогично Архимед поступает и в ряде других задач на вычисление площадей и объемов.

Отсюда следует, что к концу своего развития древнегреческая математика подошла и к решению задач второй из намеченных выше групп. Следует, однако, здесь же отметить ii принципиальное отличие всего характера мышления математиков древности от стиля мышления математиков нового времени. В рассмотренной выше в виде примера задаче Архимед не вычисляет

а берет, не указывая откуда, величину и доказывает равенство от противного, устанавливая, что в силу (1), (2) и бесконечной малости разности неравенство привело бы к противоречию. Греческие математики не только не разработали к.-л. общих правил вычисления пределов, но и вообще не сформулировали лежащего по существу в основе их приемов, понятия предела (даже общее назв. «метод исчерпывания» для их приемов возникло лишь в новое время). Тем более, древняя наука не создала ничего подобного современному алгоритму интегрального исчисления, благодаря к-рому теперь совсем не обращаются при вычислении нового интеграла к определению интеграла в качестве предела сумм, а пользуются значительно более простыми в практич. употреблении правилами интегрирования функций различных специальных классов. Из соч. Архимеда (особенно из «Послания Эратосфену») можно усмотреть, что его логически отточенному методу оценки площадей и объемов при помощи сумм возрастающего числа неограниченно убывающих (т. е. бесконечно малых в современном смысле слова) слагаемых предшествовал более примитивный, но более наглядный метод, восходящий, по утверждению Архимеда, к Демокриту (4 в. до н. э.). Архимед указывает, в частности, что Демокрит раньше Евдокса определил (хотя и без строгого обоснования своих результатов) объем пирамиды.

Для Евклида и Евдокса основную трудность при выводе объема пирамиды представляло доказательство того факта, что объемы двух пирамид с равными высотами и равновеликими основаниями равны. Трудность эта преодолевалась в «Началах» Евклида применением метода исчерпывания.

Судя по указаниям Архимеда, демокритов «атомистический» метрд доказательства равенства объемов двух пирамид с равными высотами и равновеликими основаниями (рис. 4) можно представить себе так: из соображений подобия вытекает, что площади сечений, проведенных на равной высоте в наших пирамидах, равны; объемы пирамид воспринимаются просто как «суммы» этих площадей, что и позволяет сразу, исходя из равенства соответствующих членов двух сумм, заключить о равенстве самих сумм. В соч. Архимеда дается много примеров применения этого метода к решению более сложных задач. Архимед считал такой метод нестрогим, но очень ценным с эвристической стороны (т. е. для первоначального получения новых результатов, к-рые потом должны быть обоснованы более строго) и был в этом с современной точки зрения, конечно, прав, так как метод Демокрита является лишь не выдерживающей строгой критики попыткой заменить процесс предельного перехода

несостоятельной метафизич. гипотезой о возможности получения объемов суммированием площадей.

Послание Архимеда к Эратосфену, получившее краткое назв. «Эфодикон» (руководство), много комментировалось и цитировалось авторамп эллинистич. эпохи, но не дошло до европейских математиков эпохи создания современной высшей математики, к-рые в отношении необычайно простого атомистич. метода рассуждений Демокрита в лучшем случае должны были довольствоваться довольно смутными литературными указаниями других источников (текст «Эфодикона» был вновь ‘открыт лишь в 1906). Тем не менее этот метод получил в 17 в. блестящее развитие в работах И. Кеплера (J. Kepler) и Б. Кавалье-ри (В. Cavalieri). И. Кеплер в своей «Стереометрии винных бочек» (1615) определяет объем 92 тел вращения.

Если бы он следовал педантично методу изложения Архимеда при каждом из этих определений, то его труд разросся бы до необъятных размеров. Метод И. Кеплера можно пояснить на простом примере. Определение площади круга И. Кеплер основывает на следующем рассуждении. Круг разбивается на секторы с общей вершиной в центре (рис. 5); чем меньше каждый сектор, тем ближе он подходит к треугольнику, основанием к-рого можно считать дугу сектора; его площадь, следовательно, равна длине его дуги, умноженной на половину радиуса; если суммировать эти площади, то получится, что площадь круга равна длине его окружности, умноженной на половину радиуса. С такой же простотой И. Кеплер вычисляет объем шара и других тел вращения; но эта простота порождает сомнения (к-рых он не скрывает) и иногда приводит его к ошибкам.

Чтобы устранить эти сомнения, И. Кеплер подтверждает свое рассуждение относительно площади круга такого рода соображениями: составляющие секторы можно сделать настолько малыми, что их основаниями становятся точки, и число секторов тогда становится бесконечным; каждый из этих бесконечно малых секторов уже вовсе не отличается от такого же треугольника. Конечно, это рассуждение ничего не спасает, потому что со сведением основания к точке исчезает сектор, и треугольник превращается просто в радиус.

Если в отношении строгости логич. обоснования своих результатов Б. Кавальери стоит несравненно ниже Архимеда, то зато он превзошел Архимеда, а с ним и всех математиков древнего мира не только в отношении числа решенных им специальных задач на определение площадей и объемов, но и в отношении понимания дальнейших перспектив развития учения о бесконечно малых. Не ограничиваясь решением отдельных задач, он в геометрической и нестрогой форме получает, по существу, ряд общих формул интегрального исчисления.

Например, его утверждение, что сумма квадратов неделимых, на которые разбит параллелограмм на рис. 8, равна утроенной сумме квадратов неделимых, из к-рых состоит на том же рис. каждый из двух составляющих параллелограмм треугольников, есть по существу не что иное, как формула

В аналогичной форме Б. Кавальери выражает равенство

для степеней n до девятой включительно.

В том же 17 в. внимание математиков привлекает и третья из перечисленных выше групп задач. После создания Р . Декартом (R. Descartes) аналитич. еометрии естественно возникла задача определения углового коэффициента касательной к кривой , т. е. определения производной. Приблизительно одновременно развитие механики привело к необходимости определять мгновенную скорость произвольного движения точки, т. е. к той же задаче определения производной. Так как теории пределов и даже отчетливого наглядного’понимания предельного перехода еще не было, то производную

пытались получить как отношение

статических актуально бесконечно малых приращений dy и dx.

Современная концепция бесконечно малых как переменных величин, стремящихся к нулю, а производной как предела отношения бесконечно малых приращений была намечена (хотя и не вполне последовательно) И. Ньютоном (I. Newton, 17 в.), однако укрепилась только после О. Коши (A. Cauchy, 19 в.). Современное понимание дифференциала как главной части приращения по существу восходит к Ж. Лагранжу (J. Lagrange, 18 в.) и было окончательно закреплено О. Коши, к-рый дал и точное определение интеграла как предела суммы.

Для развитого дифференциального или интегрального исчисления характерно, что после строгого обоснования своих основных понятий при помощи предельного перехода они дают возможность решать разнообразнейшие задачи при помощи простого алгоритма чисто ал-гебраич. характера (в том смысле, что сам этот алгоритм уже не содержит в явном виде предельных переходов). Благодаря этому современные способы вычисления с дифференциалами и интегралами успешно соединяют в себе строгую логич. обоснованность с простотой и наглядностью.

Лит.: [1] Архимед, Сочинения, М., 1962; [2] Кеплер И., Новая стереометрия винных бочек. пер. с нем., М.- Л., 1935; [3] Кавальери Б., Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного, [пер. с итал.], т. 1, М.-Л., 1940. БСЭ-2.

Источник

Исчисление (Исчисление бесконечно малых)

Исчисление бесконечно малых

Исчисление бесконечно малых, или высший анализ, представляет отдел математики, в основании которого лежит особый метод — метод бесконечно малых и тесно связанный с ним метод пределов. Метод бесконечно-малых применяется главным образом к изучению непрерывно изменяющихся величин, а затем и во всех тех случаях, когда искомая величина не может быть получена при помощи конечного ряда действий, но мы можем подойти к ней как угодно близко. Главные отделы исчисления бесконечно малых — исчисления дифференциальное и интегральное.

I. Бесконечно малые величины. Потребность в особом методе для решения указанных выше задач сознавалась уже давно. В греческой геометрии (Евдокс, Евклид, Архимед) для этой цели применялся метод исчерпывания, сущность которого будет ясна из следующего примера. Чтобы доказать, что площадь круга равна площади треугольника, у которого основание равно окружности этого круга, а высота — радиусу, Архимед вписывает в круг ряд правильных многоугольников, из которых каждый следующий имеет вдвое более сторон, чем предыдущий; тогда каждый новый многоугольник получается из предыдущего через прибавление некоторой площади, Архимед показывает, что площади этих вписанных многоугольников как угодно близко подходят к площади круга — они исчерпывают эту площадь. Если теперь предположить, что доказываемая теорема не верна, и площадь круга меньше площади вышеупомянутого треугольника, то оказалось бы, что площадь круга меньше площади некоторого вписанного в него многоугольника, что невозможно; точно так же, если бы площадь круга была более площади вышеупомянутого треугольника, то она была бы больше площади некоторого описанного многоугольника, что также невозможно. Таким образом, площадь круга не может быть неравна площади упомянутого треугольника, и теорема доказана. Легко видеть, что это доказательство, в сущности, то же самое, каким пользуются и теперь в учебниках геометрии. Вообще, метод исчерпывания сохранился до сих пор в обычном изложении элементарной геометрии. Его главный недостаток в отсутствии общности; доказательство должно существенно видоизменяться для каждого отдельного предложения.

В XVI—XVII веках, с возникновением точного естествознания в аналитической геометрии, явилась необходимость в математических методах, пригодных для изучения непрерывно-изменяющихся величин. Галилей, Кеплер решали задачи о движении тел, о вычислении объемов тел и длин линии и т. п., Кавальери (1635) в своем методе неделимых (methodus indivisibilium) рассматривает непрерывную величину, как состоящую из неограниченного множества неделимых частей; так, площадь рассматривается, как совокупность неограниченного множества параллельных линий, не делимых на более тонкие. Галилей, Кеплер также смотрели на непрерывную величину, как на составленную из бесконечного множества бесконечно малых частей. Эти взгляды подготовило появление анализа бесконечно малых.

Метод Лейбница, основанный на применении бесконечно малых величин — дифференциалов, быстро распространился среди ученых континентальных стран Европы, хотя в то же время принцип метода, вызывал и возражения, как недостаточно строгий. К ближайшим по времени ученым, содействовавшим дальнейшему развитию высшего анализа, принадлежат братья Бернулли (см.), Лопиталь, составивший первый систематический трактат по анализу бесконечно малых (1696), Даламбер (1717—1783). Эйлер (1707—1783) объединил исследования по высшему анализу в трех трактатах: «Introductio in Analysin Infinitorum» (1718), «Institutiones Calculi Differentialis» (1755) и «Institutiones Calculi Integralis» (1768—1770).

В Англии метод Ньютона разрабатывали далее Котес (1682—1716) Тэлор (1685—1731), Маклорен (1698—1746). Последний в своем «Treatise on Fluxions» успешно отразил возражения философа Беркли против основных принципов нового метода. Обозначения Ньютона исключительно употреблялись английскими математиками до 1820 г., когда изучению дифференциального исчисления было введено в английские университеты; с этого времени и в английской школе стали также пользоваться, как и на континенте, символами Лейбница.

Дальнейшему развитию и более строгому обоснованию высшего анализа содействовали, далее, Лагранж (1736—1813), стремившийся дать атому отделу математики чисто алгебраическое основание, и Коши (1789—1857), положивший в основание исчисления бесконечно малых метода пределов. Исследования Римана (1826—1866) открывают собой критический период математики, одной из задач которого является точное установление тех условий, при которых справедливы предложения высшего анализа.

К понятию бесконечно малой величины можно прийти следующим путем. Если мы имеем две однородных величины, рассматриваемые абсолютно, т. е. независимо от их знака, например, два промежутка времени или два прямолинейных отрезка, то такие величины обладают тем свойством, что повторив меньшую величину достаточное число раз, мы всегда можем получить величину большую всякой другой с ней однородной. Так, имея сколь угодно малый отрезок и отложив его достаточное число раз, мы можем получить отрезок, больший всякого другого заданного отрезка. Эго свойство, принадлежащее всем величинам, обыкновенно рассматриваемым в математике, носит название аксиомы Архимеда. Для величин, допускающих неограниченное деление на равные части, эта аксиома может быть, очевидно, выражена иначе: каждая величина может быть разделена на такие равные части, что каждая из них будет меньше любой другой величины, с ней однородной; так, каждый данный отрезок можно разделить на равные части, меньшие другого данного отрезка. Аксиоме Архимеда подчиняются и все действительные (вещественные) числа, целые, дробные и иррациональные, кроме нуля. Но рядом с величинами, подчиняющимися аксиоме Архимеда, в математике рассматриваются величины, ей не подчиняющиеся. Если мы имеем две таких величины а и а₁ что сколько бы раз мы ни брали а₁ мы никогда не получим величины, большей, чем а, и обратно, на сколько бы равных частей мы на делили а, мы никогда не получим величины, меньшей, чем а₁ — то величина а₁ называется по отношению к а бесконечно малой, а величина а по отношению к а₁ — бесконечно большой. Основные величины, рассматриваемые обыкновенно в математике, относительно которых определяется характер бесконечно малых и бесконечно больших величин, как промежутки времени, отрезки, обыкновенные числа, называются величинами конечными. Величины а₁, обладающие высказанным выше свойством, называются также собственно (или актуально) бесконечно малыми, в отличие от несобственно бесконечно малых, о которых будет сказало далее.

Идею бесконечно малых величин можно пояснить следующим примером. Обыкновенно за угол между двумя пересекающимися линиями на плоскости принимают угол между прямыми, касательными к обеим кривым в точке их пересечения, и в таком случае угол между двумя прикасающимися друг к другу кривыми равен нулю. Но мы можем смотреть на углы иначе и сказать, что величина угла зависит от формы его сторон, причем из двух углов с общей вершиной тот будет считаться меньшим, стороны которого, в непосредственной близости в вершине, заключены между сторонами другого. При таком условии мы будем, например, иметь (черт. 1).

Угол АОВ > угла MON, угол COD n ) — равно конечному числу; тогда β называется бесконечно малым n-го порядка относительно α. Например, если х стремится к нулю, то, по отношению к х, 2х будет бесконечно малым первого порядка, так как lim(2x/x 1 )=2, 3x 2 – второго, 5√x – половинного; так как из тригонометрии известно, что

II. Дифференциальное исчисление. Основное понятие дифференциального исчисления — понятие производной функции (ср. высшая математика). Производная дайной функции у = f(х) есть предел, к которому стремится отношение между приращением функции у и соответствующим приращением независимого переменного, или аргумента, х, когда последнее стремится к нулю (см. высшая математика). Таким образом, производная от у по х есть не что иное, как предел

lim (Δf(x)/Δx) или, что то же
Δx=0

т. е., равна производной от пройденного пространства s по времени t. По Ньютону это есть то значение отношения Δs/Δt, с которым величины Δs и Δt исчезают или возникают; поэтому Ньютон назвал свой метод методом первых и последних отношений. В связи с этим механическим толкованием производной, Ньютон рассматривал непрерывное изменение величин, как течение, и называл функцию флюэнтой, а ее производную, представляющую скорость изменения, флюксией.

В обозначении производной по Лейбницу у’= dy/dx числитель и знаменатель суть два произвольных числа, отношение которых равно производной у’; эти числа называются соответственно дифференциалами переменных у и х. С точки зрения актуальных бесконечно малых, dx и dy суть бесконечно малые величины, в которые обращаются приращения Δх и Δу при своем неограниченном уменьшении; это — актуально бесконечно малые приращения х и у. Так смотрит на них, например, Лопиталь. Но, с устранением из высшего анализа актуально бесконечно малых, под dx и dy понимают, следуя Лейбницу и Коши, произвольные числа, имеющие отношение у’. Принимая dx равным Δх, получим dy = у’. Δх (см. высшая математика). Хотя, таким образом dx есть вполне произвольное число, но в приложениях анализа к геометрии, механике и естествознанию удобнее понимать под дифференциалами весьма малые числа.

Из определения производной, как предела отношения между приращением функции и приращением аргумента, следует, что производная есть мера быстроты роста функции сравнительно с ростом аргумента: чем больше производная, тем быстрее растет функция сравнительно с аргументом. Так как у’ = lim Δy/Δx, то Δy/Δx = у’ + ε, где ε стремится к нулю вместе с Δх. Поэтому, если у’ положительно, то при Δх, достаточно малом, Δу и Δх имеют знаки одинаковые, а если у’ отрицательно, то — разные. Это показывает, что с возрастанием аргумента функция возрастает, если ее производная положительна, и убывает, если производная отрицательна.

число е равно 2,718281828459. Логарифмы, вычисленные при этом основании, называются натуральными; мы будем их обозначать через logx.

Деля обе части каждого из предыдущих тождеств на dx, мы получим из соотношений между дифференциалами соотношения между производными; например, последнее соотношение дает

Первоначально думали, что всякая непрерывная функция имеет производную, подобно тому, как всякая непрерывная кривая имеет касательные и всякое непрерывное движение имеет скорость. Ошибочность этого мнения выяснилась только из исследований Римана (1854). В 1861 г. Вейерштрасс дал пример функции непрерывной при всех значениях аргумента и не имеющей производной ни при одном из этих значений.

Основную теорему дифференциального исчисления представляет теорема конечных приращений, состоящая в следующем. Если для всех значении аргумента х, от х = а до х = b, функция f(х) конечна, (не обращается в бесконечность), непрерывна и имеет определенную производную f'(х), то между а и b есть по крайней мере одно значение х=с, для которого

f(b) — f(а) = (Ь — а) f'(с), или [f(b)-f(a)]/(b-a) = f'(с).

Из этой теоремы получаются все важнейшие предложения дифференциального исчисления. Ее значение состоит в том, что ей устанавливается связь между конечными приращениями функции и аргумента, с одной стороны, и производной, т. е. отношением бесконечно малых приращений, с другой.

Теореме конечных приращений можно дать простое геометрическое истолкование. Пусть будет f(х) уравнение кривой MN (черт. 3). Пусть будет ОА = а, OB = b абсциссы точек M, N, OC = c – абсцисса точки Р. Тогда AM = f(a), BN = f(b), и отношение [f(b)-f(a)/(b-a)] представляет tg OMN, т. е. tg угла наклонения хорды MN к оси х. Точно так же f'(с) есть tg угла наклонения касательной в точке Р к оси х. Таким образом теорема конечных приращений выражает, что на всякой дуге есть, по крайней мере, одна точка, касательная в которой параллельна хорде, соединяющей концы дуги.

dy’ = (d 2 у dx — d 2 х dy)/(dx) 2

Но dy’/dx = y», поэтому

Замечательна также формула Лейбница, дающая выражение высших производных от произведения

Функции от нескольких независимых переменных также имеют производные и дифференциалы. Если, например, мы имеем функцию трех переменных u=f(х, у, z), то мы можем исследовать изменение u в зависимости от изменения каждого из трех переменных х, у, z в отдельности; при этом всякий раз мы предполагаем изменяющимся только одно из независимых переменных, тогда как остальные переменные остаются без изменения. Таким образом, мы получаем т. н. частные производные от данной Функции по каждому из независимых переменных отдельно. В нашем случае мы будем иметь три частных производных, составленных в предположении, что изменяется только одно из трех переменных.

Обозначение частных производных в виде ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, принадлежит Якоби. Оно отличается от приведенного выше обозначения обыкновенной производной dy/dx введением круглого ∂ вместо d.

Полным дифференциалом функции называется сумма ее частных дифференциалов

Если функция u — сложная, т. е. зависит от переменных r, s, t, которые сами зависят от х, у, z, то выражение полного дифференциала остается то же

причем dr, ds, dt суть сами полные дифференциалы; например,

Вставлял вместо dr, ds, dt их выражения и собирая коэффициенты про dx, dy, dz получим выражения частных производных, от сложной функции, например

Последовательное дифференцирование приводит к частным производным высших порядков. Например, функция u от двух переменных х, у имеет четыре частных производных второго порядка

Из правил дифференцирования функции нескольких переменных выводится правила дифференцирования неявных функций (см. функция). Пусть у определяется, как неявная функция от х, уравнением φ (х, у) = 0. Дифференцируя обе части по х и имея ввиду, что у есть функция от х, получаем по правилу дифференцирования сложных функций ∂φ/∂x∙∂x/∂x + ∂φ/∂y∙∂y/∂x, и отсюда, так как dx/dx = 1, находим выражение производной неявной функции в виде

4х 3 y 3 z 2 + 2х 4 у 3 z (∂z/∂x) = 0, 3х 4 y 2 z 2 + 2х 4 у 3 z (∂z/∂y) = 0, или по сокращении

2z + x(∂z/∂x) = 0, 3z + 2y(∂z/∂y) = 0. Дифференцируя затем первое из полученных уравнений по у, находим 2(∂z/∂y) + x(∂ 2 z/∂x∂y) = 0, или заменяя (∂z/∂y) его выражением из второго уравнения

-3z/y + x(∂ 2 z/∂x∂y) = 0, откуда получаем окончательно ∂ 2 z/∂x∂y = 3z/xy. Если, например, x=2, y=1, то предложенное уравнение дает для z два значения: z = ±1/4. Этим двум значениям z будут соответствовать значения производной ∂ 2 z/∂x∂y = ±3/8.

Изложенное здесь представляет, в существенных чертах, теорию дифференциального исчисления. Не касаясь приложений дифференциального исчисления к геометрии и механике (см. соответствующие статьи), мы остановимся здесь на приложениях дифференциального исчисления к анализу. Важнейшие из них состоят в разложении функции в ряды, в изыскании наибольших и наименьших значений функции и в нахождении главных значений неопределенных выражений.

Пусть мы имеем функцию f(х), которая, вместе с своими производными до (n—1)-го порядка f’(х), f”(x)… f ( n-1) (x) конечна при x=a; пусть, кроме того, n-ая производная f ( n) (х) имеет определенные значения для всех значений х между а и а+h. Тогда, применяя теорему конечных приращений (см. выше), можно вывести формулу Тейлора:

Отсюда при а = 0, заменяя h через х, получаем рад Маклорена (Maclaurin, 1742):

Этот ряд определяет функцию f(х) по значению функции и ее производных, при х=0, для всех значений х, для которых этот ряд сходящийся (см. ряды). Он дает разложение функции по целым положительным степеням аргумента, и, следовательно, представляет функции при помощи элементарных действий, умножения и сложения, и, кроме того, переход к пределу.

Подставляя в ряд Маклорена вместо f(х) различные функции, получаем их разложения в ряды; при помощи этих разложений удобно исследовать свойства функций, а также вычислять их значения. Ряды для sinx и cosx даны в ст. высшая математика. Из других рядов укажем на следующие:

Заменяя в разложении е х х через iх, где i=√-1, получаем знаменитое соотношение Эйлера (1748): е ix = cos х + i sin х, связывающее показательную функцию с тригонометрическими. Эта формула позволяет определить показательную функцию е х для мнимых значений аргумента. Заменяя в формуле Эйлера снова х через iх, получаем е х = cos iх + i sin iх, и меняя знак при х, е х = соs iх — i sin ix.

Ряд Тейлора может быть распространен на функции нескольких переменных. Например, для функции двух переменных он имеет вид:

Из формулы Тейлора можно вывести способы определения наибольших и наименьших значений — maxima и minima — функций. Под maximum и minimum, в собственном смысле, разумеются наибольшее и наименьшее из всех значений, которые может принимать данная функция. Но в анализе под maximum разумеют обыкновенно такое значение функции, которое больше всех близких значений той же функции, т. е. значений, соответствующих достаточно близким значениям аргумента. Другими словами, функция f(х) имеет maximum при х=а, если разность f(а)-f(а+h) положительна при всех достаточно малых значениях b, положительных и отрицательных; точно так же функция f(х) имеет minimum при х=а, если разность f(а)-f(а+h) отрицательна при всех достаточно малых значениях h. Например, функция у = (х 2 —1) 2 (черт. 4) имеет два minima при х=±1, так как при этих значениях она обращается в нуль, а при всех других она положительна. С другой стороны, она имеет maximum при х=0, причем этот maximum равен единице, хотя при других значениях х, например, при х=3/2, у получает значение 25/16 большее единицы. Значение функции при х=0 представляет maximum не потому, что оно больше всех остальных значений функции, а потому, что оно больше значений функции, при значениях аргумента х, близких к нулю. Действительно, при всяком х, близком к нулю, значение функции, очевидно, меньше ее значения при х=0, т. е. единицы, и потому значение у=1, соответствующее х=0, есть maximum.

Формула Тейлора применяется также к нахождени главных значений неопределенных выражений. Если в дроби φ(x)/f(x) обе функции обращаются при х=а в нуль, то при этом значении переменного эта дробь не имеет определенного числового значения; но мы можем искать предел, к которому стремится эта дробь, когда х неограниченно приближается к а; такой предел,

называется главным, или, хотя и неправильно, истинным значением неопределенного выражения. Полагая х = a+h и разлагая числитель и знаменатель по формуле Тейлора будем иметь:

По предположению φ(а) = 0, f(а) = 0. Сокращая в правой части на h и переходя к пределу, получим

III. Интегральное исчисление. В дифференциальном исчислении мы по данной функции ищем ее производную или еле дифференциал. Обратно, имея данную производную f(х) или дифференциал, мы можем искать ту начальную функцию F(х), которой соответствует эта производная или этот дифференциал. Эта начальная функция изображается по Лейбницу в виде ∫f(х)dx, так что равенство F(х) = ∫f(х)dx равносильно dF(х) = f(х)dx, или F'(х)=f(х). Из определения интеграла следует: d ∫ udx = udx, ∫ du=n+С, где С — произвольное постоянное. Переход от данного дифференциала к начальной функции называется интегрированием, а самая начальная функция — интегралом. Интегральное исчисление исследует свойства интегралов и способы их вычисления (см. высшая математика). Из указанного выше геометрического и механического значения производной следует, что интегрированием решается, между прочим, задача о нахождении кривой по данному направлению касательных в различных ее точках, а также задача о вычислении пути, пройденного движущейся точкой по данному закону изменения ее скорости. Первая задача интегрального исчисления — нахождение начальной функции по данному ее дифференциалу. Очевидно, что некая формула дифференцирования дает соответствующую формулу интегрирования. Таким образом, из приведенных выше дифференциальных формул получаем следующие формулы интегрального исчисления:

Такое интегрирование, когда выражение интеграла прямо получается из соответствующих формул дифференциального исчисления, называется непосредственным интегрированием и возможно, конечно, только в простейших случаях. В тех случаях, где оно неприменимо, интеграл иногда может быть получен посредством вспомогательных приемов, из которых главнейшие: разложение на слагаемые, интегрирование посредством подстановки и интегрирование по частям. Первый прием состоит в разложении подынтегральной функции на слагаемые, каждое из которых интегрируется проще, чем вся сумма, например

∫(4x+5)dx = ∫4xdx + ∫5dx = 2x 2 +5x+C. Второй прием заключается в том, что вместо независимого переменного — переменного интеграции — вводят новое переменное, причем при надлежащем выборе подстановки преобразованный интеграл находится более просто, чем первоначальный. Например, полагая в интеграле ∫dx/(2x-1), x=(y+1)/2, получим 2х—1 = у, dx=dy/2, и данный интеграл обратится в ½∫dy/y, который интегрируется непосредственно и дает ½ logy + C. Подставляя вместо у его выражение через х, у = 2х—1, получаем искомый интеграл в виде

Найдем, например, ∫х cosx dx. Полагая х=u, cosx dx = dv, получим du=dx, v=sinx, и формула интегрирования по частям дает ∫х cosх dx = х sinx — ∫sinx dx. Последний интеграл находится непосредственно, и мы получим

∫x cosx dx = x sinx + cosx + C.

Подставляя в первом интеграле х=u+1, во втором x=v-1, получим ½ ∫du/u – ½ ∫dv/v или ½ log u – ½ log v + C. Заменяя теперь обратно u через x-1 и v через x+1 и пользуясь известными свойствами логарифмов, получим окончательно

Интегрирование функций весьма редко приводит к функции той же степени сложности. Обыкновенно интеграл сложнее, чем подынтегральная функция. Так, мы видели, что производной 1/x соответствует интеграл log x, функции 1/(1+x 2 )-arctg x. Таким образом, интегральное исчисление представляет неистощимый источник новых классов функций (см. высшая математика). Только в особенно простых случаях интегралы выражаются в элементарных функциях — алгебраических, показательных, тригонометрических и им обратных. Именно, это бывает тогда, когда под знаком интеграла стоит функция рациональная, или функция, содержащая корень квадратный из многочлена первой или второй степени, и, в исключительных случаях, при интегрировании более сложных функций.

Обозначим через F(х) интеграл ∫f(x)dx.

Тогда разность F(b)—F (а) значений интегральной функции, взятых для значений переменного x=b и х=а, изображается в виде ∫_a b f(х)dx и называется определенным интегралом от f(х); числа а и b называются нижним и верхним пределами определенного интеграла (см. высшая математика). Интеграл ∫f(x)dx называется, в отличие от определенного интеграла ∫_a b f(х)dx – неопределенным интегралом. Например, имея ∫xdx = x 2 /2 + C, мы найдем

∫₃ 5 xdx = (5 2 /2 + C) – (3 2 /2 + C) = 8

Очевидно, что при вычислении определенного интеграла по неопределенному произвольное постоянное всегда исчезает. Так как при вычислении определенного интеграла переменное интеграции х заменяется пределами интеграла а и b, то определенный интеграл не зависит от переменного интеграции х, а только от вида подынтегральной функции f(х) и от пределов интеграции, а и b, так, что

Далее, из самого определения определенного интеграла непосредственно следуют его основные свойства:

Будем рассматривать в равенстве ∫_a b f(x)dx = F(b) – F(a) верхний предел, как переменную величину. Тогда, дифференцируя по b, имеем d/db ∫_a b f(x)dx = F’(b). Но, по определению F(x), как интеграла ∫f(x)dx имеем F’(x)=f(x). Поэтому, d/db ∫_a b f(x)dx = f(b).

Таким образом, производная от определенного интеграла по его верхнему пределу равна значению подынтегральной функции на этом пределе.

Каждый неопределенный интеграл всегда можно представить в виде интеграла определенного, так как из

где а — постоянное, выбранное под условием F(а)=—С.

Так как вычисление площадей криволинейных фигур называется квадратурой, то и вычисление функции по ее производной или дифференциалу, т. е., интегрирование, получило в анализе то же самое название, так что квадратура и интегрирование функции — два равносильных термина.

Определенный интеграл имеет также простое механическое значение. Пусть точка движется в течение промежутка времени от t=а до t=b, причем скорость движения представляет определенную функцию времени f(t). Разобьем промежуток времени между t=а и t=b на части промежуточными моментами t = a₁, t = a₂. t = a_n и предположим, что в течение каждого промежутка движение происходит равномерно, с постоянной скоростью, так что скорость движения меняется не непрерывно, а скачками в конце каждого весьма малого промежутка времени, на которые мы разбили весь промежуток от t = а до t = b. Так как в равномерном движении пройденный путь измеряется произведением скорости на время движения, то весь путь, пройденный таким образом, выразится суммой

Этот путь не равен искомому, потому что в заданном движении скорость изменяется непрерывно, тогда как у нас она меняется скачками; но если промежутки времени будут уменьшаться, эти скачки будут все меньше и меньше, и в пределе мы получим истинный пройденный путь. Таким образом, если скорость движения выражается функцией f(t), то путь, пройденный от момента t = а до t= b, выразится определенным интегралом ∫_a b f(t) dt. Найдем, например, путь, пройденный во время t телом, падающим под действием тяжести, если известно, что скорость падения выражается формулой v = gt, где g — постоянное. Тогда пройденный путь будет

Подставляя пределы интеграции, найдем s = gt 2 /2 – 0 = gt 2 /2.

Хотя при данном виде подынтегральной функции интеграл зависит только от пределов интегрирования, и, при постоянных пределах, сам есть величина постоянная, но, если подынтегральная функция, содержит, кроме переменного интеграции, еще другие переменные, т. н. параметры, то интеграл сам будет функцией этих параметров. Так, например, мы имеем

Таким образом, интеграл

хотя его приделы постоянны, представляет переменную величину, функцию переменного параметра р. Некоторые из функций, выражаемых определенными интегралами, обладают особыми свойствами. Так, есть определенные интегралы, значение которых, при непрерывном изменении параметра, изменяются прерывно, скачками. Например, интеграл

Интегрируя затем полученную функцию по у, получим неопределенный интеграл

3/2x 2 + 3/2xy 2 + 1/2y3 + φ(x), где φ(x) – произвольная функция от x. Подставляя сюда пределы 0 и x, получим

Наконец, интегрируя полученное выражение по x, получим неопределенный интеграл 7/8 x + C и, подставляя пределы 0 и 1, будем иметь окончательно

7/8

Когда определенный интеграл нельзя выразить формулой, удобной для вычислений, в приложениях довольствуются приблизительным вычислением интеграла с нужной степенью точности. Применяемые при этом приемы носят название механических квадратур. Простейший из этих приемов есть метод трапеций. Пусть нам нужно вычислить площадь кривой у = f(х) между ординатами х = а, х = b (черт. 6).

Приложения определенных интегралов весьма разнообразны. Так, интегралами пользуются при вычислении длин линий, поверхностей и объемов тел, при определении центров тяжести и моментов инерции, в теории притяжения и мн. др.

IV. Дифференциальные уравнения. Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которые входят переменные, их функции и производные от этих функции. Дифференциальные уравнения делятся на обыкновенные дифференциальные уравнения, или уравнения с одним независимым переменным, например

∂ 2 z/∂x 2 + ∂ 2 z/∂y 2 = 0

Порядком дифференциального уравнения называется высший порядок входящих в него производных. Из приведенных выше двух уравнений одно — первого порядка, а другое — второго.

Функция, удовлетворяющая вместе с своими производными данному дифференциальному уравнению, называется его интегралом, или решением. Изыскание всех функций, удовлетворяющих данному уравнению, называется интегрированием данного уравнения.

Ближайшая задача теории интегрирования дифференциальных уравнений состоит в изыскании способов для приведения интегрирования данного уравнения там, где это возможно, к интегрированию другого дифференциального уравнения, более простого. Самое простое дифференциальное уравнение есть, очевидно, dy/dx = f(х), самое общее решение которого

y = ∫f(х) dx + С получается посредством квадратуры. Задача интегрирования других, более сложных, уравнений считается решенной, когда она также приведена к квадратурам, т. е. к интегрированию известных функций от одного независимого переменного. Самое выполнение квадратур составляет уже задачу собственно интегрального исчисления (см. выше).

Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка с одной неизвестной функцией есть f (х, у, у’, у». у ( n) ) = 0, где левая часть представляет данную функцию от х, у и производных от у по х да n-го порядка включительно. Каждое такое уравнение имеет общее решение, или общий интеграл у = F(x, С₁, С₂. С_n), представляющий определенную функцию от х и от n произвольных постоянных, С₁, С₂. С_n.

В случае дифференциальных уравнений первого порядка соотношение между общим интегралом и особым решением имеет весьма простое геометрическое истолкование. Общий интеграл у = F(х, С) представляет семейство кривых, члены которого соответствуют различным значениям параметра С; особое решение представляет огибающую этого семейства, т. е. кривую, касательную ко всем линиям, изображаемым общим интегралом. Так, в предыдущем примере, общий интеграл у = Сх—С₂ представляет семейство прямых, соответствующих различным значениям постоянного С, а особое решение у = x2/2 — параболу (см. высшая математика), касающуюся всех этих прямых (черт. 7).

В этом случае дифференциальное уравнение обращается в ∂u/∂x dx + ∂u/∂x dy = 0; левая часть представляет теперь полный дифференциал du (см. выше), и потому интеграл уравнений будет ∫du = С, или u = С. Чтобы М и N представляли частные производные от некоторой функции, они должны удовлетворять определенному условию, т. н. условию интегрируемости; дифференцируя первое уравнение по у, а второе по х, получим ∂M/∂y = ∂ 2 u/∂x∂y, ∂N/∂x = ∂ 2 u/∂x∂y, откуда следует условие интегрируемости ∂M/∂y = ∂N/∂x. Можно показать, что если это условие удовлетворено, то функция u находится по данным М и N посредством двух квадратур. Таким образом, в этом случае интегрирование уравнения первого порядка приводится к квадратурам. Например, в уравнении ydx+xdy = 0 имеем М = у, N = х, и условие интегрируемости удовлетворяется, так как ∂M/∂y = ∂N/∂x = 1.

Не трудно видеть, что M = ∂(xy)/∂x, N = ∂(xy)/∂y, так что здесь u = ху; следовательно, общий интеграл будет ху = С, или у = C/x. Простейший случай, когда условие интегрируемости удовлетворяется, — тот, где переменные, как говорят, разделены, т. е. когда М зависит только от х, а N только от у. Действительно, в этом случае, ∂M/∂y = ∂N/∂x = 0, и общий интеграл будет

Например, уравнение x dx + y dy = 0 имеет общий интеграл x2/2 + y2/2 = C. Так как произвольное постоянное мы можем обозначить вместо С, через С/2, то этот общий интеграл можно представить также в более простом виде х 2 + у 2 = С.

Простейшие уравнения первого порядка, интегрирование которых приводится к квадратурам, суть уравнения однородные, уравнения линейные и уравнения Клеро (Clairaut). Уравнения однородные суть уравнения, приводимые к виду dy/dx = f(y/x), где f(y/x) – данная функция от частного y/x; подстановкой y = ux, где u – новая неизвестная функция, уравнение приводится к виду, в котором переменные разделяются. Например, уравнение (x+y) dx – (x-y) dy = 0 (см. выше) приводится к виду

и, следовательно, есть уравнение однородное. Полагая y=ux, преобразуем это уравнение в

Здесь переменные разделены, и мы имеем интеграл уравнения в виде

Заменяя здесь u его выражением y/x, получим интеграл предложенного уравнению в виде

Линейным уравнениям называется уравнение вида dy/dx + Py = Q, где P и Q – данные функции от x. Его общий интеграл есть

Так как одно из значений определенного интеграла

Из дифференциальных уравнений высших порядков особенно замечательны уравнения линейные, часто встречающиеся в механике и математической физике. Общий вид линейного уравнения n-го порядка следующий:

т. н. однородного линейного уравнения, или уравнения без второй части. Лагранж показал, что общий интеграл такого уравнения имеет вид

Линейное однородное уравнение легко интегрируется в том случае, когда все коэффициенты Р — постоянные числа. В этом случае, как показал Эйлер, достаточно найти корни «решающего уравнения»

Если все эти корни действительны и различны, то, обозначая их через t₁, t₂. t_n, мы получим общий интеграл предложенного линейного уравнения в виде

Если среди корней решающего уравнения есть мнимые, например, t₁ = α+iβ, t₂ = α-iβ, где i = √-1, то соответствующие члены общего интеграла заменяются через С₁e αt sin βt + С₂e αt cos βt. Наконец, если решающее уравнение имеет равные корни, например, t₁ = t₂ = t_p, то соответствующие члены интеграла обращаются в

Когда общий интеграл линейного уравнения без второй части известен, то нахождению интеграла соответствующего уравнения со второй частью приводится, как показал Лагранж, к квадратурам, при помощи т. н. метода изменения произвольных постоянных. Сущность этого метода выяснится на следующем примере. Выше мы имели общий интеграл уравнения

y” – x/(x-1) y’ + 1/(x-1) y = х—1, предположим, что в предыдущем выражении С₁ и С₂ суть не постоянные, а некоторые функции от х, которые мы выберем так, чтобы получающееся выражение для у удовлетворило предложенному линейному уравнению со второй частью.

y = c₁х + с₂е х — x 2 — x — 1.

Интегрирование уравнения с частными производными представляет, вообще, задачу значительно более сложную, чем интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнений с частными производными первого порядка с одной неизвестной функцией задачу интегрирования всегда возможно привести к интегрированию системы обыкновенных совокупных дифференциальных уравнении с одним независимым переменным. Тогда как общий интеграл обыкновенных дифференциальных уравнений содержит, как было сказано выше, произвольные постоянные, в общий интеграл уравнений с частными производными входят произвольные функции от определенных аргументов. Так, например, общий интеграл уравнения 1-го порядка

В случае двух независимых переменных соотношение z = f(x,у) представляет геометрически некоторую поверхность, и интегрирование уравнения с частными производными можно рассматривать, как нахождение поверхности по данным ее дифференциальным свойствам, свойствам касательной плоскости, линий кривизны и т. п. В некоторых случаях, например для всех уравнений первого порядка, интегрирование уравнения с частными производными приводится к интегрированию некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. С геометрической точки зрения эти уравнения определяют па искомой поверхности семейство линий, которые Монж (1795) назвал характеристиками данного уравнения с частными производными. Группируя характеристики по тому или другому закону, мы получим различные поверхности, представляющие геометрически решения предложенного уравнения. Так, например, для уравнения x ∂z/∂x + y ∂z/∂y = z, дифференциальные уравнения характеристики будут dx/x = dy/y = dz/z.

Интегрируя их, получим два уравнения характеристики в виде y/x = c₁, z/x = c₂, где с₁ и с₂ произвольные постоянные. При данных значениях с₁ и с₂ эти два уравнения представляют одну из характеристик; в нашем примере это будет прямая. Чтобы получить интеграл предложенного уравнения с частными производными остается взять какую-либо последовательность этих характеристик, т. е. принять одно из постоянных, например, с₂, за произвольную функцию другого: с₂ = φ(с₁). Исключая постоянные из этого соотношения и двух уравнений характеристик, получим общее решение предложенного уравнения в виде z = x φ(y/x).

Из предыдущего видно, что задача интегрирования, как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений с частными производными разрешима только в сравнительно немногих частных случаях. Однако, можно доказать, что каждое дифференциальное уравнение, обыкновенное или с частными производными, имеет общий интеграл, зависящий от соответствующего числа произвольных постоянных или произвольных функций. Для обыкновенных уравнений эту теорему доказал Коши (1831), для уравнения с частными производными Ковалевская (1875).

Дифференциальные уравнения встречаются во всех приложениях математики. Хотя во многих случаях и невозможно дать точное выражение интегралов дифференциальных уравнений в закопченном виде, но для приложении важно, что эти интегралы можно представлять в виде бесконечных рядов, члены которых убывают настолько быстро, что на практике, при приближенных вычислениях, можно ограничиваться несколькими начальными членами ряда.

По высшему анализу есть много хороших руководств. Для первоначального ознакомления с основами высшего анализа можно указать Лоренца, «Элементы высшей математики», Пернет и Шлифлисс, «Основания высшей математики» Граве, «Энциклопедия математики». Из более подробных руководств — Носсе, «Курс дифференциального и интегрального исчислений», Гурса, «Курс математического анализа», Jordan, «Cours d’Anulyse», Serret, Lcrhbuch des Differential- und Integral rechnung.

Источник