что такое декартово произведение множеств

Декартово произведение множеств

Прямое или декартово произведение множеств — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры (алгебраические, топологические и т. д.), существующие на перемножаемых множествах.

Содержание

Прямое произведение в теории множеств

Произведение двух множеств

Отображения произведения множеств в его множители ( и ) называют координатными функциями.

Аналогично строятся произведения нескольких множеств.

Декартова степень

Прямое произведение семейства множеств

Прямое произведение отображений

Аналогично вышеизложенному, данное определение обобщается на многократные и бесконечные произведения.

Воздействие на математические структуры

Прямое произведение групп

Это определение распространяется на произвольное конечное число перемножаемых групп; ассоциативность декартова произведения следует из ассоциативности операций перемножаемых групп.

Прямое произведение других алгебраических структур

Аналогично произведению групп, можно определить произведения колец, алгебр, модулей и линейных пространств, причём в определении прямого произведения 1_i (см. выше) следует заменить нулём. Однако, как правило, произведения этих структур называют прямой суммой.

Прямое произведение топологических пространств

Топология бесконечного произведения будет задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров (такая топология аналогична компактно-открытой топологии пространств отображений если считать индексное множество I имеющим дискретную топологию).

Теорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).

Также, теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполнена аксиома Колмогорова (а иные пространства и не рассматриваются).

Прямое произведение графов

Множество вершин прямого произведения двух графов G и H задаётся как произведение вершин графов сомножителей. Рёбрами будут соединены следующие па́ры вершин:

Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является объединением двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.

Вариации и обобщения

Источник

Декартово (прямое) произведение множеств

ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ. СООТВЕТСТВИЯ, ФУНКЦИИ, ОТНОШЕНИЯ

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ – изучение свойств декартова произведения множеств, и связанных с ним соответствий, функций и отношений.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Помимо рассмотренных в первой лекции традиционных операций над множествами существуют и другие действия с множествами, которые позволяют решать много задач, имеющих практическое применение. В частности, к таким действиям относится декартово (прямое) произведение множеств. Свое название декартово произведение получило оттого, что предложенное Декартом координатное представление точек плоскости, являлось исторически первым примером прямого произведения.

Декартово (прямое) произведение множеств

Декартово (прямое) произведение множеств Х и – это множество, обозначаемое , элементами которого являются упорядоченные пары , первая компонента которых принадлежит множеству Х, а вторая множеству .

.

Согласно определению элементами прямого произведения множеств являются упорядоченные пары, составленные из элементов исходных множеств. В этих парах первый элемент (компонента) всегда принадлежит первому множеству, а второй элемент (компонента) второму. Порядок множеств определяется исходной записью и, если , то , так как в упорядоченной паре компонента имеет номер 1, а компонента – номер 2, но в упорядоченной паре : – номер 1, а – номер 2.

Множество содержит mn элементов, где m и n – количество элементов Хи соответственно.

Геометрическое представление этого множества приведено на рис. 2.1, а.

Пример 2.2. Пусть A и B – отрезки вещественной оси. Прямое произведение изобразится заштрихованным прямоугольником, показанным на рис. 2.1, б.

Пример 2.3. Найти декартово произведение множеств и .

Решение. A × B .

Порядок перечисления элементов безразличен, важен только порядок элементов в паре (упорядоченная пара).

B × A .

Из приведенных примеров видно, что свойства прямого произведения отличаются от свойств обычного произведения в арифметическом смысле. В частности, прямое произведение изменяется при изменении порядка сомножителей, то есть , следовательно, декартово произведение не коммутативно. При этом он не только не коммутативно, но и не ассоциативно, но дистрибутивно относительно объединения, пересечения и симметрической разности множеств

;

;

.

Прямое произведение множеств – операция многоместная

.

В результате получаются множества, состоящие из упорядоченной последовательности вида

, где ; ;…; .

Такие последовательности называются кортежами или векторами.

Кортеж длины – конечная последовательность элементов , в которой каждый элемент занимает определенное место в соответствии с записью исходных множеств декартова произведения.

Сами элементы при этом называются компонентами (координатами) кортежа, которые нумеруются слева направо (первая компонента, вторая компонента и т.д.).

Примеры кортежей: множество людей, стоящих в очереди, числа, выражающие координаты точки на плоскости и т.п. Во всех этих множествах место каждого элемента является вполне определенным и не может быть произвольно изменено.

Основные отличия понятий кортежа (вектора) и множества заключаются в следующем:

1) в множестве порядок элементов не играет роли, а кортежи, отличающиеся порядком элементов, различны, даже в случае, когда они имеют одинаковый состав;

2) в множестве все элементы различны, а в кортеже координаты могут повторяться.

Таким образом, в отличии от обычного множества в кортеже (векторе) могут быть одинаковые компоненты: два одинаковых слова в фразе, одинаковые численные значения координат точки на плоскости и т.п.

Таким образом, декартово произведение позволяет получать вектора любых размерностей. Эта операция отличается от операций объединения и пересечения тем, что в результате перемножения прямым способом получаются объекты, содержащие элементы, отличающиеся по своей природе от элементов исходных множеств.

Если перемножить n раз одно и то же множество, то получится множество , называемое степенью множества

.

Степенью декартового произведения называется число множеств n, входящих в это декартово произведение.

Источник

Декартово произведение

Прямое или декартово произведение множеств — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры (алгебраические, топологические и т. д.), существующие на перемножаемых множествах.

Содержание

Прямое произведение в теории множеств

Произведение двух множеств

Отображения произведения множеств в его множители ( и ) называют координатными функциями.

Аналогично строятся произведения нескольких множеств.

Декартова степень

Прямое произведение семейства множеств

Прямое произведение отображений

Аналогично вышеизложенному, данное определение обобщается на многократные и бесконечные произведения.

Воздействие на математические структуры

Прямое произведение групп

Это определение распространяется на произвольное конечное число перемножаемых групп; ассоциативность декартова произведения следует из ассоциативности операций перемножаемых групп.

Прямое произведение других алгебраических структур

Аналогично произведению групп, можно определить произведения колец, алгебр, модулей и линейных пространств, причём в определении прямого произведения 1_i (см. выше) следует заменить нулём. Однако, как правило, произведения этих структур называют прямой суммой.

Прямое произведение топологических пространств

Топология бесконечного произведения будет задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров (такая топология аналогична компактно-открытой топологии пространств отображений если считать индексное множество I имеющим дискретную топологию).

Теорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).

Также, теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполнена аксиома Колмогорова (а иные пространства и не рассматриваются).

Прямое произведение графов

Множество вершин прямого произведения двух графов G и H задаётся как произведение вершин графов сомножителей. Рёбрами будут соединены следующие па́ры вершин:

Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является объединением двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.

Вариации и обобщения

Источник

ТЕМА 2.2. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ

1. Декартово произведение множеств.

2. Свойства операции декартова произведения.

3. Кортеж. Длина кортежа.

Основная литература [7, 10, 11, 16, 23, 33, 34];

Дополнительная литература [17, 18, 27, 50, 81, 84, 82, 86, 87]

Декартово произведение множеств

Используя две цифры, например, 3 и 5, можно записать четыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В рассмотренном примере мы имели дело с упорядоченными парами.

Упорядоченную пару, образованную из элементов а и в, принято записывать, используя круглые скобки: (а; в). Элемент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент в – второй координатой (компонентой) пары.

Пары (а; в) и (с; d) равны в том и только том случае, когда а = с и в = d.

В упорядоченной паре (а; в) может быть, что а = в. Так, запись чисел 33 и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3) и (5; 5).

Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одного множества, так и двух множеств.

Даны множества А=<1,2,3>, В = <3,5>. Образовать упорядоченные пары так, чтобы первая компонента принадлежала множеству А, а вторая – множеству В.

Перечислив все такие пары, получим множество: <(1; 3), (1; 5), (2; 3), (2; 5), (3;3), (3;5)>.

Видим, что имея два множества А и В, мы получили новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это множество называют декартовым произведением множеств А и В.

Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Декартово произведение множеств А и В обозначают А´B. Используя это обозначение, определение произведения можно записать так: A´B=<(х; у) | х ÎA и у Î B>.

Найти декартово произведение множеств А и В, если:

Решение. а) Действуем согласно определению – образуем все пары, первая компонента которых выбирается из А, а вторая – из В: А ´ B = <(m; p); (m; f); (m; k); (p; e); (p; f);(p; k)>.

b) Декартово произведение равных множеств находят, образуя всевозможные пары из элементов данного множества: А ´ А = <(3; 3); (3; 5); (5; 3); (5; 5)>.

Источник

Декартово произведение. Разбиение множеств на классы

КАРТА – СХЕМА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Тема занятия: Декартово произведение и разбиение множеств на классы

расширить знания студентов с темы действия с множествами, рассмотреть Декартово произведение, разбиение множеств на классы;

способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления;

создать условия для применения полученных знаний при выполнении расчетных заданий.

Необходимое аппаратное и программное обеспечение:

Карточки с заданиями самостоятельной работы

Тип и вид учебного занятия:

ОРГАНИЗАЦИОННАЯ СТРУКТУРА УРОКА

Содержание и виды деятельности преподавателя

1. Организационный этап

Приветствие, выявление отсутствующих, информирование о теме и целях занятия.

2. Актуализация ЗУН

— Что такое множество? Что означает задать множество?

— Способы задания множеств

— Что такое подмножество?

-какие действия выполняем над множествами?

— Что такое пересечение? Объединение?

— Какие свойства пересечения, объединения?

Самостоятельная работа (с взаимопроверкой)

Найдите: а) А∩В; б) А∩С; в) С∩В.

Найдите: а) АUВ; б) АUС; в) СUВ.

Найдите а)(А∩В)∩С; б) )(АВ)С; в) (А В)∩С

3. Изучение нового материала

— разбиение множеств на классы

4. Первичное закрепление

Практическое выполнение заданий

5. Информация о домашнем задании

Методические рекомендации для самостоятельной работы

6. Подведение итогов урока

Подведение итогов работы группы, отдельных студентов.

Корректирование пробелов знаний.

В начальных классах ученики решают задачу: используя цифры 1, 2, 3 образовать всевозможные двузначные числа.

Путем перебора дети получают:

Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования. Например, из цифр 1, 2 образованы числа 12 и 21.

В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В данной задаче – упорядоченные пары (а; b), образованные из элементов а и b. Это (1; 2), (1; 3), (1; 4) и т.д. Первый элемент а называют первой координатой пары, элемент b – второй.

Значит, в нашей задаче мы оперировали множеством А=<1, 2, 3> и образовывали всевозможные пары.

Рассмотрим другой пример. Пусть А=<1, 2, 3>, B=<4, 5>. Образуем всевозможные пары (а;b) так, что аА, bВ. Получим некоторое новое множество <(1; 5), (1; 4), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5)>, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают АВ. Таким образом АВ = <(x;y) | xA, yB>.

Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.

Количество пар в декартовом прoизведении АВ будет равно произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В: n(АВ)=n(A)n(B).

В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Такие упорядоченные наборы называют кортежами. Так, набор (1, 5, 6) есть кортеж длины 3, так как в нем три элемента.

Используя понятие кортежа, можно определить понятие декартового произведения n множеств.

Декартовым произведением множеств А, А,…, A называют множество кортежей длины n, образованных так, что первая компонента принадлежит множеству А, вторая – А, …, n-ая – множеству А: АА…A.

Пусть даны множества А=<2, 3>; А=<3, 4, 5>; A=<7, 8>. Декартово произведение ААА=< (2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7),
(2, 5, 8),(3, 3, 7), (3, 4, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8)>.

Понятие разбиения множества на классы

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить представление о классификации.

Классификация – это действие распределения объектов по классам на основании сходств внутри класса и их отличия от других объектов. Классификация широко применяется в математике.

Например, натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы бывают острые, тупые и прямые и т.д.

Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества.

Считают, что множество Х разбито на классы Х, Х,…, Х, если:

1) подмножества Х, Х,…, Х попарно не пересекаются;

2) объединение этих подмножеств совпадает с множеством Х.

Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию считают неправильной.

Например: а) Множество треугольников Х разбито на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества попарно не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х; b) Из множества треугольников Х выделили подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников. Так как множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиения множества Х на классы мы не получили.

Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Нас интересуют числа со свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества N подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества N. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством N, то имеем разбиение данного множества на два класса.

Вообще, если на множестве Х задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый – это класс объектов, обладающих данным свойством, а второй – дополнение первого класса до множества Х. Во втором классе содержатся такие объекты множества Х, которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию называют дихотомической.

Рассмотрим ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства. Например, свойства натуральных чисел: «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества N можно выделить два подмножества: А – множество чисел, кратных 3 и В – множество чисел, кратных 5. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис. 13). Разбиения на подмножества А и В в данном случае на произошло. Но круг, изображающий множество N, можно рассматривать как состоящий из четырех непересекающихся областей. Каждая область изображает некоторое подмножество множество N. Множество I состоит из чисел, кратных 3 и 5, множество I – из чисел, кратных 3 и не кратных 5, множество III – из чисел, кратных 5 и не кратных 3, множество IV – из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех множеств есть множество N.

Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса.

Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда приводит к разбиению этого множества на четыре класса. Например, при помощи таких двух свойств «быть кратным 3» и «быть кратным 6» множество натуральных чисел разбивается на три класса (рис. 14): I – класс чисел, кратных 6; II – класс чисел, кратных 3, но не кратных 6; III – класс чисел, не кратных 3.

Примеры

Приведем несколько примеров разбиения:

1. Множество четырехугольников разбито на два класса:
трапеции и прямоугольники. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством .

2. Множество четырехугольников разбито на три класса:
квадраты, параллелограммы, прямоугольники. Так как прямоугольник и квадрат – частные случаи параллелограмма, то данные подмножества пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиение множества не получено.

3. Дано множество прямых в пространстве, которое разбито на классы по их взаимному расположению: параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством .

4. Дано множество , которое можно разделить на два класса: и , где – множество натуральных четных чисел, а – множество натуральных нечетных чисел.

5. Множество разбито на три класса: , и . множество чисел, которые делятся на , – множество чисел, которые делятся на , множество чисел, которые делятся на . Но существуют числа, которые могут делится одновременно и на , и . Отсюда следует, что подмножества пересекаются, и разбиение не получено.

Решение. Элементами множества А₁´ А₂ ´А₃ будут кортежи длины 3 такие, что первая их компонента принадлежит множеству А_1, вторая – множеству А₂, третья – множеству А₃.

Пример 2. Пусть на множестве Х= <3, 5, 7>задано отношение «меньше» (т.е. первый элемент меньше второго, второй меньше третьего). Записать декартово произведение XX. Из этого множества следует выбрать элементы, которые должны удовлетворять отношению «меньше».

Декартово произведение X  Х может быть записано в виде множества из упорядоченных пар:

Из этого множества выбираются элементы, которые удовлетворяют отношению «меньше». В результате получится новое множество из упорядоченных пар:

В новом множестве все пары являются элементами декартова произведения XX. Отношение «меньше» на множестве Х является подмножеством декартова произведения XX. Бинарное отношение на множестве Х есть подмножество декартова произведения W XX.

Пусть заданы два множества: X = <2, 6, 1>, Y = <7, 4, 8>.

Декартово произведение двух множеств равно:

Источник