что такое интегрирующий множитель

ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ

для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

— функция обладающая тем свойством, что уравнение

является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Напр., для линейного уравнения y’+a(x)y=f(x), или (a(x)y-f(x))dx+dy=0, И. м. служит функция Если уравнение (1) в области D, где имеет гладкий общий интеграл U(x, у) = С, то оно имеет бесконечно много И. м. Если функции Р( х, у), Q(x, у )имеют непрерывные частные производные в односвязной области D, где то в качестве И. м. можно взять любое частное (нетривиальное) решение уравнения с частными производными

(см. [1]). Однако общего метода отыскания решений уравнения (2) не существует и поэтому фактическое нахождение И. м. для конкретного уравнения (1) удается лишь в исключительных случаях (см. [2]).

Лит.:[1] Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 9 изд., М., 1966; [2] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976.

Смотреть что такое «ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ» в других словарях:

Интегрирующий множитель — Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными … Википедия

Интегрирующий множитель — множитель, после умножения на который левая часть дифференциального уравнения (См. Дифференциальные уравнения) P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (*) обращается в полный дифференциал (см. Дифференциальное исчисление) некоторой… … Большая советская энциклопедия

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися… … Википедия

АБСОЛЮТНАЯ ТЕМПЕРАТУРА — (термодинамическая температура), параметр состояния, характеризующий макроскопич. систему в состоянии термодинамич. равновесия (при этом А. т. всех её макроскопич. подсистем одинакова). А. т. введена в 1848 англ. физиком У. Томсоном (Кельвином)… … Физическая энциклопедия

КЛАУЗИУСА НЕРАВЕНСТВО — выражает теорему термодинамики, согласно к рой для любого кругового процесса (цикла), совершённого системой, выполняется неравенство: где dQ кол во теплоты, поглощённой или отданной системой на бесконечно малом участке кругового процесса при темп … Физическая энциклопедия

ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ — один из осн. законов термодинамики, устанавливающий необратимость реальных термодинамич. процессов. В. н. т. сформулировано как закон природы H. Л. С. Карно (N. L. S. Carnot) в 1824, P. Клаузиусом (R. Clausius) в 1850 и У. Томсоном (Кельвином) (W … Физическая энциклопедия

ДАРБУ УРАВНЕНИЕ — 1) Д. у. обыкновенное дифференциальное уравнение где Р, Q, R целые многочлены относительно хи у. Это уравнение впервые исследовал Г. Дарбу [1]. Частный случай Д. у. Якоби уравнение. Пусть п высшая степень многочленов Р, Q, R;если Д. у. имеет s… … Математическая энциклопедия

Мю (буква) — Греческий алфавит Α α альфа Β β бета … Википедия

Источник

Решение дифференциальных уравнений с помощью интегрирующего множителя

Определение интегрирующего множителя

Свойства интегрирующего множителя

Теорема о существовании интегрирующего множителя

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечное число интегрирующих множителей (при выполнении условий существования единственного решения).

Докажем это. Если существует решение уравнения (1), то его общий интеграл можно представить в виде:

Возьмем дифференциал:
(2)
Отсюда:

С другой стороны, из уравнения (1):

Левые части уравнений равны. Поэтому равны правые части:

Или:

Тогда уравнение (2) можно переписать в виде:

Исходное уравнение (1) превратилось в полный дифференциал умножением на интегрирующий множитель:

что доказывает существование интегрирующего множителя.

Покажем, что существует бесконечно много интегрирующих множителей. Для этого выражение:

Умножим на произвольную функцию от :

Это выражение также является полным дифференциалом, поэтому множитель

также является интегрирующим множителем. Поскольку – это произвольная функция, то можно построить бесконечное число интегрирующих множителей.

Теорема об отношении интегрирующих множителей

Если известны два интегрирующих множителя, отношение которых не является постоянной, то их отношение является общим интегралом дифференциального уравнения:
.

Методы определения интегрирующего множителя

Хотя каждое уравнение имеет интегрирующий множитель, совсем не обязательно, что он выражается через известные функции. Поэтому найти интегрирующий множитель можно не всегда. Но даже если интегрирующий множитель выражается через известные функции, нет методов, следуя которыми, можно было бы с гарантией определить его. Поэтому, при решении уравнений, следует проверить, не принадлежит ли уравнение одному из известных типов. И в том случае, если оно не принадлежит ни одному из известных типов, попытаться найти интегрирующий множитель.

Ниже описан ряд методов, с помощью которых, в некоторых случаях, можно найти интегрирующий множитель.

Метод последовательного выделения дифференциала

Этот метод аналогичен методу выделения полного дифференциала для уравнений в полных дифференциалах. Только здесь полный дифференциал удается выделить, умножая уравнение на множители. Для этого применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:
;
;
;
.
В этих формулах и – произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.

Пример

Метод группировки членов уравнения

Пример

Определение интегрирующего множителя заданного вида

Для этого умножим исходное уравнение на :

Это уравнение будет уравнением в полных дифференциалах при выполнении условия
.
Или:
;

Таким образом, интегрирующий множитель заданного вида существует, если правая часть уравнения (3) является функцией от u :

В этом случае

Или

Интегрируем:

Отсюда

Поскольку постоянная для интегрирующего множителя никакого значения не имеет, положим :

Пример

В нашем случае:
;
;
;
.
Интегрирующий множитель вида существует, поскольку есть функция от :

Находим его.
;
.
Опускаем знак модуля.

Уравнение имеет интегрирующий множитель
.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Источник

Интегрирующий множитель

Смотреть что такое «Интегрирующий множитель» в других словарях:

Интегрирующий множитель — Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными … Википедия

ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ — для обыкновенного дифференциального уравнения 1 го порядка функция обладающая тем свойством, что уравнение является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Напр., для линейного уравнения y +a(x)y=f(x), или (a(x)y f(x))dx+dy=0, И. м.… … Математическая энциклопедия

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися… … Википедия

АБСОЛЮТНАЯ ТЕМПЕРАТУРА — (термодинамическая температура), параметр состояния, характеризующий макроскопич. систему в состоянии термодинамич. равновесия (при этом А. т. всех её макроскопич. подсистем одинакова). А. т. введена в 1848 англ. физиком У. Томсоном (Кельвином)… … Физическая энциклопедия

КЛАУЗИУСА НЕРАВЕНСТВО — выражает теорему термодинамики, согласно к рой для любого кругового процесса (цикла), совершённого системой, выполняется неравенство: где dQ кол во теплоты, поглощённой или отданной системой на бесконечно малом участке кругового процесса при темп … Физическая энциклопедия

ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ — один из осн. законов термодинамики, устанавливающий необратимость реальных термодинамич. процессов. В. н. т. сформулировано как закон природы H. Л. С. Карно (N. L. S. Carnot) в 1824, P. Клаузиусом (R. Clausius) в 1850 и У. Томсоном (Кельвином) (W … Физическая энциклопедия

ДАРБУ УРАВНЕНИЕ — 1) Д. у. обыкновенное дифференциальное уравнение где Р, Q, R целые многочлены относительно хи у. Это уравнение впервые исследовал Г. Дарбу [1]. Частный случай Д. у. Якоби уравнение. Пусть п высшая степень многочленов Р, Q, R;если Д. у. имеет s… … Математическая энциклопедия

Мю (буква) — Греческий алфавит Α α альфа Β β бета … Википедия

Источник

Уравнение в полных дифференциалах

Вы будете перенаправлены на Автор24

Уравнение в полных дифференциалах и его решение

Дальнейшее решение таково:

Интегрирующие множители

Будем искать интегрирующий множитель в следующих двух простейших случаях:

В обоих формулах для интегрирующего множителя допустимо взять какое-то конкретное значение неопределенного интеграла. Если интегрирующий множитель найти удалось, то на него следует умножить данное дифференциальное уравнение, представленное в стандартном виде. После этого оно становится дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, и к нему можно применить соответствующий метод решения.

Алгоритмы решения

Рассмотренный метод решения может быть представлен в виде следующего алгоритма:

Поиск интегрирующего множителя может быть представлен в виде следующего алгоритма:

Дано дифференциальное уравнение, имеющее следующий вид:

\[\left(5\cdot y^ <3>+13\cdot y^ <2>+6\cdot y\right)\cdot dx+\left(10\cdot x\cdot y^ <2>+23\cdot x\cdot y-2\cdot y+6\cdot x-4\right)\cdot dy=0.\]

Умножаем полученный интегрирующий множитель на данное дифференциальное уравнение:

\[\frac <5\cdot y^<3>+13\cdot y^ <2>+6\cdot y> \cdot dx+\frac <10\cdot x\cdot y^<2>+23\cdot x\cdot y-2\cdot y+6\cdot x-4> \cdot dy=0.\]

После деления многочленов имеем:

\[\left(5\cdot y^ <2>+3\cdot y\right)\cdot dx+\left(10\cdot x\cdot y+3\cdot x-2\right)\cdot dy=0. \]

\[=\left(5\cdot y^ <2>+3\cdot y\right)\cdot \int dx =\left(5\cdot y^ <2>+3\cdot y\right)\cdot x=5\cdot x\cdot y^ <2>+3\cdot x\cdot y.\]

\[V’_ \left(x,y\right)=\frac<\partial > <\partial y>V\left(x,y\right)=\frac<\partial > <\partial y>\left(5\cdot x\cdot y^ <2>+3\cdot x\cdot y\right)=10\cdot x\cdot y+3\cdot x.\]

\[U’\left(y\right)=Q\left(x,y\right)-V’_ \left(x,y\right)=10\cdot x\cdot y+3\cdot x-2-10\cdot x\cdot y-3\cdot x=-2.\]

\[5\cdot x\cdot y^ <2>+3\cdot x\cdot y-2\cdot y=C.\]

\[F\left(2,3\right)=5\cdot 2\cdot 3^ <2>+3\cdot 2\cdot 3-2\cdot 3=90+18-6=102.\]

Источник

Что такое интегрирующий множитель

1. У равнения с разделяющимися переменными

Общий вид уравнений

С учетом равенства

После применения теоремы о сумме логарифмов и потенцирования получаем

2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид уравнений

Однородное уравнение (8.12) принимает вид: – уравнение с разделяющимися переменными. Следовательно, дальнейшее решение – по пункту 1.

После интегрирования обеих частей уравнения получаем

3. Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к однородным или к уравнениям с разделяющимися переменными

Общий вид уравнений

При c ₁ = c ₂ = 0 уравнение является однородным. Рассмотрим два случая при c ₁ и c ₂ не равных нулю одновременно.

В результате данной подстановки уравнение (8.15) становится однородным.

С помощью формул интегрирования (4.8) и (4.17) получаем:

Осуществим обратную подстановку :

– общий интеграл исходного уравнения

Пример 8.6. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

Исходное уравнение принимает вид:

После обратной замены получим: – общий интеграл исходного уравнения

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид уравнений

где P ( x ) и Q ( x ) – заданные функции (могут быть постоянными).

Уравнение (8.16) может быть решено двумя способами.

Пример 8.7. Проинтегрировать уравнен ие с помощью метода Бернулли.

Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обращалось в ноль, то есть и л и

Общее решение заданного ДУ можно также получить, пользуясь непосредственно формулой (8.18):

Таким образом, – общее решение исходного дифференциального уравнения

Пример 8.8. Проинтегрировать уравнение с помощью метода Лагранжа (сравни с пример ом 8.7).

5. Уравнения Бернулли

Общий вид уравнений

При n = 1 (8.1 9) – уравнение с разделяющимися переменными. При n = 0 (8.1 9) – линейное ДУ.

6. Уравнения в полных дифференциалах

6.1. Общий вид уравнений

Условие, по которому можно судить, что выражение является полным дифференциалом, можно сформулировать в виде следующей теоремы.

(8.22)

Таким образом, согласно определению полного дифференциала (6.6) должны выполняться равенства:

Формула (8.22) представляет собой теорему Шварца, согласно которой смешанные производные второго порядка функции F ( x ; y ) равны.

Найденное c ( y ) подставляем в функцию F ( x ; y ), получаем решение заданного ДУ:

Если условие (8.22) не выполняется, то ДУ (8.21) не является уравнением в полных дифференциалах.

Чтобы уравнение было уравнение в полных дифференциалах, должно выполняться условие

6.2. Пусть μ = μ ( x ). Тогда уравнение (8.25) принимает вид:

При этом подынтегральное выражение должно зависеть только от x.

6.3. Пусть μ = μ ( y ). Тогда аналогично можно получить

7. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной

7.1. Уравнение Лагранжа

Общий вид уравнений

Продифференцируем его по x :

Полученное уравнение (8.30) является линейным уравнением относительно неизвестной функции x = x ( p ). Решив его, найдем:

Исключая параметр p из уравнений (8.29) и (8.31), получаем общий интеграл уравнения (8.28) в виде y = γ ( x ; c ).

. (8.32)

Продифференцируем уравнение (8.33) по переменной x:

При получаем частное решение уравнения в параметрической форме:

Это – особое решение уравнения Клеро, так как оно не содержится в формуле общего решения уравнения.

Источник