что такое евклидова геометрия простыми словами

Евклидова (элементарная) геометрия

Евклидова геометрия — это геометрическая теория, основанная на системе аксиом, которая была впервые изложена в третьем веке до нашей эры великим древнегреческим математиком Евклидом в грандиозном научном труде «Начала».

Система аксиом Евклида базируется на основных геометрические понятиях таких, как точка, прямая, плоскость, движение, а также на следующие отношения: «точка лежит на прямой на плоскости», «точка лежит между двумя другими».

В «Началах» Евклид представил следующую аксиоматику:

Тщательное изучение аксиоматики Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту. В 1899 году Д. Гилберт предложил первую строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Впоследствии еще не раз ученые предпринимали попытки усовершенствовать аксиоматику евклидовой геометрии. Кроме аксиоматики Гилберта, известными считаются: аксиоматики Тарского и аксиоматики Биргофа, которая состоит всего лишь из 4 аксиом.

В современной трактовке система аксиом Евклида может быть разделена на пять групп:

Евклидова геометрия стала результатом систематизации и обобщения наглядных представлений человека об окружающем мире. Углубленное проникновение в суть геометрии привело к более абстрактному пониманию науки. Более поздние достижения и открытие показали, что наши представления о пространстве являются априорными, то есть чисто умозрительные. Таким образом было поставлено под сомнение существование единственной геометрии. бурное развитие физики и астрономии, доказало, что евклидова геометрия описывает структуру окружающего пространства, но вовсе не способна описать свойства пространства, связанные с перемещениями тел со скоростями, близкими к световой. Русский математик Н. И. Лобачевский разработал новую неевклидову геометрию, которая приблизилась к реальному описанию физического пространства.

Источник

Евклидова геометрия

Евкли́дова геоме́трия (или элементарная геометрия) — геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.).

Содержание

Основные сведения

Элементарная геометрия — геометрия, определяемая в основном группой перемещений (изометрий) и группой подобия. Однако содержание элементарной геометрии не исчерпывается указанными преобразованиями. Так, к элементарной геометрии также относят преобразование инверсии, вопросы сферической геометрии, элементы геометрических построений, теорию измерения геометрических величин и другие вопросы.

Элементарную геометрию часто называют евклидовой геометрией, так как первоначальное и систематическое её изложение, хотя и недостаточно строгое, было в «Началах» Евклида. Первая строгая аксиоматика элементарной геометрии была дана Гильбертом. Элементарная геометрия изучается в средней общеобразовательной школе.

Аксиоматика

Проблема полной аксиоматизации элементарной геометрии — одна из проблем геометрии, возникшая в Древней Греции в связи с критикой этой первой попытки построить полную систему аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей.

В «Началах» Евклида была дана следующая аксиоматика:

Исследование системы аксиом Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту.

В 1899 году Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем, Шуром, Пеано, Веронезе, однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным.

Существуют и другие современные аксиоматики, наиболее известные:

См. также

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Евклидова геометрия» в других словарях:

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ, система геометрии, основанная на АКСИОМАХ, сформулированных в книге ЕВКЛИДА «Начала». Исходя из набора самоочевидных положений (аксиом) и пользуясь жесткой логикой, Евклид пришел к ряду важных результатов. Его выводы… … Научно-технический энциклопедический словарь

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — (элементарная геометрия) (см.) пространства, описываемая системой аксиом и постулатов, изложенных древнегреческим математиком и астрономом Евклидом (III в. до н. э.) в его главном труде «Начала». Древние понятия и преобразования, приведенные в… … Большая политехническая энциклопедия

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — ЕВКЛИДОВА геометрия, геометрия, описывающая простейшие свойства физического пространства. Исходными объектами евклидовой геометрии являются точки, прямые, плоскости. Основные положения евклидовой геометрии сосредоточены в системе аксиом, первая… … Современная энциклопедия

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, систематическое построение которой было осуществлено в Началах Евклида. Возникновение Евклидовой геометрии связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (напр., прямые линии натянутые нити и т. п.) Длительный процесс… … Большой Энциклопедический словарь

Евклидова геометрия — ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ, геометрия, описывающая простейшие свойства физического пространства. Исходными объектами евклидовой геометрии являются точки, прямые, плоскости. Основные положения евклидовой геометрии сосредоточены в системе аксиом, первая… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

евклидова геометрия — геометрия, систематическое построение которой было осуществлено в «Началах» Евклида. Возникновение евклидовой геометрии связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (например, прямые линии натянутые нити и т. п.). Длительный… … Энциклопедический словарь

Евклидова геометрия — геометрия, систематическое построение которой было впервые дано в 3 в. до н. э. Евклидом. Система аксиом Е. г. опирается на следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость, движение и следующие отношения: «точка лежит на прямой на… … Большая советская энциклопедия

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, систе матич. построение к рой было осуществлено в Началах Евклида. Возникновение Е. г. связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (напр., прямые линии натянутые нити и т. п.). Длит. процесс углубления наших… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Евклидова геометрия — геометрия, построенная на базе аксиом абсолютной геометрии (являющейся общей частью как евклидовой, так и геометрии Лобачевского) и знаменитой аксиомы Евклида о параллельных (через точку А, не принадлежащую прямой а, в плоскости, определяемой… … Начала современного естествознания

Источник

Евклидова геометрия

Полезное

Смотреть что такое «Евклидова геометрия» в других словарях:

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ, система геометрии, основанная на АКСИОМАХ, сформулированных в книге ЕВКЛИДА «Начала». Исходя из набора самоочевидных положений (аксиом) и пользуясь жесткой логикой, Евклид пришел к ряду важных результатов. Его выводы… … Научно-технический энциклопедический словарь

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — (элементарная геометрия) (см.) пространства, описываемая системой аксиом и постулатов, изложенных древнегреческим математиком и астрономом Евклидом (III в. до н. э.) в его главном труде «Начала». Древние понятия и преобразования, приведенные в… … Большая политехническая энциклопедия

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — ЕВКЛИДОВА геометрия, геометрия, описывающая простейшие свойства физического пространства. Исходными объектами евклидовой геометрии являются точки, прямые, плоскости. Основные положения евклидовой геометрии сосредоточены в системе аксиом, первая… … Современная энциклопедия

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, систематическое построение которой было осуществлено в Началах Евклида. Возникновение Евклидовой геометрии связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (напр., прямые линии натянутые нити и т. п.) Длительный процесс… … Большой Энциклопедический словарь

Евклидова геометрия — ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ, геометрия, описывающая простейшие свойства физического пространства. Исходными объектами евклидовой геометрии являются точки, прямые, плоскости. Основные положения евклидовой геометрии сосредоточены в системе аксиом, первая… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Евклидова геометрия — (или элементарная геометрия) геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.). Содержание 1 Основные сведения 2 Аксиоматика … Википедия

евклидова геометрия — геометрия, систематическое построение которой было осуществлено в «Началах» Евклида. Возникновение евклидовой геометрии связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (например, прямые линии натянутые нити и т. п.). Длительный… … Энциклопедический словарь

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, систе матич. построение к рой было осуществлено в Началах Евклида. Возникновение Е. г. связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (напр., прямые линии натянутые нити и т. п.). Длит. процесс углубления наших… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Евклидова геометрия — геометрия, построенная на базе аксиом абсолютной геометрии (являющейся общей частью как евклидовой, так и геометрии Лобачевского) и знаменитой аксиомы Евклида о параллельных (через точку А, не принадлежащую прямой а, в плоскости, определяемой… … Начала современного естествознания

Источник

Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы

Понятие аксиомы

Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Записывайся на онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Доказательство через синтез

Рассмотрим пример синтетического способа доказательства.

Теорема: сумма углов треугольника равна двум прямым.

Дан треугольник: ABC. Нужно доказать, что A + B + C = 2d.

Доказательство:

Проведем прямую DE, так чтобы она была параллельна AC.

Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно, α + B + γ = 2d.

Так как α = A, γ = C, то заменим в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами: A + B + C = 2d. Что и требовалось доказать.

Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, которые лежат по одну сторону прямой. Есть связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною. Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.

Доказательство через анализ

Рассмотрим пример аналитического способа доказательства.

Теорема: диагонали параллелограмма пересекаются пополам.

Дан параллелограмм: ABCD.

Доказательство:

Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны.

Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD, как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ, как накрест-лежащие углы.

Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до уже доказанного предложения.

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол напротив стороны а.

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.

Источник

Евклидова геометрия

Евклидова геометрия является примером синтетической геометрии, поскольку она логически переходит от аксиом, описывающих основные свойства геометрических объектов, таких как точки и линии, к утверждениям об этих объектах, и все это без использования координат для определения этих объектов. Это контрастирует с аналитической геометрией, которая использует координаты для перевода геометрических утверждений в алгебраические формулы.

Содержание

[править] «Начала»

«Начала» — это в основном систематизация ранее полученных знаний по геометрии. Работа Евклида является более общей, в результате чего было мало интереса к сохранению более ранних трудов, и теперь они почти все потеряны.

В книгах I—IV и VI обсуждается геометрия плоскости. Доказано множество результатов о плоских фигурах, например: «В любом треугольнике два угла, взятые вместе любым способом, меньше двух прямых» (Книга I, предложение 17) и теорема Пифагора: «В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, образующей прямой угол, равен квадратам на сторонах, содержащих прямой угол» (Книга I, предложение 47).

Книги V и VII—X посвящены теории чисел, где числа рассматриваются геометрически как длины отрезков прямой или площади областей. Вводятся такие понятия, как простые числа, рациональные и иррациональные числа. Доказано, что простых чисел бесконечно много.

Книги XI—XIII посвящены твердотельной геометрии. Типичный результат — это соотношение 1:3 между объемом конуса и цилиндра с одинаковой высотой и основанием. Платоновы тела построены.

[править] Аксиомы

Евклидова геометрия — это аксиоматическая система, в которой все теоремы («истинные утверждения») выводятся из небольшого числа простых аксиом. До появления неевклидовой геометрии эти аксиомы считались очевидными в физическом мире, так что все теоремы были одинаково верными. Однако рассуждения Евклида от предположений к заключениям остаются в силе независимо от их физической реальности. [4]

Ближе к началу первой книги «Начал» Евклид дает пять постулатов (аксиом) для плоской геометрии, сформулированных в терминах конструкций.

Хотя Евклид только явно утверждает существование сконструированных объектов, в его рассуждениях они неявно предполагаются уникальными.

«Начала» также включают следующие пять «общих понятий»:

[править] Методы доказательства

Евклидова геометрия конструктивна. Постулаты 1, 2, 3 и 5 утверждают существование и уникальность определенных геометрических фигур, и эти утверждения носят конструктивный характер: то есть нам не только говорят, что определенные вещи существуют, но также дают методы для их создания с помощью не более чем циркуль и линейка без опознавательных знаков. В этом смысле евклидова геометрия более конкретна, чем многие современные аксиоматические системы, такие как теория множеств, которые часто утверждают существование объектов, не говоря, как их построить, или даже утверждают существование объектов, которые не могут быть построены в рамках теории. Строго говоря, линии на бумаге — это модели объектов, определенных в формальной системе, а не экземпляры этих объектов. Например, евклидова прямая линия не имеет ширины, но любая настоящая нарисованная линия будет. Хотя почти все современные математики считают неконструктивные методы столь же надежными, как и конструктивные, конструктивные доказательства Евклида часто вытесняли ошибочные неконструктивные — например, некоторые из пифагорейских доказательств, в которых использовались иррациональные числа, которые обычно требовали такого утверждения, как «Найдите наибольшую общую меру». из … » [6]

Евклид часто использовал доказательство от противного. Евклидова геометрия также допускает метод наложения, при котором фигура переносится в другую точку пространства. Например, предложение I.4, конгруэнтность треугольников сторона-угол-сторона, доказывается перемещением одного из двух треугольников так, чтобы одна из его сторон совпадала с равной стороной другого треугольника, а затем доказыванием совпадения других сторон. Некоторые современные методы лечения добавляют шестой постулат, жесткость треугольника, который можно использовать как альтернативу суперпозиции. [7]

[править] Система измерения и арифметики

Евклидова геометрия имеет два основных типа измерений: угол и расстояние. Угловая шкала является абсолютной, и Евклид использует прямой угол в качестве своей основной единицы, так что, например, угол в 45 градусов будет называться половиной прямого угла. Шкала расстояний относительна; один произвольно выбирает отрезок прямой с некоторой ненулевой длиной в качестве единицы, а другие расстояния выражаются относительно него. Сложение расстояний представлено конструкцией, в которой один линейный сегмент копируется на конец другого линейного сегмента для увеличения его длины, и аналогично для вычитания.

Измерения площади и объема производятся на основе расстояний. Например, прямоугольник шириной 3 и длиной 4 имеет площадь, представляющую произведение, 12. Поскольку эта геометрическая интерпретация умножения была ограничена тремя измерениями, не существовало прямого способа интерпретации произведения четырех или более чисел, и Евклид избегал таких произведений, хотя они подразумеваются, например, в доказательстве книги IX, предложение 20.

Евклид называет пару линий, пару плоских или твердых фигур «равными» (ἴσος), если их длина, площадь или объем равны соответственно, и аналогично для углов. Более сильный термин «конгруэнтный» относится к идее, что вся фигура имеет тот же размер и форму, что и другая фигура. В качестве альтернативы, две фигуры являются конгруэнтными, если одну можно поставить поверх другой, чтобы она точно совпала с ней (gереворачивание разрешено.) Таким образом, например, прямоугольник 2×6 и прямоугольник 3×4 равны, но не конгруэнтны, а буква R конгруэнтна своему зеркальному отображению. Фигуры, которые были бы совпадающими, за исключением различий в размерах, называются подобными. Соответствующие углы в паре одинаковых форм конгруэнтны, а соответствующие стороны пропорциональны друг другу.

[править] Обозначения и терминология

[править] Именование точек и фигур

Точки обычно называют заглавными буквами алфавита. Другие фигуры, такие как линии, треугольники или круги, именуются перечислением достаточного количества точек, чтобы однозначно выделить их из соответствующей фигуры, например, треугольник ABC обычно будет треугольником с вершинами в точках A, B и C.

[править] Дополнительные углы

Углы, сумма которых составляет прямой угол, называются дополнительными. Дополнительные углы образуются, когда луч имеет одну и ту же вершину и направлен в направлении, которое находится между двумя исходными лучами, которые образуют прямой угол. Число лучей между двумя исходными лучами бесконечно.

Источник