что такое дельта функция дирака

Что такое дельта-функция Дирака?

Если я это прочитаю, я смогу кастовать файерболы?

Я задался вопросом сколько раз надо прокрутить колесиком мышки пока этот пост с функциями не пропадет, оказалось, что 14 раз, но легче было просто свернуть.

Ошибка! Я таки нашёл. В последнем абзаце слово аппрокимация, а надо аппроксимация.

И ещё есть. После фразы о теории вероятности мысль о рассужении. Это или уширение или усужение или рассуждение. нужное подчеркнуть. )))

Ничего личного, чисто поржать. )))

Я тут тихонько постою, просто комменты почитаю.. а по теме поста у меня вопросов нет)) Чего спрашивать то? И так все понятно))

Интересный пост! Подписался.

Если ты реально понял все что только что написал то у тебя походу есть математические способности.

Я не каждый из вас!так как никогда не задавался таким вопросом!

напоминает рассуждения Малянова из «Миллиард лет до конца света» Стругацких (извиняюсь за большую цитату, там все на цитаты можно растащщить)

«— Над чем я работаю? — переспросил он со злорадством. — Изволь, могу рассказать во всех подробностях. Тебе, как биологу это будет страшно интересно. Вчера утром я наконец слез с мертвой точки. Оказывается, при самых общих предположениях относительно потенциальной функции, мои уравнения движения имеют еще один интеграл, кроме интеграла энергии и интегралов моментов. Получается что-то вроде обобщения ограниченной задачи трех тел. Если уравнения движения записать в векторной форме и применить преобразования Гартвига, то интегрирование по всему объему проводится до конца и вся проблема сводится к интегро-дифференциальным уравнениям типа Колмогорова-Феллера…»

Это к вопросу, что каждый в своей жизни хоть раз наверняка задавался вопросом, что такое импульсная функция им. Дирака. )))

Залип и затупил где-то в районе первой картинки.

Сделай лучше пост про тензоры с глупыми примерами.

Такое упорство и вера в материал, который излагаешь, определенно, заслуживает жирного плюса!

Спасибо, подписался. Жду дальнейших постов)

1. А что же,все таки, такое дельта-функция Дирака?

2. Аааааа, это наверное должно выглядеть как то так (дальше по тексту поста)?

3. Ой, черный волос вылез, надо вырвать.

5. А вспомнила, да ну для этой сумочки это дорого.

Вот просто интересно посмотреть было комментарии.

Если топик-стартер девушка и она постит это не для фана ради, а со знанием дела, то я женюсь

В какой комнате хранятся ВСЕ доказательства математики и где она находится? 😉 Как формулируется задача об этой комнате, решена ли она и почему эта комната называется пифагоровой?

Рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, ректор Университета Дмитрия Пожарского, профессор МФТИ, научный руководитель ЦДПО РЭШ, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых.

Удивительно

Математика без границ!

1 класс: Есть числа от 1 до 10, в принципе, не сложно
2 класс: Есть числа больше 10. И даже больше ста.
3 класс: Твою мать, это работает и в обратную от нуля сторону!
4 класс: Теперь в примерах ещё и буквы.
5 класс: Между 0 и 1 тоже бесконечность из чисел.
6 класс: Бесконечности вправо и влево мало. Нужно добавить бесконечность вверх, вниз, вперёд и назад.
7 класс: Цифры были, буквы были, что бы ещё добавить? А давайте-ка порисуем в клеточках и назовём это графиком!
8 класс: Больше знаков и букв!
9 класс: Ещё больше знаков и букв!
10 класс: Переломный момент, когда надписи на доске плавно переходят в смесь цифр, букв и знаков.
11 класс: Логарифмируем, логарифмируем да не вылогарифмируемся. Интегрируем, интегрируем да дождь вызываем.
1 курс: На ноль делить нельзя, но есть пределы.
2 курс: На ноль делить можно, если осторожно.
3 курс: Да, в принципе, и корень из отрицательного числа извлечь можно. В этом нам помогут число, которое состоит из других чисел и буковки.
4 курс: В надписях, сделанных преподом на огромной доске сквозь строк проглядывает тайна мироздания.
5 курс: Узнал про число Грэма, сижу, обняв коленки, осознаю ничтожность пределов своего разума.

Как простая формула может упростить жизнь

Сразу успокоим, знать высшую математику тут не нужно. Что же такое теорема Байеса, раз она проникает во все сферы нашей жизни, от физики до исследований рака, от экологии до психологии. Существуют байесовские трактовки квантовой механики и байесовские теории мультивселенных. Философы рассуждают о том, что всю науку в целом можно рассматривать, как байесовский процесс, и что Байес помогает отличить науку от псевдонауки. Когнитивисты предполагают, что в нашем мозге работают алгоритмы Байеса, когда он ощущает, размышляет и принимает решения.

Исследователи искусственного интеллекта, включая разработчиков беспилотных автомобилей в Google, применяют ПО Байеса, чтобы помогать машинам распознавать закономерности и принимать решения.

Теорема Байеса – это метод подсчёта обоснованности верований (гипотез, заявлений, предложений) на основе имеющихся доказательств (наблюдений, данных, информации). Наипростейшая версия звучит так: «изначальная вера + новые свидетельства = новая, улучшенная вера»

Простая математическая формула выглядит так:

Где P – вероятность, H – убеждение, E – свидетельства. P(H) – вероятность того, что H – истинно, P(E) – вероятность того, что E истинно. P(H|E) – вероятность H в случае истинности E, а P(E|H) – вероятность E в случае истинности H

00:44 Вероятность наступления некоторого события

1:38 Условная вероятность

2:30 использование теоремы Байеса в реальной жизни

3:40 Пример условной вероятности. Игральные кости и интуиция

4:58 Теорема Байеса. Как откалибровать вероятность

7:00 ШАНС! Теорема Байеса в шансовой форме

8:00 Пример «Позвони, как доберешься»

8:55 Вероятность попасть в аварию

11:22 Стоит ли бояться авиаперелетов

Отрицательный отзыв

Думаю у каждого репетитора есть своя маленькая «шкатулка» с отрицательным отзывами, ну и меня это не обошло стороной). Обычно я занимаюсь со школьниками, но и студентов иногда тоже готовлю к сессии. На тот момент я занималась репетиторством около двух лет и искренне считала, что не бывает необучаемых людей, а со студентами заниматься проще, так как их стимулируют слова «сессия, экзамен, отчисление».
Дело было в сессию заочников, у студента (мужчине было около сорока лет) на носу (завтра утром) была сдача экзамена по математической анализу. Он учился на первом курсе, а свои знания он оценил на 4-/3, поэтому, взвесив все за и против, я решила ему помочь, ведь я была уверена в себе на 200%, эти темы на пальцах объясняла уже не раз, и все было супер. Мы созвонились, он сказал, что ему вроде как нужно объяснить некоторые темы, которые он не понял ( круто, подумала я, значит некоторые темы он знает)
Вечер. Мой студент пришел ко мне домой, принёс с собой книжку с подобными вариантами, которые будут на экзамене и тут оказалось, что он вроде бы немного умеет решать первое задание и. все, а для экзамена (который, напоминаю, ЗАВТРА УТРОМ) нужно минимум решить пять заданий. Я собрала все свои преподовательские способности, и начала объяснять на пальцах (а это, на минуточку, высшая математика!) задания, во мне теплилась надежда, что я смогу помочь моему ученику, но все оказалось напрасно, ведь считать мой подопечный не умел (от слова «совсем»). На калькуляторе отнимал от нуля три, а сложение двухзначных чисел оказалось совсем непосильной задачей. Отзанимались мы два часа, но, думаю, вы уже догадались, что он, конечно же, не сдал. А на следующий день, пришёл ещё и отзыв о моей проделанной работе

Вот так вот, считать не умеет, но мою работу оценить смог. Я искренне не понимаю, на что он надеялся. Ну нет у меня волшебной флешки с мозгами, которые я могла б ему загрузить в голову, я всего лишь скромный репетитор. Ну нельзя, не зная элементарных основ школьной математики, пытаться за два часа разобраться с высшей. Надеюсь пост получился читабельным, может кому станет полезным, особенно начинающим репетиторам) ну и с удовольствием почитала бы ваши комментарии, на тему, что бы вы делали, если б это была ваша история)

Источник

Дельта-функция Дирака

Дельта-функция Дирака сейчас используется во многих областях науки и техники. Но изначально она была введена Дираком именно в контексте квантовой механики.

Дирак использовал дельта-функцию для демонстрации эквивалентности матричного подхода Гейзенберга и волновых функций, введенных Шредингером. Работа Дирака опубликована в 1926г., еще даже задолго до появления его знаменитых обозначений бра- и кет-. В тот же год, что и уравнение Шредингера и всего лишь год спустя самой первой работы Гейзенберга по новой квантовой механике.

В прошлом видео мы начали говорить про представление векторов состояния в координатном базисе. Согласно принципу суперпозиции наиболее общий вектор состояния равен сумме базисных векторов с комплексными коэффициентами.

Мы выяснили, что самому вектору состояния при переходе к непрерывным величинам можно поставить в соответствие волновую функцию. Какие же функции соответствует базисным векторам x0, x1, x2 и т.д.

Мы знаем, что скалярное произведение вектора состояния с базисным вектором дает соответствующую амплитуду вероятности, то есть коэффициент с.

Возьмем для конкретики точку начала координат, х0. Данная амплитуда вероятности по определению соответствует значению волновой функции в начале координат.

Но мы также говорили, что скалярное произведение для функций записывается через интеграл. Обозначим пока функцию, соответствующую базисному вектору x за f.

Что же должна делать эта функция f? Видим, что весь интеграл равен значению волновой функции в начале координат, пси(0) каким бы оно не было. То есть функция f должна вытаскивать из всей функции пси(х) всего одну точку – ее значение в начале координат.

Но такой функции просто не существует в природе. По крайней мере не существовало до того как Дирак сказал – «Давайте придумаем такую функцию. Назовем ее дельта-функция».

По сути данный интеграл и есть определение дельта-функции Дирака. Дельта-функция не является функцией в классическом понимании этого слова, поскольку не определена в отрыве от интеграла.

Математикам она долгое время не нравилась. Но потом они разработали целую теорию так называемых обобщенных функций. Забавно наблюдать как физическая мотивация приводит к появлению целых новых разделов математики.

Итак, дельта-функцию можно представить себе как очень узкий пик, расположенный в начале координат. Дельта-функция везде равна нулю кроме этой одной единственной точки.

Значение дельта-функции в нуле не определено. Можно сказать, что оно равно бесконечности, но это мало что дает. Важнее то, что по-определению площадь под кривой дельта-функции равна единице. Мы имеем узкий пик нулевой толщины, но единичной площади. То есть мы опять возвращаемся к определению через интеграл.

Поскольку в интеграле стоит произведение дельта-функции с волновой функцией, то все точки волновой функции кроме начала координат обнуляются из-за умножения на ноль. Остается только значение волновой функции в нуле. А так как площадь, то есть интеграл от дельта-функции равен единице, при умножении она не влияет на это значение волновой функции в нуле.

Кстати, знак комплексного сопряжения можно убрать поскольку он не влияет на дельта-функцию.

Одной дельта-функции с пиком в нуле достаточно, чтобы описать всю бесконечность координатных базисных векторов.

Так чтобы вытащить значение волновой функции скажем в точке x=2 достаточно использовать в интеграле дельта-функцию с аргументом x-2. Она как раз соответствует базисному кет-вектору |x2>. Тогда пик будет расположен не в начале координат, а сдвинут вправо к точке x=2. Действительно, при подстановке в x числа 2 получим дельта(0), то есть тот самый пик.

В общем случае значение волновой функции в произвольной точке а можно получить как интеграл от произведения с дельта(х-а).

Поскольку дельта-функция не обычная функция с ней надо обращаться осторожно. Например, если просто подставить в нашу суперпозицию дельта функции, то получившееся выражение не будет иметь особого смысла. Формально можно записать выражение для собственных векторов оператора координаты через дельта-функцию.

Может показаться, что дельта-функция вообще слабо связана с реальностью. Действительно, в экспериментах по измерению координаты частицы мы никогда не получим точное значение x. В конечном счете принцип неопределенности Гейзенберга запрещает нам точно знать координату. В противном случае импульс стал бы равен бесконечности. Нам надо затратить бесконечное количество энергии чтобы точно измерить координату. Ну и тому подобные аргументы. На практике мы всегда ограничиваемся малой областью пространства, но не точкой с нулевым размером.

Казалось бы напрашивается тривиальное решение – давайте введем квант пространства и квант времени. Минимальную длину и отрезок времени. Но такой наивный подход вступает в противоречие со специальной теорией относительности Эйнштейна.

В разных системах отсчета наблюдатели будут видеть разные значения этих длин и интервалов времени. Лоренцево сокращение расстояний позволяет сколь угодно уменьшать длины. Никто не запрещает перейти в систему отсчета где длина будет меньше Планковской. Фактически сколь угодно малой.

Релятивистские эффекты замедления времени также приводят к тому, что квант времени для одного наблюдателя будет казаться миллиардами лет для другого.

В общем, как и всегда – эксперимент является критерием истины. Использование производных, интегралов, дельта функции и тому подобных вещей оправдано поскольку результаты вычислений соответствуют экспериментальным наблюдениям. На большом адронном коллайдере в экспериментах при огромных энергиях не нашли ни единого отклонения от предсказаний стандартной квантовой механики.

Возможно в будущем методы мат анализа и заменят чем-то более подходящим, и поверьте многие гениальные ученые продолжают ломать над этим голову. Но пока все остается как есть.

Удивительно что производная и интеграл остаются актуальными и в современной физике, хотя были изобретены еще самим Ньютоном в 17 веке для задач классической механики.

Источник

ДИРАКА ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ

Смотреть что такое «ДИРАКА ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ» в других словарях:

дельта-функция Дирака — единичный импульс — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность Синонимы единичный импульс EN Dirac functiondelta function … Справочник технического переводчика

Дельта-функция — У этого термина существуют и другие значения, см. Дельта (значения). Схематический график одномерной дельта функции. Дельта функция (или … Википедия

Дельта-функция Дирака — δ функция (или дельта функция, δ функция Дирака, дираковская дельта, Единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или… … Википедия

Дельта функция — δ функция (или дельта функция, δ функция Дирака, дираковская дельта, Единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или… … Википедия

дельта-функция — (Δ функция Дирака), символ, применяемый в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины (нагрузка, заряд и т. п.). Дельта функция простейшая обобщённая функция; она характеризует, например, плотность… … Энциклопедический словарь

дельта-функция Дирака — delta funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. delta function; Dirac delta function vok. Delta Funktion, f; Diracsche Delta Funktion, f rus. дельта функция, f; дельта функция Дирака, f pranc. fonction impulsion unité, f; fonction… … Fizikos terminų žodynas

дельта-функция — delta funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. delta function; Dirac delta function vok. Delta Funktion, f; Diracsche Delta Funktion, f rus. дельта функция, f; дельта функция Дирака, f pranc. fonction impulsion unité, f; fonction… … Fizikos terminų žodynas

Дельта-функция — δ функция, δ функция Дирака, δ(x), символ, применяемый в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины (сосредоточенная нагрузка, сосредоточенный заряд и т.д.). Д. ф. может быть определена как… … Большая советская энциклопедия

Источник

Дипломная работа: Функция Дирака

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

Выполнила студентка V курса

математического факультета Прокашева Е.В.

старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ Ончукова Л.В.

старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ Фалелеева С.А.

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой М.В. Крутихина

«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина

Глава 1. Определение функции Дирака. 4

1.1. Основные понятия. 4

1.2. Задачи, приводящие к определению дельта-функции Дирака………. 10

1.2.1. Задача об импульсе ……………………………………………….10

1.2.2.Задача о плотности материальной точки……………………. 11

1.3. Математическое определение дельта-функции………………………..16

Глава 2. Применение функции Дирака…………………………………………19

2.1. Разрывные функции и их производные………………………………….19

2.2. Нахождение производных разрывных функций………………………. 21

Развитие науки требует для ее теоретического обоснования все более и более «высокой математики», одним из достижений которой являются обобщенные функции, в частности функция Дирака. В настоящее время теория обобщенных функций актуальна в физике и математике, так как обладает рядом замечательных свойств, расширяющих возможности классического математического анализа, расширяет круг рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям в вычислениях, автоматизируя элементарные операции.

Цели данной работы:

1) изучить понятие функции Дирака;

2) рассмотреть физический и математический подходы к ее определению;

3) показать применение к нахождению производных разрывных функций.

Задачи работы: показать возможности использования дельта-функции в математике и физике.

В работе представлены различные способы определения и введения дельта-функции Дирака, ее применение при решении задач.

Определение функции Дирака

1.1. Основные понятия.

В разных вопросах математического анализа термин «функция» приходится понимать с разной степенью общности. Иногда рассматриваются непрерывные, но не дифференцируемые функции, в других вопросах приходится предполагать, что речь идет о функциях, дифференцируемых один или несколько раз и т.д. Однако в ряде случаев классическое понятие функции, даже трактуемое в самом широком смысле, т.е. как произвольное правило, относящее каждому значению x из области определения этой функции некоторое число y=f(x),оказывается недостаточным.

Вот важный пример: применяя аппарат математического анализа к тем или иным задачам, нам приходится сталкиваться с таким положением, когда те или иные операции анализа оказываются невыполнимыми; например, функцию, не имеющую производной (в некоторых точках или даже всюду), нельзя дифференцировать, если производную понимать как элементарную функцию. Затруднений такого типа можно было бы избежать, ограничившись рассмотрением одних только аналитических функций. Однако такое сужение запаса допустимых функций во многих случаях весьма нежелательно. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой.

В 1930 году для решения задач теоретической физики крупнейшему английскому физику-теоретику П. Дираку, одному из основателей квантовой механики, не хватило аппарата классической математики, и он ввел новый объект, названный “дельта-функцией”, который выходил далеко за рамки классического определения функции.

П. Дирак в книге «Принципы квантовой механики» [5] определил дельта-функцию δ(x) следующим образом:

.

Кроме того задается условие:

Такое представление общепринято в физике.

Следует подчеркнуть, что δ( x ) не является функцией в обычном смысле, так как из этого определения следуют несовместимые условия с точки зрения классического определения функции и интеграла:

при и .

В классическом анализе не существует функции, обладающей свойствами, предписанными Дираком. Лишь несколько лет спустя в работах С.Л. Соболева и Л. Шварца дельта-функция получила свое математическое оформление, но не как обычная, а как обобщенная функция.

Прежде чем переходить к рассмотрению функции Дирака, введем основные определения и теоремы, которые нам будут необходимы:

При этом будем считать, что при t 0 выполняется неравенство , где М и а – некоторые положительные постоянные.

,

называется единичной функцией Хевисайда и обозначается через . График этой функции изображен на рис.2

Найдем L – изображение функции Хевисайда:

.

(1)

Определение 10. Последовательность называется слабо сходящейся к , если для каждого выполнено соотношение .

Теорема 4. Если <x_n > – слабо сходящаяся последовательность в нормированном пространстве, то существует такое постоянное число С, что [10, стр. 187].

1.2 Задачи, приводящие к определению дельта-функции Дирака.

1.2.1.Задача об импульсе.

,

изображенную на рис.5.

На основании формул (1) и (2) изображение этой функции будет

.

В механике бывает удобно рассматривать силы, действующие очень короткий промежуток времени, как силы, действующие мгновенно, но имеющие конечный импульс. Поэтому вводят функцию δ( t ) как предел функции при :

.

1.2.2. Задача о плотности материальной точки.

Попытаемся определить плотность, создаваемую материальной точкой массы 1.

Но нас интересует плотность при (т.е. ε стремится к 0 справа). Примем сначала в качестве искомой плотности δ( x ) предел последовательности средних плотностей f_ε ( x ) при , то есть функцию

(3)

От плотности δ естественно требовать, чтобы интеграл от нее по всему пространству давал бы полную массу вещества, то есть

. (4)

Для любой непрерывной функции φ( x ) найдем слабый предел последовательности при .

(5)

.

Покажем, что .

.

, ,

понимая под этим предельное соотношение (5). Значение функционала δ на функции φ – число φ(0) – обозначается так:

(6)

Это равенство дает точный смысл дельта-функции, введенной Дираком, обладающей следующими свойствами:

Таким образом, плотность, соответствующая точечному распределению масс, не может быть описана в рамках классического понятия функции, и для ее описания следует привлекать линейные (непрерывные) функционалы.

Функция δ( x ) применяется не только в механике, а во многих разделах математики, в частности при решении многих задач уравнений математической физики.

при

как и показано на рис.8.

.

Тогда .

Применим его к выражению (12), получим

.

Значит, для производной разрывной функции не надо делать исключений: просто в точке разрыва производная равна «особенной» функции – дельта-функции Дирака.

Производная разрывной функции определяется следующим образом:

Благодаря дельта-функции Дирака можно найти производные в более сложных случаях.

2.2. Нахождение производных разрывных функций.

Пример 1: Найти производную функции

.

(13)

.

.

.

Либо другой вариант – можно присоединить х=1 к правой области и тогда с равным правом запишем

.

Можно написать также

,

где

Рассмотрим модель прохождения тока вдоль цепи, представленную в работе М.Н. Дубайловой «Применение рядов Фурье при решении задач Электродинамики» [7].

Найдем производную данной функции, представленной графиком зависимости силы тока от времени:

В действительности сила тока меняется не мгновенно, а в течение короткого конечного промежутка времени. Реальный процесс можно изобразить следующим графиком (рис.10).

В математике рис.9 не является графиком функции (одному значению t соответствует бесконечное множество значений I ). Поэтому математика рассматривает упрощенную модель, абстрагированную от реального процесса, разрывая функцию, график этой модели представлен на рис.11.

Найдем производную данной функции.

Для этого функцию зададим следующим образом:

.

Разрывы имеют место при .

.
Заключение

В выпускной квалификационной работе поставленные цели достигнуты, то есть были достаточно подробно рассмотрены математический и физический подходы к определению функции Дирака, причем физический подход к определению осуществлен через решение физических задач об импульсе и плотности материальной точки. Применение функции Дирака для нахождения производных разрывных функций было проиллюстрировано с помощью математических и физических примеров, выявлена целесообразность применения дельта-функции для нахождения производных разрывных функций. Теоретический материал подтверждается решением различных примеров.

Таким образом, функция Дирака – одно из наиболее необходимых и широко применяемых понятий, как в физике, так и в математическом анализе.

1. Архипов, Г.И. Лекции по математическому анализу [Текст]: учебник для университетов и пед. вузов / Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. Под ред. В.А. Садовничего. – М.: Высш. шк., 1999.

2. Большая советская энциклопедия [Текст] / Гл. ред. А.М. Прохоров. – М.: Советская энциклопедия, 1972.

3. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике [Текст] / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, 1967.

4. Владимиров, В.С. Обобщенные функции и их применение [Текст] / В.С. Владимиров. – М.: Знание, 1990.

5. Владимиров, В.С. Обобщенные функции в математической физике[Текст] / В.С. Владимиров. – М.: Наука, 1981.

7. Дубайлова, М.Н. Применение рядов Фурье при решении задач Электродинамики [Текст] / Выпускная квалификационная работа. – Киров, ВГГУ 2003.

9. Зельдович, Я.Б. Высшая математика для начинающих [Текст] / Я.Б. Зельдович. – М.: Наука, 1970.

10. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука, 1972.

12. Соболев, В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа [Текст] / В.И. Соболев. – М.: Наука, 1968.

Источник

• ← лазеротерапия что это такое показания
• что такое сизигийный отлив →