что такое действительные числа в алгебре

Действительные числа: определение, примеры, представления

Данная статья посвящена теме «Действительные числа». В статье дается определение действительных чисел, иллюстрируется их положение на координатной прямой, рассматриваются способы задания действительных чисел числовыми выражениями.

Определение действительных чисел

Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?

Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:

Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.

Координатная прямая и действительные числа

Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.

Представления действительных чисел

Под определение дейситвительных чисел попадают:

Также действительные числа часто представляются в виде выражений со степенями, корнями и логарифмами. Сумма, разность произведение и частное действительных чисел также являются действительными числами.

Значение любого выражения, составленного из действительных чисел, также будет являться действительным числом.

Источник

Числа. Действительные числа.

Вещественное, или действительное число возникло из необходимости измерений геометрической и физической величин мира. Кроме того, для проведения операций извлечения корня, вычисления логарифма, решения алгебраических уравнений и т.д.

Натуральные числа образовались с развитием счета, а рациональные с потребностью управлять частями целого, то вещественные числа (действительные) используются для измерений непрерывных величин. Т.о., расширение запаса чисел, которые рассматриваются, привело к множеству вещественных чисел, которое кроме рациональных чисел состоит из других элементов, называемых иррациональные числа.

Множество вещественных чисел обозначают и зачастую называют вещественной или числовой прямой. Вещественные числа состоят из простых объектов: целых и рациональных чисел.

Всякое рациональное число легко представить как конечную дробь либо бесконечную периодическую десятичную дробь.

Бесконечная десятичная дробь, это десятичная дробь, у которой после запятой есть бесконечное число цифр.

Числа, которые нельзя представить в виде , являются иррациональными числами.

Пример:

Всякое иррациональное число легко представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Рациональные и иррациональные числа создают множество действительных чисел. Всем действительным числам соответствует одна точка координатной прямой, которая называется числовая прямая.

Для числовых множеств используются обозначения:

Теория бесконечных десятичных дробей.

Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь, т.е.:

где ± есть один из символов + или −, знак числа,

a₀ — целое положительное число,

a₁,a₂,…a_n,… — последовательность десятичных знаков, т.е. элементов числового множества <0,1,…9>.

Бесконечную десятичную дробь можно объяснить как число, которое на числовой прямой находится между рациональными точками типа:

Сравнение вещественных чисел как бесконечных десятичных дробей происходит поразрядно. Например, предположим даны 2 положительны числа:

Если a₀0, то α b₀ то α>β. Когда a₀=b₀ переходим к сравнению следующего разряда. И т.д. Когда α≠β, значит после конечного количества шагов встретится первый разряд n, такой что a_n≠b_n. Если a_nn, то α b_n то α>β.

Арифметические операции с бесконечными десятичными дробями это непрерывное продолжение соответствующих операций с рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел α и β является вещественное число α+β, которое удовлетворяет таким условиям:

Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №15. Действительные числа.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) множество иррациональных чисел;

2) множество рациональных чисел;

3) правила выполнения действий с бесконечными десятичными дробями;

4)определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Иррациональные числа— это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби, т.е. числа после запятой в записи данного числа не повторяются.

Дробные числа – это числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби.

Все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.).

Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Все числа, которые мы изучаем в школе, называются действительными числами. Они образуют множество действительных чисел, которые принято обозначать латинской буквой R.

В свою очередь все действительные числа можно разделить на 2 группы: рациональные числа и иррациональные числа.

Иррациональные числа— это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби, т.е. числа после запятой в записи данного числа не повторяются.

Рациональные числа, в свою очередь, можно разделить на 2 вида – это целые числа и дробные числа.

Дробные числа – это числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби.

Целые же числа можно разделить еще на несколько групп: отрицательные целые числа, нуль и положительные (натуральные) целые числа.

На числовой оси (Ох) между целыми числами будут находиться дробные иррациональные числа. Все вместе они будут представлять собой множество действительных чисел, R.

Обратите внимание, что все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.).

Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.

Числа 4; 4,2; 4,28 и т.д. являются последовательными приближениями значений суммы

.

Пусть это последовательные приближения действительного числа у с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т.д. Тогда погрешность приближения как угодно близко приближается к нулю.

при или

Читается «модуль разности у и стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности» или «предел модуля разности у и при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю»

Т.е. если при или

Модуль действительного числа у обозначается как |у| и определяется так же, как и модуль рационально числа:

.

А теперь давайте вспомним, что такое геометрическая прогрессия.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего (Рисунок 1).

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,

n=15, ;

n=20, ;

n=21, .

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников. (рисунок 2)

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

Используя данное определение можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: (Рисунок 3)

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.

Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим сумму n первых слагаемых.

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна

Если n неограниченно возрастает, то

или . Поэтому , т.е. .

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности

Например, для прогрессии , где ,

имеем

Так как то

Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Пример 1:

Найдем значение данного выражения с точностью до единиц.

Округлим полученные результаты до десятых:

Найдем значение данного выражения с точностью до десятых.

Округлим полученные результаты до сотых:

3

Найдем значение данного выражения с точностью до сотых.

Округлим полученные результаты до тысячных:

32

и т.д.

Давайте выясним, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой:

а) ; б)

. Найдем q.

;;

Следовательно, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Следовательно, данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Источник

Числа. Действительные числа.

Вещественное, или действительное число возникло из необходимости измерений геометрической и физической величин мира. Кроме того, для проведения операций извлечения корня, вычисления логарифма, решения алгебраических уравнений и т.д.

Натуральные числа образовались с развитием счета, а рациональные с потребностью управлять частями целого, то вещественные числа (действительные) используются для измерений непрерывных величин. Т.о., расширение запаса чисел, которые рассматриваются, привело к множеству вещественных чисел, которое кроме рациональных чисел состоит из других элементов, называемых иррациональные числа.

Множество вещественных чисел обозначают и зачастую называют вещественной или числовой прямой. Вещественные числа состоят из простых объектов: целых и рациональных чисел.

Всякое рациональное число легко представить как конечную дробь либо бесконечную периодическую десятичную дробь.

Бесконечная десятичная дробь, это десятичная дробь, у которой после запятой есть бесконечное число цифр.

Числа, которые нельзя представить в виде , являются иррациональными числами.

Пример:

Всякое иррациональное число легко представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Рациональные и иррациональные числа создают множество действительных чисел. Всем действительным числам соответствует одна точка координатной прямой, которая называется числовая прямая.

Для числовых множеств используются обозначения:

Теория бесконечных десятичных дробей.

Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь, т.е.:

где ± есть один из символов + или −, знак числа,

a₀ — целое положительное число,

a₁,a₂,…a_n,… — последовательность десятичных знаков, т.е. элементов числового множества <0,1,…9>.

Бесконечную десятичную дробь можно объяснить как число, которое на числовой прямой находится между рациональными точками типа:

Сравнение вещественных чисел как бесконечных десятичных дробей происходит поразрядно. Например, предположим даны 2 положительны числа:

Если a₀0, то α b₀ то α>β. Когда a₀=b₀ переходим к сравнению следующего разряда. И т.д. Когда α≠β, значит после конечного количества шагов встретится первый разряд n, такой что a_n≠b_n. Если a_nn, то α b_n то α>β.

Арифметические операции с бесконечными десятичными дробями это непрерывное продолжение соответствующих операций с рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел α и β является вещественное число α+β, которое удовлетворяет таким условиям:

Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.

Источник