что такое двойной интеграл в математике
Вычисление двойных интегралов: теория и примеры
Что значит вычислить двойной интеграл?
Записывается двойной интеграл так:
.
Случай прямоугольной области:
Случай криволинейной области:
Сведение двойного интеграла к повторному
Случай прямоугольной области
Пусть для такой функции существует двойной интеграл
.
Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид
.
Можно и поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид
.
Пример 1. Вычислить двойной интеграл
,
.
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
.
На чертеже строим область интегрирования:
Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая игрек константой. Получаем.
.
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Результат и будет решением данного двойного интеграла.
Пример 2. Вычислить двойной интеграл
,
.
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
.
На чертеже строим область интегрирования:
Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Результат и будет решением данного двойного интеграла.
Случай криволинейной или треугольной области
.
Пусть для такой функции также существует двойной интеграл
.
Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид
.
Точно так же можно поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид
.
Пример 3. Вычислить двойной интеграл
,
.
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
.
На чертеже строим область интегрирования и видим, что она треугольная:
Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого). Сначала представляем этот интеграл в виде суммы интегралов:
.
Вычисляем первое слагаемое:
Вычисляем второе слагаемое:
Вычисляем третье слагаемое:
Получаем сумму, которая и будет решением данного двойного интеграла:
.
Пример 4. Вычислить двойной интеграл
,
.
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
.
На чертеже строим область интегрирования:
Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.
.
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Результат и будет решением данного двойного интеграла.
Вычислить двойной интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 5. Вычислить двойной интеграл
,
если область D ограничена прямыми
.
Пример 6. Вычислить двойной интеграл
,
если область D ограничена прямыми
.
x-правильная и неправильная, y-правильная и неправильная области интегрирования
Случается, область интегрирования двойного интеграла ограничена такими линиями, что возникает необходимость разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно. Это случаи, когда:
1) область интегрирования представляет собой фигуру, имеющую в виде нижней или верхней (левой или правой) границы две или более двух прямых или кривых линий;
2) область интегрирования представляет собой фигуру, границу которой прямые пересекают более чем в двух точках.
Если вышесказанное относится к левой или правой границе области интегрирования, то есть ограничениях, заданных линиями, выраженными через x, то область интегрирования называется x-неправильной. Если же прямая y = y 0 пересекает соответствующую границу лишь в одной точке и если границей служит лишь одна прямая или кривая, то область интегрирования называется x-правильной
Аналогично, если границу, заданную линиями, выраженными через y, прямая x = x 0 пересекает более чем в одной точке или если границей служат более одной прямой или кривой, то область интегрирования называется y-неправильной. Вывести теперь признаки y-правильной области, надо полагать, совсем просто.
До сих пор мы рассматривали примеры с x-неправильными и y-правильными областями интегрирования. Теперь рассмотрим случаи, когда условие правильности нарушается.
Вычисляется этот двойной интеграл так:
Смена порядка интегрирования
Как уже отмечалось выше, после приведения двойного интеграла к повторному интегралу, можно поменять переменные x и y ролями, или, говоря иначе, поменять порядок интегрирования.
Пример 8. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла
.
(нижний) и 
(верхний).
Таким образом, после смены порядка интегрирования повторный интеграл запишется так:
.
После смены порядка интегрирования в двойном интеграле нередко область интегрирования превращается в y-неправильную или x-неправильную (см. предыдущий параграф). Тогда требуется разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно.
Поскольку разбиение области интегрирования на части представляет определённые трудности для многих студентов, то не ограничимся примером, приведённым в предыдущем параграфе, а разберём ещё пару примеров.
Пример 9. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла
.
Естественно, таким же будет решение двойного интеграла, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.
Пример 10. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла
.
Поэтому разобьём область интегрирования на три части прямыми, которые на рисунке начерчены чёрным. Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Пределы для трёх новых областей интегрирования будут следующими.
Для 
:
Для 
:
Для 
:
Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме трёх интегралов:
Той же сумме трёх интегралов будет равен и двойной интеграл, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.
Пример 11. Найти пределы интегрирования двойного интеграла, если область интегрирования D задана следующим образом:
Решение. В явном виде (через x и y «без примесей») линии, ограничивающие область интегрирования, не заданы. Так как для икса ими чаще всего оказываются прямые, касающиеся в одной точке верхней и нижней границ, выраженных через игрек, то пойдём именно по этому пути. Тем более, что при смене порядка интегирования мы получим область интегрирования с такой же площадью. Разрешим неравенства относительно игрека и получим:
Теперь данный двойной интеграл можем записать как сумму двух повторных интегралов с правильно расставленными пределами интегрирования:
.
Вычисление площади и объёма с помощью двойных интегралов
Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла имеет более универсальный характер, чем вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла. С помощью двойного интеграла можно вычислять площади не только криволинейной трапеции, но и фигур, расположенных произвольно по отношению к к координатным осям.
.
Вычисляем внутренний (правый) интеграл:
.
Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Расставляя пределы интегрирования, получаем следующий повторный интеграл:
.
Вычисляем внутренний (правый) интеграл:
.
Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Так что же такое двойной интеграл?
,
которую назовём интегральной суммой. Диаметром области D условимся называть наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Учитывается также наибольший из диаметров частичных областей.
Определение. Если интегральная сумма при неограниченном возрастании числа n разбиений области D и стремлении наибольшего из диаметров частичных областей к нулю имеет предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.
Если областью интегрирования является окружность или часть окружности, то двойной интеграл проще вычислить в полярных координатах. Обобщением понятия двойного интеграла для функции трёх переменных является тройной интеграл.