что такое билинейная форма

Что такое билинейная форма

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии Билинейные формы Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

Глава 7
БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

В этой главе изучаются билинейные формы, определенные в вещественном линейном пространстве, т. е. числовые функции двух векторных аргументов, линейные по каждому из этих аргументов. Подробно исследуются так называемые квадратичные формы, представляющие собой билинейные формы, определенные для совпадающих значений их аргументов. Рассматриваются также некоторые приложения теории билинейных и квадратичных форм.

§ 1. Билинейные формы

1. Понятие билинейной формы. Понятие билинейной формы в произвольном линейном пространстве было введено нами ранее в гл.5. Однако для удобства изложения в этом пункте мы напомним некоторые определения и простейшие утверждения.

Определение 1. Числовая функция А(х, у), аргументами которой являются всевозможные векторы х и у вещественного линейного пространства L, называется билинейной формой, если для любых векторов х, у и z из L и любого вещественного числа λ выполняются следующие соотношения:

Иными словами, билинейная форма представляет собой числовую функцию А(х, у) двух векторных аргументов х и у, определенную на всевозможных векторах х и у вещественного линейного пространства L и линейную по каждому из этих аргументов (при этом часто говорят, что билинейная форма А(х, у) задана на линейном пространстве L).
Простейшим примером билинейной формы может служить произведение двух линейных форм f (х) и g(y), определенных на векторах х и у линейного пространства L.
Определение 2. Билинейная форма А(х, у) называется симметричной (кососимметричной), если для любых векторов х и у линейного пространства L выполняются соотношения:

a ξ _i и η _i — координаты в базисе е векторов х и у соответственно.
Доказательство. Пусть — разложение векторов х и у по базису е. Так как форма В(х, у) линейна по каждому из аргументов х и у (см. 7.1)), то

Таким образом, для формы В(х, у) справедливо представление G.3) с выражениями G.4) для коэффициентов b_ij .
Чтобы доказать однозначность этого представления, предположим, что для В(х, у) справедливо представление (7.3) с некоторыми коэффициентами b_ij . Беря в (7.3) х = е_i, у = е_j, мы сразу же получим выражения (7.4) для коэффициентов b_ij. Теорема доказана.
Определение. Матрица

элементы b_ij которой определены с помощью соотношений (7.4), называется матрицей билинейной формы В(х, у) в данном базисе е.
Замечание 1. Обратимся к вопросу о построении всех билинейных форм в данном конечномерном вещественном пространстве L. Ответ на этот вопрос следующий: любая квадратная матрица (b_ij) является в данном базисе е = (е₁, е₂. е _n ) матрицей некоторой билинейной формы.
Убедимся в справедливости этого утверждения.
Определим в линейном пространстве L с данным базисом е = (е₁, е₂. е _n ) с помощью матрицы (b_ij) числовую функцию В(х, у) двух векторных аргументов вида

где С = (c_pq) — матрица перехода от базиса е к базису f, а С ‘ — транспонированная матрица С.
Доказательство. Элементы f_q нового базиса f выражаются через элементы е_р старого базиса е с помощью матрицы С = (c_pq) по формулам

Сумма (по определению произведения матриц) представляет собой элемент матрицы А(е) С. Отсюда следует, что выражение в правой части (7.10) является элементом матрицы С’ А(е) С. Но в левой части (7.10) стоит элемент матрицы A(f). Поэтому A(f) = С ‘ А(е) С. Теорема доказана.
Следствие. Ранг матрицы A(f) равен рангу матрицы А(е).
Это сразу вытекает из соотношения (7.7), из того, что матрица С и, стало быть, матрица С ‘ являются невырожденными, и из теоремы о том, что ранг матрицы не изменяется при умножении ее на невырожденную матрицу.
Это следствие позволяет ввести важный числовой инвариант билинейной формы — так называемый ранг билинейной формы.
Определение 1. Рангом билинейной формы, заданной в конечномерном линейном пространстве L, называется ранг матрицы этой формы в произвольном базисе пространства L.
Определение 2. Билинейная форма А(х, у), заданная в конечномерном линейном пространстве L, называется невырожденной (вырожденной), если ее ранг равен (меньше) размерности пространства L.

Источник

Билинейная форма

БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — на произведении модулей билинейное отображение левый унитарный модуль, W правый унитарный А модуль, А кольцо с единицей, рассматриваемое также как ( А, А ) бимодуль. Если V= W, то говорят, что f есть Б. ф. на модуле V, а также, что Vнаделен… … Математическая энциклопедия

ЯДЕРНАЯ БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — билинейная форма В(f, g)на декартовом произведении локально выпуклых пространств Fи G, допускающая представление вида где суммируемая последовательность, и равностепенно непрерывные последовательности в сопряженных к Fи G… … Математическая энциклопедия

КОСОСИММЕТРИЧЕСКАЯ БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — антисимметрическая билинейная форма, билинейная форма f на унитарном А модуле V(где А коммутативное кольцо с единицей), удовлетворяющая условию: Строение любой К. б. ф. f на конечномерном векторном пространстве Vнад полем характеристики полностью … Математическая энциклопедия

ФОРМА (в математике) — ФОРМА, в математике многочлен от нескольких (m) переменных, все члены которых имеют одну и ту же степень (под степенью одночлена xayb понимают число n = a+b+. +g). В зависимости от числа m переменных различают бинарные формы (m = 2), тернарные… … Энциклопедический словарь

форма — ы; ж. [лат. fōrma вид, облик, наружность] 1. Внешние очертания, наружный вид предмета. Земля имеет форму шара. Квадратная ф. Предмет изогнутой формы. Облака меняют свои формы. Сосуды различных форм. Налитая в сосуд вода принимает форму сосуда.… … Энциклопедический словарь

Источник

БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА

Смотреть что такое «БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА» в других словарях:

Билинейная форма — форма (т. е. однородный многочлен) 2 й степени от двух групп переменных x1, x2. xn и y1, y2. yn вида Например, аху (Б. ф. от переменных х и у); a11x1y1 + a12x1y2 + a21x2y1 + a22x2y2 (Б. ф. от переменных x1, х2 и… … Большая советская энциклопедия

БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — на произведении модулей билинейное отображение левый унитарный модуль, W правый унитарный А модуль, А кольцо с единицей, рассматриваемое также как ( А, А ) бимодуль. Если V= W, то говорят, что f есть Б. ф. на модуле V, а также, что Vнаделен… … Математическая энциклопедия

ЯДЕРНАЯ БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — билинейная форма В(f, g)на декартовом произведении локально выпуклых пространств Fи G, допускающая представление вида где суммируемая последовательность, и равностепенно непрерывные последовательности в сопряженных к Fи G… … Математическая энциклопедия

КОСОСИММЕТРИЧЕСКАЯ БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — антисимметрическая билинейная форма, билинейная форма f на унитарном А модуле V(где А коммутативное кольцо с единицей), удовлетворяющая условию: Строение любой К. б. ф. f на конечномерном векторном пространстве Vнад полем характеристики полностью … Математическая энциклопедия

ФОРМА (в математике) — ФОРМА, в математике многочлен от нескольких (m) переменных, все члены которых имеют одну и ту же степень (под степенью одночлена xayb понимают число n = a+b+. +g). В зависимости от числа m переменных различают бинарные формы (m = 2), тернарные… … Энциклопедический словарь

форма — ы; ж. [лат. fōrma вид, облик, наружность] 1. Внешние очертания, наружный вид предмета. Земля имеет форму шара. Квадратная ф. Предмет изогнутой формы. Облака меняют свои формы. Сосуды различных форм. Налитая в сосуд вода принимает форму сосуда.… … Энциклопедический словарь

Источник

билинейная форма

Билинейная форма — форма (т. е. однородный многочлен) 2 й степени от двух групп переменных x1, x2. xn и y1, y2. yn вида Например, аху (Б. ф. от переменных х и у); a11x1y1 + a12x1y2 + a21x2y1 + a22x2y2 (Б. ф. от переменных x1, х2 и… … Большая советская энциклопедия

БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — на произведении модулей билинейное отображение левый унитарный модуль, W правый унитарный А модуль, А кольцо с единицей, рассматриваемое также как ( А, А ) бимодуль. Если V= W, то говорят, что f есть Б. ф. на модуле V, а также, что Vнаделен… … Математическая энциклопедия

ЯДЕРНАЯ БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — билинейная форма В(f, g)на декартовом произведении локально выпуклых пространств Fи G, допускающая представление вида где суммируемая последовательность, и равностепенно непрерывные последовательности в сопряженных к Fи G… … Математическая энциклопедия

КОСОСИММЕТРИЧЕСКАЯ БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — антисимметрическая билинейная форма, билинейная форма f на унитарном А модуле V(где А коммутативное кольцо с единицей), удовлетворяющая условию: Строение любой К. б. ф. f на конечномерном векторном пространстве Vнад полем характеристики полностью … Математическая энциклопедия

ФОРМА (в математике) — ФОРМА, в математике многочлен от нескольких (m) переменных, все члены которых имеют одну и ту же степень (под степенью одночлена xayb понимают число n = a+b+. +g). В зависимости от числа m переменных различают бинарные формы (m = 2), тернарные… … Энциклопедический словарь

форма — ы; ж. [лат. fōrma вид, облик, наружность] 1. Внешние очертания, наружный вид предмета. Земля имеет форму шара. Квадратная ф. Предмет изогнутой формы. Облака меняют свои формы. Сосуды различных форм. Налитая в сосуд вода принимает форму сосуда.… … Энциклопедический словарь

Источник

Билинейная форма

Резюме

Мотивации

Билинейные формы встречаются во многих областях математики. Они образуют обширный класс инструментов, используемых для решения вопросов самого разного характера.

Линейная алгебра

Геометрия

Влияние билинейных форм в геометрии не ограничивается формализацией новых пространств. Связь между некоторыми поверхностями, такими как квадрики и билинейные формы, глубока. Использование различных инструментов линейной алгебры позволяет произвести общую классификацию для любого измерения.

Функциональный анализ

Арифметика

Подход математиков, изучающих функциональные пространства, состоит в отказе от ранее использовавшейся гипотезы о конечномерности. Это в конечном итоге плодотворно, и многие теоремы в функциональном анализе происходят из изучения билинейной формы, такой как скалярное произведение, аналогичное продукту евклидовых пространств или являющееся результатом канонической формы между пространством и двойственным ему. Другое предположение может быть удалено, что гарантирует, что любое число, отличное от нуля, в теле, лежащем в основе векторного пространства, имеет обратное значение для умножения.

Определения

В этом разделе даются общие определения билинейных форм, а затем дополнительные определения, связанные с различными контекстами.

Общие определения

Форма является так называемой линейной по отношению к своей первой переменной, если для каждого y приложение к x ассоциированным ( x | y ) является линейным. Точно так же форма называется линейной по отношению к своей второй переменной, если для всех x отображение, которое ассоциируется с y ( x | y ), является линейным.

Определения, связанные с ортогональностью

Определения, связанные со случаем, когда E равно F

Любая симметричная или антисимметричная билинейная форма является рефлексивной, и любая рефлексивная форма имеет то же ядро ​​справа, что и слева.

Любая определенная форма невырождена.

Любая альтернативная форма антисимметрична. Если характеристика тела отличается от 2, то эти два понятия эквивалентны.

Согласно неравенству Коши-Шварца определяется любая невырожденная положительная (или отрицательная) симметричная билинейная форма.

Примеры

Обычное евклидово пространство

Двойственная билинейная форма

Следовательно, существует определенная эквивалентность между двумя билинейными формами, и любая линейная форма представлена вектором 3 с использованием скалярного произведения.

Функциональное пространство

\ mathrm t.>

Билинейная форма и линейное приложение

Двойной

Основной

В конечномерном случае мы также имеем: билинейная форма (. |.) Не вырождена тогда и только тогда, когда φ ₁ является изоморфизмом; тогда E и F имеют одинаковую размерность и φ ₂ также является изоморфизмом. (В частности, E / N ₁ и F / N ₂ всегда имеют одинаковый размер.)

Действительно, тогда φ ₁ является линейной инъекцией E в F *, поэтому dim ( E ) ≤ dim ( F *) = dim ( F ), и аналогично (используя φ ₂ ) dim ( F ) ≤ dim ( E ).

Ортогональность

Для билинейной формы E × F в K, не вырожденной в конечной размерности, также имеем:

Линейные приложения из космоса в двойное

с (для любой билинейной формы b и всех векторов x в E и y в F )

Ограничение на F из транспонированной из ф ₁ ( б ) является ψ ₂ ( б ) (и также путем обращения двух индексов).

По определению тензорного произведения E ⊗ F третье пространство канонически изоморфно пространству билинейных отображений:

Матричное представление

Тензорное произведение

Построение билинейных форм

Позже мы увидим, что эта двусмысленность обозначений безвредна, потому что два объекта, которые она обозначает, соответствуют друг другу посредством канонического включения E * ⊗ F * в ( E ⊗ F ) *. Точно так же E ** ⊗ F ** (и тем более E ⊗ F ) вложено в ( E * ⊗ F *) * ≃ L ₂ ( E *, F *).

В более общем смысле (и в любом измерении, но всегда по характеристике, отличной от 2) любая билинейная форма уникальным образом распадается как сумма симметричного и антисимметричного:

Тензорное произведение и двойственность

Этих условий достаточно тривиально. Покажем, что они необходимы.

Измерение три

Нормализованное векторное пространство

В этом абзаце E и F обозначают два векторных пространства, нормированных на поле K, равное ℝ или, следовательно, полное.

Непрерывная билинейная форма

Если E и F имеют конечную размерность, то b всегда непрерывно (поскольку в конечной размерности любое линейное отображение непрерывно).

\ forall f \ in F, \ quad \ | e \ |, \ | f \ | \ leq \ mu \ Rightarrow | b (e, f) | \ leq \ varepsilon> 0,

Пространство непрерывных билинейных форм

Конфигурация такая же, как и в конечномерном.

Ортогональные и биортогональные

Источник