Градиент потенциала – это скорость возрастания потенциала в направлении кротчайшем между двумя точками.
Между двумя точками имеется некоторая разность потенциалов. Если эту разность разделить на кратчайшее расстояние между взятыми точками, то полученное значение будет характеризовать скорость изменения потенциала в направлении кратчайшего расстояния между точками.
Градиент потенциала показывает направление наибольшего возрастания потенциала, численно равен модулю напряженности и отрицательно направлен по отношению к нему.
В определении градиента существенны два положения:
1) Направление, в котором берутся две близлежащие точки, должно быть таким, чтобы скорость изменения была максимальной.
2) Направление таково, что скалярная функция в этом направлении возрастает.
Для декартовой системы координат:
Скорость изменения потенциала в направлении оси Х, Y, Z:
; ;
Два вектора равны только тогда, когда равны друг другу их проекции. Проекция вектора напряженности на ось Х равна проекции скорости изменения потенциала вдоль оси Х, взятой с обратным знаком. Аналогично для осей Y и Z.
; ; .
В цилиндрической системе координат выражение градиента потенциала будет иметь следующий вид:
Для сокращения записи операций над скалярными и векторными величинами употребляют дифференциальный оператор Гамильтона или оператор Набла:
Под дифференциальным оператором Гамильтона понимают сумму частных производных по 3-м координатным осям, умноженных на соответствующие единичные векторы (орты).
Применим оператор Гамильтона к потенциалу:
Правые части одинаковы, значит, будут одинаковы и левые части:
Оператор Гамильтона сочетает в себе как векторные, так и скалярные свойства и может быть применен к скалярным и векторным функциям.
Дата добавления: 2015-07-30 ; просмотров: 19011 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Точечный заряд q 0 перемещается в поле заряда q вдоль произвольной траектории. Работа при перемещении заряда q 0 из точки 1 в точку 2 (рис. 1.14):
(1.14)
Рис. 1.14. Работа в электрическом поле
Полученный результат означает, что работа в электростатическом поле не зависит от траектории движения заряда, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы – консервативными. Тоже и для поля любой системы неподвижных зарядов.
Работа перемещения заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому контуруL, согласно (1.14)
1.4.2. Потенциал электростатического поля
Работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии, поэтому работу по перемещению заряда в электрическом поле можно представить в виде разности значений потенциальной энергии, которой обладает заряд q0 в точке 1 и 2 поля заряда q:
Значение С выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность потенциальная энергия была бы равна нулю.
Из (1.17) следует, что разные по величине пробные заряды будут обладать в одной и той же точке поля различной энергией, однако отношение Wp/qпр будет для всех зарядов одним и тем же, поэтому данную величину удобно использовать для описания поля в данной точке.
Потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля:
Потенциал j определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной, значение которой определяется разностью потенциалов в соседних точках поля.
Подставив в (1.18) значение W p из (1.17), получим для потенциала точечного заряда выражение:
,
Из формул (1.14) и (1.19) следует, что работа сил электростатического поля при перемещении точечного заряда q0 из точки 1 в точку 2 :
где ( j1– j2 ) – разность потенциалов двух точек 1 и 2 электростатического поля.
Из (1.20) следует, что разность потенциалов – это работа, совершаемая силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.
Согласно (1.20), работа, которую надо совершить, чтобы перенести пробный заряд из точки 1 в бесконечность ( ¥ ):
Потенциал – физическая величина, численно равная работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность.
Единица измерения в СИ: 1 В = 1 Дж/Кл. Внесистемная единица энергии – электронвольт (эВ). Электронвольт – это энергия, которую приобретает частица с зарядом, равным заряду электрона е = 1,60·10 –19 Кл, пробегая в вакууме разность потенциалов 1 В, т.е. 1 эВ = 1,60·10 –19 Дж. В электронвольтах обычно выражают энергию различных элементарных частиц.
Работа сил электростатического поля при перемещении точечного заряда q 0 из точки 1 в точку 2 может быть записана также в виде
.
Приравняв (1.20) и (1.22), получим
где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки.
1.4.3. Разность потенциалов и напряженность поля
Рис. 1.15. К соотношению между разностью потенциалов и напряженностью поля
Если известно распределение потенциала, т.е. его значение в каждой точке поля, то можно найти и напряженность этого поля в каждой точке.
Пусть пробный заряд перемещается силами поля из точки 1 в точку 2 вдоль прямолинейного отрезка (рис. 1.15). Если 1 и 2 – бесконечно близкие точки, то с огласно (1.23):
,
т.е. проекция вектора напряженности на направление перемещения равна со знаком минус производной потенциала по данному направлению.
Из (1.24), в частности,
Вектор :
или
grad – это вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции; , , – единичные векторы координатных осей x, y, z. Знак минус показывает, что вектор направлен в сторону убывания потенциала.
1.4.4. Эквипотенциальные поверхности
Рис. 1.16. Эквипотенциальные линии (сплошные) и линии напряженности (пунктир) различных полей.
Поверхности, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение, называют эквипотенциальными. Используются для графического изображения распределения потенциала.
Эквипотенциальные поверхности строят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними поверхностями были одинаковы. Градиент потенциала направлен перпендикулярно этой поверхности в сторону возрастания потенциала. Вектор напряженности электрического поля перпендикулярен в каждой точке эквипотенциальной поверхности и направлен в сторону убывания потенциала. На рис. 1.16 показаны картины электрических полей: пунктиром – линии вектора напряженности, сплошными линиями – эквипотенциали.
где j – потенциал результирующего поля в рассматриваемой точке относительно бесконечности, ri – расстояние от точечного заряда qi до интересующей точки поля.
Если заряды, образующие систему распределены непрерывно по всему объему тела, то
,
Если заряды расположены только на поверхности тела, то
Электрическое поле характеризуется тем, что работа перемещения заряда в поле не зависит от пути перехода из начального положения и является функцией только начального и конечного положений. Работа перемещения заряда по замкнутому контуру в электростатическом поле равна нулю. Из этих фактов следует, что электростатическое поле носит потенциальный характер и характеризуется особой величиной – потенциалом . Величина
, (12)
Где Wр – потенциальная энергия заряда q, называется потенциалом поля в данной точке и используется наряду с напряженностью поля для описания электрических полей.
Как следует из приведенной формулы, потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.
В то время, как напряженности поля складываются при наложении полей векторно, потенциалы складываются алгебраически. По этой причине вычисление потенциалов проще, чем вычисление напряженностей поля.
Из (12) вытекает, что заряд q, находящийся в точке поля с потенциалом , обладает потенциальной энергией
.
Следовательно, работа сил над зарядом q может быть выражено через разность потенциалов
.
Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.
Если заряд q из точки с потенциалом удаляется на бесконечность, где по условию потенциал равен нулю, то работа сил поля равна
.
Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из денной точки на бесконечность.
Эквипотенциальные поверхности.
Для наглядного изображения поля можно вместо линий напряженностей воспользоваться поверхностями равного потенциала или эквипотенциальными поверхностями.
Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью.
Если потенциал задан как функция X, Y, Z, то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:
(x,y,z) = const.
Эти поверхности проводятся в пространстве таким образом, чтобы численное значение потенциала на двух соседних поверхностях отличалось повсюду на одинаковую величину ∆(например на I В).
В качестве примера рассмотрим эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда . Отсюда следует, что при r =const т.е. поверхности равного потенциала будут концентрическими сферами, описанными вокруг источника поля на возрастающих расстояниях друг от друга, как это показано на рис.4.
Проведем на рис.4 линии напряженности поля. Эти линии выходят из точечного заряда и направлены вдоль радиусов, т.е. перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.
Эта взаимная перпендикулярность линий поля и эквипотенциальных поверхностей остается справедливой и для сколь угодно сложных электростатических полей.
Градиент потенциала. Связь между напряженностью и потенциалом.
Работа сил поля над зарядом q на отрезке пути dl может быть представлена с одной стороны, как
В частности, в декартовой системе координат:
; ; ;
откуда .
. (13)
Таким образом, напряженность электрического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком.
; 
; 
; 
; 
.
.
.
Работа сил электростатического поля
Потенциал электростатического поля
,
.
(рис. 1.15). Если 1 и 2 – бесконечно близкие точки, то с огласно (1.23):
,
:
, 
, 
– единичные векторы координатных осей x, y, z. Знак минус показывает, что вектор 
,
,
,
. Величина
, (12)
для описания электрических полей.
.
.
.
(x,y,z) = const.
. Отсюда следует, что 
при r = const т.е. поверхности равного потенциала будут концентрическими сферами, описанными вокруг источника поля на возрастающих расстояниях друг от друга, как это показано на рис.4.
; 
; 
;
.
. (13)